Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

121









(12.15)

Если линия работает в режиме согласованной нагрузки, то в линии

существует только одна волна, поэтому в любой точке линии в любой

момент времени

,ui z z

причем ток и напряжение совпадают по

фазе.

Следует иметь в виду, что как у воздушных, так и у кабельных ли-

ний

00 00

,RL GC

поэтому для выполнения условия (12.11) прихо-

дится включать через равные расстояния дополнительную сосредото-

ченную индуктивность. Правда, при этом уменьшается скорость рас-

пространения волн в линии.

Пример 12.2

Известны первичные параметры линии связи:

2,78 Ом км;R 

2 мГн км;L



0,7 10 См км;G





6,3 10 Фкм.C





Определить, какую дополнительную индуктивность нужно вклю-

чать через каждый километр линии, чтобы сигналы по ней передавались

без искажения.

Решение

Из условия (12.11) найдем, какой должна быть индуктивность еди-

ницы длины линии без искажения:

6,3 10 2,78

25 10 Гн/км.

0,7 10







 



доп 00

Поэтому ()(252)123мГн, где 1 км.LLLl l





 

12.2.5. Линия без потерь

В некоторых практически важных случаях (особенно при высоких

частотах в линиях связи, телевидения, радио) оказывается









и можно для упрощения анализа пренебречь потерями в ли-

нии, приняв

0, 0.RG



Тогда коэффициент затухания





коэффициент распростране-

ния

j LC



 

мнимое число, поэтому от гиперболических

функций мнимого аргумента можно перейти к тригонометрическим

функциям вещественного аргумента:

ch( ) ch( j ) cos( ), sh( ) sh( j ) jsin( ).yyyyy y



 

 

122

Тогда и уравнения линии в гиперболических функциях (12.10) пе-

реходят в уравнения линии без потерь в тригонометрических функциях:

22B

() cos( ) j sin( );

() j sin( ) cos( ).

Uy U y Iz y

Iy y I y

















 





(12.16)

Здесь координата y отсчитывается от конца линии (рис. 12.3, б),

причем, как в линии без искажений, волновое сопротивление линии без

потерь

B00

LC

– вещественное число, а фазовая скорость имеет

наибольшее значение

1,vLC





которое в воздушных линиях до-

стигает скорости света

300000 км с.c 

Длина волны

2/ /.vf









Рассмотрим характерные режимы работы линии.

Холостой ход.

222ХН

0; ; ; 1.IUUZ N 



При этих условиях уравнения (12.16) превращаются в

() cos( );

() j sin( ).

Uy U y





















(12.17)

В результате наложения двух незатухающих волн одинаковой ам-

плитуды, движущихся в противоположных направлениях, в линии су-

ществуют стоячие волны. Узлы напряжения соответствуют пучностям

тока и оказываются в точках с координатами

4,y





34,



..., а узлы

тока и пучности напряжения – соответственно в точках

0,y 



, ...

Входное сопротивление линии длиной l

()

jctg()

()

UUl

IIl



 



(12.18)

имеет чисто реактивный характер. При

04,l





234l





и т. д.

оно емкостное, а при

42,l





34l





и т. д. – индуктивное.

При

4,l







и т. д. это сопротивление равно нулю (резонанс

напряжений), а при

2,l







и т. д. стремится к бесконечности (резо-

нанс токов). Соответствующие кривые построены на рис. 2.4, а.

Короткое замыкание.

222KН

0; ; 0; 1.UIIZ N







2К B

2К

() j sin( );

() cos( ).

Uy I z y

Iy I y



















(12.19)

В этом режиме тоже существуют стоячие волны, но по сравнению с

предыдущим случаем узлы и пучности токов, и напряжений сдвинуты

на четверть длины волны. Входное сопротивление

123





jtg





(12.20)

тоже чисто реактивное. Но его характер противоположен характеру

в режиме холостого хода на тех же участках. Зависимости (),Uy



(),



() j

показаны на рис. 12.4, б.

Реактивная нагрузка

НН2 Н 2 Н B Н B

j; j ; (j )(j ) 1 ,ZXUXINXzXz e





 



где

Н B

arctg( ),





причем



 

так что

22.







Поэтому

sin( )

() [cos( ) ctg sin( )] ;

sin

cos( )

( ) [cos( ) tg sin( )] ;

cos

tg( )

() j j tg( ).

Uy U y y U

Iy I y y I

ZlX z l















































 

(12.21)

И здесь обнаружились стоячие волны, но узлы и пучности напряже-

ния (тока) смещены в сторону увеличения y по отношению к их распо-

ложению в режиме короткого замыкания на расстояние







при

емкостной нагрузке и на расстояние, большее четверти длины волны, при

индуктивной нагрузке. Соответствующий сдвиг имеет и график Z

ВХ

(l)/j.

Три режима, рассмотренные выше, объединяет общее обстоятель-

ство: отсутствует потребление энергии и в нагрузке, и в линии. Только в

этом случае могут существовать точки, через которые не передается энер-

гия – узлы тока и напряжения. На участках между этими точками осу-

ществляется обмен энергией между электрическим и магнитным полями.

124

Пример 12.3

Известно, что высокочастотная линия с волновым сопротивлением

= 400 Ом нагружена на чисто реактивный двухполюсник.

Определить величину и характер сопротивления нагрузки, если

ближайший к концу линии узел тока находится на расстоянии у

= 8 м, а

следующий за ним узел напряжения – на расстоянии у

= 20 м.

Решение

Расстояние между узлами тока и напряжения – это четверть длины вол-

ны. Поэтому

4( )4(208)48м.yy





В режиме реактивной нагруз-

ки

2 2 20 48 5 6 рад с,yy



  

  

60.y









Значит, линия нагружена на индуктивность. Тогда

Н B

tg 400 tg( 6) 230 Ом.Xz







Активная нагрузка

НН 2 Н 2 Н B Н B

;;()()(1)(1),

RURINRzRz k k n 



где

Н B

,kZ z

поэтому

( ) [cos( ) j sin( )] [ cos( ) jsin( )];

( ) [cos( ) j sin( )] [cos( ) j sin( )];

cos( ) jsin( )

() .

cos( ) j sin( )

Uy U y y k y y

Iy I y y I y k y

kl l

Zlz

lk l

 







 























 

(12.22)

Проанализировав эти выражения, можно заметить, что ни кривая

U(y), ни кривая I(y) не имеют ни узлов, ни пучностей при любых

0,R

хотя и сохраняют волнообразный характер (рис. 12.5). При

Н B

Rz

максимумы напряжения и минимумы тока лежат в тех же точ-

ках, что и пучности напряжения, и узлы тока в режиме холостого хода.

В данном случае максимум действующего значения напряжения

МАКС 2

.UU

А минимум напряжения отстоит от конца линии на рас-

стоянии

4

и, как следует из (12.22),

МИН 2

.UUk



В радиотехнике

вводится понятие коэффициента бегущей волны как отношения этих

величин

БМИНМАКС

.KU U

Так что при

1k 

оказывается

k

125

Если же

Н B

,Rz

то минимумы напряжения и максимумы тока

расположены там же, где пучности тока и узлы напряжения в режиме

короткого замыкания. Поэтому в конце линии

МИН 2

,UU



а на рассто-

янии

4

от конца линии лежит точка, в которой

МАКС 2

.UUk

Зна-

чит, при

1k 

получится



Так что по распределению напряжения

в линии с известным волновым сопротивлением нетрудно вычислить и

сопротивление нагрузки.

Естественно, наибольшее значение



достигается в режиме

согласованной нагрузки, когда в линии существует только одна бегущая

волна, которая не отражается от нагрузки.

Согласованная нагрузка.

ННB2B2

;;0.ZRzUzIN



 



В этом режиме

BBXB

( ) [cos( ) jsin( )] ;

() [cos( ) jsin( )] ;

()/ () , .

Uy U y y Ue

Iy I y y Ie

Uy Iy z z z





















 



(12.23)

Действующие значения тока и напряжения во всех точках линии

одинаковы (рис. 12.5), причем мгновенные значения этих величин сов-

падают по фазе.

Четвертьволновая линия

Линия без потерь длиной





обладает весьма полезными для

практического использования свойствами. Для нее

2,l







тогда

2B 2 B BX B

() j ; () j ; Z .Ul Iz Il U z Z z 

  

В режиме короткого замыкания

(Z 0)



входное сопротивление

линии стремится к бесконечности, то есть четвертьволновая линия

представляет собой идеальный изолятор.

126

В режиме активной нагрузки

()



четвертьволновую линию

можно рассматривать как «трансформатор сопротивлений» и приме-

нять для согласования генератора с внутренним сопротивлением

приемника с сопротивлением

. Параметры линии следует подобрать

таким образом, чтобы

BHГ

(z ).RR

Тогда входное сопротивление пас-

сивного двухполюсника, подключенного к генератору (система линия-

нагрузка),

BX Г

z,R

а эквивалентное внутреннее сопротивление актив-

ного двухполюсника (система генератор-линия), к которому подключе-

на нагрузка, равно

При таком подборе параметров генератор будет

выдавать за период максимально возможную энергию, причем вся эта

энергия перейдет в нагрузку, поскольку потери в линии отсутствуют.

Аналогичное условие используется для согласования двух линий с раз-

ными волновыми сопротивлениями

при помощи третьей

(четвертьволновой) линии, включенной между ними. Ее волновое со-

противление должно быть

BB1B2

zz

12.3. Переходные процессы в цепях

с распределенными параметрами

12.3.1. Прямая и обратная волны

В линиях электропередачи, связи, обмотках трансформаторов и

других цепях с распределенными параметрами переходные процессы

возникают чаще всего по тем же причинам, что и в цепях с сосредото-

ченными параметрами. Это может быть подключение цепи к источнику

и отключение от него, подключение нагрузки и ее отключение, скачко-

образное изменение параметров какого-либо

участка цепи (например, в

случае аварии). Кроме того, при достаточной протяженности цепи пере-

ходные процессы могут возникнуть и в случае изменения электромаг-

нитных полей в окружающем пространстве (например, во время грозы).

Токи и напряжения во время переходных процессов зависят от двух пе-

ременных – времени t и расстояния x. Переходные процессы имеют

волновой характер.

Ниже рассматриваются примеры переходных процессов в одно-

родной двухпроводной линии без потерь

(0, 0).RG



Из (12.1)

следуют уравнения линии без потерь в частных производных:

uii u

tx t



 

 

(12.24)

127

Решим их операторным методом, подобно тому, как в разде-

ле 12.2.1 решали уравнения (12.1) комплексным методом.

Пусть

(, ), (, )Uxp Ixp



операторные изображения соответствую-

щих функций времени

(,), (,).uxt ixt

Тогда в соответствии с теоремой

дифференцирования можно найти изображения частных производных

тех же величин при нулевых начальных условиях

(, 0) 0;ixt

(, 0) 0:uxt

(,)uxt



(, ) (,)

dU x p i x t

dx x



(, )

;

dI x p

(,)uxt



(,)

(, ),

ixt

pU x p



(, ).

Ixp

Уравнения (12.24) в операторной форме принимают следующий вид:

dU dI

pI C pU

dx dx

  (12.25)

Здесь для упрощения записи опущены аргументы у операторных изоб-

ражений напряжения и тока.

Отсюда и 0, где . Тогда

dU d U p

IUv

Lpdx

dx v

   

12ПО

12ПО,

;

()

UAe Ae U U

Ae A e I I





















(12.26)

0 О

0 ПО

где .

CI I



(12.27)

Если известны оригиналы напряжения и тока в начале линии

(), (),ut it

то с помощью преобразования Лапласа можно определить

их операторные изображения

()ut

();UUp



()it

().

Ip

При отсчете х от начала линии (рис. 12.6)

11 1 12B1

(0) , (0) ( ) .UAAUI AAzI   

1 1 1B 2 1 1B

Отсюда ()2,()2.A U Iz A U Iz 

После этого по вычисленным изображениям

1 П1

(),

Up

2 О1

()

Up

можно найти их оригиналы

П1 О1

(), ().ut ut

128

Как следует из теоремы запаздывания, умножение изображения

F(p) на экспоненту



вызывает запаздывание оригинала на

По-

этому

П 1

(, )

Uxp Ae





П1 П

(/) (,);utxvuxt





(, )

Uxp Ae

O1 O

(/) (,).utxvuxt





Рассмотрим каждую из этих составляющих. Пусть при



зави-

симость

ПП1

(0, ) ( )utut



имеет вид кривой 0 на рис. 12.7, а. При



этот график смещается вправо на

txv



(кривая 1). Если же зафикси-

ровать

,tt

то зависимость

П 1

(, )uxt

будет иметь вид кривой 1 на

рис. 12.7, б. При

tt t t

график сместится вправо на

vt

(кривая 2). Величина

остается постоянной при const.



 Это

означает, что зависимости

(,)uxt

и (в соответствии со свойством ли-

нейности)

ППB

(,) (,)ixt uxtz

характеризуют прямую волну, которая

движется в сторону увеличения х со скоростью v. Аналогичными рас-

суждениями можно показать, что

(,)uxt

ООB

(,) (,)ixt uxtz



– это

напряжение и ток обратной волны, движущейся в сторону уменьшения

х с той же скоростью v. Обе волны незатухающие, причем для каждой

из них

– волновое сопротивление, то есть сопротивление линии току

одной волны. При отсчете х от начала линии, где включен источник,

прямую волну также можно рассматривать как падающую, а обратную –

как отраженную от нагрузки, подключенной к концу линии.

129

12.3.2. Возникновение волн с прямоугольным фронтом

Пусть незаряженная обесточенная линия без потерь подключается

к источнику постоянной ЭДС

constE



(рис. 12.8, а). По линии будет

распространяться волна с напряжением



, заряжая линию как кон-

денсатор. Заряд элемента линии длиной dx, равный

dq C dx E

( и

на рисунке), появляется на проводах за время

dt dx v

. При

этом на фронте волны возникает ток смещения

dq dx E

iCECEvE I

dt dt z



 

который замыкается током проводимости по проводам линии.

Этот ток создает магнитный поток, пронизывающий плоскость

линии (показан крестиками), который за время dt получает приращение

dLdxI

. Изменение магнитного потока вызывает появление ЭДС

самоиндукции, которая компенсируется напряжением

B00

EIzIvL

u 





приложенным между проводами линии в том месте, куда дошел фронт

волны (падение напряжения в проводах линии без потерь отсутствует).

Поэтому распределение напряжения и тока в линии к моменту времени t

имеет вид, показанный на рис. 12.8, б:

0, 0 при , и , при .ui xvtuEiI xvt    

Таким образом, пока волна не дошла до конца линии и, отразив-

шись, не вернулась обратно

(2)tlv



, через источник течет постоянный

ток I. Входное сопротивление линии неизменно и равно волновому:

BX B

.zEIz

Поэтому при расчете переходного процесса линия мо-

жет быть заменена сосредоточенным сопротивлением, равным

Энергия, отданная источником

WIEt



, поровну запасается в

электрическом и магнитном полях линии:

130

22 22

М 00 B

22 2

Э 00

11 1 1 1

;

22 2 2 2

11 1 1

22 2 22

WLiLxILvtIzItIEt

WCuCxECvtE IEt

   

  

Графики рис. 12.8, б имеют прямоугольную форму, поэтому соот-

ветствующие волны называются волнами с прямоугольным фронтом.

Подобные волны возникают также при отключении линии от источника,

при подключении нагрузки к линии и при отключении нагрузки от нее.

Волна, возникнув в момент коммутации, распространяется от места

коммутации со скоростью v. Эти варианты рассмотрены

в разде-

ле 12.3.7.

12.3.3. Расчет переходного процесса в нагрузке

линии без потерь при падении на нее волны

Пусть по линии без потерь в момент



к нагрузке подошла па-

дающая волна с напряжением

и током

ППВ

iuz



(рис. 12.9, а). При

этом возникает отраженная волна с напряжением

и током

ООВ

,iuz

так что

H П OHП O П OB ПНHB

,,откуда 2.uuu iiiuuz uuiz  

Последнему уравнению соответствует схема с сосредоточенными

параметрами рис. 12.9, б. В ней к нагрузке подключается источник с

ЭДС

и внутренним сопротивлением

Расчет этой схемы позволяет найти

НН

() и ().ut it

Затем можно

определить напряжение отраженной волны на зажимах нагрузки

НО Н НП

() () ()ututut

и его значения в точках

yvt



с учетом запаз-

дывания.

Для этого следует в выражении

НО

()ut

заменить t на

:tyv

ОНO

(,) ( ).uyt u tyv

По поводу тока рассуждения аналогичны. При

отсчете y от конца линии отраженная волна ведет себя как прямая и

накладывается на известное к этому моменту времени распределение

напряжения и тока падающей волны.