Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

131

12.3.4. Переход волны с одной линии на другую

В электрических сетях нередки случаи, когда на одной подстанции

к общим шинам присоединены кабельная и воздушная линии, имеющие

разные волновые сопротивления (линий может быть и несколько). Там

же могут быть включены и элементы с сосредоточенными параметра-

ми – конденсаторы, катушки индуктивностей, резисторы. Они предна-

значены для ограничения перенапряжений, токов короткого замыкания,

увеличения

пропускной способности линий и других целей. В этом слу-

чае волна, движущаяся по одной из линий, переходит на другую, изме-

няя свою амплитуду. Иными словами, волна преломляется и частично

отражается от места сопряжения линий.

Для расчета переходного процесса в этом месте (и последующего

определения преломленной и отраженной волн) можно составить

схему

замещения с сосредоточенными параметрами подобно тому, как это бы-

ло сделано в предыдущем разделе. Поясним это на примере.

Пример 12.4

Воздушная линия с волновым сопротивлением

400 Омz 

под-

ключается к источнику напряжения

10 кВ.U



Возникающая при этом

волна с прямоугольным фронтом переходит на кабельную линию с вол-

новым сопротивлением

100 Ом.z



В месте сопряжения линий

включен конденсатор с емкостью

2,5 мкФС



(рис. 12.10, а). В рас-

сматриваемых линиях без потерь скорость распространения волн раз-

лична: в воздушной линии

300 000 км с,v



в кабельной линии

150 000 км с.v 

Найти закон изменения напряжения на зажимах конденсатора и

построить эпюры распределения напряжения и тока в линиях через

0,4 мс после прихода волны к месту сопряжения линий, имея в виду, что

за этот промежуток времени ни отраженная, ни преломленная волны не

дойдут до конца линий.

Решение

По воздушной линии распространяется падающая волна

с напря-

жением

10 кВuU

и током

ППB1

10000 400 25 А.iuz





При-

ход ее к месту сопряжения линий сопровождается возникновением от-

раженной волны, что соответствует подключению нагрузки к источнику

с ЭДС

и внутренним сопротивлением

В данном случае

нагрузкой воздушной линии служат конденсатор и кабельная линия. Эта

линия ведет себя по отношению к преломленной волне как сопротивле-

132

ние

Таким образом, для расчета переходного процесса в конденса-

торе можно составить схему замещения с сосредоточенными парамет-

рами, показанную на рис. 12.10, б.

Рассчитаем переходный процесс в этой схеме классическим мето-

дом, так что

Спр Ссв

uu u





В установившемся режиме послекомму-

тационной цепи конденсатор постоянный ток не пропускает, поэтому

принужденная составляющая напряжения на его зажимах определяется

соотношением последовательно включенных сопротивлений:

пр П B2 B1 B2

2 /( ) 2 10 100/(400 100) 4 кВ.

uuzzz

Постоянная интегрирования А в выражении свободной составляю-

щей

Aeu 

св

определяется из независимого начального условия.

Конденсатор до коммутации не был заряжен, поэтому

(0) 0.

u 

Так

что

пр

(0) (0) 4 кВ.

Au u 

Корень характеристического уравне-

ния вычисляется по формуле:

-1

В1 В2

400 100

5000 c .

2,5 10 400 100

Сzz





  



Таким образом,

5000

() 4(1 ) кВ.

ut e





Чтобы найти напряжение преломленной волны, достаточно в полу-

ченном выражении заменить аргумент t на

/,txv

а ток определить по

закону Ома:

.А]1[40/),(),(

кВ,]1[4)(),(

)/(5000

В2ПРПР

)/(5000

СПР

vxt

eztxutxi

etutxu







Для определения напряжения отраженной волны в конце воздуш-

ной линии необходимо вычесть из

()

напряжение падающей волны

()ut U

и уже в этом выражении заменить аргумент t на

tyv

что-

бы найти

(,).uyt

Ток отраженной волны можно найти по закону Ома:

133

.А1015/),(),(

кВ,46])([),(

)/(5000

В1OO

)/(5000

/СО

vyt

eztyutyi

eUtutyu









К моменту времени t = 0,4 мс преломленная волна пробежит по ка-

бельной линии расстояние

60 км.

xvt



Там, куда она не дошла

(),

x

ток и напряжение отсутствуют.

За тот же промежуток времени отраженная волна пробежит рассто-

яние

120 км

yvt

и будет накладываться на падающую волну:

.А1040),(),(),(

кВ,44),(),(),(

)/(5000

ОП

)/(5000

ОП

vyt

etyityityi

etyutyutyu









Заметим, что при

ПП

и ,ui

независящих от времени, законы из-

менения

(,)uyt

(,)iyt

можно также получить, заменив в выражениях

()

()it

(входной ток в схеме 12.10, б) аргумент t на

tyv

В остальной части воздушной линии будет существовать лишь па-

дающая волна. Таким образом, в рассматриваемый момент времени

эпюры напряжения и тока в обеих линиях будут выглядеть так, как по-

казано на рис. 12.11.

Жирными линиями выделены отрезки, соответствующие значениям

и i

в момент времени t = 0,4 мс.

Обратим внимание, что конденсатор, включенный на входе кабель-

ной линии, сглаживает фронт преломленной волны. Того же эффекта

можно добиться, если включить индуктивность в рассечку проводов в

месте сопряжения линий.

12.3.5. Многократное отражение волн

Волны, возникающие в линии после какой-либо коммутации, как

правило, успевают несколько раз отразиться от начала и конца линии,

пока не установится новый режим. Рассмотрим подобный процесс на

примере включения ненагруженной и обесточенной однородной двух-

проводной линии без потерь с параметрами L

, C

на постоянное напря-

жение (рис. 12.12, а).

134

Пусть в момент

0t 

линия подключается к источнику постоянной

ЭДС E. В любой точке линии в этот момент



. Вначале пере-

ходный процесс развивается так же, как это было показано в разде-

ле 12.3.2. По линии от начала

(0)



к концу

()



со скоростью

v 

распространяется прямая волна с прямоугольным фронтом:

П1

uE

П1



где

z 

– волновое сопротивление линии.

Распределение напряжения и тока в линии в момент времени

0 tlv

показано на рис. 12.12, б.

К моменту времени

tlv





вся линия будет заряжена до напря-

жения

2uE

и в ее проводах (по всей длине) будет протекать ток

.iI



Энергия, выработанная источником за это время,

WEI





запасается

поровну в электрическом и магнитном полях, связанных с линией.

В этот момент возникает отраженная волна с током

,iI

чтобы

оказалось выполненным условие

П1O1

0ii i II





в конце нена-

груженной линии. Напряжение волны

O1 O1 B B

.u izIzE





Эта обрат-

ная волна движется от конца линии к началу с той же скоростью v и

накладывается на прямую волну. Так что на пройденном ею участке ли-

нии

2, 0.uEi

Распределение напряжения и тока в линии в момент

времени





показано на рис. 12.12, в.

К моменту времени





вся линия будет заряжена до напряжения

2uE

и обесточена. Энергия, выработанная источником за это время,

2WEI





полностью перейдет в электрическое поле линии.

В этот момент происходит новое отражение волны (от источника).

Возникает еще одна прямая волна с напряжением

П2

,uE





чтобы удо-

влетворить условию

П1O1П2

.uu u u EEEE

Ток этой вол-

ны, которая движется от начала к концу линии,

П2 П2B B

.iuzEzI

Так что уже пройденный волной участок линии оказывается заря-

женным до напряжения Е, но ток в нем течет в противоположную сто-

рону:

uE

iI

. Источник в этот период потребляет энергию. Рас-

пределение напряжения и тока в линии в момент времени

23t





показано на рис. 12.12, г.

К моменту времени





вся линия будет заряжена до напряже-

ния Е и ток в ее проводах равен

.iI





Половина энергии, запасенной

ранее в электрическом поле линии, возвращается источнику, а четвертая

135

часть переходит в магнитное поле линии. И вновь происходит отраже-

ние волны в конце линии. Появляется новая обратная волна с током

,iI

так что в конце линии

П1O1П2O2

0.ii i i i II II





В свою очередь напряжение этой волны

П2 П2B B

.uizIzE



 

В ре-

зультате ее наложения на все предшествующие в момент времени

34t





получается распределение напряжения и тока, показанное на

рис. 12.12, д.

34t





23t









0 t





Наконец, к моменту





остатки запасенной энергии из магнит-

ного и электрического полей линии будут возвращены источнику, ли-

ния станет снова незаряженной и обесточенной. Затем процесс повторя-

ется.

Таким образом, в рассмотренном примере получился незатухаю-

щий колебательный переходный процесс с периодом

4.T





Если в середине линии поставить прибор, записывающий измене-

ния напряжения и тока, и синхронизировать момент его включения с

моментом подключения линии к источнику, то он вычертит графики,

показанные на рис. 12.13.

В реальной линии (с поте-

рями) переходный процесс за-

вершится установившимся ре-

жимом холостого хода, в кото-

ром напряжение в

конце линии

будет меньше, чем в начале, а

источник будет покрывать поте-

ри в линии.



136

12.3.7. Расчетные схемы замещения

для определения прямой волны при подключении

нагрузки к линии и отключении нагрузки от нее

Рассмотрим схему рис. 12.14, а, в которой к работающей линии

подключается новая нагрузка – пассивный двухполюсник П2.

Сведем расчет переходного процесса в нагрузке к нулевым началь-

ным условиям (подобно тому, как это было сделано в разделе 10.4.4). То-

гда на докоммутационный установившийся режим (схема рис. 12.14, б)

будет накладываться переходный процесс в цепи с нулевыми

начальны-

ми условиями (рис. 12.14, в). Здесь действует ЭДС

)(

до

, которая опре-

деляется из схемы рис. 12.14, б как

до до

рн

() (),utut

а линия представлена

сосредоточенным сопротивлением, равным волновому.

Для определения напряжения и тока нагрузки применяем принцип

наложения:

),()()(),()()(

пн

до

нн

пн

до

нн

titititututu 

где

пн

)(/)( ztitu 

От места коммутации распространяется волна (прямая при отсчете y от

этой точки линии), напряжение и ток которой для всех точек

yvt

опреде-

ляются с учетом запаздывания. Для этого в выражениях тока и напряжения

нагрузки схемы рис. 12.14, в следует заменить аргумент t на

tyv

пн пн

(,) ( /), (,) ( /).uyt u tyv iyt i tyv 

Эта волна накладывается на существовавшее до коммутации распре-

деление напряжения и тока в линии. Там же, куда волна не дошла



,yvt

по-прежнему существует докоммутационный установившийся режим.

Аналогичным образом определяются ток и напряжение прямой

волны при отключении нагрузки от работающей линии (рис. 12.15, а).

Сначала рассчитывается докоммутационный режим (схема

рис. 12.15, б) и определяются величины

до

(,),iyt

до

(,)uyt

137

до до

рн

() ().itit

Затем составляется схема замещения с нулевыми началь-

ными условиями (рис. 12.15, в), в которой действует источник тока

до

(),it

а линия заменена сосредоточенным сопротивлением, равным

волновому. Расчет этой схемы позволяет определить

пн пн

нн

(), (),it ut

пн

(),ut

а затем и параметры прямой волны. Все вышеприведенные фор-

мулы справедливы и для данного случая.

Пример 12.5

Воздушная линия без потерь длиной

600 мl



с волновым сопро-

тивлением

400 Омz 

подключена к генератору с ЭДС

220 ВE 

внутренним сопротивлением

10 ОмR



и нагружена на сопротивление

100 ОмR 

(рис. 12.16, а).

Найти распределение тока и напряжения в линии через

1 мксt 

после подключения конденсатора с емкостью

12,5 нФ.C



Решение

В установившемся режиме до коммутации в цепи протекал посто-

янный ток

до

0BH

/( )220(10100)2iIEzR    

А и вызывал на за-

жимах нагрузки напряжение

до

0H0

2 100 200 В.uURI 

Такое же

напряжение существовало перед коммутацией и между проводами ли-

нии по всей ее длине, и на зажимах рубильника

до

200 В.uU

Схема с сосредоточенными параметрами для расчета переходного

процесса в цепи с нулевыми начальными условиями

( (0) 0)

u 

показа-

на на рис. 12.16, в. Фактически здесь приходится иметь дело с включе-

нием цепи R, C на постоянное напряжение. В подобном примере 10.11

был найден ток

() .

it e



138

Очевидно, применительно к схеме данной задачи

200 В.EU

400 100 1 1

80 Ом,10с .

400 100

80 12,5 10

zR RC





   





пн 10

Н BB

()

Тогда () 0,5 А.

pt t

itR E

it e e

Rz z







пн пн 10

ннB

( ) ( ) 200 В.

ut itz e



 

Для определения напряжения и тока возникающей прямой (при от-

счете расстояния y от конца линии) волны достаточно в последних двух

формулах заменить аргумент

на .ttlv



За 1 мкс при движении со

скоростью

310 мсv 

(а именно такова скорость распространения

волн в воздушной линии без потерь) волна пробежит половину длины

линии:

0,5 3 10 10 300 м.lvt



  

В той части линии, куда волна не дошла





vt

сохраняется до-

коммутационный режим:

( ) 200 В,uy U



() 2А.iy I



А там, где

она прошла







распределение напряжения и тока подчиняется

следующему закону (y измеряется в метрах):



1300

пн

0 н 1

() 2001 В,

uy U u t e







  













1300

пн

0 н 1

() 2 0,5 А.

iy I i t e





  





Графики распределения напряжения и тока вдоль линии показаны

на рис. 12.16, в.

139

13. ВВЕДЕНИЕ В ТЕОРИЮ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

13.1. Полная система уравнений электромагнитного поля

13.1.1. Основные величины,

характеризующие электромагнитное поле

Электромагнитное поле – это особый вид материи, который явля-

ется носителем энергии и оказывает силовое воздействие на заряженные

частицы и тела. Оно характеризуется способностью распространяться

даже в пустоте (электромагнитные волны) и непрерывностью распреде-

ления в пространстве, но вместе с тем проявляет дискретную структуру

(фотоны). Для упрощения анализа у единого электромагнитного поля

принято выделять две составляющие, которые можно обнаружить по

отдельности при выборе соответствующей системы отсчета.

Электрическое поле выявляется по силовому воздействию на не-

подвижные заряженные тела и частицы, магнитное поле – по силовому

воздействию на неподвижные проводники с токами или на движущиеся

заряженные тела и частицы. В курсе физики даются определения основ-

ных

величин, характеризующих эти составляющие, описываются элек-

трические и магнитные свойства различных сред, в которых поля суще-

ствуют. Краткое изложение соответствующего раздела физики дано в

разделе 1 первой части пособия [6].

В табл. 13.1 приведены обозначения и единицы измерения основ-

ных величин, характеризующих электромагнитное поле (ЭМП) в каж-

дой точке пространства в любой момент

времени.

Таблица 13.1

Наименование величины

Обозна-

чение

Единица

измерения

Вектор напряженности электрического поля

В/м

Вектор напряженности магнитного поля

А/м

Вектор электрического смещения

Кл/м

Вектор магнитной индукции

Тл (Вб/м

)

Вектор плотности электрического тока



А/м

Объемная плотность электрического заряда



Кл/м

Поверхностная плотность заряда



Кл/м

Электрический потенциал



Скалярный магнитный потенциал



Векторный магнитный потенциал

Вс/м

Плотность энергии электрического поля w

Дж/м

Плотность энергии магнитного поля w

Дж/м

140

Электрическое и магнитное поля неразрывно связаны между собой.

Эта взаимосвязь математически описывается уравнениями электроди-

намики, которые выведены Максвеллом.

13.1.2. Первое уравнение Максвелла

Электрический ток

id



возбуждает в окружающем простран-

стве электрическое поле. Согласно закону полного тока







. (13.1а)

Выберем небольшой контур интегрирования l, охватывающий по-

верхность s, к элементам которой вектор плотности тока



нормален.

Затем найдем предел отношения левой и правой частей уравне-

ния (13.1а) к площади этой поверхности, уменьшая площадь до нуля:

lim lim .



 









В результате получится первое уравнение Максвелла:

rot .



(13.1б)

Физический смысл уравнения: в точках пространства, где суще-

ствует электрический ток, магнитное поле имеет вихревой характер.

13.1.3. Второе уравнение Максвелла

Другая сторона взаимосвязи двух составляющих поля отражена в

законе электромагнитной индукции: в замкнутом контуре l перемен-

ное магнитное поле наводит ЭДС









(13.2а)

В правой части уравнения учитывается магнитный поток





dsB

пронизывающий площадку S, ограниченную контуром l. Если повто-

рить уже знакомую операцию – отыскать пределы отношения обеих ча-

стей уравнения (13,2а) к площади S при

,S 

то, очевидно, получится

выражение

rot .







(13.2б)

Это и есть второе уравнение Максвелла. Его физический смысл:

электрическое поле имеет вихревой характер в тех точках простран-

ства, где существует переменное магнитное поле.