Эськов В.Д., Каталевская А.В. Теоретические основы электротехники. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
161
2
0000
0
/ln /2 ( /2 ) 1 .
2
Cdrdr
(13.36)
Часто и
0
,dr
тогда
00 0
/ln( / ).Cdr
Пример 13.10. Емкость коаксиального кабеля на единицу длины
Из формул (13.30б) и (13.35) следует:
010
2/ln(/).
a
Crr
Определение емкости по картине плоскопараллельного поля
Это нетрудно сделать, если картина плоскопараллельного поля
конденсатора с произвольной конфигурацией обкладок построена в со-
ответствии с правилами, сформулированными в разделе 13.2.5. Должна
быть одинаковой разность потенциалов между соседними эквипотенци-
алями
( const).
И должен быть одним и тем же поток вектора
напряженности в каждой трубке поля на единицу длины в направлении,
перпендикулярном плоскости картины поля
(const).
E
Если число интервалов между эквипотенциалями N, то напряжение
между обкладками
.UN
Если число трубок M, то в соответствии
с теоремой Гаусса заряд каждой из обкладок (опять же на единицу дли-
ны)
aE
M
. Тогда емкость по формуле (13.35) равна:
0 Я
/,
aE
M
CCMN
UN
где
Я
C
доля емкости, приходящейся на одну ячейку картины поля с
размерами; a – расстояние между соседними линиями напряженности
поля; n – расстояние между соседними линиями равного потенциала
(рис. 13.10). Очевидно,
,,
E
E
aEn
поэтому
Я
//,
aE a
Can
где
/ const.an
Удобно, например, строить ячейки
в виде криволинейных квадратов, тогда это отноше-
ние равно единице и
0
/
a
CMN
.
n
a
13.2.11. Три группы формул Максвелла
В системе нескольких заряженных тел потенциал каждого из них
определяется не только зарядом данного тела, но и зарядами всех
остальных тел. При этом, если диэлектрическая проницаемость среды
не зависит от напряженности электрического поля, то потенциал оказы-
вается линейной функцией зарядов.
В матричной форме система уравнений с потенциальными коэффи-
циентами для n
заряженных тел имеет вид:
q. (13.37а)
162
Здесь и q – матрицы-столбцы; – квадратная матрица. Каждая матри-
ца имеет n строк.
Эта система и представляет собой первую группу формул Максвелла
для электростатики. Она позволяет вычислить потенциалы тел по за-
данным зарядам.
В частности, для тела с номером k можно записать
1
n
kkmm
m
q
(13.37б)
и сами коэффициенты определить с помощью эксперимента (или рас-
считать) при следующих условиях.
Если все заряды, кроме
k
q
, положить равными нулю, то собствен-
ный потенциальный коэффициент, как следует из (13.37б), будет равен
0, 0
.
mk
k
kk
k
qq
q
В свою очередь, взаимный потенциальный коэф-
фициент можно найти через потенциал того же тела, но при равенстве
нулю всех зарядов, кроме
m
q
:
0, 0
.
im
k
km
m
qq
q
Вторую группу формул Максвелла – уравнения с емкостными ко-
эффициентами (коэффициентами электростатической индукции)– не-
трудно получить, разрешив систему уравнений (13.37а) относительно
зарядов тел. В матричной форме:
q = . (13.38а)
Эта группа позволяет вычислить заряды тел по заданным потенциалам.
Из уравнения для k-го тела
1
n
kkmm
m
q
(13.38б)
следует способ определения коэффициентов. Если принять равными
нулю потенциалы всех тел, кроме
,
k
то собственный емкостный ко-
эффициент равен
0, 0
.
mk
k
kk
k
q
Взаимный емкостный коэффи-
циент выражается через заряд того же тела и не равный нулю потенци-
ал тела с номером m, причем потенциалы остальных тел равны нулю:
0, 0
.
im
k
km
m
q
Очевидно, квадратные матрицы коэффициентов в
уравнениях (13.37а) и (13.38а) взаимно обратны:
(13.38в)
163
Третья группа формул Максвелла – уравнения с частичными емко-
стями – связывает заряды тел с разностями потенциалов между телами
(в том числе и с землей, чей потенциал считается равным нулю). Эти
уравнения можно получить из второй группы формул перегруппиров-
кой слагаемых. Матричная запись системы уравнений имеет вид:
q = CU. (13.39а)
В уравнении для k-го тела
1
n
kkmkm
m
qCU
(13.39б)
переменные равны:
,0.
km k m kk k
UU
Для определения собственной частичной емкости следует принять
потенциалы всех тел одинаковыми и определить заряд тела с номером k.
Тогда
12
.
n
k
kk
q
C
Если этот результат сравнить с записью
в тех же условиях уравнения с емкостными коэффициентами, то легко
убедиться, что
1
.
n
kk km
m
C
(13.39в)
Чтобы найти взаимную частичную емкость, нужно принять потенциалы
всех тел, кроме m-го, равными нулю, иными словами, заземлить и опре-
делить заряд k-го тела. Тогда
0, 0
.
im
k
km
m
q
С
Очевидно,
.
km km
С
При этом, поскольку на заземленном теле наводится заряд
k
q
противоположного знака по сравнению с
m
q
, который определяется
потенциалом
,
m
то все частичные емкости и собственный емкостный
коэффициент положительны, а взаимные емкостные коэффициенты от-
рицательны. Разумеется, положительны и все потенциальные коэффи-
циенты. Кроме того, в соответствии с принципом взаимности
,,.
km mk km mk km mk
CC
Пример 13.11. Двухпроводная линия над землей (рис. 13.11, а)
Известны расстояние между проводами d, высота подвеса над зем-
лей h, радиус
0
r
и длина l каждого из них.
Определить потенциальные коэффициенты и емкость единицы
длины линии с учетом влияния земли.
164
Решение
Длину проводов будем полагать достаточно большой, чтобы поле
можно было считать плоскопараллельным. А радиус провода по срав-
нению с высотой подвеса и расстоянием между проводами достаточно
малым, чтобы не учитывать смещения электрических осей проводов от-
носительно геометрических.
Для определения потенциальных коэффициентов воспользуемся
методом зеркальных изображений (рис. 13.11, б). Пусть известен
заряд
первого провода q, а заряд второго провода равен нулю. Тогда зеркаль-
ное изображение первого провода имеет заряд –
q. Найдем потенциалы
проводов, используя формулу (13.26), в которой заменим
.ql
Очевидно,
22
12
00 0
(2 )
2
ln , ln .
22
hd
qh q
lr l d
Отсюда легко находятся потенциальные коэффициенты:
22
12
11 22 21 12
00 0
(2 )
12 1
ln , ln .
22
hd
h
qlr ql d
Уравнения для двух заряженных проводов имеют вид:
1 11 1 12 2 2 21 1 22 2
,.qq qq
Чтобы определить емкость линии с учетом влияния земли, следует
принять
12
qqq
(при этом, очевидно, и
12
).
Тогда
1 2 11 12 21 22 11 12
11
.
2( )
q
C
Подставляя значения коэффициентов, найдем и емкость единицы
длины линии
00
0
0
22 2
0
.
/
2
ln ln
(2 ) 1 [ /(2 )]
C
C
l
dr
hd
r
hd dh
Если высота подвеса гораздо больше расстояния между проводами,
то полученное выражение приводится к формуле (13.36).
165
13.3. Электрическое поле постоянных токов
в проводящей среде
13.3.1. Уравнение Лапласа
Постоянный ток в окружающей среде создает как электрическое,
так и магнитное поле. Если рассматривать электрическую составляю-
щую, то из полной системы уравнений электромагнитного поля в расчет
следует взять только три. Тождество
div(rot ) 0
H
позволяет из уравне-
ния (13.1б) получить принцип непрерывности электрического тока:
div 0.
д
(13.40)
Вне источников электрической энергии уравнение (13.2б) упрощается:
rot 0.
E
(13.41)
Свойства проводящей среды в каждой точке учитываются законом Ома
в дифференциальной форме:
.
д
Е
(13.42)
Уравнение (13.41) говорит о том, что, как и в электростатике, элек-
трическое поле постоянного тока в проводящей среде безвихревое, а
значит, потенциальное. Поэтому и в данном случае справедлива форму-
ла (13.12):
.grad
E
Подстановка этого выражения в (13.42), а последнего в (13.40) при-
водит к уравнению Лапласа (13.15):
2
0.
Для того, чтобы решить
это уравнение, нужно знать граничные условия, в первую очередь одно-
родные – на поверхности раздела двух сред.
13.3.2. Граничные условия на поверхности раздела двух сред
с различными удельными проводимостями
Выделим точку на поверхности раздела двух проводников, через
которую протекает ток, и рассмотрим электрическое поле вблизи нее.
Как и в разделе 13.2.3, окружим эту точку некоторой замкнутой цилин-
дрической поверхностью. Причем будем считать, что высота цилиндра
гораздо меньше диаметра оснований. На рис. 13.12, а контур abcda – это
след цилиндрической поверхности в плоскости чертежа
, которая прохо-
дит через ось цилиндра. Вычислим ток сквозь эту поверхность
ц
S
и
воспользуемся принципом непрерывности (13.40). Учитывая соотноше-
ние размеров цилиндра, током сквозь боковую поверхность
б
S
можно
пренебречь, подсчитав лишь ток сквозь поверхности оснований
21о
SSS
и приравняв его нулю:
ц 12
12
0.
SSS
dd d
д ss s
166
1
δ
2
δ
1
2
1
2
12nn
12
EE
1
2
1
2
δ
Поверхности оснований столь малы, что в их пределах векторы
1
д
и
2
д
не меняются. В результате интегрирования скалярных произведе-
ний векторов с учетом их расположения по отношению к нормали
12
,nn
получим:
22 2 11 1
cos cos 0.SS
Тогда
12
.
nn
(13.43)
Итак, в точке, лежащей на поверхности раздела двух проводящих
сред, нормальные составляющие вектора плотности электрического
тока равны.
Теперь окружим ту же точку прямоугольным контуром abcda в
плоскости чертежа (рис. 13.12, б) и подсчитаем циркуляцию вектора
Е,
сохранив соотношение
.ab cd bc da
Напомним, что источники
энергии не попадают в контур интегрирования, поэтому в соответствии
с формулой (13.11а) получим
12
0.
abcda ab cd
ddd
El E l E l
Если счи-
тать и отрезки ab, и cd столь малыми, что в их пределах векторы
1
E
и
2
E
не меняются, то интегралы от скалярных произведений с учетом
расположения векторов по отношению к нормали n
1
n
2
перейдут в равен-
ство:
2211
sin sin 0.Ecd Eab
Отсюда
12
.
E
E
(13.44)
В точке, лежащей на поверхности раздела двух проводящих сред,
касательные составляющие вектора напряженности электрического
поля равны. Это условие также означает, что при переходе через по-
верхность раздела двух диэлектриков потенциал изменяется плавно, без
скачков.
Кроме того, из формул (13.42)–( 13.44) следует еще одно условие:
11
22
tg
.
tg
(13.45)
13.3.3. Граничные условия на поверхности раздела
проводника и диэлектрика
167
Повторив рассуждения предыдущего раздела применительно к
точке, лежащей на поверхности раздела проводника и диэлектрика
(рис. 13.1, в), убедимся в том, что и здесь справедливо равенство каса-
тельных составляющих напряженности электрического поля (13.44).
При этом и вектор плотности тока на поверхности проводника име-
ет только касательную составляющую (постоянный ток в диэлектрике
не течет),
так что
0.
n
(13.46)
Разумеется, в диэлектрике существует и нормальная составляющая
напряженности электрического поля, причем, как правило, гораздо
большей величины, чем нормальная. Но она не связана с протеканием
тока внутри проводника.
13.3.4. Аналогия между электрическим полем тока
в проводящей среде и электростатическим полем в диэлектрике
Если сравнить выражения, описывающие эти два поля (табл. 13.4),
то нетрудно заметить, что они отличаются лишь обозначениями. Это
так называемая математическая аналогия.
Таблица 13.4
Электрическое поле тока Электростатическое поле
rot 0E rot 0
E
div 0д
div 0 ( 0)
D
д E
a
DE
2
0
2
0
12nn
12
(0)
nn
DD
12
E
E
12
E
E
B
AB
A
Ud
El
B
AB
A
Ud
El
S
Id
д s
D
S
d
Ds
Аналогами являются потенциал
, напряжение U и вектор напря-
женности электрического поля
Е в обеих средах (здесь и обозначения
одинаковы). Вектор плотности электрического тока , ток I и удельная
проводимость
соответствуют вектору D, потоку вектора электрическо-
го смещения
D
и абсолютной диэлектрической проницаемости
.
a
Если же подсчитать ток и поток
D
сквозь замкнутую поверхность, то
168
аналогами окажутся источник тока J и заряд q, а также коэффициенты
пропорциональности – проводимость и емкость:
,.
SS
a
ll
dd
Iq
GC
Ud U d
Es Es
El El
Отсюда (при одинаковой геометрии системы) следует соотношение
.
a
GC
(13.47)
Существенно отличаются лишь граничные условия на поверхности
раздела проводника и диэлектрика. Если в электростатике
0E
и
1
,
nan
DE
то для поля тока
0 и .
n
E
Это важно при ис-
пользовании метода зеркальных изображений. Если в электростатике зер-
кальным изображениям тел придавались заряды те же по величине, что и у
реальных тел, но противоположного знака, то зеркальные изображения
проводящих тел должны иметь ток того же направления. Только в этом
случае поле в однородной среде будет обладать
такой симметрией, кото-
рая нужна для выполнения граничных условий реальной задачи.
На формальном соответствии уравнений, часть из которых приве-
дена в табл. 13.4 основан так называемый метод электростатической
аналогии. С одной стороны, этот метод позволяет использовать при рас-
чете поля в проводящей среде готовые решения аналогичных задач
электростатики. С другой – можно заменить
экспериментальное иссле-
дование электростатического поля (весьма сложное из-за искажений,
вносимых зондом) экспериментами в проводящей среде, где подобные
искажения несущественны. Рассмотрим обе возможности подробнее.
Пример 13.12. Поле металлического заземлителя в форме полушария, рас-
положенного у поверхности земли (рис. 13.13, а)
Известны радиус
0
0, 4 м,R
ток
10 A,
J
удельная проводимость
грунта
2
10 См м.
Определить сопротивление заземления и шаговое напряжение.
Решение
Ток стекает через металлический электрод (заземлитель) в грунт,
равномерно растекается в толще земли, чтобы собраться у другого за-
землителя, включенного в цепь общего источника. Чтобы свести задачу
к расчету поля в однородной среде, воспользуемся методом зеркальных
изображений. Очевидно, заданные условия полностью сохраняются в
нижней полуплоскости системы, изображенной на рис. 13.13, б. Но в
соответствии с методом электростатической аналогии решение этой но-
169
вой задачи должно быть подобно расчету поля уединенного заряженно-
го шара (рис. 13.2, б).
В частности, используя формулу емкости из примера 13.7 и соот-
ношение (13.47), можно подсчитать проводимость шарового заземлителя:
0
/4.
a
GC R
Проводимость одного полушария, естественно, вдвое меньше. По-
этому сопротивление заземления равно
12
З 0
2/ (2 ) (2 10 0,4) 40 Ом.RG R
0
Под шаговым напряжением понимается разность потенциалов меж-
ду точками на поверхности земли, находящимися на расстоянии шага че-
ловека друг от друга. Обычно принимают это расстояние равным
0,8 м.
ш
l
Очевидно, наибольшее значение напряжения получается
между точками a и b на рис. 13.13, а. И здесь на помощь приходит фор-
мула (13.23), в которой следует заменить q на 2J и
a
на
. Результат:
2
00ш
11 101 1
530 В.
20,40,40,8
210
ab a b
J
U
RRl
Электростатическое поле удобно изучать на модели, выполненной
в проводящей среде. Электромоделирование основано на очевидном
факте. Если систему металлических электродов, имеющих разные по-
тенциалы, залить раствором солей, проводимость которого на несколько
порядков меньше проводимости самих электродов, то положение экви-
потенциальных поверхностей не изменится.
Поэтому для моделирования электростатического поля обычно ис-
пользуются
так называемые электролитические ванны. В такую ванну,
выполненную из изолирующего материала и заполненную раствором
(электролитом), помещаются металлические электроды, форма кото-
рых подобна форме заряженных тел в электростатическом поле
170
(рис. 13.14). Размеры модели выбираются такими, чтобы можно было
пренебречь влиянием стенок ванны.
Потенциалы определяются с помощью зонда (З), который вместе с
нуль-индикатором (НИ) включается в диагональ моста, плечами которого
служат части реостата (Р) и участки электролита между электрода-
ми (А и Б). Во избежание электролиза измерения проводятся при синусои-
дальном напряжении источника низкой (50–400 Гц) частоты, а в качестве
комбинации электрод – электролит используются медь – раствор медного
купороса или нержавеющая сталь дистиллированная (или очищенная водо-
проводная) вода. Возможно использование и твердых моделей. Это может
быть либо специальная проводящая бумага, либо так называемая сеточная
модель, в которой проводящая среда заменена набором сопротивлений.
13.4. Магнитное поле постоянных токов
13.4.1. Скалярный и векторный магнитные потенциалы
Магнитное поле выявляется по силовому
воздействию на неподвижные проводники с
токами. Сила, действующая в магнитном поле
с индукцией
B на элемент dl проводника с то-
ком I, определяется законом Ампера:
[],dIdflB
причем направление вектора dl
совпадает с направлением тока (рис. 13.15).
Все три вектора в этом выражении взаимно
перпендикулярны друг другу.