Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия

Подождите немного. Документ загружается.

Кристаллография и кристаллохимия

Однако измерить угловые величины между двумя произвольными точками

на стереографической проекции с помощью такой сетки достаточно сложно.

На практике пользуются другой сеткой, предложенной профессо-

ром Московского университета Г. В. Вульфом, — простым трафаретом,

названным его именем — сеткой Вулъфа (рис. 2.18е;

2.19),

с помощью

которой можно построить стереографические проекции граней и ребер

кристаллов.

Основная идея Г. В. Вульфа также сводилась к построению стерео-

графической проекции направления по его координатам ф и р. Для это-

го он воспользовался стереографическими проекциями системы мери-

диональных дуг сферы. Особенность сетки Вульфа состоит в том, что

Рис.

2.19. Сетка Вульфа

Глава

Симметрия кристаллов

плоскостью стереографической проекции

он

выбрал

не

экваториальное

сечение сферы,

как это

сделал

А. К.

Болдырев,

а ее

меридиональное сече-

ние,

проходящее через полюсы

N и 5.

Каждая дуга сетки Вульфа (см.

рис.

2.18в)

—

стереографическая про-

екция меридиана

—

градуирована через 2°. Сами

же

дуги тоже проведены

через 2°. Кроме того,

на

сетку нанесена система играющих вспомогатель-

ную роль параллелей, проведенных через 2°,

также вертикальный

(CD)

и горизонтальный

(АВ)

диаметры, пересекающиеся

центре

(JV)

круга

проекции,

по

которым отсчитывается координата

—

полярное расстоя-

ние.

Другая координата —

— отсчитывается

по

контуру сетки

по

часо-

вой стрелке, который тоже проградуирован через

2° (см. рис. 2.19). По-

грешность

при

таком разбиении составляет

Г.

Все построения

использованием сетки Вульфа проводятся

на

нало-

женной

на нее

кальке,

на

которой фиксируется круг проекций,

его

центр

(N)

—

начало отсчета координаты

р =

0°

неопределенным значением

ф и

точка пересечения горизонтального нулевого меридиана

окружностью

сетки

(ф = 0° и р = 90°)

—

начало отсчета координаты

ф (см. рис.

2.18в).

2.3.6.

Примеры задач, решаемых

помощью сетки Вульфа

Задача

Построение стереографической проекции точки, заданной

своими сферическими координатами

ф и р.

Координата ф отсчитывается

по

окружности сетки Вульфа

по

часовой

стрелке

от

нулевого меридиана, после чего делается соответствующая

за-

сечка

на

окружности

(рис.

2.20а). После этого, вращая кальку

(и не на-

рушая

при

этом центрировки!), совмещают засечку, отвечающую коор-

динате

ф, с

горизонтальным

или

вертикальным диаметром сетки

(АВ или

на рис.

2.18в)

откладывают угол

р от

центра сетки

по

диаметру

сторону засечки

(рис. 2.206),

если координата

р < 90°;

если

же р > 90°,

то величина угла, превышающая 90°, откладывается

от

окружности

(где

= 90°) к

центру проекции (рис. 2.20в). После этого калька возвращается

в исходное положение.

Полученные таким образом точки

v и w (рис.

2.20г) являются либо

стереографическими проекциями направлений, либо гномостереографиче-

скими проекциями граней, заданных своими сферическими координатами.

При этом следует помнить, что проекция грани верхней полусферы (напри-

мер,

грани

обозначается кружком, нижней (храни

—

крестиком, верти-

кальные грани, проецирующиеся

на

окружность, — кружками. Кроме того,

каждой точке (грани) присваивается номер

или

буквенное обозначение.

Задача

(обратная задаче

1).

Определение сферических координат

точки, заданной своей стереографической проекцией.

Поворотом кальки

(с

фиксированным центром

началом отсчета

угла

ф)

помещаем заданную точку

на

один

из

диаметров

(АВ или CD на

Кристаллография и кристаллохимия

Рис.

2.20. Проецирование направлений с заданными координатами ф и р — v (67°, 31°)

и w (287°, 113°): а — отсчет координаты <|>

; б — отсчет координаты p

; в

—

отсчет

координаты р ; г — стереограмма направлений v и w

рис.

2.18е) сетки Вульфа. Отсчитываем координату р от центра сетки по

диаметру и отмечаем на окружности засечкой его положение в направле-

нии данной точки. Далее возвращаем кальку в исходное положение и от-

считываем координату ф по окружности сетки от нулевого меридиана

(ф = 0°) по часовой стрелке до засечки.

Задача 3. Измерение углового расстояния между двумя заданными

точками.

Для решения этой задачи следует, вращая кальку относительно сетки

Вульфа (не нарушая центрировки!), привести обе заданные точки на один

меридиан сетки, если точки принадлежат одной полусфере (рис. 2.21а),

и на два симметричных меридиана относительно вертикального диаме-

тра сетки, если точки находятся в разных полусферах (р > 90° и р < 90°)

(рис.

2.216).

Отсчет углового расстояния между точками ведется по от-

резку меридиана сетки Вульфа, заключенному между ними, причем во

втором случае — через ближайший полюс сетки, т. е. к значению углово-

го расстояния отрезка одного меридиана добавляется величина углового

расстояния отрезка симметричного меридиана.

Глава 2. Симметрия кристаллов

Рис.

2.21. Определение углового расстояния между точками одной

полусферы (а) — Auv = 92°и разных полусфер (б) — Zvw - 134°

Если точки и и v на рис. 2.22 — стереографические проекции направ-

лений (например, ребер кристаллов), то дуга большого круга, проходя-

щая через них, будет стереографической проекцией плоскости, в которой

лежат эти направления. Если же точки uuv — это проекции нормалей к

граням, т. е. их гномостереографические проекции, то дуга, проходящая

через них, будет гномостереографической проекцией ребра, по которому

эти грани пересекаются.

Стереографическую проекцию этого ребра можно получить, опреде-

лив полюс к полученной дуге (экватору), отсчитав от нее 90° по горизон-

тальному диаметру АВ сетки Вульфа (см. рис. 2.18в и

2.23).

Таким образом, если две дуги (а-а и b-b, рис. 2.22) проведены через

гномостереографические проекции граней, то каждая из дуг является

гномостереографической проекцией ребра, по которому пересекаются

Рис.

2.22. К определению положения грани по двум пересекающимся ребрам

и положения ребра по двум пересекающимся граням

Кристаллография и кристаллохимия

грани и и v, q и w соответственно. Точка пересечения дуг (/') в этом случае

будет гномостереографической проекцией грани, в плоскости которой

лежат указанные ребра (дуги). Если же дуги (а-а и b-b) проведены че-

рез стереографические проекции ребер и и v, q и w, то они являются сте-

реографическими проекциями граней, в плоскостях которых лежат эти

ребра. Точка же пересечения (/') указанных граней (дуг) в этом случае

будет не чем иным, как стереографической проекцией ребра, по которо-

му пересекаются эти грани (дуги).

Задача 4. Переход от гномостереографической проекции какого-либо

элемента к его стереографической проекции — нахождение либо дуги

(экватора) к заданному полюсу, либо полюса к заданной дуге.

На рис. 2.23а показаны разнонаклонные плоскости (грани) G, М, R, К,

проходящие через центр сферы проекций и пересекающие ее по окруж-

ностям — дугам больших кругов; точки g, m,r,k — их полюсы на сфере,

являющиеся гномостереографическими проекциями указанных граней.

Для того чтобы на стереограмме (рис.

2.236)

найти проекцию дуги к за-

данному полюсу, т. е. стереографическую проекцию грани по ее гномо-

стереографической проекции, надо точку, принятую за полюс (гномо-

стереографическую проекцию грани), поставить на горизонтальный

диаметр сетки Вульфа и, отсчитав по нему в обе стороны 90°, найти два

симметричных диаметра — «видимую» и «невидимую» части искомой

дуги, которая и будет стереографической проекцией искомой грани. Для

решения обратной задачи следует совместить данную дугу с соответству-

ющим меридианом сетки Вульфа и найти на угловом расстоянии в 90° по

горизонтальному диаметру сетки полюс этой дуги.

Рис.

2.23. Взаимные переходы между стереографическими и гномостереографическими

проекциями: а — разнонаклонные плоскости (67, V, R, К), пересекающие сферу

проекций, и их полюсы на сфере (g, т, г, k); б

—

нахождение дуги к заданному

полюсу и полюса к заданной дуге на стереографической проекции

Глава

Симметрия кристаллов

Задача

Измерение угла между двумя дугами больших кругов.

Если точка

А —

точка пересечения двух

дуг

— совпадает

центром

сетки Вульфа (рис. 2.24а),

то

круги (плоскости) вертикальны

угол

ВАС

между ними измеряется

по

экватору длиной дуги

ВС в

градусах.

Если точка Л проецируется

на

окружность сетки Вульфа (рис.

2.246), то

точку

поворотом кальки совмещают

одним

из

полюсов сетки Вульфа,

после чего угол между дугами — меридианами сетки — измеряют

гра-

дусах длиной отрезка

ВС

горизонтального диаметра.

В общем случае, когда точка пересечения двух

дуг

проецируется

внутрь круга проекций

(рис.

2.24в), вращением кальки точку

выводят

на горизонтальный диаметр

через точку

отстоящую

на 90° от

точки

но

горизонтальному диаметру, проводят меридиан

—

дугу большого

круга, отрезок дуги

ВС

которой, измеренный

градусах, укажет

на

вели-

чину угла между исходными дугами.

Задача

Определение сферических координат

ф и р

направления

по

заданным координатным углам X,

ц и v.

Иногда положение вектора (нормали

плоскости)

ОМ

задается

не

сферическими координатами

ф и р, а

своими координатными углами X,

—

углами между вектором

ОМ и

координатными осями

X, 7и Z

соот-

ветственно (например,

X =

74,50°,

р =

36,69°

и v =

57,68°,

рис.

2.25а).

В этом случае

для

построения нормали

грани (вектора

ОМ)

также

можно использовать сетку Вульфа.

Для

этого

на

кальке следует прове-

сти дугу, объединяющую

все

направления, которые образуют

осью

углы

А.

74,50°

(рис. 2.256). Эта

дуга

на

проекции является параллелью,

а геометрические места всех направлений, расположенных

под

углом X

оси X,

представляют собой конус

осью

ОХ.

Далее проводим дугу,

все

точки которой удалены

на

угол

ц =

36,69°

от оси Y.

Совокупность этих

направлений также будет представлять собой конус

углом

между

ко-

ординатной осью

образующими конуса.

Рис.

2.24. К

измерению угла между дугами больших кругов

Кристаллография и кристаллохимия

Рис.

2.25. К определению сферических координат направления ф и р по заданным

координатным углам: а — координатные углы

ц и v, фиксирующие вектор ОМ;

б — схема построения стереографической проекции вектора ОМ

(нормали к грани)

Таким образом, искомое направление ОМ

—

нормаль к грани

—

долж-

но совпадать с одним из двух пересечений конусов. Одно направление

будет расположено в верхней полусфере проекции с v = 57,68°, а вто-

рое — в нижней, с углом v = 180° - 57,68° = 122,32°. Выбор одного из них

зависит от величины угла v = 57,68°.

Далее, получив положение точки М, мы можем определить и ее сфе-

рические координаты ф и р. Для чего продолжим радиус ОМ до пересе-

чения с окружностью и отсчитаем координату ф от нулевого меридиана

до этого радиуса. После этого, совместив поворотом кальки этот радиус

с горизонтальным или вертикальным диаметром, определим полярное

расстояние р от центра проекции О до точки М.

Можно решить и обратную задачу: по заданным сферическим коор-

динатам ф и р определить значения координатных углов

ц и v.

2.4. РАЗЛИЧНЫЕ СПОСОБЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ СИММЕТРИЧЕСКИХ ОПЕРАЦИЙ

Существуют различные способы представления симметрических

операций. С помощью одного из них (модельного) легко визуально пред-

ставить ту или иную операцию симметрии, с помощью другого (коор-

динатного) продемонстрировать взаимодействия симметрических опе-

раций, третий путем преобразования координатной системы позволяет,

не прибегая к кристаллографическим построениям, выразить каждую

Глава

Симметрия нристаллов

симметрическую операцию «ноль-один»-матрицей

и,

рассмотрев произ-

ведения матриц, получить

их

множества

—

группы симметрии.

2.4.1.

Модельный способ представления симметрических операций

Наиболее прост

нагляден модельный способ,

помощью которого

легко продемонстрировать любые симметрические преобразования. Что-

бы показать действие элементов симметрии

рода, переводящих правую

фигуру

(П) в П

(например, действие

оси 4-го

порядка), нужно изобра-

зить асимметричную фигурку

(например, разносторонний треугольник,

тетраэдр

или

запятую,

две

стороны которых выкрашены

разный цвет)

(см.

рис.

2.3; 2.6; 2.7), и

размножить

ее

поворотами

на

90° вокруг исход-

ной оси (см. рис.

2.36).

Этим

же

способом можно проиллюстрировать

действия элемен-

тов симметрии

рода,

которым относятся зеркальные плоскости

симметрии, центр инверсии (центр симметрии), зеркальные

или

инвер-

сионные

оси

симметрии, переводящие П-фигуру

левую фигуру

(Л)

(см.

рис. 2.3в,

г).

Модельным способом можно продемонстрировать

действие центра инверсии

(см. рис. 2.6),

результат которого можно

по-

лучить, разложив операцию инверсии

точке

на

две составляющие, каж-

дая

из

которых будет мнимой: отражение

горизонтальной плоскости

симметрии (первая операция)

последующим поворотом

на

180° вокруг

вертикальной

оси

, перпендикулярной этой плоскости (вторая опера-

ция) —

L . И

хотя операции симметрии, связывающие исходную

и получившуюся

результате этих операций фигуры, существуют,

ре-

альных элементов симметрии —

Р и L

задающих

эти

операции, нет,

так

как ими нельзя заменить центр инверсии

С.

Такой сложный элемент симметрии, включающий поворот вокруг

оси

п-то

порядка

последующим отражением

перпендикулярной

этой

оси

плоскости симметрии, носит название зеркально-поворотной

оси симметрии. Если

же

поворот вокруг

оси

сопровождается «отраже-

нием»

центре инверсии,

то

такая

ось

называется инверсионной осью

симметрии.

Таким

же

образом можно продемонстрировать

действие зеркально-

поворотной

оси 4-го

порядка задающей поворот вокруг реально

не

существующей поворотной

оси 4-го

порядка

(Z, ) и

отражение также

мнимой горизонтальной плоскости симметрии, перпендикулярной этой

оси

(см. рис. 2.7).

Поскольку элементы симметрии, задающие каждое

из совместных движений — поворот

отражение, — мнимые

(!), то ими

нельзя заменить зеркально-поворотную ось 4-го порядка. Это объясняет

Точка или кружок слишком симметричны

не позволяют отличить П от

(левой) фигуры.

Кристаллография

кристаллохимия

и коммутативность этих операций,

т. е.

последовательность,

которой

они проводятся, безразлична: сначала поворот,

потом отражение

или

наоборот.

Работая

моделями кристалла, можно

не

только выявить

те или

иные элементы симметрии,

но и

подметить некоторую закономерность

их расположении друг относительно друга. Модельный способ позволя-

ет решить лишь конкретную задачу — определить наличие

положение

элементов симметрии,

но не

дает возможности выявить законы взаимо-

действия симметрических операций

обобщенном виде.

Для

выяснения

вопросов закономерностей

расположении элементов симметрии

(или

сочетания элементов симметрии,

следовательно,

симметрических

операций) полезно обратиться

иным способам представления симмет-

рических операций, например

методу координат.

2.4.2.

Координатный метод представления симметрических операций

Любое симметрическое преобразование

—

поворот, отражение

или

поворот, сопровождающийся отражением

плоскости

или

центре инвер-

сии,

—

удобно представить

помощью координат исходной

преобразо-

ванной симметрической операцией точки. Такой способ носит название

метода координат.

Проиллюстрируем

это на

конкретных примерах. Зададим прямо-

угольную систему координат, совместим

координатной осью Zповорот-

ную

ось 2-го

порядка

2(!)

)

представим методом координат операцию

поворота вокруг заданной

оси

(рис. 2.26а).

результате поворота

на 180°

вокруг

оси L

2 z)

любая исходная точка

координатами

xyz

будет переве-

дена

положение

xyz

Координаты результирующей точки изменятся

по следующему закону: неизменной останется координата

(z),

соответ-

ствующая направлению

оси

вращения,

две

другие

(х и у)

изменят знаки

на противоположные. Подмеченная закономерность будет выполняться

для любой точки трехмерного пространства

данной системе координат.

При изменении ориентации

оси

вращения

эта

закономерность сохранит-

ся:

так, ось

2(x)

совпадающая

координатной осью

переведет точку

координатами

xyz в

положение

xyz , ось £

переведет точку

xyz в

точку

с координатами

xyz .

Отражение

плоскости симметрии

Р ,

проходящей через начало

ко-

ординат

перпендикулярной

оси Y,

преобразует координаты исходной

точки

xyz в xyz (рис. 2.266). При

этой операции симметрии изменяется

лишь знак одной координаты, соответствующей координатной

оси,

пер-

пендикулярной данной плоскости:

для Р. — xyz

—>

xyz. По

указанному

' Отрицательное значение координаты показывает знак минус

(-) над

коор-

динатой (например,

-х

х).

Глава 2. Симметрия кристаллов

ххх

а б в

Рис.

2.26. Изменение координат точки под действием симметрических операций:

а — поворота вокруг оси 2-го порядка, совмещенной с координатной осью

Z(L

2(?)

);

—

отражения в зеркальной плоскости симметрии, перпендикулярной оси Y

(Р

{!/)

)',

в - отражений сначала в плоскости Р

(х)

, а затем в Р

закону будут изменяться координаты точек, отраженных в плоскостях

симметрии разных позиций: Р — xyz

—>

xyz и т. д.

Анализ изменения координат точек позволяет решать и обратные за-

дачи

—

устанавливать связующие их операции симметрии. Так, нетрудно

увидеть, что точки с координатами xyz и xyz связаны отражением в пло-

скости, перпендикулярной оси Z

—

Р , и т. д.

Методом координат можно решать и конкретные задачи взаимодей-

ствия симметрических операций. Так, последовательно проведенные

операции отражения в плоскостях Р и Р переведут исходную точ-

ку с координатами xyz сначала в позицию xyz, а затем — в положение

xyz (рис. 2.26в). Координаты исходной и полученной после преобразова-

ния точек однозначно указывают на результирующую операцию симмет-

рии — поворот вокруг оси Z

Операции поворота вокруг оси L

с последующим отражением в пло-

скости симметрии Р , перпендикулярной этой оси, переведут точку xyz

в положение xyz , а затем в положение xyz. Анализ координат исходной

и получившейся точек позволяет сделать вывод о том, что они связаны

операцией инверсии (г): xyz

—»

xyz.

Таким образом, с помощью метода координат можно увидеть, что

взаимодействие оси 2-го порядка с перпендикулярной к ней плоскостью

симметрии приводит к появлению центра инверсии. Поэтому часто встре-

чающаяся в учебниках запись L

- Р

= С (или L

•

С = Р ) по меньшей мере

неверна, ибо противоречит полученному результату: поворот на 90° с по-

следующим отражением в перпендикулярной плоскости симметрии со-

ответствует операциям зеркально-поворотной оси £

(xyz

—>

yxz —» yxz ).

Правильной нужно считать запись • Р = С, Ь

• Р

= С, поскольку