Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия

Подождите немного. Документ загружается.

Кристаллография и кристаллохимия

Рис.

2.12. Многогранник в виде кирпича (а) и кристалл серы (б) имеют одинаковую

симметрию —

3PC,

но разное расположение граней относительно элементов

симметрии

Глава

Симметрия кристаллов

состоит

в том, что

угловые величины — основная морфологическая

ха-

рактеристика кристалла

—

выступают

неискаженном виде.

Для получения сферической проекции кристалла вокруг

его

цен-

тра тяжести

(О)

описывают сферу произвольного радиуса

—

сферу

проекций

(рис.

2.13).

этом случае любое направление, идущее

из

центра сферы, — например, вектор

OA —

пересечет

ее в

точке

(А), на-

зываемой полюсом направления

или

сферической проекцией вектора

(рис.

2.13а). Полученная сферическая проекция позволяет зафикси-

ровать направление — точку

на

сфере —

помощью двух сферических

координат

ф и

р,

как это

делается

географии

помощью координат:

долготы

широты.

Для

этого, приняв определенную точку сферы

за

полюс

(TV),

следует проградуировать

шар

системой параллелей

и ме-

ридианов (подобно градусной сетке

на

глобусе), посчитав один

из ме-

ридианов нулевым.

Долгота

—

координата

—

соответствует углу, измеряемому

по

часо-

вой стрелке

градусах величиной экваториальной дуги между нулевым

меридианом

(ф = 0) и

меридианом, проходящим через сферическую про-

екцию вектора

—

точку

А (рис.

2.13а,

б).

Широта — координата

р,

называемая полярным расстоянием, отсчи-

тывается

от

«северного полюса» сферы проекций

Nno

меридиану, прохо-

дящему через точку

А, в

направлении

«южному полюсу»

Очевидно,

что координата

изменяется

пределах

0° < ф <

360°,

координата

—

в пределах

0° < р < 180°. При

этом

на

«северном полюсе»

р = 0°, на

эква-

торе

р = 90°, на

«южном полюсе»

р = 180° (рис.

2.13а,

б).

Сферической проекцией плоскости, проходящей через центр сферы

проекций

О,

будет окружность (дуга большого круга

—

АСВС), образо-

ванная пересечением сферы

данной плоскости

(рис.

2.13б). Центр

ин-

версии

при

таком проецировании совпадет

центром сферы

—

точкой

О.

Работа

со

сферической (объемной) проекцией

на

практике неудобна.

Поэтому прибегают

методу проецирования кристалла

(его

элементов

симметрии

граней)

на

экваториальную плоскость

—

плоскость черте-

жа.

кристаллографии наиболее распространен стереографический

ме-

тод проецирования.

2.3.2.

Стереографические проекции

Для построения стереографической проекции направления (напри-

мер,

вектора

OA, рис.

2.13а) точку зрения располагают

на

одном

из по-

люсов сферы проекций:

на

«южном полюсе»

если сферическая проек-

ция направления находится

северном полушарии,

т. е. его 0° < р < 90°,

на

«северном полюсе»

если направление (например, вектор

ОВ)

проецируется

южном полушарии,

т. е. 90° < р < 180°.

Выбранный

по-

люс (например, точку

соединяют лучом

SA со

сферической проекцией

Кристаллография

кристаллохимия

направления

—

точкой

А.

Тогда точка пересечения луча

SA с

экватори-

альной плоскостью (плоскостью проекций)

—

точка

а —

будет стерео-

графической проекцией данного направления (вектора).

Для точного получения

на

стереограмме положения вектора

OA ко-

ординату

отсчитывают

по

экватору — окружности круга проекций

по

часовой стрелке

от

нулевого меридиана

(ф =

0°),

координату

— по ра-

диусу

от

центра круга проекций — полюса

N (р = 0°).

Нетрудно убедить-

ся

в том, что

вертикальный вектор

SON

попадет

при

стереографическом

проецировании

центр круга проекций, горизонтальные векторы будут

лежать

плоскости чертежа,

т. е.

являться диаметрами круга,

наклон-

ные (например, вектор

OA)

— окажутся внутри него.

Готовая стереограмма направлений

OA и ОВ

показана

на рис. 2.136,

где стереографическая проекция вектора

(точка

а),

выходящего

верхней полусфере, отмечена кружком

(о), а

вектора

ОВ

нижней полу-

сферы

—

крестиком

(х).

Поскольку векторы

—

это

кристаллографические

оси

симметрии раз-

ных порядков,

то их

выходы

на

проекции обозначаются соответствующи-

ми многоугольниками:

—

сферическим двуугольником (фюзо)

— ф,

£з-АЛ-иЛ-#.*<-£<-И-

Горизонтальные

оси

обозначаются прямыми линиями

соответствую-

щими

их

порядку значками

на

окружности. Наклонные

же оси

симметрии

регистрируются только своим верхним выходом

(в

северной полусфере)

(рис.

2.14а).

Для построения стереографической проекции плоскости

все

точ-

ки

ее

сферической проекции (окружности АСВС) соединяют лучами

зрения

полюсами

S (для

дуги

АСВ) (рис.

2.13в)

и N (для

дуги АС В)

соответственно. Результатом пересечения этих лучей

экваториаль-

ной плоскостью (плоскостью проекций) будут

две

симметричные

дуги больших кругов,

т. е.

дуги, опирающиеся

на

диаметр

(рис.

2.13в).

На стереограмме оставляется лишь одна дуга большого круга, соот-

ветствующая полуокружности верхней полусферы. Таким образом,

стереографической проекцией плоскости, проходящей через центр

сферы проекций

(О),

будет дуга большого круга. Стереографическая

проекция горизонтальной плоскости совпадет

окружностью основ-

ного круга проекций.

По

мере увеличения угла наклона плоскости

крутизна

дуг

будет уменьшаться,

и в

пределе

случае

вертикаль-

ной плоскостью

(ANBS)

получим диаметр круга проекций

(рис. 2.13г

2.146).

Для того чтобы проекции зеркальных плоскостей симметрии графи-

чески отличались

на

стереограмме

от

проекций осей, плоскости обозна-

чаются двойными

(или

жирными) линиями.

Кристаллография

кристаллохимия

Точка симметрии

на

проекции фиксируется большой буквой

С во-

круг центра круга проекций

(рис. 2.146).

Рис.

2.14.

Стереографические проекции:

а —

поворотных осей симметрии

—

вертикальной горизонтальной

наклонной

-—

зеркальных плоскостей

симметрии

—

горизонтальной

Р,

вертикальной

Р",

наклонной

Р"

и центра инверсии

Как видим, стереографические проекции используются

для

проеци-

рования элементов симметрии исследуемого кристалла.

Для

проецирова-

ния граней кристалла используются гномостереографические проекции.

2.3.3.

Гномостереографические проекции

Проецировать грани кристалла,

т. е.

плоскости,

виде

дуг

больших

кругов неудобно,

так как

стереограмма окажется

этом случае перегру-

женной, особенно

для

многогранных кристаллов,

недостаточно инфор-

мативной

за

счет перекрывания

дуг

верхних

нижних граней

элементов

симметрии кристалла. Поэтому грани кристалла

при его

проецировании

обычно заменяют нормалями, опущенными

на них из

центра тяжести

кристалла. Проекции граней

этом случае носят название гномостерео-

графических проекций

(от

греч.

yucopcov

{гномон) — перпендикуляр),

ко-

торые накладываются

на

стереографические проекции элементов сим-

метрии кристаллов.

Такое проецирование граней, основанное

на

законе постоянства углов,

позволяет зафиксировать

не

только положение каждой грани

(ее

норма-

ли) сферическими координатами

ф и р, но и

расположение граней кри-

сталла относительно

его

элементов симметрии. Действительно,

при ро-

сте кристалла грани передвигаются параллельно самим себе.

При

этом

меняется размер растущей грани. Постоянным

при

росте остается лишь

направление

ее

роста,

т. е.

направление нормали

грани. Нормаль

гра-

ни

фиксирует

ее при

построении гномостереографической проекции.

В итоге гномостереографической проекцией каждой грани окажется

точка. Однако

для

того чтобы отличить грани верхней полусферы

от

граней

нижней полусферы, верхние грани,

для

которых

р < 90°,

принято изобра-

жать кружками

(о),

нижние

же, с р >

90°,

—

соответственно крестиками

(х).

Глава 2. Симметрия кристаллов

При этом горизонтальные грани (нормали к ним вертикальны!) проеци-

руются в центр круга проекций (р = 0° и 180°), вертикальные грани (нор-

мали к ним горизонтальны!)

—

на окружность, проекции наклонных гра-

ней располагаются внутри круга. Нетрудно понять, что чем грань ближе

к вертикальной (р

—>

90°), тем точка (проекция грани) оказывается бли-

же к окружности; и наоборот, чем грань более полога (р

—>

0°), тем ее про-

екция окажется ближе к центру круга.

Следует также отметить, что вертикальные грани (они ни верхние,

ни нижние!) обозначаются только кружками. Кроме того, если проекции

верхней и нижней граней оказываются в одной точке, то каждая из них

обозначается соответствующим значком: верхняя

—

кружком, нижняя

—

крестиком.

Таким образом, проецирование кристаллов проводится в два этапа:

сначала строится стереографическая проекция его элементов симметрии,

а затем на нее наносятся гномостереографические проекции граней.

Из рис. 2.15, на котором приведена в качестве примера стерео грамма

кристалла с симметрией L^AP = L

2F2F', видно, что:

• гномостереографическая проекция горизонтальной грани (1),

нормаль к которой совпадает с осью Ь

, попадает в центр круга

проекций (р = 180°); но, поскольку сферическая проекция этой

грани располагается в нижней полусфере (нижняя грань), на сте-

реограмме она обозначается крестиком;

• гномостереографические проекции четырех вертикальных граней

(2) — нормали к ним горизонтальны — попадают на окружность

и обозначаются кружками;

Рис.

2.15. Построение пюмостереографических проекций граней кристалла с симмет-

рией L^2P'2P": а — общий вид кристалла; б

—

стереографическая проекция элементов

симметрии кристалла с нанесенными на нее гномостереографическими проекциями

граней: 1 — горизонтальная нижняя грань, 2 — вертикальные грани, 3 — наклонные

грани верхней полусферы (кружки), 4 — наклонные нижние грани (крестики)

- 98.

Кристаллография

кристаллохимия

• четверки наклонных граней

(3 и 4)

проецируются внутри круга

проекций,

но,

поскольку наклон граней

—

верхней

(3) и

нижней

(4) — по

отношению

к оси L

одинаков

(р

= 180° — р.,), их

про-

екции оказываются

одной точке; каждая грань

при

этом обозна-

чается своим значком: кружком

—

грань верхней полусферы

(3) и

крестиком — грань нижней полусферы

(4).

Разные цифры около

значков показывают

на то, что

грани, обозначенные цифрой

3, не

связаны симметрическими операциями

гранями, обозначенны-

ми цифрами

4, т. е.

четверки граней относятся

разным простым

формам

(см. гл. 4).

2.3.4.

Таутозональные грани. Понятие

зон

(поясов)

При проецировании граней кристаллов следует использовать следу-

ющую особенность

их

расположения: нормали

граням, пересекающим-

ся

по

параллельным ребрам, располагаются

одной плоскости, перпен-

дикулярной этим ребрам. Такие грани называются таутозоналъными

(от

греч.

tautos

— тот же

самый),

а их

совокупность называется зоной

или

поясом. Особенность проецирования таутозональных граней состоит

том,

что их

гномостереографические проекции располагаются также

на

одной дуге большого круга (если плоскость,

которой лежат нормали,

наклонна),

на

одном диаметре круга (если ребра,

по

которым

они

пере-

секаются, горизонтальны)

или на

окружности

(в

случае, если

все

тауто-

зональные грани вертикальны).

Рассмотрим

качестве примера кристалл

виде шестигранной приз-

мы

(рис.

2.16):

•

а —

если

все

грани призмы вертикальны,

то

нормали

к ним

будут

лежать

плоскости чертежа,

а их

проекции окажутся

на

окруж-

ности,

т. е.

будут принадлежать одной зоне;

•

—

если

все

ребра,

по

которым пересекаются таутозональные гра-

ни,

расположить горизонтально (например, параллельно коорди-

натной

оси У), то

гномостереографические проекции всех шести

граней призмы окажутся расположенными

на

диаметре круга,

со-

впадающего

координатной осью

•

— если призму наклонить относительно вертикального направ-

ления,

то все

грани призмы проецируются

на две

симметричные

дуги большого круга,

т. е.

окажутся

на

одной зоне.

Во всех рассмотренных случаях (рис.

2.16)

направление, параллельное

ребрам, проходит через центр тяжести кристалла

совпадает

осью

Каждое такое направление оказывается полюсом

соответствующей

зоне (дуге большого круга),

на

которой располагаются гномостереогра-

фические проекции таутозональных граней,

называется осью зоны.

Глава

Симметрия кристаллов

Рис.

2.16.

Проецирование таутозональных граней, связанных между собой осью

6-го порядка

) и

расположенных

на

горизонтальной

(а),

вертикальной

(б)

и наклонной

(в)

зонах.

При

этом

каждом случае осью зоны является

поворотная

ось

симметрии

(

В качестве примера опишем симметрию кристалла серы

(рис.

2.17а)

и, используя метод зон, нанесем

на

стереографическую проекцию

ее

эле-

ментов симметрии гномостереографические проекции граней (рис.

2.176).

Симметрия кристалла серы описывается точечной группой

3PC

"'FF'F"C.

Далее описание кристалла состоит

из

следующих

этапов:

• вначале строим стереографическую проекцию элементов симмет-

рии (рис.

2.176);

• затем, прежде

чем

проецировать грани кристалла, выявляем зоны,

на которых располагаются таутозональные грани. Таких

зон

будет

три: одна

из зон (I) (и

соответствующая

ей

симметричная зона)

(рис.

2.17а)

—

вертикальная

—

проходит через грани

1, 2, 3, 1",

2",

3',

пересекающиеся

по

параллельным ребрам; вторая зона

(II)

—

тоже вертикальная

—

проходит через грани

3,4,4', 3';

третья

зона

(III) (и

соответствующая

ей

симметричная зона) — наклон-

ная — проходит через грани

1, 4, Г;

з*

Кристаллография и кристаллохимия

а б

Рис.

2.17. Иллюстрация закона зон (поясов) на кристалле ромбической серы (а),

в котором можно выделить несколько семейств таутозональных граней (т. е. граней,

пересекающихся по параллельным ребрам, а следовательно, принадлежащих одной

зоне):

зона I проходит через грани 3 — 2 — 1 — 1" — 2"

—

3', зона II содержит

грани 3 — 4 — 4' — 3', зона III — 1" — 4 — 1. На стереограмме кристалла

зоны выделены жирными линиями

• далее, проведя указанные зоны на стереографической проекции

кристалла (рис.

2.17i5),

легко зафиксировать и положение всех гра-

ней кристалла: грань 1, принадлежащая двум зонам (I и III), ока-

жется на их пересечении, так же как и грань 4

—

на пересечении зон

II и III; грань 3, перпендикулярная вертикальной оси 2-го порядка

(L'"),

спроецируется в центр круга проекций; грань 2, принадле-

жащая зоне I, окажется на этой зоне между гранями 1 и 3; как легко

убедиться, найденные зоны облегчают нанесение таутозональных

граней на стереографическую проекцию кристалла;

• после нанесения всех граней кристалла следует дать характери-

стику полученным простым формам (см. гл. 4).

2.3.5.

Сетка Вульфа

Для точного построения стереографических проекций элементов сим-

метрии кристалла и гномостереографических проекций граней их сфери-

ческие координаты ф и р — результат гониометрических исследований

кристалла (см. параграф 4.4)

—

наносятся на проекцию с помощью специ-

альных трафаретов — сеток, позволяющих графически, без дополнитель-

ных расчетов решать многие задачи геометрической кристаллографии.

Простейшую — полярную — сетку можно получить, спроецировав

стереографическим методом градусную сеть сферы (рис. 2.18а) на

Глава 2. Симметрия кристаллов

экваториальную плоскость, при точке зрения в одном из полюсов (рис.

2.186).

Меридианы изображены прямыми линиями, радиально расходя-

щимися от центра проекции, параллели — концентрическими окруж-

ностями, северный полюс N

—

в центре проекции. Проекция экватора со-

впадает с окружностью, ограничивающей круг проекций. Координата ф

(долгота) отсчитывается от проекции одного из меридианов (например,

АВ),

принятого за нулевой (ф = 0), по часовой стрелке по окружности.

Полярное расстояние р (широта) отсчитывается вдоль проекции мери-

диана от центра сетки (JV) (если точка находится в интервале 0 < р < 90°)

и затем в обратном направлении — от окружности к центру (если 90° <

< р < 180°). Возможности такой сетки, предложенной А. К. Болдыревым,

ограниченны, так как она позволяет построить проекцию направления (на-

пример, оси симметрии или нормали к грани), заданного своими коорди-

натами ф и р, или определить величины координат точки на стереограмме.

Рис.

2.18. К построению градусных сеток: а — на сфере с меридианами и параллелями;

б — сетка Болдырева — проекция параллелей и меридианов на экваториальную

плоскость; в — сетка Вульфа

—

проекция градусной сетки на одну

из меридиональных плоскостей (прямые линии —

проекции экватора и одного из меридианов)