Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия

Подождите немного. Документ загружается.

100

Кристаллография

кристаллохимия

Рис.

2.36. К

выводу теоремы косинусов углов сферического треугольника.

Взаимно полярные треугольники

ЛВС и

А'В'С?

и учтя только

что

выведенные закономерности

(2.6.4) и (2.6.5),

можем

записать

cos(180°

-А) =

cos(180°

- В) •

cos(180°

- С) +

+ sin(180°

- В) •

sin(180°-

С) •

cos(180°

- а).

После приведения тригонометрических функций получаем

-cos А = cos В

•

cos С - sin В

•

sin С

•

cos а,

или

cos А = -cos В

•

cos С + sin В

•

sin С

•

cos а. (2.6.6)

Следовательно, косинус угла сферического треугольника равен произве-

дению косинусов двух других его углов, взятому

обратным знаком, сложен-

ному

произведением синусов

тех

же углов

на

косинус стороны между ними.

Отсюда соответственно

cos

А +

cos

•

cos

а =

cos

sinBsinC

cos

+ cos

cos

sin/1

sinC

cos

С +

cos

•

cos

sin A-sinB

(2.6.7)

Таким образом,

по

трем известным углам

А, В и С

сферического тре-

угольника

ABC

могут быть вычислены

все три его

стороны

a, b и с.

Глава

Симметрия кристаллов

101

Подставив

полученные формулы

(2.6.7)

значения элементарных

углов поворота пересекающихся поворотных осей симметрии, получим

их (углов) кристаллографическую запись:

В у

cos— + cos—

•

cos—

2 2

cosa = -,

.B.j

sin—

sin

—

Bay

cos— + cos—

•

cos—

= 2 2 2

( (2 68)

a . у

sin—-sin

—

а В

cos

—

+ cos

—

•

cos

—

2 2

cosc=

^—-——,

a . В

sin —

•

sin —

где

a, b,c

—

стороны сферического треугольника

—

служат мерами углов

между пересекающимися осями симметрии.

Теорема синусов

Для решения наиболее реальной кристаллографической задачи, когда

известны порядки двух пересекающихся

под

определенным углом осей

симметрии

требуется определить положение

порядок третьей,

ре-

зультирующей,

оси,

необходимо знание

еще

одной теоремы сферической

тригонометрии

—

теоремы синусов

для

сферического треугольника.

Синусы сторон сферического треугольника

ABC

пропорциональны

си-

нусам

его

углов:

sina

_ sin6 _ sine

sin

sinB sinC

Для доказательства этой теоремы соединим вершины сферического

треугольника

ABC

(рис.

2.37) с

центром сферы

О, в

результате чего воз-

никнет трехгранный угол О

ABC. Из

вершины

опустим перпендикуляр

на

противоположную грань

ОАВ

трехгранного угла.

Из

полученной

точки

опустим перпендикуляры

DNu DM на

радиусы

OA и ОВ и со-

единим прямыми точку

С с

точками

Ми N.

Из элементарной геометрии следует,

что

CNLOA

(так как

DN±OA)

и CMLOB

(так как

DMA.OB). Таким образом, угол

CND — это

линейный

угол двугранного угла СОАВ, соответствующий углу

рассматриваемого

сферического треугольника. Точно

так же

угол

CMD —

сферический

угол

В.

102

Кристаллография

кристаллохимия

Рис.

2.37. К

доказательству теоремы синусов углов сферического треугольника

Из рассмотрения прямоугольных треугольников

NDC и MDC

выра-

зим общий катет

CD:

•

sin В

•

sin A.

(2.6.9)

Отрезки

CM и CN

можно выразить, рассмотрев прямоугольные тре-

угольники

ОМС и ONC.

Углы

МОС и NOC при

общей вершине

этих

треугольников соответствуют сторонам

анв

сферического треугольника

ABC.

На

основании этого можно записать

СМ=

OCsin

a, CN= ОС

•

sin Ъ.

Подставив

эти

выражения

равенство

(2.6.9),

получим

ОС

•

sin а

•

sin В

ОС

•

sin

Ъ •

sin А.

Отсюда

sin а

•

sin В = sin А

•

sin в, т. е.

sin а

sin

Л sin5

Аналогично можно получить равенство

sina

sine

sin

sinC

Следовательно,

sina

sinb

_ sine

sin^ sinB sinC

(2.6.10)

что

требовалось доказать.

Глава

Симметрия кристаллов

103

Пример. Пусть даны

два

угла сферического треугольника

сторона

между ними:

А, В и

с. Необходимо найти третий угол

С и две

стороны

айв.

Угол

находим

по

формуле косинусов

(2.6.6):

cos

-cos А

•

cos В

sin А

•

sin В

•

cos с

и далее

а и в

—

по

формуле синусов

(2.6.10):

sin

а _ sine sin 6 _ sine

sinA

sinC'

sin5

sinC

Откуда

sin с sin Л

. , sin

sin В

sina= , sino = .

sinC sinC

Используя теорему Эйлера

приведенные выше формулы сфериче-

ской тригонометрии, определяющие зависимость между элементарными

углами поворотов осей (а, (3,

у) и

углами

(а,

Ь,

с)

между пересекающими-

ся осями, можно найти сочетания всех осей кристаллографических

по-

рядков.

2.6.3. Частные случаи теоремы Эйлера

Для решения большинства кристаллографических задач достаточно

ограничиться рассмотрением частных случаев осевой теоремы Эйлера,

т.

е.

взаимодействий осей

2-го

порядка

—

поворотных

(£

) и (или) ин-

версионных

(£

= Р). В

результате получим

три

варианта

их

сочетаний:

•

L", £ '

•

£ L

•

—

три

теоремы взаимодействия осей симметрии,

для доказательства которых инверсионную

ось 2-го

порядка удобно

за-

менить

на

перпендикулярную

к ней

зеркальную плоскость симметрии

(Р

этом случае

нет

смысла обращаться

теоремам сферической

тригонометрии — удобнее использовать модельное доказательство,

по-

скольку

все

построения осуществляются

на

плоскости стереографиче-

ской проекции,

а не на

сфере.

Теорема

Последовательные операции поворота вокруг двух пересекающихся

под углом А поворотных осей

2-го

порядка эквивалентны операции пово-

рота вокруг результирующей, также поворотной,

оси

симметрии, прохо-

дящей через точку пересечения исходных осей

расположенной перпенди-

кулярно плоскости,

которой лежат взаимодействующие

оси; при

этом

элементарный угол поворота

результирующей

оси

оказывается вдвое

большим,

чем

угол

между исходными осями:

104

Кристаллография и кристаллохимия

*L"

(а=

2А),

(рис. 2.38а).

Модельное доказательство. Для определения порядка (п) порожден-

ной оси (LJ и ее расположения относительно исходных осей 2-го порядка,

пересекающихся под углом

А,

воспользуемся стереограммой (рис. 2.38а).

Так как обе исходные оси

—

элементы симметрии I рода, то асимметрич-

ная фигурка 1 дважды преобразуется в конгруэнтную ей. Поэтому ре-

зультирующей операцией может быть лишь операция I рода

—

простой

поворот. Действительно, исходная фигурка 1 (назовем ее «левой» — л)

поворотом вокруг горизонтальной оси 2-го порядка ( L'

) займет положе-

ние 2 (оставшись при этом «левой»), но будет обращена к наблюдателю

своей обратной стороной. Последующий поворот фигурки 2 вокруг дру-

гой оси (I*) переведет ее в положение 3, оставив по-прежнему «левой»

(к наблюдателю снова будет обращена лицевая сторона фигурки). Как

видим из рисунка, для того чтобы из «левой» фигурки 1 получить также

«левую» 3, необходимо совершить поворот на угол а = 2Х вокруг оси L

расположенной перпендикулярно плоскости, в которой лежат исходные

оси 2-го порядка и проходящей через точку пересечения исходных осей.

Таким образом, убеждаемся в том, что две последовательные операции

поворота (операции I рода) могут быть заменены операцией также I ро-

да — поворотом вокруг результирующей поворотной оси симметрии на

угол а, вдвое больший, чем угол X между исходными осями. При этом

операция поворота совершается в направлении от оси первого поворота

ко второй, из чего вытекает, что произведение поворотов в общем случае

некоммутативно.

Рис.

2.38. К доказательству теорем взаимодействия элементов симметрии: двух

поворотных осей 2-го порядка (а), двух плоскостей симметрии (б),

оси 2-го порядка и плоскости симметрии (в), пересекающихся под углом X.

Белый и черный цвета фигур показывают их лицевую и изнаночную стороны

Глава

Симметрия кристаллов

105

Следствием

из

этой теоремы будет

то, что

любой поворот

на

угол

вокруг

оси L

может быть заменен двумя поворотами вокруг двух пере-

секающихся между собой осей

2-го

порядка, расположенных одна

дру-

гой

под

углом

а/2 = X в

плоскости, перпендикулярной исходной

оси L

Справедливы

другие перестановки,

т. е. из

трех взаимосвязанных опе-

раций

за

порождающие можно принять любые две. Например, если пер-

пендикулярно

оси Ь

элементарным углом поворота

располагается

ось

2-го порядка,

то в

качестве результирующей операции возникнет поворот

вокруг другой

оси 2-го

порядка, расположенной

по

отношению

первой

под углом

а/2 =

т. е. L

* L

2±

= L" (под

углом

а/2 к L

Теорема

Последовательные операции отражения

двух плоскостях симмет-

рии

(или

взаимодействие двух инверсионных осей

2-го

порядка), пересе-

кающихся

под

углом

эквивалентны операции поворота, направленного

от плоскости первого отражения

ко

второй, вокруг результирующей

оси

симметрии, совпадающей

линией пересечения исходных плоскостей;

при

этом элементарный угол поворота

этой

оси

вдвое превышает угол

между исходными плоскостями:

P^£

lL\

*£"

) = 1„(а

=2Я)

(рис.

2.386).

Модельное доказательство. Поскольку исходная «левая» фигурка

отразившись

зеркальной плоскости

(операция

рода), превратит-

ся

энантиоморфную

ей

«правую» фигурку

которая последующим

отражением

плоскости

Р"

(операция также

рода) будет превра-

щена снова

«левую»

конгруэнтную исходной,

то

результирующей

операцией может быть только операция

рода,

т. е.

поворот.

Из рис.

2.386

видно,

что

«левая» фигурка

может быть совмещена

конгру-

энтной

ей

также «левой» фигуркой простым поворотом

на

угол

а = 2Х

вокруг

оси L

совпадающей

линией пересечения исходных плоско-

стей.

итоге убеждаемся

в том, что две

последовательно проведенные

операции симметрии

рода —

два

отражения

зеркальных плоско-

стях симметрии — можно заменить операцией

рода — простым пово-

ротом вокруг результирующей

оси L

на

угол

а,

вдвое превышающий

угол

Л.

между исходными плоскостями симметрии;

при

этом вращение

будет направлено

от

плоскости первого отражения

плоскости вто-

рого.

Следствие

из

этой теоремы: любой поворот вокруг

оси L

на

угол

может быть представлен (заменен) двумя последовательными отраже-

ниями

двух зеркальных плоскостях симметрии, пересекающихся

под

углом

X = а/2 и

расположенных таким образом,

что

линия пересечения

106

Кристаллография и кристаллохимия

этих плоскостей совпадает с поворотной осью L

. Это следствие можно

использовать при доказательстве теоремы Эйлера (см. параграф

2.6.1),

позволяющей проанализировать порядок и возможное расположение

осей симметрии, пересекающихся в одной точке.

Для доказательства нанесем на поверхность сферы (рис. 2.39) вы-

ходы (А и В) двух пересекающихся в ее центре (О) поворотных осей с

элементарными углами поворотов а и (3 соответственно. Заменим пово-

роты вокруг каждой из осей отражениями в двух пересекающихся пло-

скостях симметрии: поворот вокруг оси А — отражениями в плоскостях

РиР , расположенных одна относительно другой под углом а/2; поворот

вокруг оси В — отражениями в плоскостях Р и Р

с углом между ними,

равным (3/2.

Записав произведение поворотов вокруг осей А и В таким образом,

чтобы два последовательных отражения в плоскости Р стояли рядом

(и,

следовательно, давали операцию идентичности), в качестве произ-

ведения поворотов в двух пересекающихся плоскостях Р, и Р

получим

поворот вокруг оси, выходящей в точке С, где ОС

—

линия пересечения

этих плоскостей:

Элементарный угол поворота (у) оси С будет равен удвоенному углу

между плоскостями Р

и Р

. Таким образом, зная угол между исходными

осями (Л и В) и их порядки, можно рассчитать положение и порядок ре-

зультирующей оси С.

А*В

P,*[P*P]*P

Рис.

2.39. К доказательству осевой теоремы Эйлера

Глава

Симметрия кристаллов

107

Теорема

Последовательные операции поворота вокруг

оси 2-го

порядка

)

и отражения

зеркальной плоскости симметрии

Р (=L

пересекающих-

ся

под

углом

А,

эквивалентны действию зеркально-поворотной

оси $.

элементарным углом поворота, вдвое большим,

чем

угол между исходны-

ми элементами симметрии

(а = 2А), или

действию соответствующей

ей

инверсионной

оси L

элементарным углом поворота

180° - а:

*P(=L

)

„(а = 21) =L „(а =

180°-2Я) (рис. 2.38в).

А '

Модельное доказательство. «Левая» фигурка

после поворота

во-

круг

оси 2-го

порядка займет положение

2 (к

наблюдателю обращена

ее изнаночная сторона), оставаясь

при

этом «левой». Последующим

отражением

зеркальной плоскости симметрии

«левая» фигурка

превратится

зеркально равную

ей

«правую»

Исходная «левая»

фигурка

1 и

получившаяся «правая»

могут быть совмещены друг

другом действием лишь сложной

оси

симметрии: либо зеркально-пово-

ротной осью

элементарным углом поворота

а = 2\,

либо проходящей

через точку пересечения

оси L

плоскости

инверсионной осью

эле-

ментарным углом поворота

а' = 180° - а, но уже в

противоположную

сторону

Из третьей теоремы следует,

что при

пересечении

оси 2-го

порядка

и перпендикулярной

к ней

плоскости симметрии

(X = 90°) в

качестве

результирующей операции симметрии возникает зеркально-поворотная

ось

2-го

порядка, действие которой аналогично действию центра инвер-

сии С,

т. е.

Следует

еще раз (см.

параграф

2.4.2)

предостеречь

от

весьма распро-

страненной ошибки считать центр инверсии результатом взаимодействия

оси четного порядка

перпендикулярной

к ней

плоскости симметрии.

Воспользовавшись универсальным методом доказательства

—

размно-

жением асимметричной фигурки

(рис. 2.40),

увидим,

что

поворот

на 90°

с последующим отражением

перпендикулярной этой

оси

плоскости

симметрии аналогичен действию зеркально-поворотной

оси 4-го

поряд-

ка

(±

) — L

* Р

= &

, а не

центру инверсии.

запись

* P

= С (или

) по

меньшей мере неграмотна, ведь тогда пришлось

бы

счи-

тать,

что Р * С = Ь

Правильной будет запись

L]*P

=C,

или

L\,*P

поскольку

(напомним,

что

показатель степени отражает число

проведенных операций —

данном случае число поворотов вокруг соот-

ветствующей

оси).

108

Кристаллография и кристаллохимия

Рис.

2.40. Пример взаимодействия оси 4-го порядка с перпендикулярной

к ней плоскостью симметрии

В заключение необходимо отметить, что все рассмотренные выше

взаимодействия симметрических операций (а следовательно, и сочета-

ния элементов симметрии) суть следствие и частные случаи одной фун-

даментальной теоремы Эйлера, знание которой позволяет:

• грамотно отыскивать элементы симметрии в кристаллах;

• правильно вычерчивать стереограммы кристаллов;

• выводить все классы симметрии;

• пользоваться не только учебной символикой Браве, но и другими

символиками, встречающимися в научной литературе, — симво-

ликой Шенфлиса (см. параграф 2.7), международной символикой

Германна-Могена (см. параграф 2.9).

2.6.4.

Использование теоремы Эйлера для решения конкретных

кристаллографических задач

При решении кристаллографических задач теорема Эйлера применя-

ется для вывода классов (групп) симметрии, т. е. возможных сочетаний

элементов симметрии. С этой целью можно прибегнуть к общей теореме

Эйлера и использовать формулы сферической тригонометрии либо вос-

пользоваться частными случаями этой теоремы, проанализировав вели-

чины углов кристаллографических сферических треугольников.

Вывод групп (классов) симметрии

Учитывая условия существования сферических треугольников, сум-

ма углов которых (5) не должна превышать 540° и должна быть больше

180° (180° < S < 540°), и ограничения порядков осей симметрии 2, 3, 4, 6,

задающих углы между сторонами сферического треугольника, равные

половинам элементарных углов поворотов этих осей: 90°, 60°, 45° и 30°

соответственно, можно составить сочетания кристаллографических осей

и определить соответствующие суммы углов сферических треугольни-

ков (табл. 2.1).

Глава

Симметрия кристаллов

109

Таблица

2.1

Значения сумм углов сферических треугольников

при сочетании осей различных кристаллографических порядков

Сочетания осей Сумма углов

90°

+ 90° + 90° =

270°

60°

+ 90° + 90° =

240°

45°

+ 90° + 90° =

225°

(

30°

90°

210°

L3 ^2

60°+ 60°+

90° = 210°

L,L

45°

60°

90°

= 195°

Сумма углов

при

всех остальных сочетаниях осей будет равна

180°

или меньше

180°, что

противоречит условию существования сфериче-

ских треугольников.

Зная углы сферических треугольников можно,

по

формуле

(2.6.1) ко-

синусов

(см.

параграф

2.6.2)

вычислить

их

стороны,

т. е.

значения углов

между пересекающимися осями симметрии.

Первые четыре варианта сочетания осей симметрии образуют сфе-

рические треугольники

по

крайней мере

двумя прямыми углами

А и В,

в которые выходят

оси 2-го

порядка

(рис. 2.41).

Поскольку вершина

служит полюсом дуги

АВ

— стороны сферического треугольника

ABC,

то угол

равен стороне треугольника

(С = с).

Отсюда, зная угол между

двумя пересекающимися осями

2-го

порядка (угол С), легко установить

и порядок третьей — результирующей —

оси,

выходящей

вершине

треугольника

элементарным углом поворота

у = 2С.

Решение указан-

ных сферических треугольников

по

иным

их

элементам

не

вызывает

за-

труднений,

так как

третья

ось

кристаллографического порядка может

Рис.

2.41.

Сферический треугольник

двумя прямыми углами