Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия

Подождите немного. Документ загружается.

170

Кристаллография

кристаллохимия

двумя способами, найдем

две

такие зоны:

(101)-(112) и (001)—(212), на

пересечении которых находится искомая грань.

Для

определения пози-

ций граней

(112) и (212)

символ каждой

из них

также расщепим

на две

пары: (111)-(001),(101)-(0И)

и (111)-(101), (211)-(001)

соответствен-

но.

наконец,

для

получения грани

(211) ее

символ можно расщепить

на

(100)-(111) и (101)-(110). Как

видим, операцию расщепления про-

водим

до тех пор,

пока

не

получаем грани

символами, составленными

из

1 и 0.

на

стереографическую проекцию ромбического кристалла

с известной прямоугольной координатной системой

четко фиксиро-

ванными координатными гранями

(100), (010) и (001) (рис. 3.18)

нано-

сим

помощью сетки Вульфа единичную грань

(111),

методом развития

зон получаем положение искомой грани

(213) и

находим

ее

координаты

(см.

параграф

2.3.6).

Рис.

3.18.

Схема получения возможных граней кристалла

методом развития

зон

(поясов)

Глава

Символы граней

ребер кристаллов

171

(001) (011) (010) (001)

Рис.

3.19.

Позиции основных граней

кристаллах

прямоугольной

(а)

и косоугольной

(б)

системами координат

Итак,

для

решения задач методом развития

зон

необходимо знать

по-

зиции единичной

координатных граней, положение которых различно

в кристаллах

прямоугольной

косоугольной координатными система-

ми

(рис. 3.19). А

поскольку зональные отношения

не

зависят

от

коорди-

натной системы, метод развития

зон

универсален:

с его

помощью можно

не только определять символы граней, расположенных

определенных

позициях,

но и

решать обратную задачу

—

определять позиции граней

по

заданным символам,

для

чего удобно пользоваться готовой стереограм-

мой

(см.

рис.

3.18).

Глава 4

ПРОСТЫЕ ФОРМЫ КРИСТАЛЛОВ

4.1. ОБЩИЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Огранка кристалла является важной характеристикой кристаллическо-

го вещества, отличающей кристаллы одного минерала от кристалов друго-

го.

Именно при изучении внешней формы кристаллов кристаллография и

родилась как наука. Внешняя форма кристаллов до сих пор остается важ-

нейшим диагностическим признаком. Главным методом, с помощью кото-

рого изучается расположение граней, является гониометрия

—

метод, осно-

ванный на измерении углов между гранями кристалла (см. параграф 4.4).

В природе кристаллы одного и того же вещества могут иметь самую

разную форму, при этом одни грани встречаются часто, другие — реже.

Присутствие одних и тех же граней в разных кристаллах одного и того

же вещества послужило основанием для установления первого основно-

го закона кристаллографии

—

закона постоянства углов между соответ-

ственными

гранями (рис. 4.1).

Огранка каждого кристалла строго подчиняется его симметрии, т. е.

одной из 32 точечных групп. При равномерном развитии кристалличе-

ского многогранника кристалл получает идеальную форму. Но поскольку

в природе идеальных условий роста не существует, то форма реального

Рис.

4.1. Кристаллы кварца с различным развитием соответственных граней

Соответственные грани — это те грани кристаллов одного и того же ве-

щества, которые при одинаковой ориентировке кристаллов оказываются парал-

лельными.

Глава

Простые формы кристаллов

173

кристалла искажается. Однако

тот

факт,

что при

росте кристаллов

все

грани кристалла

(и его

ребра) перемещаются параллельно самим себе,

позволяет фиксировать грани

их

нормалями,

помощью которых любой

кристалл, независимо

от

индивидуальных особенностей, получает еди-

ное описание.

использование стереографических проекций позволяет

определять углы между гранями

выявлять симметрические закономер-

ности расположения граней (см. параграф

2.3.6).

Совокупность граней, взаимосвязанных всеми симметрическими опе-

рациями точечной группы (класса) симметрии, называют простой фор-

мой кристалла. Грани, принадлежащие одной простой (идеальной) фор-

ме,

равны

не

только геометрически

(по

своей форме),

но

также

по

своим

физическим

химическим свойствам.

Легко видеть,

что

число граней одной простой формы

и ее

облик

определяются положением исходной грани относительно элементов

симметрии класса.

Термин габитус

(от лат.

habitus)

используется

при

более детальной

характеристике внешней формы кристаллов, отражая степень развития

тех

или

иных простых форм (например, призматический, бипирамидаль-

ный, кубический

и т. д.).

Кроме того, различают частное

общее положения граней: грань част-

ного положения фиксирована какими-либо элементами симметрии

—

либо

перпендикулярна единичному особому направлению, либо параллельна

ему, либо равнонаклонна

эквивалентным особым направлениям;

все

остальные положения граней — общие,

т. е. не

зафиксированные относи-

тельно особых направлений

кристалле. Отсюда простые формы, образо-

ванные гранями первого типа, называют частными, второго

—

общими.

С точки зрения симметрии понятие «простая форма» тесно связано

с понятием «правильная система точек» кристаллографической про-

странственной группы

(см.

параграф

6.2.5). И

число граней каждой

простой формы соответствует кратности правильной системы точек

(см.

там

же), которую грани занимают. Грань общего положения под-

вергается действию всех операций симметрии данной группы. Поэтому

число граней общей формы

данной группе максимально

равно числу

операций симметрии, составляющих

эту

группу,

т. е.

равно

ее

порядку.

Число граней частной простой формы может быть либо равно, либо

строгом смысле слова термин облик используется

при

описании внеш-

него вида кристаллов, которые могут быть

как

изометричными,

т. е.

иметь оди-

наковые размеры

во

всех направлениях (например, кристаллы алмаза, пирита,

граната

и т.

п.),

так и

неизометричными. Столбчатый, игольчатый, нитевидный

облик подразумевает вытянутость кристалла

одном направлении (например,

кристаллы турмалина, берилла

др.), таблитчатый, листоватый

—

уплощенный

облик (например, кристаллы биотита, гематита

др.).

174

Кристаллография и кристаллохимия

меньше числа граней общей формы, так как элементы симметрии, пер-

пендикулярные к грани, ее не размножают.

Например, грань, перпендикулярная оси 2-го порядка, даст вдвое

меньшее число граней; грань, перпендикулярная оси 3-го порядка, —

втрое меньшее количество и т. д. Грань, перпендикулярная нескольким

элементам симметрии, порождает простую форму, число граней которой

уменьшается в соответствии с размножающей способностью совокупно-

сти тех элементов симметрии, которые фиксируют грань. Группа таких

элементов симметрии называется стабилизатором.

Так, на рис. 4.2 грань А ромбического кристалла (с симметрией тт2)

перпендикулярна одной плоскости симметрии, грань Б — двум плоско-

стям, т. е. их положение описывается группами 2-го (собственная сим-

метрия грани — т) и 4-го (симметрия грани — тт2) порядков соответ-

ственно. Поэтому число граней частной простой формы А будет в два,

а формы Б

—

в четыре раза меньше числа граней общей простой формы В.

В характеристику каждой простой формы кроме положения грани

относительно элементов симметрии (т. е. определения, частная это про-

стая форма или общая) входит понятие открытая или закрытая. Если

совокупность граней одной простой формы полностью замыкает заклю-

ченное между ними пространство (например, куб), то она считается за-

крытой, если не замыкает — то открытой. Открытые формы характерны

для кристаллов сингонии низшей категории и возможны в кристаллах

всех сингонии, кроме кубической.

Простые формы кристаллов отражают особенности не только отдель-

ных классов симметрии, но и целых семейств родственных классов. Так,

появление на кристалле только открытых простых форм предопределя-

ет классы с единичным полярным^ направлением; возникновение лишь

закрытых форм говорит о классах без единичных направлений, а суще-

ствование в кристаллах открытых и закрытых форм характеризует клас-

сы с биполярными

особыми направлениями.

В любом выпуклом многограннике число вершин (в), граней (г) и ре-

бер (р) подчиняется формуле Эйлера

г =р + 2.

' Полярным называется направление, «концы» которого кристаллографиче-

ски неэквивалентны, т. е. не могут быть совмещены друг с другом симметриче-

скими операциями данного класса (например, направление оси 3 в классе Зт).

«Концы» биполярного направления эквивалентны (например, направле-

ние оси 4 в классе 4/т).

Теорема, сформулированная Эйлером, была открыта французским ученым

Р.

Декартом еще в 1640 г. Затем забыта и переоткрыта Эйлером более чем через

100 лет-в 1752 г.

Глава 4. Простые формы кристаллов

175

Рис.

4.2. К расчету числа граней частной простой формы

В огранке кристалла могут участвовать грани либо одной простой

формы, либо нескольких, образуя в этом случае комбинационные много-

гранники. Несмотря на бесконечное разнообразие типов комбинацион-

ных огранений, число простых форм кристаллов конечно и равно 47, по-

скольку конечно как число кристаллографических групп симметрии (32),

так и число различных положений граней в каждой из этих групп. Оче-

видно, что в одном классе (группе) может быть несколько принципиаль-

но разных частных положений и только одно общее. Именно поэтому об-

щая простая форма служит характеристикой данного класса симметрии,

в частности передает ему свое название.

В названиях кристаллографических форм часто отражены число

граней и их форма

. Однако надо иметь в виду, что в комбинационных

кристаллах очертание грани может быть сильно искажено, что в значи-

тельной степени затрудняет идентификацию простой формы, к которой

относятся эти грани.

В основу названий многих простых форм положены греческие слова, обо-

значающие число граней, или термины, описывающие геометрические объекты:

novo(моно)

—

один;

(ди)

—

дважды;

Tpi

(три)

—

три, трижды;

тетра (тетра)

—

четыре, четырежды;

ЛЕУТСС (пента)

—

пять, пятью;

е£а (гекса)

—

шесть, шестью;

окта (окта)

—

восемь, восемью;

бека (дека)

—

десять;

бсобека (додека)

—

двенадцать;

ебра(эдра)

—

грань;

ywvia (гониа)

—

угол;

mvai,

(пинакс)

—

дощечка;

KXIVCO

(клино)

—

наклоняю;

5r|0cA.nvo^

(скаленос)

—

разносторонний треугольник;

трапеза (трапеца)

—

неправильный четырехугольник.

176

Кристаллография и кристаллохимия

4.2. ВЫВОД ПРОСТЫХ ФОРМ КРИСТАЛЛОВ В КЛАССАХ НИЗШЕЙ

И СРЕДНЕЙ КАТЕГОРИЙ

Простые формы можно получить размножением исходной грани, за-

даваемой в разные положения относительно элементов симметрии того

или иного класса.

В классах, содержащих единственное особое направление — С

, C

, представленное осью симметрии того или иного порядка (например,

в классе С

рис. 4.3а), грань может занимать три принципиально различ-

ных положения: перпендикулярно этому направлению (грань 1), парал-

лельно (грань 2) или наклонно (грань 3), порождая при этом три типа

простых форм. Грани первых двух позиций оказываются зафиксирован-

ными относительно особого направления и поэтому создают частные

простые формы, наклонные незафиксированные грани (грани общего

положения)

—

общие простые формы.

В классах С

пр

, D

niP

содержащих помимо главного еще и по-

бочные особые направления, перпендикулярные главному, появляются

дополнительные относительно побочных элементов симметрии пози-

ции. Причем если побочные направления — оси 2-го порядка (L

) или

нормали к зеркальным плоскостям (£

= Р) — в классе, описывающем

симметрию одного кристалла, будут эквивалентны (например, в классе

рис.

4.36),

то частные положения могут занимать не только

грани, перпендикулярные или параллельные каким-либо элементам

симметрии (грани 1, 2, 3, 4), но и грани (5 и 6), равнонаклонные к этим

эквивалентным направлениям. Если побочные особые направления

Рис.

4.3. Принципиально разные положения граней в классах: а — с единственным

особым направлением — класс £ (грань 3 — общего положения); б — с эквивалентными

побочными направлениями — класс

3L'

(грань 6 — частного, грань 7 — общего

положения); о

—

с неэквивалентными побочными направлениями — класс L

2L'

2L"

(грани 6 и 7 — общего положения). Штриховой линией показаны биссектрисы

углов между горизонтальными осями L

Глава 4. Простые формы кристаллов

177

неэквивалентны (например, в классе D

", рис. 4.3в), то равно-

наклонное к ним положение грани ничем не отличается от общего (на-

пример, грань 6 от 7).

4.2.1.

Простые формы кристаллов в классах С = Ln

1. Грань 1, перпендикулярная единственной расположенной верти-

кально поворотной оси L

(на рис. 4.4 — оси LA, не размножается этой

осью,

т. е. остается в единственном числе. Такая одногранная форма не-

зависимо от порядка оси называется моноэдром (устар. педион).

2. Грань 2 (рис. 4.4), параллельная оси L

, размножаясь этой осью,

создает простую форму, грани которой пересекаются по параллельным

ребрам, — п-гоналъную призму с правильным n-угольником в перпен-

дикулярном к этой оси сечении. Кристаллографические п-гональные

призмы в зависимости от порядка главной оси могут быть гексагональ-

ными, тетрагональными, тригональными. В случае с вертикальной осью

2-го порядка (класс С

) получаем две параллельные грани — «вырож-

денную» двугранную дигональную призму, называемую пинакоидом

(рис.

4.5а).

3. Грань 3, расположенная под косым углом к оси L

, размножаясь ею,

образует форму, все грани которой пересекаются в одной лежащей на

этой оси точке, — п-гоналъную пирамиду. Так же как и /г-гональные при-

змы, и-гональные пирамиды различаются своими сечениями, перпенди-

кулярными главной оси L\ гексагональная пирамида, тетрагональная,

тригональная. Если главная ось 2-го порядка, то дигональная пирамида

вырождается в форму из двух наклонных пересекающихся граней, на-

поминающую косую «крышу» и называемую осевым диэдром (устар.

сфеноид) (рис.

4.56).

Очевидно, что в семействе классов С

= L

моноэдры и и-гональные

призмы — частные, а и-гональные пирамиды — общие простые формы.

И поскольку в любом классе симметрии частные простые формы могут

иметь несколько названий, а общая форма — только одна, то каждый

класс симметрии по предложению Е. С. Федорова определяется названи-

ем присущей ему общей простой формы. Отсюда классы С

называются

п-гонально-пирамидальными (например, класс С

— тригоналъно-пира-

мидальный, класс С

— диэдрический осевой, или сфеноидальный). Класс

же C

где грань любого положения остается в единственном числе, т. е.

образует общую простую форму

—

мопоэдр, называется моноэдрическим.

4.2.2.

Простые формы кристаллов в классах Ст = LnnP

В классах LjiP часть простых форм повторяет формы, выведенные

в классах L\ грань, перпендикулярная единственной поворотной оси,

принадлежит моноэдру; грани, проецирующиеся на плоскости симметрии

178

Кристаллография и кристаллохимия

Рис.

4.4. Примеры простых форм в кристалле с единственной осью 4-го порядка (класс Ь

—

аксонометрия; б ~ гномостереографическая проекция граней простых форм:

моноэдра (7), тетрагональной призмы (2), тетрагональной пирамиды (3)

Рис.

4.5. Двугранные простые формы: а — пинакоид (класс /_

); б

—

осевой диэдр

(сфеноид) (класс 1

); в

—

плоскостной диэдр (дома) (класс Р)

Глава 4. Простые формы кристаллов

179

или равнонаклонные к эквивалентным плоскостям симметрии, образу-

ют п-гональные призмы, если они параллельны главной оси, и п-гоналъ-

ные пирамиды, если наклонны к ней (рис. 4.6а, б). Все перечисленные

простые формы в классах С

, являются частными, так как образованы

гранями, зафиксированными относительно элементов симметрии.

Однако помимо призм и пирамид с n-гональными сечениями в ука-

занных классах есть простые формы, образованные гранями, располо-

женными под разными (произвольными) углами к эквивалентным

плоскостям симметрии. В главных сечениях таких форм при равных

сторонах углы равны через один (рис. 4.бе) — это так называемые диа-

гональные сечения. Отсюда и названия образованных такими гранями

простых форм — ди-п-гоналъные призмы (частные простые формы) и ди-

п-гоналъные пирамиды (общие простые формы).

В классе С

2г

грани, расположенные параллельно одной из плоско-

стей и перпендикулярно другой, образуют пинакоид (вырожденную

двухгранную призму) (рис. 4.7а), грани же, расположенные наклонно

к плоскостям симметрии, образуют в перпендикулярном оси L., сече-

нии ромб (рис.

4.76).

Отсюда частная простая форма, образованная

гранями, параллельными оси Z, , называется ромбической призмой

и общая, образованная наклонными гранями, — ромбической пира-

мидой.

В классе С = Р грани размножаются лишь отражением в единствен-

ной плоскости симметрии, и новой будет лишь общая простая форма,

образованная двумя наклонными к плоскости гранями — «прямая кры-

ша»,

—

диэдр плоскостной (устар. дома) (рис. 4.5в). Однако собственная

симметрия такого диэдра, т. е. симметрия отдельно взятой простой фор-

мы (формы в «чистом виде»), описываемая точечной группой

= С

не отличается от собственной симметрии диэдра осевого (сфеноида).

Поэтому эти две формы чаще не различают, придавая им «нейтральное»

название

—

диэдр, тем более что в классе C

частной простой формой яв-

ляется диэдр, грани которого связаны как осью 2-го порядка, так и пло-

скостью симметрии.

Классы C

по их общим простым формам называют ди-п-гоналъио-

пирамидалъными, класс C

— ромбо-пирамидалъным, класс С — диэдри-

ческим плоскостным.

4.2.3.

Простые формы кристаллов в классах

Неизменными в классах C

и D

останутся лишь призматические

формы

—

п-гональные и ди-п-гоналъные призмы. Остальные простые фор-

мы получаются отражением выведенных ранее в классах С

и С простых

форм в горизонтальной плоскости симметрии Р , перпендикулярной