Егоров-Тисменко Ю.К. Кристаллография и кристаллохимия
Подождите немного. Документ загружается.
150
Кристаллография и кристаллохимия
нужна не сама единичная грань как таковая, а относительные масштабы
по трем кристаллографическим осям, зафиксированные этой гранью.
Критерием правильности выбора единичной грани являются индексы
в виде небольших целых чисел в символах остальных граней.
Таким образом, на основании закона Гаюи можно не только выявить
закономерности в расположении любых граней кристалла, но и по ре-
альным граням получить все возможные в данном кристалле грани, вы-
брав предварительно координатные оси и пересекающую их единичную
грань.
3.1.1.
Единичные грани в кристаллах разных сингоний
При выборе единичной грани следует учитывать степень эквивалент-
ности тех особых направлений в кристалле, вдоль которых выбраны ко-
ординатные оси.
В кристаллах кубической сингоний все три координатные оси экви-
валентны между собой, так как связаны равнонаклонными к ним ося-
ми 3-го порядка и отсюда равномасштабны. Это значит, что единичная
грань (111) должна отсекать равные отрезки по всем трем координатным
осям. На стереограмме (рис. 3.4а) проекция такой грани занимает строго
определенную позицию, проецируясь на выход оси 3-го порядка (грань
перпендикулярна этой оси).
Поскольку а
е
= Ь
е
= с,, формула определения символа грани кубиче-
,,, а, h с. 111
ского кристалла упрощается: hkl
=
— :-=-: — = —:-:-, так как параметры
а о с а о с
единичной грани не входят в значения символов остальных граней. Та-
ким образом, для определения символа грани кристалла кубической
сингоний нет надобности в выборе единичной грани
—
достаточно взять
отношения обратных параметров искомой грани, измеренных любыми
(одинаковыми!) масштабными единицами.
В кристаллах средней категории равномасштабными будут лишь
горизонтальные координатные оси X и F, связанные поворотом вокруг
главной оси симметрии 3-го, 4-го или 6-го порядков. Поэтому запись (111)
подразумевает равенство лишь двух первых параметров а
с
= Ь
е
Ф
с
е
. Из
этого следует, что для определения символов вертикальных граней типа
(МО),
т. е. граней, пересекающих лишь равномасштабные горизонтальные
оси, единичная грань не нужна. Ибо ее параметры (а
е
= Ь
е
), так же как
и в случае с кубическими кристаллами, не входят в символ, т. е.
/,:*:<)
^.
Ь
±
а
А:0
1
:
{:0 /,:„:(,.
a b a b
Для граней типа (hkl) и (АО/) или
(Okl),
т. е. граней, пересекающих
разномасштабные оси, необходимы относительные масштабы, которые
Глава
3.
Символы граней
и
ребер кристаллов
151
а
б в г д
Рис.
3.4.
Положения единичных граней относительно координатных осей
X,
YiiZ
на стереограммах кристаллов разных сингонии
можно получить
на
основе параметров единичной грани
(111),
равнона-
клонной
к
равномасштабным координатным осям,
т. е.
расположенной
на биссектрисе угла между ними (рис.
3.46).
В кристаллах гексагональной сингонии удобно вводить третье коор-
динатное горизонтальное направление
U,
эквивалентное осям
X, Y. Ра-
венство
X
=
Y
=
U
возникает
за
счет поворота
на
120° вокруг
оси
высшего
порядка
(7_
3
или L
G
— 60° х 2).
Поэтому
в
символе гексагонального кри-
сталла появляется дополнительный четвертый индекс
i,
соответствую-
щий новой
оси
U, из-за чего символ становится четырехчленным
—
(hkil),
причем,
как
очевидно
из
рис.
3.5, h + k = -i.
Y
Рис.
3.5. К
доказательству
h + k = -г
Действительно, посчитав линию
АВ
следом пересечения грани, име-
ющей символ
(hkil), с
плоскостью
осейХ, Y,U\i
проведя линию
BL
парал-
лельно
ON,
убедимся,
что
AABL
~
AFNO. Откуда
p
+
q_q p + q _ q 11 1
p n pq nq' q p n
или
152
Кристаллография
и
нристаллохимия
1
+
1 1
р ч
п
тогда
h + k = -г.
Введение дополнительной горизонтальной
оси в
кристаллах гекса-
гональной сингоний U позволяет выбрать
в
качестве исходной
не
толь-
ко единичную грань
на
биссектрисе угла
в 120°,
отсекающую равные
отрезки
на
осях
X и Y и
имеющую символ
(1121 ), но и
другие грани
на биссектрисах углов
в 60°
—
с
символами
(10ll)
или
(OlTl),
отсека-
ющие также равные отрезки
на
осях
Xи -U
либо
7и
-[/соответствен-
но (рис. 3.4в).
При определении символов граней кристаллов гексагональной син-
гоний рекомендуется сначала
не
обращать внимание
на
«лишнюю»
ось
U, тем
более
что она
мешает
при
аналитических расчетах
(см.
пара-
граф
3.4.1).
Однако, чтобы
не
путать четырехосную установку Браве
с
трехосной Миллера,
в
окончательный ответ следует вставлять недоста-
ющий индекс
по
этой
оси или
точку:
(hkl) = (
hk{h
+
k)l) или (hk
•
I).
В кристаллах низшей категории координатные
оси не
эквивалентны,
поэтому параметры
по
всем трем осям могут быть различны
(а
е
*Ь
Е
Ф
с),
и
в
качестве единичной здесь можно принять любую грань, пересекаю-
щую
все три
координатные
оси
(рис.
3.4г, д), т. е.
единичной может слу-
жить любая грань общего положения.
Таким образом, символ
(111) в
общем случае
еще не
означает
ра-
венства параметров единичной грани: единицы
в
символе указывают
лишь
на то, что
параметры именно данной грани выбраны
в
качестве
относительных единиц
для
измерения параметров всех остальных гра-
ней
(и
ребер) исследуемого кристалла. Очевидно,
что
относительные
единицы измерения
по
координатным осям нужны лишь
для
индици-
рования
тех
граней кристалла, которые пересекают разномасштабные
координатные
оси.
Поэтому
в
кристаллах любой сингоний
не
нужда-
ются
в
относительном масштабе грани, пересекающие лишь одну
ко-
ординатную
ось и
параллельные двум другим. Такие грани называются
координатными
(или
базисными)
и
независимо
от
величин параметров
получают символы
(100), (010), (001).
Само собой разумеется,
что ко-
ординатные грани,
не
нуждаясь
в
относительном масштабе,
не
способ-
ны
и
задавать
его.
3.1.2.
Определение символов граней
при
отсутствии
в кристалле единичной грани
Как можно было убедиться выше, определение символов граней воз-
можно
и в
случае отсутствия
в
кристаллах единичной грани
(111).
Например,
для
определения символов граней
в
кристаллах кубиче-
ской сингоний единичная грань
не
нужна вследствие равномасштабности
Глава
3.
Символы граней
и
ребер кристаллов
153
всех координатных осей: достаточно взять отношения обратных пара-
метров искомой грани, измеренных любым масштабным отрезком,
—
(hkl)
=
-:-:- •
а
о с
Для определения символов граней
в
кристаллах средней категории
не-
обходимы
два
масштаба: один —
для
горизонтальных
и
второй —
для
вер-
тикальной осей,
т. к. а =
Ъ
Ф
с . И
если
в
кристалле отсутствует единичная
грань,
то ее
может заменить грань, параллельная одной
из
горизонтальных
осей
и
пересекающая
две
другие (разномасштабные)
оси:
вертикальную
и
одну
из
горизонтальных
—
X, Z
или
Y, Z
соответственно. Такие грани назы-
ваются двуединичными, поскольку любая
из них
дает
две
необходимые еди-
ницы масштаба для определения символов остальных граней. Одной
из
этих
граней, пересекающей оси X и
Z,
присваивается символ
(101), так как
она за-
дает масштабы
а
е
(= Ь) и с
е
.
Второй, пересекающей
оси
Г и
Z,
присваивается
символ
(011), ибо она
также задает масштабы
для
горизонтальных осей
Ъ
е
(= а) и для
вертикальной
оси
—
с. С
помощью двуединичной грани можно
определить символы остальных граней кристалла средней категории.
Если
в
кристалле средней категории отсутствуют
и
единичная,
и дву-
единичные грани,
то и в
этом случае можно определить символы всех
граней кристалла, воспользовавшись любой гранью общего положения,
которая пересекает вертикальную
и обе
горизонтальные
оси и не
лежит
на биссектрисе угла
у. В
этом случае
в
качестве масштаба может быть
принят лишь параметр
по оси
Z,
ибо это
направление является независи-
мым
(а = Ь
е
Ф
с).
Тогда простейшим символом такой грани будет
(hkl),
где
с = с,.
Индексы
h и k
получим, взяв отношения обратных параметров
искомой грани, поскольку параметры единичной грани, вследствие
их
равенства
(а
е
= Ъ
г
),
здесь
не
понадобятся.
Так, грань
ABC на рис. 3.6
отсекает
по оси Y
отрезок
в
полтора раза
больше,
чем по оси X.
Отсюда отношение
h : k = 1,5 : 1, т. е.
символ этой
грани будет
(321). В
этом случае индекс
1=1
следует вписывать
в
символ
лишь после того,
как
отношение
h : k
будет сведено
к
отношению целых
взаимно простых чисел. Иначе символ искомой грани окажется неоправ-
данно усложненным,
в
нашем примере
мы
получили
бы:
h:k: 1 = 1,5: 1 : 1=3:2:2-^ (322).
Зная символ некоторой (исходной) грани
(hkl) и ее
параметры,
не-
трудно вычислить
для
данного кристалла
и
относительные единицы
из-
мерения (масштабы)
по
всем координатным осям:
h : k : / = — ,
а
о с
следовательно,
1
В
качестве масштаба можно взять параметр
по
одной
из
координатных осей
и
им
измерить отрезки, отсекаемые гранью
на
остальных осях.
154
Кристаллография
и
кристаллохимия
a
e
:b
r
:c
e
=
(h-a):
(k-b):
(1-е).
о
/ г. л
а
? К
С
Л
=С
)
1 А а, А 1
В нашем случае:
п
:
k
:
1 =
= —: —:
—
,
откуда /г:
1 = — :\,а = п
•
а;
b
а Ь
с(=с,,)
а
k
:
1 = -J-, b
e
= k
•
b. На
рис.
3.6
видно,
что a
e
= 3
•
a, b
e
=
2- 1,5a при c
e
= c.
В кристаллах низшей категории координатные
оси
неэквивалентны
друг другу, поэтому параметры
по
всем трем осям различны
(а
е
*Ь
е
*
с).
В случае отсутствия единичной грани исходными могут стать лишь гра-
ни,
пересекающие
по две
координатные
оси, т. е.
грани типа
(hkO), (hOl),
(Okl).
Отношения параметров каждой
из них
можно закрепить
как
отно-
шения единичных отрезков
по
двум соответствующим осям.
Для
получе-
ния полного масштаба
—
а
е
: Ь
е
: с,
(т.
е.
отношений параметров возможной
единичной грани)
две
любые грани такого типа принимают
за
двуединич-
ные,
приписав
им
соответствующие символы:
(110) и (011), (ПО) и (101)
или
(101) и (011). На
основе параметров таких
пар
двуедииичных граней
можно рассчитать
и
параметры отсутствующей
в
кристалле единичной
грани. Однако
так
поступать имеет смысл лишь
для
кристаллов низв:ей
категории,
для
которых
а
е
Ф
Ь
е
Ф
с
е
.
Обратимся
к
рис.
3.7.
Примем
в
качестве исходных две двуединичные
грани (110)и(011)и посчитаем,
что
отношение отрезков, которые отсе-
кает первая грань
на
осях
X и Y, а
вторая —
на
осях
Y и Z,
такое
же, как
отношение соответствующих параметров возможной единичной грани.
При этом каждая
из
этих граней задает отношения параметров только
по двум координатным осям
как 1 : 1, т. е. ОА^ : OB
i
= а
х
: b
]
= а \ Ь
е
и
ОВ
2
:
ОС
2
= b
2
: с
0
= Ь
е
: с .
Уравняв отрезки, отсекаемые этими гранями
по
Z
X
Рис.
3.6. К
определению
а
е
(= b
r
) : с, в
кристаллах средней категории,
не
имеющих
единичной грани:
ABC
— исходная грань
(hkl);
А В С
г
— выведенная единичная грань
Глава 3. Символы граней и ребер кристаллов
155
Z
Рис.
3.7. Вывод возможной единичной грани по двум двуединичным (110) и (011)
в кристаллах низшей категории. Прямые А
]
В
1
и В
2
С
2
—
линии пересечения двуединич-
ных граней с плоскостями координатных осей XYm FZ соответственно
оси Y, и сведя таким образом эти два отношения в одно (а
е
: Ъ
е
: с,), полу-
чим отношения трех параметров возможной единичной грани
(111),
т. е.
относительные масштабы по трем координатным осям.
Эту операцию удобно проследить на рис. 3.7. Действительно, парал-
лельный перенос грани (110) из позиции-4,5, в позицию
А.
2
В.
2
не изменит
ее символа (т. е. отношение а
е
: Ь
е
останется 1 : 1) и уравняет отрезки по
оси, которую пересекают обе грани, — оси У. Таким переносом как бы
воссоздается единичная грань А
2
В
2
С
2
(111) с параметрами по всем трем
координатным осям а
е
= ОА,
2
, Ь
е
= ОВ
2
, с
е
= ОС
2
.
Параллельный перенос другой грани (011) из позиции ВС в позицию
5
1
С
1
воссоздает ту же единичную грань, так как АА В С подобен АА
2
В
2
С
2
,
т. е.ОА,: ОВ.: ОС, = OA,: OB.,: ОС, = а
:
b
:
с = 1:1: 1. Естественно, что
1 1 1 2 1 2 е с е '
для определения символов параметрических граней рассчитывать пара-
метры единичной грани нет необходимости.
В итоге можно сделать вывод: в относительных масштабах нужда-
ются только те грани, которые пересекают разномасштабные (неэкви-
валентные) координатные оси.
Определяя символы граней, принадлежащих одной простой форме кри-
сталла (см. гл. 4), т. е. граней, связанных симметрическими операциями дан-
ного класса симметрии, следует иметь в виду, что эти грани расположены по
отношению к координатным осям под одними и теми же углами и, следова-
тельно, отсекают на этих осях одинаковые отрезки. Отсюда и символы этих
граней будут составлены из одних и тех же индексов. Отличие символов бу-
дет заключаться лишь в перестановке и знаках составляющих их индексов.
156
Кристаллография
и
кристаллохимия
В качестве примера рассмотрим стереографическую проекцию гра-
ней тетрагональной пирамиды, показанных
на рис. 3.8 в
виде линий
их
пересечения
с
плоскостью горизонтальных осей
X
и
Y.
Поскольку наклон
всех четырех граней пирамиды будет одинаков,
то и
соответствующий
индекс
/ в их
символах также будет постоянен (например,
/ = 3).
Индексы
же
h и k
окажутся
на
разных позициях символов
и
получат отрицательные
знаки:
(123), (213 ), (123 ) и (
2ТЗ
). Как
видим, каждый символ, взятый
в
круглые скобки, относится
к
определенной грани данной простой формы.
Если
же
символом одной грани нужно охарактеризовать
все
семейство
симметрично эквивалентных граней, принадлежащих одной простой фор-
ме,
то
символ одной
из
граней (обычно пересекающей координатные
оси
в положительных областях) записывается
в
фигурных скобках: напри-
мер,
символом граней тетрагональной пирамиды будет
{123}'.
В случае
с
кристаллами гексагональной сингоний введение дополни-
тельного индекса
г
по
третьей горизонтальной координатной
оси
U облег-
чает получение символов остальных граней данной простой формы.
На
рис.
3.9
показана стереографическая проекция тригональной пирамиды:
линии пересечения граней
с
плоскостью горизонтальных осей
X, Y и Z
Как видим, символы всех трех граней, связанных осью
3-го
порядка, отли-
чаются знаком
и
перестановкой,
но уже
трех индексов —
h,kui
—
при по-
стоянном индексе
/.
Определив символ первой грани
как (hkil),
символы
X
X
Рис.
3.8.
Изменение символов граней тетрагонального кристалла
при
повороте
вокруг вертикальной
оси 4-го
порядка
1
В
классической кристаллографии
при
описании морфологии кристаллов
помимо миллеровских символов принято приписывать
еще
буквенные обозна-
чения граням каждой простой формы. Например,
т
{ПО}. Обычно пользуются
буквами латинского
и
греческого алфавитов. Однако использование букв неоди-
наково
у
разных авторов. Наиболее близки
к
стандартным обозначения
в
девяти-
томном «Атласе форм кристаллов»
В.
Гольдшмидта.
Глава
3.
Символы граней
и
ребер кристаллов
157
остальных можно получить простой круговой перестановкой первых трех
индексов:
hki О
kih,
ihk
(где
О —
знак круговой перестановки индексов).
В нашем случае получим:
(3251
) О (2531
)> (5321)-
Четвертый индекс
i
в символах граней гексагональных кристаллов оказывается удобен,
по-
скольку после
его
изъятия получим трехиндексовые гексагональные
символы следующего вида:
(32-1),
(25 1), (53 1), по
которым достаточно
сложно определить принадлежность граней
к
одной простой форме.
U
X
(2531)/V'X^
321
)
3
/^<^
г
)
X
U
Рис.
3.9.
Поворот грани
(325l)
вертикальной осью
3-го
порядка (показано
в
плане):
1.
(3251)
-> 2.
(5321)
-> 3.
(2531)
или (321) -> (53 -1) -> (25 1); 1,2,3 -
линии
пересечения граней тригональной пирамиды
с
плоскостью горизонтальных
осей
X, Y, U
3.2. СИМВОЛЫ РЕБЕР КРИСТАЛЛОВ.
ИХ
ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Кроме символов граней
в
кристаллах нередко приходится определять
и символы ребер
(зон) (см.
параграф
2.3.4).
Поскольку любая прямая
однозначно фиксируется
в
пространстве двумя точками,
а в
кристалле
любое направление всегда можно перенести параллельно самому себе
в начало координат,
то
это
начало принимается
за
одну
из
точек; второй
будет любая точка
на
этой прямой (ребре). Далее определяем отношение
координат второй точки, измеренных параметрами
(а
е
, Ь
е
, с
е
) по
соответ-
ствующим осям предварительно выбранной единичной грани.
Это
и бу-
дет символом ребра (направления), который заключается
в
квадратные
скобки:
[rst] =
r:s:t=—-X:-.
а„
Ь
е
с
е
Как
и в
случае
с
гранями, индексы
г, s, t,
если
они
относятся
к
ребру
кристалла, будут целыми обычно небольшими числами. Таким образом,
для обозначения направления (ребра)
в
кристаллах обратные величины,
158
Кристаллография
и
кристаллохимия
как
при
определении индексов граней, здесь
не
берутся,
так как
удоб-
ными оказываются индексы Вейсса: переходить
же к
индексам Миллера
нет надобности,
ибо
индекс, равный бесконечности
(°о)
;
в
данном случае
не возникает.
Из
рис. 3.10
видно,
что
координаты точки
М — х =—а
р
,у = Ab
e
, z = 2с,.
Отсюда:
[
ra
*] = r:s:f =
-^:^:^
= -:4: 2 = 1:6:3 = [163].
я.
с, 3
Очевидно,
что
символы
[rst] и
[
Ш ]
обозначают одно
и то же
ребро.
Символы всех ребер, параллельных одной
из
координатных осей,
и, следовательно, символ самой
оси
(например,
оси X),
будут опреде-
ляться следующим образом:
£l
:
i
=
ll:i
=
,:0:0=[100].
а
р
b
e
с
е
а, Ь
е
с.
Соответственно символами координатных осей
У и Z
будут
[010]
и
[001].
Для обозначения ребер гексагональных кристаллов,
так же как и для
граней, обычно используют четырехзначные символы
[rsa;£].
Однако
переход
от
четырехиндексовых символов ребер
к
трехиндексовым,
ко-
торыми приходится пользоваться
при
расчетах
(см.
параграф
3.3.1),
не
столь прост,
как в
случае
с
символами граней. Простое вычеркивание
Рис.
3.10. К
определению символа ребра
[rst]
Глава
3.
Символы граней
и
ребер кристаллов
159
одного
из
первых трех индексов,
как это по
аналогии
с
гранями часто
делают начинающие (например,
(3251) = (32 1), см. рис. 3.9),
изменит
направление ребра
и
поэтому недопустимо.
Изъять лишний индекс
w
можно лишь
в том
случае, если
он
будет
ра-
вен нулю.
Для
чего величину, обращающую
его в
ноль, следует добавить
ко всем трем первым индексам символа:
[гхдас]
= [r-w s-w w-w t] = [r-w s-w • t] = [r's • t'].
Из
рис. 3.11
видно,
что
добавление одной
и той же
величины
(-w)
к трем координатам точки
по
горизонтальным осям
X, Y и Z
оставляет
точку
на
месте.
Проиллюстрируем сказанное
на
конкретном примере графически
(рис.
3.12).
Пусть
[rswt] = [1453 ],
тогда
[1453 ] = [(1 + 5) (4 + 5) (5 + 5) 3] =
=
[6903] = [69
•
3] = [23
•
1].
Z
б
[rswt] = [r's
[
0t] = [r's't]
Рис.
3.11.
Переход четырехчленного символа ребра
к
трехчленному:
а
—
аксонометрия;
б
— план