Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

++++++

KрТТрТТТpТТ

(p)W

1)()(

111

ТТ

ТТТ

ТТ

ррр

Запишем характеристическое уравнение системы:

111

ТТ

ТТТ

ТТ

ррр

Согласно (4.16) и исходным данным определим значения коэффици-

ентов характеристического уравнения:

= K

о.с

= 19 ⋅ 10 ⋅ 0,1 = 19;

0,00025;

0,10,5

⋅

ТТ

0,008

0,30,50,1

⋅+

ТТТ

c ;

0,04

0,30,5

ТТ

;

c .

Тогда из определителя

сс

и значений коэффициентов имеем

> 0;

∆

= с

> 0;

∆

= с

–с

= 0,008 ⋅ 0,04–0,00025 ⋅ 1 = 0,00007 > 0;

∆

= ∆

= 0,00007 ⋅ 1 = 0,00007 > 0.

Следовательно, система устойчива.

4.4. КРИТЕРИЙ МИХАЙЛОВА

Михайлов, используя известный в теории функций комплексного пе-

ременного принцип аргумента, в 1938 г. сформулировал критерий устой-

чивости систем автоматического регулирования, который по существу яв-

ляется геометрической интерпретацией этого принципа.

Рассмотрим суть принципа аргумента и дадим обоснование рассмат-

риваемого критерия устойчивости.

Пусть дано алгебраическое уравнение с постоянными действительны-

ми коэффициентами:

0λλλ) Д(λ

=++++=

−

аа...аа

. (4.19)

Найдя корни этого уравнения и обозначив их через

,,... λλ,λ

21 n

а также используя известную формулу разложения многочлена на множи-

тели, уравнение (4.19) можно представить в следующем виде:

0)λ)(λλ)...(λλ)(λλ(λ) Д(λ

121

−

−=

− nnn

а . (4.20)

Положим

, тогда

0)λω)(λω)...(λω)(λω() ωД(

121

=−

−

− nnn

jjjjаj . (4.21)

На комплексной плоскости каждому корню

соответствует вполне

определенная точка, которая в полярных координатах является концом век-

тора, проведенного из начала координат к этой точке, как это показано на

рис. 4.5. Длина этого вектора равна модулю

, а угол его поворота относи-

тельно вещественной оси — аргументу

. Независимой переменной jω в

полярных координатах будет соответствовать вектор, совпадающий с мни-

мой осью комплексной плоскости. Тогда вектор с началом в точке

концом в точке j

ω (см. рис. 4.5) будет пред-

ставлять собой разность двух векторов, т. е.

вектор комплексного числа (j

ω–λ). Тогда,

исходя из (4.20), вектор Д(j

ω) является про-

изведением элементарных n векторов, кон-

цы которых все сходятся на мнимой оси в

точке j

ω, как это показано на рис 4.6, и дей-

ствительного числа а

: Модуль вектора

Д(j

ω) равен произведению модулей элемен-

тарных векторов и числа а

0,λωλω

λωλω) ωД(

=−−

−−=

− nn

jj...

...jjаj

(4.22)

а аргумент, или фаза, вектора Д(j

ω) равен сумме аргументов )λω(

j − :

0.)λωаrg()λω( аrg ...

)..

λω( аrg)λωаrg(ω)Д( аrg

=−+−

−+−=

− n

jjj

(4.23)

При изменении частоты в пределах –∞ ≤ ω ≤ +∞ каждый элементар-

ный вектор )λω(

j − , скользящий своим концом по мнимой оси, повер-

нется на пол-оборота, т. е. на угол, равный

π. При этом поворот будет про-

исходить против часовой стрелки (в положительном направлении), если

корень

расположен в левой полуплоскости, и по часовой стрелке (в от-

рицательном направлении), если корень

расположен в правой полуплос-

кости комплексной плоскости, как это показано на рис. 4.7.

Допустим, что исходное уравнение Д(

λ) = 0 имеет m корней, располо-

женных в правой полуплоскости и, следовательно, n–m корней, располо-

женных в левой полуплоскости. Тогда при изменении частоты от –∞ до +∞

изменение аргумента, или угла поворота, вектора Д(j

ω)

(

)

(

)

∆ arg Д( ω ) ππ 2 πjnmmnm

−∞≤ ≤+∞

=− − =− . (4.24)

Исходя из этого, принцип аргумента формулируется следующим об-

разом. Изменение аргумента вектора Д(j

ω) при изменении частоты от –∞

до +∞ равно разности между числом корней уравнения Д(j

ω) = 0, располо-

женных в левой полуплоскости, и числом корней, расположенных в правой

полуплоскости, умноженной на

π.

Рис. 4.5. Графическое

представление разно-

сти векторов

Рис. 4.6. Графическое пред-

ставление векторов сомножи-

телей вида (j

ω–λ

)

Рис. 4.7. Расположение векто-

ров j

ω–λ

и описываемые ими

углы

Как указывалось выше, критерий устойчивости Михайлова является

геометрической интерпретацией принципа аргумента.

Допустим, что система автоматического регулирования имеет сле-

дующую передаточную функцию:

аpа...pаpa

bpb...pbpb

++++

−

)(

)( . (4.25)

Исходя из этой передаточной функции, характеристическое уравнение

системы записывается в следующем виде:

0)(

=++++=

−

аpа...pаpаpQ . (4.26)

Для того чтобы система была устойчива, необходимо, как это следует

из условия устойчивости, чтобы все корни характеристического уравнения

(4.19) лежали в левой полуплоскости комплексной плоскости, т. е. чтобы

m = 0. В этом случае согласно (4.24) изменение аргумента

πω аrg ∆

n)Q(j =

+∞≤≤∞−

. (4.27)

Уравнение характеристической кривой

ω)( jQ = 0 (4.28)

получается из (4.26) путем подстановки p = jω:

0ωω)(ω)(ω)(

=++++=

−

аjа...jаj аjQ

. (4.29)

Геометрическое место точек конца вектора ω)( jQ на комплексной

плоскости при изменении частоты в пределах –∞ ≤ ω ≤ +∞ называется го-

дографом вектора ω)( jQ или годографом Михайлова.

Разделяя ω)( jQ на вещественную и мнимую составляющие:

)(ω)(ω) ω( j

, (4.30)

получили

...ωω ) (ω

−+−=

−− nnn

аааR

; (4.31)

...ωωω) (ω

−+−=

−−− nnn

аааI

(4.32)

Из (4.31) и (4.32) следует, что

)(ωω)(

−

)ω()ω(

−

т. е. R(ω) — четная функция, I(ω) — нечетная функция.

Следовательно,

)(ω)(ω) ω( j

=j при ω > 0; (4.33)

)(ω)(ω) ω( j

−

=− j при ω < 0. (4.34)

Это свидетельствует о том, что характеристическая кривая симмет-

рична относительно вещественной оси. Поэтому при построении характе-

ристической кривой на комплексной плоскости, можно ограничиться диа-

пазоном изменения частоты ω от нуля до плюс бесконечности. В этом слу-

чае угол поворота вектора Q(jω) изменяется в два раза,

а следовательно,

изменение аргумента для устойчивой системы равно:

) ωQ( аrg ∆

nj =

+∞≤≤∞−

. (4.35)

Из (4.35) следует формулировка критерия устойчивости Михайлова.

Система автоматического регулирования устойчива, если при изменении

частоты от 0 до +∞ вектор Q(jω) повернется на угол

n , или, иначе, если

годограф вектора Q(jω) с ростом частоты от 0 до +∞, начинаясь на дейст-

вительной оси, обходит последовательно в положительном направлении

(против часовой стрелки) n квадрантов.

На рис. 4.8, а показаны годографы Q(jω) устойчивых систем для раз-

ных значений n. Все они последовательно проходят через

соответствую-

щее число квадрантов в положительном направлении.

На рис. 4.8, б показаны годографы неустойчивых систем. Все они не

удовлетворяют условию обхода n квадрантов в положительном направле-

нии.

Рис. 4.8. Годографы вектора Q(j

ω) для устойчивых систем (а)

и неустойчивых систем (б)

Если годограф Q(jω) проходит через начало координат, то система на-

ходится на границе устойчивости.

В практических расчетах удобно применять следствие критерия Ми-

хайлова: система автоматического регулирования устойчива, если дейст-

вительная R(ω) и мнимая I(ω) части характеристической кривой Q(jω) об-

ращаются в нуль поочередно (рис. 4.9).

Рис. 4.9. Графики изменения вещественной

и мнимой составляющих

) ω( jQ

Критерий устойчивости Михайлова применим как к разомкнутым, так

и замкнутым системам автоматического регулирования.

Пример

. С помощью критерия Михайлова определить устойчивость

замкнутой системы автоматического регулирования, структурная схема

которой приведена на рис. 4.10, при следующих параметрах: Т

= 0,1 с, Т

= 3 с, Т

= 2 с, K

= 20, K

= 10, K

о.с

= 0,05.

Рис. 4.10. Структурная схема системы автоматического регулирования

Решение.

Передаточная функция разомкнутой системы

pТрТpТ

KKK

(p)W

321

о.с

1)1)(( ++

= .

Передаточная функция замкнутой системы

(p)WK

(p)W

ро.с

(p)Х

(p)X

вх

вых

(p)WK

(p)W

ро.с

)(

321

о.с

ТТТ

где K

= K

о.с

— передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Подставляя исходные данные, получим

10,20,620,06

+++

ррр

(p)W .

Частотная характеристика

10,2ω0,62ω0,06ω

+⋅+−⋅−

(p)W .

Запишем характеристическое уравнение

10,2ω0,62ω0,06ωω)(

++−−= jjjQ = 0.

Вещественная и мнимая части характеристики

0,62ω1) (ω −=R

)0,06ωω(0,2) (ω

−=I

Результаты расчета R(ω) и I(ω):

ω 0 0,5 1 1,27 1,79 2 2,5

R(ω) 1 0,85 0,32 0 –1 –1,49 –2,9

I(ω) 0 0,09 0,14 0,13 0,03 –0,08 –0,44

Согласно результатам расчета на рис. 4.11 построен годограф вектора

)ω( jQ . Из этого рисунка следует, что система устойчива, так как годограф

вектора )ω( jQ поочередно проходит через три квадранта комплексной

плоскости в соответствии с порядком характеристического уравнения.

Рис. 4.11. Годограф вектора

)( ωjQ

Об устойчивости системы можно судить на основании следствия кри-

терия Михайлова. Для этого определим положительные корни уравнений

0,62ω1) (ω −=R = 0,

)ω 0,06ω(0,2) (ω

−=I = 0.

Положительные корни:

1,612ω

= — для первого уравнения,

1,8ω

0ω

— для второго уравнения.

Полученные значения корней свидетельствуют о том, что R(ω) и I(ω)

обращаются в нуль поочередно, а следовательно, система устойчива.

4.5. КРИТЕРИЙ НАЙКВИСТА

Этот критерий, основанный на использовании частотных характери-

стик, предложен Найквистом в 1932 г. для исследования устойчивости уси-

лителей с обратной связью. Позднее Михайлов, в 1938 г., по-новому

обосновал этот критерий и показал возможность его применения для ана-

лиза устойчивости систем автоматического регулирования. В основу кри-

терия Найквиста также положен принцип аргумента.

Этот

критерий, в отличие от рассмотренных критериев Рауса, Михай-

лова, Гурвица, позволяет судить об устойчивости замкнутой системы ав-

томатического регулирования по амплитудно-фазовой частотной характе-

ристике этой системы в разомкнутом

состоянии.

Допустим, что передаточная функция системы в разомкнутом состоянии

(p)Q

(p)P

(p)W

= . (4.36)

Следовательно, передаточная функция замкнутой системы с единич-

ной обратной связью

(p)Q(p)P

(p)P

(p)W

(р)W

рр

1 +

. (4.37)

Соответственно, комплексные частотные характеристики разомкнутой

и замкнутой систем можно записать в следующем виде:

) ω(

) (jωW = ; (4.38)

) ω() ω(

) ω(

= . (4.39)

Образуем новую функцию:

= ) ω(1) ω(

jjWF

) ω(

ω)(ω)(

. (4.40)