Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

∏

⋅

∏

⋅

∏

) (ωθ

) (ω

ω)(

) ω(

) ω( K

. (3.13)

В соответствии с этим выражением получим логарифмические частот-

ные характеристики разомкнутой и замкнутой системы в следующем виде:

∑

=+=

AKL

) (ω lg 20 lg 20) (ω

∑

) (ωlg 20 ; (3.14)

) (ω

arctgω)( arg) θ(ω

∑

) (ω

arctg

∑

−

. (3.15)

Из этих выражений следует, что логарифмические частотные характе-

ристики системы можно получить путем алгебраического суммирования

при соответствующих значениях ω ординат логарифмических амплитуд-

ных и логарифмических фазных частотных характеристик типовых звень-

ев, получаемых в результате разложения полиномов числителя и знамена-

теля передаточных функций.

ГЛАВА 4.

УСТОЙЧИВОСТЬ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Одной из важнейших динамических характеристик любой системы

автоматического управления или регулирования является устойчивость.

Если от других динамических характеристик системы зависит степень по-

лезности и эффективности ее практического применения, то от устойчиво-

сти зависит ее работоспособность. Система, не обладающая устойчиво-

стью, вообще не способна выполнять функции управления и регулирова-

ния, а применение

неустойчивой системы недопустимо ввиду того, что она

может привести управляемый объект в аварийное состояние или вывести

его из строя. Поэтому проблема устойчивости является одной из централь-

ных в теории автоматического управления. В данной главе рассматрива-

ются вопросы устойчивости применительно к линейным системам.

4.1. ПОНЯТИЕ ОБ УСТОЙЧИВОСТИ,

КРИТЕРИИ УСТОЙЧИВОСТИ

Система автоматического управления или регулирования, как дина-

мическая система характеризуется переходным процессом, возникающим

в ней при нарушении ее равновесия каким-либо воздействием: это могут

быть сигналы управления, возмущения, помехи изменения параметров или

структуры и т. п.

Переходный процесс, характеризуемый изменением выходного пара-

метра в функции времени х

вых

(t), зависящий от динамических свойств сис-

темы и вида сигнала воздействия на систему, всегда имеет две составляю-

щие — свободную составляющую х

(t) и вынужденную составляющую

(t). Свободная составляющая — это свободное движение системы, зави-

сящее от начальных условий и динамических свойств самой системы; вы-

нужденная составляющая — вынужденное движение системы, определяе-

мое внешним сигналом воздействия на систему и статическими свойства-

ми системы. Таким образом, можно записать

x(t) = x

(t) + x

(t). (4.1)

Физический смысл понятия устойчивости состоит в том, что система,

выведенная из состояния равновесия вследствие внешнего воздействия,

возвращается к состоянию установившегося равновесия после устранения

этого воздействия.

Процесс выхода системы из состояния равновесия вследствие внеш-

него воздействия и возвращение к установившемуся состоянию целиком

и полностью зависит от характера изменения свободной составляющей.

Поэтому чтобы система была устойчивой, свободная составляющая с

течением времени должна затухать и стремиться к нулю, т. е.

0)(lim →

∞→

. (4.2)

На рис. 4.1 показаны типичные кривые переходных процессов в ус-

тойчивых и неустойчивых системах

Таким образом, об устойчивости системы можно судить по характеру

изменения кривой переходного процесса, а точнее по характеру изменения

его свободной составляющей.

Рис. 4.1. Виды переходных процессов для устойчивой (

а) и неустойчивой (б)

систем:

1 — колебательный; 2 — монотонный

Свободное движение линейной системы, т. е. свободная составляю-

щая переходного процесса, описывается однородным дифференциальным

уравнением

)(

)](d[

)]([d

txc

c...

сn

++++

−

= 0, (4.3)

где с

, с

,…, с

— постоянные коэффициенты, зависящие от параметров

системы, или в операторной форме

(

)

)(

pХ cpc...pcpc

сnn

++++

−

= 0. (4.4)

Отсюда характеристическое уравнение имеет вид

cpc...pcpc ++++

−

= 0. (4.5)

Вид общего решения уравнения (4.3) зависит от корней характеристи-

ческого уравнения. При вещественных корнях характеристического урав-

нения решение (4.3) имеет следующий вид:

iс

Atх e

∑

=)( , (4.6)

где А

— постоянные интегрирования, определяемые параметрами системы

и начальными условиями;

— корни характеристического уравнения.

Из этого решения следует, что условие устойчивости, т. е. условие

(4.2) выполняется, если вещественные корни будут отрицательными

Если корни характеристического уравнения комплексные:

= α ± jβ, (4.7)

то решение (4.3) имеет следующий вид:

)sin(β

iс

A(t)х

ϕ+

∑

, (4.8)

где А

— начальная амплитуда;

— начальная фаза.

Из этого решения следует, что условие устойчивости будет выпол-

няться, если вещественные части комплексных корней характеристическо-

го уравнения будут отрицательными

Если корни характеристического уравнения комплексные с нулевой

вещественной составляющей:

= ± jβ, (4.9)

то решение (4.3) имеет следующий вид:

)(βsin

iiiс

tА(t)х

. (4.10)

В этом случае в системе установятся незатухающие колебания, и она

будет находиться на границе

устойчивости.

Графики изменения х

(t) в зависимости от корней характеристическо-

го уравнения приведены на рис. 4.2.

Таким образом, система будет устойчивой, если вещественные корни

и вещественная составляющая комплексных корней будут отрицательны-

ми, и система будет находиться на границе устойчивости, если хотя бы од-

на пара комплексно сопряженных корней имеет нулевую вещественную

составляющую. Из этого следует,

что система будет устойчивой, если все

корни характеристического уравнения будут расположены на левой полу-

плоскости комплексной плоскости, как это показано на рис. 4.3.

Рис. 4.2. Графики изменения свободной составляющей переходного процес-

са при вещественных (

а), комплексных (б) мнимых (в) корнях

Исходя из вышеизложенного следует, что для суждения об устойчи-

вости системы автоматического регулирования достаточно знать, какие

знаки имеют корни характеристического уравнения.

Рис. 4.3. Расположение корней характеристического уравнения

для устойчивой системы

Признаки, позволяющие судить о знаках корней характеристического

уравнения без решения самого уравнения, получили в теории автоматиче-

ского регулирования название критериев устойчивости

. Применение того

или иного критерия устойчивости дает возможность судить об устойчиво-

сти проще и эффективнее, чем решение уравнения, особенно когда поря-

док уравнения высокий.

Применительно к линейным системам автоматического регулирова-

ния разработан ряд формально различных, критериев устойчивости, но

с математической точки зрения все они эквивалентны, так как выражают

один и

тот же факт, что все корни расположены на левой полуплоскости

комплексной плоскости.

Все известные критерии устойчивости делятся на алгебраические

частотные

Алгебраические критерии устойчивости базируются на использовании

определенных алгоритмов, определяющих последовательность операций

с коэффициентами характеристического уравнения, необходимых для

решения задач устойчивости. К числу алгебраических критериев

относятся: критерий Вышнеградского, критерий Рауса, критерий Гурвица

и др. Алгебраические критерии весьма просты для исследования систем,

процессы в которых описываются уравнениями относительно невысокого

порядка. Однако уже

для уравнений пятого порядка и выше применение

алгебраических критериев затруднительно. Трудности еще более

возрастают, если требуется установить влияние какого либо параметра на

устойчивость.

Частотные критерии основаны на том, что об устойчивости систем ав-

томатического регулирования определенным образом можно судить по их

частотным характеристикам. Существует ряд частотных критериев, к чис-

лу которых относятся: критерий Найквиста, критерий Михайлова, лога-

рифмический критерий и др.

4.2. КРИТЕРИЙ РАУСА

Раусом в 1877 г. были найдены условия устойчивости для систем ав-

томатического регулирования, динамические процессы в которых описы-

ваются линейными дифференциальными уравнениями любого порядка

с постоянными коэффициентами, т. е. он нашел условия, при соблюдении

которых все корни характеристического уравнения n-го порядка будут

иметь только отрицательные вещественные части. Таким образом, Раусом

сформулированы

признаки устойчивости любых линейных систем автома-

тического регулирования.

Сущность критерия Рауса, который приводится без доказательств,

сводится к следующему.

Пусть дано уравнение n-й степени с положительным коэффициентом

при старшем члене:

cpc...pcpc ++++

−

= 0. (4.11)

В соответствии с этим уравнением составляется таблица Рауса из n +

1-строк:

.................ссс

..................ссс

.................bbb

..................bbb

................ааа

..................ааа

......................................

420

531

420

531

420

531

. (4.12)

Первая нижняя строка таблицы составляется из коэффициентов урав-

нения с четными индексами, вторая — из коэффициентов уравнения с не-

четными индексами, а последующие строки — из неизвестных коэффици-

ентов с индексами, аналогичными индексам первых двух строк.

Коэффициенты вышестоящих строк выражаются через коэффициенты

двух нижних строк согласно правилу, которое состоит в следующем: мат-

рицы составляют, начиная с первых двух нижних строк, поднимаясь по

одной строке вверх:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

.........b

.........a

..........b

.........b

..........с

..........b

сс

..........с

сс

;

(4.13)

Миноры каждой предыдущей матрицы, включающие в себя первый

столбец, образуют последовательность искомых коэффициентов верхней

строки следующей матрицы:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

===

т.д.и ;

; ; ;

;;;

(4.14)

Условием устойчивости является положительность членов первых

столбцов всех матриц (4.14), т. е.

> 0; с

> 0; b

> 0; а

> 0 и т. д. (4.15)

Критерий Рауса отличается меньшим числом вычислительных опера-

ций в сравнении с другими алгебраическими критериями. Особенно это

ощутимо при высоких порядках характеристического уравнения.

4.3. КРИТЕРИЙ ГУРВИЦА

Гурвиц в 1895 г. сформулировал и доказал свой критерий устойчиво-

сти систем автоматического регулирования, решая чисто математическую

задачу — задачу исследования устойчивости решения линейного диффе-

ренциального уравнения.

Рассмотрим этот метод без его доказательства, применительно к сис-

теме автоматического регулирования, характеристическое уравнение кото-

рой имеет n-й порядок

cpc...pcpc ++++

−

= 0. (4.16)

Из коэффициентов этого уравнения составляется определитель —

определитель Гурвица, состоящий из n строк и n столбцов.

(4.17)

Этот определитель составляется по следующему правилу. По главной

диагонали выписываются коэффициенты характеристического уравнения,

начиная с коэффициента с

. Столбцы таблицы, начиная с главной диагона-

ли, заполняются вверх коэффициентами с возрастающими индексами,

вниз — коэффициентами с убывающими индексами, а получающиеся не-

заполненные коэффициентами места заполняются нулями.

Исходя из этого определителя можно составить n–1 его миноров, как

это показано в (4.17) пунктиром.

ccc

cccc

ccccc

ccccс

531

6420

7531

86420

97531

..........

0..........

............

0......00

0......0

0......

∆

−

–

∆

; ∆

;∆

420

531

сс

ссс

сс

(4.18)

и так далее.

По критерию Гурвица система автоматического регулирования устой-

чива, если при α

> 0 положительны все миноры и сам определитель.

Пример

. Определить устойчивость системы автоматического регули-

рования с помощью критерия Гурвица (рис. 4.4) при следующих значениях

параметров:

= 0,5 с; Т

= 0,1 с; Т

= 0,3; K

= 19; K

= 10; K

о.с

= 0,1.

+рТ

++ рТрТ

)( pХ

вх

ос

)( pХ

вых

Рис. 4.4. Структурная схема системы автоматического регулирования

Решение.

Передаточная функция системы автоматического регулирования, ра-

зомкнутой по цепи обратной связи

1)()(1)1)((

213

о.с21

+++++

+++

рТТрТТТpТТ

рТрТpТ

KKK

(p)W

где K

= K

о.с

—

передаточный коэффициент разомкнутой системы.

Передаточная функция замкнутой системы с выходом по сигналу об-

ратной связи

вх

(

)

вых

о.с

+pT

++ pTpT