Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

−

−=

−−

вых

1)(

Ktх , (2.27)

оно описывает переходную характеристику (см. рис. 2.3, а).

Исходя из (2.26), передаточная функция звена

1)1)(()(

)(

21вх

вых

рТрТ

pХ

. (2.28)

Рис. 2.3. Характеристики инерционного звена второго порядка:

а — переходная; б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-

частотная; г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная

На основании этой передаточной функции получим комплексную час-

тотную характеристику:

1)ω1)(ω(

] )ω(1)ω[(

1)ω1)(ω(

ω)(

+−+−

TTjTTK

jТjТ

,(2.29)

и соответственно вещественную и мнимую частотные характеристики:

) (ωR

1)ω1)(ω(

1)ω(

+−

TTK

; (2.30)

) (ω

1)ω1)(ω(

)ω(

−

TTK

. (2.31)

Тогда, исходя из (2.30) и (2.31), амплитудно-частотную и фазочастот-

ную характеристики запишем в следующем виде:

1)ω1)(ω(

) (ω) (ω) (ω

=+=

ТT

IRА ; (2.32)

1)ω(

ω )(

arctg

) (ω

arctg) θ(ω

+−

−==

ТТ

ТT

. (2.33)

Графики этих характеристик приведены на рис. 2.3, в и г.

Годограф вектора )ω(

, который является амплитудно-фазовой час-

тотной характеристикой, приведен на рис. 2.3, б.

Логарифмируя (2.32), получим выражение для логарифмической ам-

плитудной частотной характеристики

22 2

( ) 20 lg ( ) 20 lg 20 lg 1 20 lg 1ω= ω= − ω+− ω+LAKT T. (2.34)

Анализируя полученное выражение, можно заключить, что логариф-

мическая амплитудно-частотная характеристика, по сути своей, является

алгебраической суммой логарифмических амплитудных частотных харак-

теристик безынерционного звена и двух инерционных звеньев первого по-

рядка (рис. 2.3, д).

Из (2.33) следует, что

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

∞==

.ωпри–180θ(ω)

;

ωпри–90θ(ω)

0;ωпри0θ(ω)

ТТ

(2.35)

График логарифмической фазовой частотной характеристики приве-

ден на рис. 2.3, е.

Для уточнения логарифмических амплитудно-частотных характери-

стик в окрестности частот сопряжения ω

с1

и ω

с2

можно воспользоваться

таблицей поправок (см. табл. 2.1).

2.4. Колебательное звено

Звено называется колебательным, если связь между выходным и вход-

ным сигналами описывается линейным дифференциальным уравнением

)()(

)](d[

2ξ

)]([d

вхвых

вых

tх Ktх

tх

Т =++

, (2.36)

при условии

044ξ

222

<− ТТ или 01ξ

<− , (2.37)

следовательно 1ξ0 << ,

где Т — постоянная времени;

K — передаточный коэффициент;

ξ — коэффициент демпфирования (постоянная затухания).

Запишем уравнение (2.36) в операторной форме:

)()(1)2ξ(

вхвых

рKXрX ТррТ =++

. (2.38)

Приравняв левую часть этого уравнения нулю, получим характери-

стическое уравнение

01ξ2

=++ ТррТ , (2.39)

корни которого

ТТТ

1ξξ

44ξ 2ξ

222

1,2

−±−

= . (2.40)

В связи с тем, что значения ξ находятся в пределах 0 < ξ < 1, эти кор-

ни будут комплексно-сопряженными. Введя обозначения

α =

ξ1

−

получим выражение для корней в следующем виде:

βα

1,2

j±−=р . (2.41)

Запишем решение исходного уравнения при входном сигнале в виде

единичной ступенчатой функции, с учетом принятых обозначений:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

ϕ+−= ) (βsin

1)(

вых

e t

Ktх

, (2.42)

где

arctg=ϕ

— начальная фаза выходного сигнала, это выражение

представляет собой аналитическое описание переходной характеристики,

которая приведена на рис. 2.4,

а.

Переходная характеристика оценивается по следующим параметрам:

ξ — коэффициент демпфирования;

АА −

— степень затухания;

µ =

— степень колебательности.

Исходя из (2.38) передаточная функция колебательного звена

12ξ

)(

вх

вых

ТррТ

pХ

, (2.43)

в соответствии с ней получим комплексную частотную характеристику

в следующем виде:

222222

ω4ξ)ω(1

ω]2ξ)ω[(1

1 ω2ξω

ω)(

TjT K

ТjТ

j W

+−

−−

++−

, (2.44)

в соответствии с которой вещественная частотная характеристика:

222222

ωT4ξ)ω(1

)ω(1

) (ω

+−

−

, (2.45)

22222

ω4ξ)ω1

ω ξ2

) (ω

+−

−=

. (2.46)

Тогда в соответствии с (2.45) и (2.46) амплитудно-частотная и фазо-

частотная характеристики запишутся в следующем виде:

222222

ω4ξ)ω(1

) (ω) (ω) (ω

ТT

IRА

+−

=+= ; (2.47)

ω1

ω2ξ

arctg

) (ω

arctg) θ(ω

−

−==

; (2.48)

их графики приведены на рис. 2.4,

в и г.

Годограф вектора )ω(

, являющийся амплитудно-фазовой частотной

характеристикой, приведен на рис. 2.4,

б.

Логарифмируя (2.47), получим логарифмическую амплитудную час-

тотную характеристику

22222

ω4ξ)ω(1lg 20lg 20) (ωlg 20) ω ТT +−−== KAL( . (2.49)

Исходя из этого выражения получим, что

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

=≈>>

≈<<

. 2ξ lg 02–lg20) (ω

ωпри

;ω40lg20ω lg 02–lg20) (ω

ωпри

;lg20) (ω

ωпри

– KKL

TT (2.50)

Если принять ξ = 1, то логарифмическую амплитудную частотную ха-

рактеристику, согласно (2.50), приближенно можно представить двумя

прямыми, первая из которых параллельна оси ординат и удалена от нее на

lg20 , а вторая, сопрягающаяся с первой при

, имеет наклон по

отношению к оси абсцисс — 40 дБ/дек, как это показано на рис. 2.4, д. При

значении 0ξ = и

эта характеристика уходит в бесконечность, а

характер ее изменения в окрестности ω

будет зависеть от промежуточных

значений

ξ (см. рис. 2.4, д).

Рис. 2.4. Характеристики инерционного колебательного звена второго по-

рядка:

а — переходная; б — амплитудно-фазовая частотная;

в — амплитудно-частотная; г — фазочастотная; д — логарифмическая ам-

плитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная

Логарифмическая фазовая частотная характеристика колебательного

звена также зависит от

ξ (2.48) и характер ее изменения в зависимости от

значений

ξ будет аналогичен характеру изменения амплитудно-частотной

характеристики.

2.5. Дифференцирующее звено первого порядка

Дифференцирующее звено может быть идеальным или реальным.

Звено называется идеальным, если связь между выходным и входным

сигналами описывается уравнением

tх

Ktх

)]([ d

)(

вх

вых

= , (2.51)

где K — передаточный коэффициент звена.

Следовательно, в таком звене выходной сигнал пропорционален ско-

рости изменения входного сигнала.

Решение этого уравнения, при входном сигнале в виде единичной

ступенчатой функции [1])(

вх

=tх , представляет собой дельта-функцию и

является аналитическим описанием переходной характеристики идеально-

го дифференцирующего звена.

)δ()(

вых

t Ktх

. (2.52)

График этой характеристики приведен на рис. 2.5, а.

Исходя из (2.50), передаточная функция

pХ

W(p) ==

)(

вх

вых

. (2.53)

Соответственно комплексная частотная характеристика запишется в

следующем виде:

ω)ω( K

, (2.54)

откуда вещественная частотная характеристика

0)(ω

; (2.55)

ω)(ω

. (2.56)

Тогда амплитудно-частотную и фазочастотную характеристику можно

записать в виде

ω) (ω) (ω) (ω

KIRА =+= ; (2.57)

) (ω

arctg) θ(ω

, (2.58)

их графики приведены на рис. 2.5, в и г.

Годограф вектора )ω(

, являющийся амплитудно-фазовой частотной

характеристикой, приведен на рис. 2.5, б.

Логарифмируя (2.57), получим аналитическое описание логарифмиче-

ской амплитудной частотной характеристики:

ωlg20)(ωlg20) (ω

. (2.59)

График этой характеристики приведен на рис. 2.5, д.

Рис. 2.5. Характеристики идеального дифференцирующего звена:

а — переходная; б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-

частотная;

г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная

Как следует из (2.58), логарифмическая фазовая частотная характери-

стика представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и удаленную

от нее на

(рис. 2.5, е).

В практике используются так называемые реальные дифференцирую-

щие звенья, выполняющие приближенное дифференцирование с опреде-

ленной точностью. Такие звенья называются реальными дифференцирую-

щими звеньям, и связь между выходным и входным сигналами описывает-

ся следующим уравнением:

()

[

]

()

(

)

[

]

tх

Ktх

вх

вых

, (2.60)

где

Т — постоянная времени звена.

Решение этого уравнения, при входном сигнале в виде единичной

ступенчатой функции

вх

(t) = [1], определяется следующей зависимостью:

Ktх

−

= е)(

вых

, (2.61)

которая представляет собой переходную характеристику звена. График

переходной функции реального дифференцирующего звена приведен на

рис. 2.6,

а.

Уравнение (2.60) в операторной форме запишется в следующем виде:

)()(1)(

вхвых

рKрХрХТр

+ . (2.62)

Тогда передаточная функция

1)(

)(

вх

вых

, (2.63)

и в соответствии с этой передаточной функцией комплексная частотная

характеристика

1ω

)ω( ω

1ω

) ω(

jTK

Тj

. (2.64)

Тогда получим

1ω

) (ω

; (2.65)

1ω

) (ω

, (2.66)

а амплитудная и фазовая частотные характеристики будут следующими:

1ω

) (ω) (ω) (ω

=+=

IRА

; (2.67)

Рис. 2.6. Характеристики реального дифференцирующего звена:

а — переходная; б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-

частотная;

г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная