Динкель А.Д. Теория автоматического управления
Подождите немного. Документ загружается.
23
Рис. 1.7. Амплитудно-фазовые частотные характеристики
ω
дб),(L ω
ω
град),(ωθ
Рис. 1.8. Логарифмические координатные сетки
При построении логарифмических частотных характеристик частóты
по оси абсцисс откладываются в логарифмическом масштабе в октавах
и декадах.
θ, град
L, дБ
0
,
1 0
,
2 0
,
4 0
,
6 0
,
8 1 2 4 6 8 10
ω
8
6
4
2
0
–2
0
,
1 0
,
2 0
,
4 0
,
6 0
,
8 1 2 4 6 8 10
ω
180
90
0
–90
–180
24
Октавой называется частотный интервал, соответствующий удвоению
частот, т. е. изменению частоты в два раза.
Декадой называется частотный интервал, соответствующий измене-
нию частоты в десять раз. Одна декада равна 3,32 октавы.
В теории автоматического регулирования в основном применяется де-
кадный интервал, но при этом по оси абсцисс указываются абсолютные
значения частот.
При
построении логарифмической фазовой частотной характеристики
по оси ординат фаза откладывается в угловых градусах или радианах.
Ординаты логарифмической амплитудной частотной характеристики
принимаются не величины ln A(ω), а пропорциональные ей величины L(ω)
в децибелах:
L(ω) =20 lg A(ω). (1.39)
Координатные сетки в интервале одной декады для построения лога-
рифмических частотных характеристик
приведены на рис. 1.8.
25
ГЛАВА 2.
ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ
Система автоматического регулирования состоит из ряда звеньев,
и для ее анализа и расчета необходимо знать их свойства, параметры и ха-
рактеристики.
Для выявления свойств звеньев и их характеристик необходимо опре-
делить их характеристики при типовом входном сигнале. В качестве типо-
вого входного сигнала принимается единичная ступенчатая функция. То-
гда в зависимости
от характеристик и динамических свойств звена оно
может быть отнесено к определенному типу.
Динамические свойства отдельных линейных звеньев, как правило,
описываются простейшими уравнениями, число которых невелико. В зави-
симости от вида уравнения, предопределяющего характеристики звена и
выполняемых звеном функций, все звенья разделяются на следующие типы:
1.
Безынерционные.
2.
Инерционные первого порядка.
3.
Инерционные второго порядка.
4.
Колебательные.
5.
Интегрирующие.
6.
Дифференцирующие первого порядка.
7.
Дифференцирующие второго порядка.
8. Интегродифференцирующие.
9.
Запаздывающие.
В некоторых литературных источниках описываются звенья, несколь-
ко отличные от указанных типов и наименований звеньев.
26
2.1. Безынерционное звено
Звено называется безынерционным, если связь между его выходным
и входным сигналами описывается алгебраическим уравнением вида
)()(
вхвых
tKхtх
=
, (2.1)
где K — передаточный коэффициент звена.
Характер изменения выходного сигнала, т. е. переходная функция,
при входном сигнале
1)(
вх
=
tх будет повторять характер изменения вход-
ного сигнала, как это показано на рис. 2.1, а. Выходной сигнал представля-
ет собой ступенчатую функцию, отличную от единичной.
Из уравнения (2.1), представленного в операторной форме
)()(
вхвых
рKXрX
=
, (2.2)
Рис. 2.1. Характеристики безынерционного звена: а — переходная;
б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-частотная;
г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;
е — логарифмическая фазочастотная
27
получим передаточную функцию
K
pХ
pX
pW ==
)(
)(
)(
вх
вых
. (2.3)
Следовательно, амплитудно-фазовая частотная характеристика
K
jW
=
ω)( , (2.4)
и соответственно вещественная и мнимая частотные характеристики будут
следующими:
K
R
=) (ω ;
0)(ω
=
I
0)(ω
=
I
.
Исходя из этого, получим амплитудно-частотную характеристику
K=+= ) (ω) (ω) (ω
22
IRА (2.5)
и фазочастотную характеристику
0
) (ω
) (ω
arctg) θ(ω ==
R
I
. (2.6)
Следовательно, вектор ω) (
А
не зависит от частоты и по модулю ра-
вен K, а амплитудно-фазовая частотная характеристика на комплексной
плоскости представляет собой точку на оси абсцисс, которая удалена от
начала на величину K (см. рис. 2.1, б).
Амплитудно-частотная характеристика графически представляет со-
бой прямую, параллельную оси абсцисс и удаленную от нее на
величину K
(см. рис. 2.1, в), а фазочастотная характеристика — это прямая, совпадаю-
щая с осью абсцисс (см. рис. 2.1, г).
Исходя из (2.5), логарифмическая амплитудная частотная характери-
стика
K
A
L
lg20)ω(lg20) (ω
=
= , (2.7)
и графически представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и
проходящую на расстоянии
K
lg20 от нее (см. рис. 2.1, д). Логарифмическая
фазовая частотная характеристика совпадает с осью абсцисс (рис. 2.1, е).
28
2.2. Инерционное звено первого порядка
Звено называется инерционным первого порядка, если связь между
выходным и входным сигналами описывается линейным дифференциаль-
ным уравнением
)()(
d
)](d[
вхвых
вых
tKхtх
t
tх
T =+ , (2.8)
где Т — постоянная времени звена;
K — передаточный коэффициент звена.
Решение этого уравнения при единичном ступенчатом входном сиг-
нале представляет собой переходную функцию
()
вых
(1 е )
t
T
xtK
−
=− , (2.9)
график изменения которой представлен на рис. 2.2, а.
Дифференциальное уравнение (2.8) в операторной форме запишется в
следующем виде:
Тр )()()(
вхвыхвых
рKXрXpХ
=
+
, (2.10)
исходя из которого передаточная функция
1)(
)(
)(
вх
вых
+
==
Тр
K
pX
pX
pW
. (2.11)
Согласно выражению (2.11) комплексная частотная характеристика
запишется в следующем виде:
1ω
1)ω(
1ω
ω)(
22
+
+
−
=
+
=
T
jT
K
jТ
K
jW
. (2.12)
Выделяя в (2.12) вещественную и мнимую составляющие, получим
выражения для вещественной и мнимой частотных характеристик:
1ω
) (ω
22
+
=
T
K
R
; (2.13)
29
1ω
ω
) (ω
22
+
−=
T
KT
I
. (2.14)
По вещественной и мнимой частотным характеристикам определим
амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики
1ω
) (ω ) (ω) (ω
22
22
+
=+=
T
K
IRА ; (2.15)
T
R
I
ω arctg
)ω(
)ω(
arctgθ(ω) −==
. (2.16)
Рис. 2.2. Характеристики инерционного звена первого порядка:
а — переходная; б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-
частотная;
г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;
е — логарифмическая фазочастотная
30
Вектор
)ω(
А
опишет годограф на комплексной плоскости, который
является амплитудно-фазовой частотной характеристикой (рис. 2.2, б).
Графики амплитудно-частотной и фазочастотной характеристик при-
ведены на рис. 2.2, в и г.
Логарифмируя (2.15), получим выражение для логарифмической ам-
плитудной частотной характеристики:
1ω20lg20lg) (ω20lg) (ω
22
+−== TKAL . (2.17)
Эту характеристику приближенно можно представить двумя прямыми,
которые по сути своей являются и асимптотами, сопрягающимися при
Т
1
ω = .
Действительно,
ω.lg 20lg20) (ω1 ω при
;lg20) (ω1 ω при
;lg20) (ω 1ω при
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
≈>>
≈=
≈<<
Т –K L Т
K L Т
K L Т
(2.18)
Из (2.18) следует, что прямая в интервале частот
Т
1
ω ≤
проходит па-
раллельно оси абсцисс и удалена от нее на
K
lg20 , а вторая прямая сопря-
гающаяся с первой, при
Т
1
ω =
проходит через точку с координатами (
Т
1
,
K
lg 20 ) под определенным наклоном к оси абсцисс. Этот наклон можно
выявить, задавая значения частот с интервалом в 1 декаду, начиная с еди-
ницы. Так,
дБ.40 lg20– 001lg 20lg20) (ω100 ω при
; дБ20 lg20 10 lg20lg20) (ω10 ω при
;lg20) (ω
1ω при
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
==
===
==
– K –K L
– K– K L
K L
(2.19)
Из этого следует, что в интервале одной декады частотного диапазона
ордината наклонной прямой уменьшается на 20 дБ. Таким образом, наклон
составляет 20 дБ/дек. Частота сопряжения указанных прямых называется
сопрягающей частотой ω
с
Т
1
ω
с
= . (2.20)
31
Частота, при которой логарифмическая амплитудная частотная харак-
теристика пересекает ось абсцисс, называется частотой среза
ω
ср
.
График логарифмической амплитудной частотной характеристики
приведен на рис. 2.2, д.
Аналогично предыдущему выявим характер изменения логарифмиче-
ской фазовой частотной характеристики, в результате получим, что
при 1
<
<
Т
ω 0θ(ω)
≈
;
при 1ω
=
Т
о
45θ(ω) −= ;
при 1ω >>
Т
о
90θ(ω) −≈ .
Можно заключить, что значение этой характеристики находится в
пределах
о
90θ(ω)
о
0 −≤≤
при изменении частоты в диапазоне
≤≤ ω0
∞.
График логарифмической фазовой частотной характеристики в соответ-
ствии с (2.16) и указанными пределами ее изменения приведен на рис. 2.2, е.
Как следует из (2.17), логарифмическая амплитудная частотная харак-
теристика является суммой двух составляющих, из которых первая не за-
висит от ω, а зависит только от значения K, вторая не зависит от K, и
изме-
няется в зависимости от ω.
При таком представлении логарифмической амплитудной частотной
характеристики возникает погрешность, и она будет максимальной при
частоте сопряжения ω
с
и будет уменьшаться по мере удаления от ω
с
в сто-
рону уменьшения и увеличения частот. Для уменьшения этой погрешности
можно воспользоваться таблицей поправок (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Поправки при построении ЛАЧХ в области ω
с
с
ω
ω
δ
с
ω
ω
δ
0,1 0,04 1,0 3,01
0,25 0,32 2,0 1,0
0,4 0,65 2,5 0,65
0,5 1,0 4,0 0,32
10,0 0,04
32
2.3. Инерционное звено второго порядка
Звено называется инерционным звеном второго порядка, если связь
между выходным и входным сигналами описывается линейным однород-
ным дифференциальным уравнением следующего вида:
)()(
d
)]([ d
)(
d
)]([d
вхвых
вых
21
2
вых
2
21
tх Ktх
t
tх
ТТ
t
tх
ТT =+++
, (2.21)
при условии
04
21
2
21
>−+ TTТТ )(
, (2.22)
где
Т
1
и Т
2
— постоянные времени звена;
K — передаточный коэффициент звена.
Уравнение (2.21) в операторной форме запишется следующим обра-
зом:
( ) () ()
2
12 1 2 вых вх
1
⎡⎤
++ + =
⎣⎦
TT p T T p X p KX p . (2.23)
Приравняв левую часть этого уравнения к нулю, получим характери-
стическое уравнение
01)(
21
2
21
=+++ рТТрТT , (2.24)
корни которого
21
212121
1,2
2
4
2
)()(
ТТ
ТТТТТТ
р
−+±+−
=
. (2.25)
При условии (2.22) корни будут вещественными отрицательными. То-
гда, используя формулу разложения многочлена на сомножители:
а
0
x
n
+ a
1
x
n–1
+…+ а
n–1
x + a
n
= a
∏
=
−
n
k
хх
1
)(
к
,
уравнение (2.23) запишем в следующем виде:
)()(1)]1)([(
вхвых21
рKXpXрТрT
=
+
+ . (2.26)
При входном сигнале в виде единичной ступенчатой функции
[1]
вх
=(t)х , решение (2.26) получим в следующем виде: