Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

ω arctg90

arctg

) (ω

arctg) θ(ω

−===

. (2.68)

Графики этих характеристик приведены на рис. 2.6,

в, г.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика, являющаяся годогра-

фом вектора ) (ω

, приведена на рис. 2.6, б.

В результате логарифмирования (2.67) получим логарифмическую

амплитудную частотную характеристику в следующем виде:

() ()

ω 20 lg ω 20 lg ωω1LA KT== +. (2.69)

Из этого выражения следует, что логарифмическая амплитудно-

частотная характеристика реального дифференцирующего звена

(см. рис. 2.6,

д), представляет собой алгебраическую сумму двух состав-

ляющих, первая из которых является характеристикой идеального диф-

ференцирующего звена, а вторая — апериодического звена первого

порядка, т. е. она состоит из двух прямых, сопрягающихся при частоте

, как это показано на рис. 2.6, д.

Согласно (2.68) логарифмическая фазовая частотная характеристика

θ(ω) = 90° при ω = 0,

θ(ω) = 45° при ω = ω

θ(ω) = 0 при ω = ∞.

График этой характеристики приведен на рис. 2.6,

е.

2.6. Дифференцирующее звено второго порядка

Звено называется дифференцирующим второго порядка, если динами-

ческие процессы описываются следующим линейным дифференциальным

уравнением второго порядка:

[]

[

]

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++=

)(

)( d

2ξ

)(d

)(

вх

вых

tх

TKtх

, (2.70)

где

K — передаточный коэффициент;

Т — постоянная времени,

или в операторной форме

)(1) 2ξ()(

вх

вых

рХТррТKрX ++=

. (2.71)

Решение этого уравнения, представляющее собой переходную харак-

теристику, при [1])(

вх

=tх имеет следующий вид:

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++=

1)δ( 2ξ

)]( [δ d

)(

вых

tТ

ТKt

х . (2.72)

График этой характеристики приведен на рис. 2.7,

а.

Передаточная функция, согласно (2.69) равна

1) 2ξ(

)(

вх

вых

++== ТpрТK

pХ

W(p)

. (2.73)

Тогда комплексная частотная характеристика

1) 2ξω() ω(

++−= ТjТKWj , (2.74)

исходя из нее, получим вещественную и мнимую частотные характеристи-

ки:

)ω(1) (ω

ТKR −=

; (2.75)

ωξ2)(ω

. (2.76)

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики, с учетом

(2.75) и (2.76), соответственно запишем в виде

22222222

ω4ξ)ω(1) (ω) (ω) (ω ТТKIRА +−=+= ; (2.77)

ω1

ω 2ξ

arctg

) (ω

arctgθ(ω)

−

. (2.78)

Графики этих характеристик приведены на рис. 2.7,

в, г.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика, являющаяся годогра-

фом вектора

А(ω) на комплексной плоскости, показана на рис. 2.7, б.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика, полученная

в результате логарифмирования (2.77), определяется следующим выражением:

22222

ω4ξ)ω(1lg 20 lg 20(ωω lg 20) (ω ТTKAL +−+==

. (2.79)

Из анализа этого выражения следует, что при

ξ = 1 логарифмическая

амплитудная частотная характеристика в логарифмическом масштабе со-

стоит из двух прямых, одна из которых при

= параллельна оси абсцисс

и удалена от нее на 20 lg

K, а вторая — наклонная с наклоном 40 дБ/дек

при

= и сопрягающаяся с первой при

= . При 0

= эта

характеристика стремится к минус бесконечности. Графики рассматривае-

мой характеристики приведены на рис. 2.7,

д.

Рис. 2.7. Характеристики дифференцирующего звена второго порядка:

а — переходная; б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-

частотная;

г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная

Из анализа (2.76) следует, что при

ξ = 1 логарифмическая фазовая час-

тотная характеристика плавно изменяется от 0 до 180

, проходя через точ-

ку с координатами (1/

Т, 90

). При ξ = 0 эта характеристика скачком изме-

няется от 0 до 180

на частоте ω

. Графики логарифмических фазовых час-

тотных характеристик приведены на рис. 2.7,

г.

2.7. Интегрирующее звено

Интегрирующим называется звено, у которого выходной сигнал про-

порционален интегралу по времени от входного сигнала

() ()

∫

= ttx

x d

выхвых

t . (2.80)

При входном сигнале, представляющем собой одиночную ступенча-

тую функцию, выполняя интегрирование (2.80) получим уравнение, опре-

деляющее характер переходной характеристики:

()

вых

. (2.81)

График переходной характеристики приведен на рис. 2.8,

а.

Запишем уравнение (2.80) в операторной форме:

)(

вхвых

рХ

Тр

рХ =

, (2.82)

согласно ему передаточная функция

ТррХ

рХ

W(р)

)(

вх

вых

Исходя из передаточной функции, запишем комплексную частотную

характеристику:

) ω(

jjW −=

. (2.83)

Следовательно вещественная и мнимая частотные характеристики равны:

0)(ω

; (2.84)

) (ω

I −=

, (2.85)

Рис. 2.8. Характеристики интегрирующего звена:

а — переходная;

б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-частотная;

г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная

соответственно амплитудно-частотная и фазочастотная характеристика

) (ω) (ω) (ω

=+= IRА

; (2.86)

90)( arctg

) (ω

arctg) θ(ω −=−∞==

. (2.87)

Графики этих характеристик приведены на рис. 2.8,

в, г.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика, являющаяся годогра-

фом вектора

А(ω) приведена на рис. 2.8, б, из которой видно, что эта ха-

рактеристика совпадает с отрицательной частью оси ординат.

Логарифмическая амплитудная частотная характеристика, получае-

мая в результате логарифмирования (2.86), определяется следующим вы-

ражением:

lg 20) (ω lg 20) (ω

== AL

. (2.88)

Из этого выражения следует, что

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

ωпридБ/дек20) (ω

;

0,1

ωпридБ/дек20) (ω

;

ωпри0) (ω

(2.89)

Согласно этому логарифмическая амплитудная частотная характери-

стика представляет собой прямую проходящую под наклоном –20 дБ/дек

и пересекающую ось абсцисс при значении

= , как это показано на

рис. 2.8, д. Логарифмическая фазовая частотная характеристика, как это

следует из (2.87), не зависит от частоты и представляет собой прямую,

параллельную оси абсцисс и удаленную от нее на величину

90θ(ω) −=

(см. рис. 2.8, г).

2.8. Запаздывающее звено

Звено является запаздывающим, если его динамические свойства, т. е.

зависимость между выходным и входным сигналами, описывается сле-

дующим дифференциальным уравнением:

τ)()(

вхвых

−

tKхtх , (2.90)

где K — передаточный коэффициент;

τ — время запаздывания.

По (2.90) можно заметить, что при t > τ выходной сигнал равен нулю,

а при

τ≥

этот сигнал повторяет входной сигнал, отставая от него по вре-

мени на величину τ (рис. 2.8, а).

В операторной форме это уравнение запишется в виде

)()(

вх

вых

е рX KрХ

р−

= . (2.91)

Переходная характеристика запаздывающего звена приведена на

рис. 2.8, а.

Следовательно, передаточная функция запаздывающего звена

вх

вых

)(

рХ

рW

−

==)( , (2.92)

а комплексная частотная характеристика запишется в следующем виде:

ωτ

е) ω(

−

=j , (2.93)

или в тригонометрической форме

ωτ)sin ωτ (cos) ω(

−

W . (2.94)

Исходя из (2.94), вещественная и частотная характеристики

ωτcos)(ω

; (2.95)

мнимая характеристика

ωτsin )(ω

−

. (2.96)

Тогда амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики запи-

шутся в следующем виде:

KKIRА =+=+= ωτsinωτcos) (ω) (ω) (ω

2222

; (2.97)

ωτ

) (ω

arctgθ(ω) −==

, (2.98)

графики их приведены на рис. 2.8,

в, г.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика, являющаяся годогра-

фом вектора

А(ω), который он опишет на комплексной плоскости при еди-

ничном ступенчатом входном сигнале [1])(

вх

tх , и, как это следует из

(2.106) представляет собой окружность с радиусом

K (см. рис. 2.8, б).

Из (2.97) следует, что логарифмическая амплитудная частотная харак-

теристика запаздывающего звена

lg20)(ωlg20) (ω

= , (2.99)

Рис. 2.9. Характеристики запаздывающего звена:

а — переходная;

б — амплитудно-фазовая частотная; в — амплитудно-частотная;

г — фазочастотная; д — логарифмическая амплитудно-частотная;

е — логарифмическая фазочастотная

а ее график представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс и уда-

ленную от нее на

lg 20 (см. рис. 2.9, д).

Логарифмическая фазовая частотная характеристика, построенная со-

гласно (2.98) в логарифмическом масштабе, приведена на рис. 2.9,

е.

ГЛАВА 3.

ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ, ЧАСТОТНЫЕ

ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

И ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУРНЫХ СХЕМ

Для получения математического описания характеристик и анализа

статических и динамических свойств системы автоматического управления

любой сложности в ней необходимо выделить типовые динамические зве-

нья направленного действия и выявить взаимосвязь между ними. На осно-

вании установленных связей между звеньями и математического описания

характеристик звеньев составляется структурная схема системы в целом.

При этом

в структурной схеме системы возможны три варианта соедине-

ния звеньев и их комбинация.

3.1. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО СОЕДИНЕНИЯ ЗВЕНЬЕВ

Структурная схема n звеньев, соединенных последовательно, приведе-

на на рис. 3.1,

а. Согласно этой схеме можно записать систему уравнений:

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

−−−

).()()(

);()()(

........................................

);()()(

1вых

211

122

вх11

pХpWpХ

pXpWpХ

рХрWpХ

рXpWpX

nnn

(3.1)

Исключив из этой системы промежуточные переменные, получим

)()]()()()([)(

вх121вых

рХpWp.....WpWpWрХ

⋅

−

. (3.2)

Следовательно, передаточная функция из n звеньев, соединенных по-

следовательно равна

∏

=⋅⋅==

−

pWpWp.....WpWpW

pХ

inn

)()()()()(

)(

121

вх

вых

, (3.3)

т. е. передаточная функция системы последовательно соединенных звеньев

равна произведению передаточных функций звеньев.

Рис. 3.1. Схемы соединения звеньев:

а — последовательно;

б — параллельно; в — встречно-параллельно