Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

Составляющие логарифмической фазовой частотной характеристики:

90) (ωθ −=

; ω 0,5 arctgω arctg) (ωθ

−

T ;

ω 0,33 arctg ω arctg) (ωθ

−

−= T

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

) (ωθ) (ωθ) (ωθ) θ(ω

321

= .

Расчетные логарифмические частотные характеристики приведены на

рис. 4.21.

Согласно логарифмическому критерию устойчивости, система неус-

тойчива при данных параметрах.

4.7. ПОСТРОЕНИЕ ОБЛАСТЕЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Рассмотренные критерии устойчивости систем автоматического регу-

лирования позволяют выявить, устойчива или неустойчива система при

конкретных заданных ее параметрах и структуре. Однако в практике рас-

чета и проектирования систем представляет интерес задача определения

одного или нескольких параметров, а также определение тех пределов их

изменения, при которых система будет устойчивой. Эти задачи наиболее

эффективно решаются общим методом определения областей устойчиво-

сти и неустойчивости, т. е. областей с определенным распределением кор-

ней в левой и правой полуплоскостях комплексной плоскости.

Рассмотрим задачу построения области устойчивости с различным

числом корней, лежащих слева и справа от мнимой оси комплексной плос-

кости, и выявим методику отыскания среди этих

областей области устой-

чивости.

Положим, что система автоматического регулирования описывается

линейным дифференциальным уравнением и его характеристическое урав-

нение имеет вид

cpc...pcpc ++++

−

= 0. (4.47)

Допустим, что все коэффициенты заданы и не изменяются, кроме одно-

го, допустим с

. Если придавать коэффициенту с

значения от 0 до ∞, то ка-

ждому его значению будут соответствовать определенные значения всех n

корней. Если на положительной вещественной полуоси отмечать значения

, при которых все корни характеристического уравнения расположены

слева от мнимой оси, и значения с

, при которых хотя бы один корень рас-

полагается справа от мнимой оси, то эту полуось можно разбить на отрезки,

которым соответствует устойчивое и неустойчивое состояние системы, как

это показано на рис. 4.22. Точки в стыках этих отрезков соответствуют рас-

положению одного или нескольких корней на мнимой оси комплексной

плоскости и являются

границами устойчивости по коэффициенту с

Рис. 4.22. Отрезки устойчивости и неустойчивости

Положим, что в уравнении (4.47) могут изменяться два коэффициента,

например с

и с

n-1

, а остальные коэффициенты остаются неизменными.

В плоскости с осями координат с

и с

n-1

каждой точке с координатами (с

;

(n-1)j

), будет соответствовать определенное расположение корней характе-

ристического уравнения на комплексной плоскости. Если выделить из

множества точек плоскости точки с сочетаниями значений координат:

> 0 и с

(n-1) j

> 0, которым соответствует расположение всех корней слева

от мнимой оси комплексной плоскости, то совокупность этих точек пред-

ставляет собой область устойчивости в плоскости коэффициентов, ограни-

ченную кривой, являющейся геометрическим местом точек, которой соот-

ветствует расположение хотя бы одного корня на мнимой оси комплексной

плоскости.

Рис. 4.23. Области устойчивости и неустойчивости

Таким образом, плоскость коэффициентов можно разделить на об-

ласть устойчивости и область неустойчивости (рис. 4.23). Кривая, разде-

ляющая эти области, называется границей устойчивости.

Очевидно, в зависимости от числа варьируемых значений коэффици-

ентов, аналогичным образом можно выделить область (объем) устойчиво-

сти в трехмерном пространстве, ограниченную поверхностью устойчиво-

сти, и область устойчивости в n

–мерном пространстве, ограниченную ги-

перповерхностью устойчивости в пространстве коэффициентов характери-

стического уравнения.

4.8. ПОНЯТИЕ О Д-РАЗБИЕНИИ

ПРОСТРАНСТВА КОЭФФИЦИЕНТОВ

ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

Допустим, что в характеристическом уравнении (4.47) все коэффици-

енты, кроме с

и с

, заданы и фиксированы. Коэффициенты с

и с

можно

изменять, придавая им любое положительное значение.

Предположим, что при некоторых значениях коэффициентов с

и с

уравнение (4.47) имеет m корней, расположенных в правой полуплоскости

комплексной плоскости, и n–m корней, расположенных в левой полуплоско-

сти. Если изменение значений коэффициентов с

и с

, при их определенном

сочетании, не приводит к изменению чисел корней, расположенных слева

и справа от мнимой оси комплексной плоскости корней характеристического

уравнения (рис. 4.24, а), то всегда существует область в плоскости коэффи-

циентов, соответствующая указанному неизменному расположению корней

на комплексной плоскости и ограниченная кривой. Эта область является гео-

метрическим местом точек с координатами (с

; с

), и ей соответствует рас-

положение хотя бы одного корня на мнимой оси (см. рис. 4.24, б). Область,

ограниченную этой кривой (см. рис. 4.24, б), обозначим Д (n–m, m).

Очевидно, что такие области могут быть выделены в многомерном

пространстве в зависимости от числа варьируемых коэффициентов.

Число корней, расположенных справа от мнимой оси на

комплексной

плоскости, может принимать любое целое значение в пределах 0 ≤ m ≤ n, и,

таким образом, в плоскости коэффициентов с

и с

можно выделить облас-

ти Д (n–m, m), соответствующие n + 1 разным значениям m.

Например, если имеем характеристическое уравнение четвертого по-

рядка, т. е. n = 4, то в плоскости коэффициентов с

и с

можно рассматри-

вать следующие области:

Д(4,0), Д(3,1), Д(2,2), Д(1,3), Д(0,4).

Рис. 4.24. Расположение корней характеристического уравнения

Из этих областей только первая является областью устойчивости, так

как только в этой области находятся все сочетания с

и с

, при которых вы-

полняются условия устойчивости, т. е. все корни характеристического урав-

нения расположены слева от мнимой оси комплексной плоскости корней.

Заметим, что если в каком либо конкретном случае при любых значе-

ниях и сочетаниях коэффициентов с

и с

не представляется возможным

получить область Д(n, 0), то это значит, что система автоматического регу-

лирования не может быть устойчивой при любых значениях с

и с

. Таким

образом, в некоторых случаях плоскость коэффициентов может и не со-

держать области устойчивости.

Разбиение пространства коэффициентов характеристического уравне-

ния на области устойчивости и неустойчивости называется Д-разбиением.

Переход точки из области устойчивости в область неустойчивости

в плоскости коэффициентов соответствует переходу одного вещественного

или пары комплексных корней характеристического уравнения через

мни-

мую ось комплексной плоскости корней.

Так как каждой точке кривой Д-разбиения соответствует нулевой ве-

щественный р

= 0 или пара чисто мнимых корней р

= ± jβ, то кривая Д-

разбиения является отображением мнимой оси комплексной плоскости кор-

ней на плоскости коэффициентов характеристического уравнения. Эта осо-

бенность кривых Д-разбиения используется при отыскании их уравнений.

Для этого в уравнении (4.47) необходимо подставить р = jω и разрешить это

уравнение относительно варьируемых параметров. Совокупность значений

этих параметров,

соответствующих всем значениям частоты в пределах –∞

≤ ω ≤ +∞, дает координаты точек кривой Д-разбиения. Выделение области

устойчивости в плоскости корней осуществляется на основе, так называемо-

го, правила штриховки кривых Д-разбиения.

Кривая Д-разбиения является отображением мнимой оси комплексной

плоскости коэффициентов на плоскость коэффициентов характеристиче-

ского уравнения, поэтому

если, двигаясь вдоль мнимой оси комплексной

плоскости при изменении частоты от –∞ до +∞, наносить штриховку с ле-

вой стороны кривой Д-разбиения, то это будет равносильно нанесению

штриховки с левой стороны кривой Д-разбиения, если двигаться по ней,

при изменении частоты от –∞ до +∞. Следовательно, областью устойчиво-

сти

в плоскости коэффициентов является область расположенная слева от

кривой Д-разбиения.

4.9. Д-РАЗБИЕНИЕ ПЛОСКОСТИ

ОДНОГО КОМПЛЕКСНОГО ПАРАМЕТРА

Чтобы выяснить влияние на устойчивость системы автоматического

регулирования только одного параметра при заданных значениях осталь-

ных параметров, целесообразно ввести вместо этого параметра комплекс-

ную величину, вещественная часть которой равна искомому параметру.

Предположим, что варьируемый коэффициент А, влияние которого на

устойчивость исследуется, входит в характеристическое уравнение линейно,

тогда характеристическое уравнение можно представить в следующем виде:

(р)(р)Q

АР

, (4.48)

где Р(р) и Q(р) — степенные полиномы от р.

Подставляя в уравнение (4.48) р = jω и разрешая его относительно А,

получим

) (ω) (ω

) ω(

jIR

А −=−=

. (4.49)

В результате этого варьируемый параметр представлен в виде суммы

вещественной и мнимой частей.

Изменяя теперь частоту от –∞ до +∞ в плоскости R(ω) и jI(ω), являю-

щейся плоскостью параметра А, можно построить кривую Д-разбиения

(рис. 4.25, б). Кривая Д-разбиения делит плоскость параметра А на несколь-

ко областей, соответствующих различным вариантам расположения корней

характеристического уравнения на комплексной плоскости. Из числа этих

областей необходимо выделить область устойчивости Д(n, 0). Для этого на-

несем штриховку с левой стороны кривой Д-разбиения, перемещаясь по ней

в направлении изменения

частоты от –∞ до +∞. Из всех полученных в ре-

зультате построения кривой Д-разбиения областей областью устойчивости

является область, которая окружена внутренней штриховкой.

В практических задачах параметр А, как правило, вещественный (пе-

редаточный коэффициент, постоянная времени) и его допустимые пределы

изменения определяются не всей областью Д(n, 0), а только

отрезком ве-

щественной оси R(ω), заключенным внутри области устойчивости Д(n, 0).

Важным фактором при построении кривой Д-разбиения является то,

что функция R(ω) всегда четная, а функция I(ω) — нечетная, а следова-

тельно, кривая Д-разбиения всегда симметрична относительно веществен-

ной оси R(ω). Поэтому при определении области устойчивости

достаточно

построить одну ветвь кривой Д-разбиения при положительных значениях

частоты, а вторую нанести как зеркальное отображение первой.

Пример

. На основе метода Д-разбиения по одному комплексному па-

раметру определить пределы значений передаточного коэффициента сис-

темы автоматического регулирования, приведенной на рис. 4.20, при сле-

дующих параметрах: Т

= 0,1 с, Т

= 0,5 с.

Рис. 4.25. Построение кривой Д-разбиения в плоскости

одного комплексного параметра

Решение.

Передаточная функция разомкнутой системы

1)1)((

рТрТр

(p)W .

Передаточная функция замкнутой системы

KрТрТр

(p)W

+++

1)1)((

Запишем характеристическое уравнение:

0)(1)1)((

2121

=++++=+++ KррТТрТТрТрТр K .

Решая это уравнение относительно K и подставляя р = jω, получим

ω.)ω(ω

jTTTjTK −++=

100

Рис. 4.26. Кривая Д-разбиения

Определим вещественную и мнимую составляющие:

;ω 0,6)ω() (ω

=+= TTR

ω. 1)ω (0,05ω 1)ω() ω

−=−= TTI(

Результаты расчета:

ω 0 1 2 3 4 4,47 5 6 7 8

∞

R(ω) 0 0,6 2,4 5,4 9,6 12 15 21,6 29,4 38,4

∞

I(ω) 0 –0,95 –1,6 –1,65 –0,8 0 1,25 4,8 8,7 17,6

∞

По этим результатам на рис. 4.26 построена кривая Д-разбиения. Если

нанести штриховку в соответствии с вышеуказанным правилом, видно, что

замкнутая система явлется устойчивой, если значения K находятся в пре-

делах 0 < K < 12.

101

4.10. ИССЛЕДОВАНИЕ УСТОЙЧИВОСТИ

МНОГОКОНТУРНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Исследование многоконтурных систем автоматического регулирова-

ния может выполняться на основе использования любого из критериев ус-

тойчивости.

Прежде чем приступить непосредственно к исследованию и выбору

конкретного критерия устойчивости, необходимо исходную структурную

схему многоконтурной системы автоматического регулирования путем по-

следовательного свертывания внутренних контуров привести к однокон-

турной с единичной обратной связью, как это

показано на рис. 4.27, с обя-

зательным соблюдением всех правил преобразования структурных схем.

При исследовании устойчивости систем автоматического регулирова-

ния с использованием алгебраических критериев необходимо по преобра-

зованной структурной схеме (см. рис. 4.27, г) получить передаточную

функцию замкнутого контура, исходя из которой можно записать характе-

ристическое уравнение системы и далее, используя коэффициенты,

решать

задачу устойчивости.

При использовании критерия Михайлова необходимо по передаточ-

ной функции замкнутого контура

(р)Q

(р)Р

(p)W

= (4.50)

получить комплексную частотную характеристику

) ω(

jР

(p)W

= , (4.51)

и по характеристическому уравнению, выделив в нем вещественную и

мнимую составляющие,

0) (ω ) (ω) ω(

ззз

= jIRjQ (4.52)

построить характеристическую кривую (годограф Q

(jω)) на комплексной

плоскости.

102

Рис. 4.27. Последовательность преобразования многоконтурной системы

автоматического регулирования к одноконтурной

с единичной обратной связью