Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

123

образом построения всех составляющих переходного процесса, представ-

ленных аналогичным образом, и просуммировав их, получим переходный

процесс для системы в целом. При этом точность результата будет опреде-

ляться точностью аппроксимации характеристики ) (ω

R .

Более удобным для практического использования является способ по-

строения переходного процесса, основанный на применении типовых ве-

щественных частотных характеристик, которыми аппроксимируется ис-

ходная вещественная частотная характеристика замкнутой системы авто-

матического регулирования ) (ω

R .

За типовые вещественные частотные характеристики принимаются

так называемые трапециевидные характеристики, которые состоят из ли-

нейных участков, образующих с осями координат трапеции с основанием

ω , и высотой ) 0(ω

=R при различных значениях

ω , определяющего

наклон одной боковой стороны. Типовая трапециевидная вещественная

частотная характеристика приведена на рис. 5.10, б. Согласно этому ри-

сунку аналитическое выражение для типовой вещественной частотной ха-

рактеристики запишется в следующем виде:

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

≥

≤≤

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

≤≤

.ωω при 0,

;ωω ω при ,

ωω

1(0)

;ωω0 при (0),

) (ω

1з

R (5.57)

Подставив выражения для ) (ω

R из уравнений (5.57) в формулу

(5.56), получим

()

(

)

()

. dω ωsin

ω– ω

–

– dω ωsin

dω ωsin

зз

вых

∫

tх

(5.58)

С учетом понятия интегрального синуса уравнение (5.58) примет вид

124

() () ( )

()

[]

S t

SRtx

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

−

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

+−+=

звых

ω cosω cos

ω– ω

ωω

ω– ω

ω,0

(5.59)

Если принять

1ω

1,(0)

и ввести понятие коэффициента наклона

χ = ,

который может изменяться в пределах 1χ0

≤

, то в результате получает-

ся так называемая типовая единичная трапеция. Переходный процесс при

такой вещественной частотной характеристике, в соответствии с (5.59),

определяется следующей формулой:

⎭

⎬

⎫

⎩

⎨

⎧

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

+−

−

χτ cos τcos

) τ(χ) (τ

χ1

) τ(χ

) (τ

iii

SSSh

, (5.60)

где

ωτ t= — время в относительных единицах.

Кривые переходного процесса ) τ(

h по сути своей являются пере-

ходными характеристиками и называются

h -функциями.

Согласно (5.60) получены конкретные числовые значения ) τ(

h при

заданных значениях 1χ0

≤

≤ (табл. 5.1).

При построении переходного процесса в системе автоматического ре-

гулирования по вещественной частотной характеристике с использованием

h -функций ее необходимо разбить на ряд типовых трапециевидных ха-

рактеристик. На рис. 5.11 показано разбиение исходной вещественной час-

тотной характеристики на типовые трапециевидные характеристики. Далее

для каждой типовой трапециевидной частотной характеристики определя-

ется коэффициент наклона:

125

χ =

;

χ = ;

χ = и (0)

з1

R ; (0)

з2

R ; (0)

з3

R .

Для построения составляющих переходного процесса по

-функ-

циям необходимо перейти с относительного времени τ , значения которого

даны в первом столбце таблицы, к реальному времени путем умножения

значений τ на соответствующую частоту ω

. В соответствии с обозначе-

ниями принятыми на рис. 5.11, а получим

011

τω=t ;

022

τω

t ;

033

τω

t .

Далее необходимо найти столбцы цифр, определяющие значения

функ-ций для соответствующих значений

χ , умножить на (0)

зi

R , в ре-

зультате получим зависимости

(0)

з1χ1з1

Rh(t)х = ; (0)

з2χ2з2

Rh(t)х

; (0)

з3χ3з3

Rh(t)х

по которым строятся составляющие переходного процесса, как это показа-

но на рис. 5.11, в, и переходный процесс в рассматриваемой системе, яв-

ляющийся суммой всех составляющих

(t)х(t)х(t)хх(t)

321

= .

126

Таблица 5.1

127

Рис. 5.11. Построение переходного процесса

по трапециевидным характеристикам

Данный способ построения переходного процесса, отличаясь просто-

той, позволяет судить о качестве процесса регулирования и с достаточной

точностью определяет его показатели.

Пример

. Построить переходный процесс приближенным методом по

вещественной характеристике замкнутой системы автоматического регу-

лирования структурная, схема которой приведена на рис. 5.12, используя

при этом логарифмические частотные характеристики разомкнутой систе-

мы, при следующих параметрах:

= 5, K

= 10, K

о.с

= 0,1, Т

= 0,15 с, Т

= 0,1 с, Т

= 0,2 с.

Решение.

Передаточная функция внутреннего контура

128

1)(

Tpp

(p)W

где

2,5

0,251

⋅+

K' , 0,075

0,251

0,15

⋅+

T ,

где

— передаточный коэффициент внутреннего контура;

Т — постоянная времени внутреннего контура.

Рис. 5.12. Структурные схемы:

а — исходная;

б — преобразованная разомкнутая

Передаточная функция разомкнутой системы

1)1)(0,1(0,075

2,5

1)1)((

о.с2

pppрТTpp

KKK'

(p)W

Частоты сопряжения логарифмической амплитудной фазовой частот-

ной характеристики будут следующими:

с1

с 10

0,1

−

===

с2

с 13,3

0,075

−

===

Ордината точки с абсциссой

с 1ω

−

равна 20 lg K′ = 20 lg 2,5 = 13 дБ.

Логарифмическая фазовая частотная характеристика

129

)arctg(0,1ω5ωωarctg(0,0790ω)arctgarctg(

θ(ω)

−−−=−−−=

TT(ω) .

Результаты расчета:

1 2 3 5 7 10 15 20

)(ωθ

–100°

–110°

–119°

–136°

–152°

–172° –190°

–200°

В соответствии с полученными исходными данными на рис. 5.12 по-

строены логарифмические амплитудная и фазовая частотные характери-

стики разомкнутой системы.

Рис. 5.13. Логарифмические амплитудная и фазовая

частотные характеристики

Исходя из номограммы (см. рис. 5.9) по логарифмическим частотным

характеристикам на рис. 5.14 построена вещественная частотная характе-

ристика замкнутой системы с единичной обратной связью, в которой вы-

ходным сигналом является )(tх

о.с

Для построения кривой переходного процесса с использованием таб-

лицы

) τ(

h -функций вещественная частотная характеристика аппроксими-

рована двумя типовыми трапециевидными характеристиками (см. рис. 5.14)

со следующими параметрами:

130

трапеция I:

1,3(0)

зI

=R ;

с 5(0)ω

−

;

с 0,7(0)ω

−

; 0,14

0,7

=== ;

трапеция II:

0,3(0)

зII

−=R ;

с 18(0)ω

−

;

с 7,2(0)ω

−

; 0,4

7,2

=== .

Рис. 5.14. Вещественная частотная характеристика замкнутой системы

и ее аппроксимация трапециевидными характеристиками

Рис. 5.15. Кривая переходного процесса, построенного по трапециевидным

вещественным частотным характеристикам

131

Исходя из таблицы ) τ(

h -функций и учитывая, что значения реаль-

ного времени и составляющие переходного процесса соответственно, бу-

дут следующими:

t = ,

t , (0)

зIχI I

Rhх

, (0)

зIIχII II

RhХ

получим исходные данные для построения кривой переходного про-

цесса (табл. 5.2).

Таблица 5.2

Данные для построения переходного процесса

Трапеция I Трапеция II

0 0 0 0 0 0 0

0,4 0,1459 0,08 0,195 0,1712 0,02 0,05

0,8 0,2886 0,16 0,38 0,3370 0,04 0,1

1,2 0,4218 0,24 0,55 0,4931 0,07 0,15

1,6 0,5452 0,32 0,71 0,6871 0,09 0,21

2,0 0,6553 0,4 0,85 0,7853 0,11 0,24

2,8 0,8291 0,56 1,08 0,9783 0,16 0,29

3,6 0,9399 0,72 1,22 1,0853 0,2 0,33

4,4 0,9959 0,88 1,29 1,1196 0,24 0,34

6 1,013 1,2 1,32 1,068 0,33 0,32

7 1,006 1,4 1,31 1,023 0,39 0,31

9 1,016 1,8 1,32 0,992 0,5 0,3

11 1,029 2,2 1,34 1,093 0,61 0,33

По полученным данным на рис. 5.15 построен переходный процесс.

132

ГЛАВА 6.

СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

В практике исследования, расчета и проектирования систем автомати-

ческого регулирования, как правило, приходится решать две основные за-

дачи. Первая задача связана с определением и оценкой качественных пока-

зателей переходного процесса, возникающего в результате воздействия на

систему внешних управляющих или возмущающих сигналов,— это задача

анализа систем автоматического регулирования, рассмотренная выше.

Вторая задача

связана с определением структуры и параметров системы

автоматического регулирования по заданным требованиям к системе и ка-

честву переходных процессов — это задача синтеза систем автоматическо-

го регулирования.

Обе эти задачи имеют много общего и в значительной мере взаимо-

связаны. Однако решение второй задачи — задачи синтеза — значительно

сложнее по сравнению с решением

первой, что обусловлено некоторым

рядом причин. Прежде всего, решение задачи синтеза не всегда является

однозначным в силу того, что одни и те же требования, предъявляемые к

системе, могут быть удовлетворены различными путями.

К системе автоматического регулирования и качеству переходного

процесса могут предъявляться требования, иногда противоречащие друг

другу, и в этом случае

возникает задача, требующая компромиссного ре-

шения. Может оказаться, что реализация результата решения задачи синте-

за связана с большими техническими трудностями, а иногда и неосущест-

вима. В этих случаях возникает необходимость видоизменения структуры

системы и выбора ее параметров из условия технической реализуемости и

максимально возможного удовлетворения требований к системе автомати-

ческого

регулирования.