Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

133

6.1. ХАРАКТЕРИСТИКА ЗАДАЧ СИНТЕЗА

В общем случае любую систему автоматического регулирования

можно представить в виде двух частей, одна из которых включает в себя

функционально необходимые звенья, структура и параметры которых за-

даны и изменению не подлежат, а вторая — звенья, параметры которых

можно изменять в определенных пределах, и звенья, вводимые дополни-

тельно с определенными структурами и

параметрами, обеспечивающие

удовлетворение требований, предъявляемых к системе автоматического

регулирования в целом. Естественно, что вторая, изменяемая часть систе-

мы, должна быть технически реализуемой.

Если при решении задач анализа полностью известна структурная

схема и заданы все ее параметры, а требуется оценить ее статические свой-

ства (точность, устойчивость, качество), то задачи синтеза можно

рассмат-

ривать как обратные задачам анализа, и в результате их решения опреде-

ляются структура и параметры исходя из заданных показателей по статике

и динамике.

Однако в большинстве случаев задача синтеза упрощается и сводится

к определению структуры и параметров дополнительных звеньев и связей,

вводимых в основную систему автоматического регулирования.

Дополнительно вводимые в

систему автоматического регулирования

обратные связи и звенья называются корректирующими

Принципиально корректирующие звенья могут включаться либо по-

следовательно с основными звеньями, либо параллельно им, как показано

на рис. 6.1. Соответственно, по способу включения в систему корректи-

рующие звенья делятся на последовательные

и параллельные.

134

Рис. 6.1. Структурные схемы систем автоматического регулирования:

а — с последовательной коррекцией; б — с параллельной коррекцией

Таким образом, синтезом системы автоматического регулирования на-

зывается процедура определения структуры и параметров системы или от-

дельных корректирующих связей и звеньев по заданным (желаемым) ди-

намическим свойствам.

В соответствии со структурными схемами, приведенными на рис. 6.1,

передаточные функции запишутся в следующем виде: для системы с по-

следовательной коррекцией

(p)(p)W(p)W(p)WW

W(p)

321к

1 +

; (6.1)

для системы с параллельной коррекцией

][1

43к1

431

(p)(p)WW(p)W(p)W

(p)(p)W(p)WW

W(p)

= . (6.2)

Из приведенных передаточных функций следует, что эффективность

влияния корректирующего звена при параллельной коррекции будет выше,

чем при последовательной коррекции, в силу того, что в первом случае пере-

даточная функция корректирующего звена входит только в знаменатель, а во

втором случае — в числитель и знаменатель

передаточной функции системы.

Существует ряд инженерных расчетных методов синтеза систем авто-

матического регулирования, если понимать эту задачу ограниченно, как

указано выше. Достаточно эффективен аналитический метод синтеза таких

135

систем по желаемой передаточной функции и частотный метод по лога-

рифмическим частотным характеристикам с использованием желаемой ло-

гарифмической частотной характеристики системы.

6.2. АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД

СИНТЕЗА СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ ПО ЖЕЛАЕМОЙ

ПЕРЕДАТОЧНОЙ ФУНКЦИИ

Этот метод основан на определении передаточной функции корректи-

рующего звена, исходя из условия максимально возможного приближения

передаточной функции скорректированной системы к желаемой переда-

точной функции. Таким образом, для решения задачи синтеза системы

этим методом необходимо получить желаемую передаточную функцию.

Желаемая передаточная функция, удовлетворяющая предъявляемым

к системе требованиям, определяется по нормированной передаточной

функции с использованием теоремы масштабов из теории функции ком-

плексного переменного, которая формулируется следующим образом. Ес-

ли функция k(t) преобразуется по Лапласу и имеет изображением функцию

K(p), то умножение переменной р на постоянное число z в комплексной

области соответствует в вещественной области делению как оригинала, так

и его

аргумента на это число:

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

LK(zp)

. (6.3)

Постоянное число z в дальнейшем будем называть коэффициентом

масштаба времени.

Нормированной передаточной функцией называется функция, харак-

теризуемая определенным законом распределения нулей и полюсов на

комплексной плоскости, исходя из какого-либо определенного условия. К

числу этих условий относятся следующие:

Минимальное время регулирования.

136

Приближение характеристик системы регулирования к характери-

стикам идеального фильтра.

Критическое затухание переходного процесса.

Максимальная степень устойчивости системы регулирования.

Наиболее часто (особенно для электроприводов) системы автоматиче-

ского регулирования синтезируются из условий минимального времени ре-

гулирования и критического затухания переходного процесса. Значение

коэффициентов полиномов знаменателей нормированных передаточных

функций, исходя из этих условий, приведены в табл. 6.1 и 6.2.

Таблица 6.1

Минимальное время регулирования

Сте-

пень

Коэффициенты полинома знаменателя нормированной передаточ-

ной функции

1 1

1 1,38 1

1 2,05 2,39 1

1 2,6 3,8 2,8 1

1 2,5 5,3 5,46 3,64 1

1 3,73 8,0 10,3 8,56 4,18 1

Таблица 6.2

Критическое затухание переходного процесса

Сте-

пень

Коэффициенты полинома знаменателя нормированной передаточ-

ной функции

1 1

1 1,5 1

1 2,5 2,5 1

1 3,0 4,25 3,0 1

1 4,0 7,25 7,25 4,0 1

1 4,5 9,75 12,375 9,75 4,5 1

Полином числителя нормированной передаточной функции для сис-

тем автоматического регулирования с астатизмом нулевого и первого по-

137

рядка принимается нулевого порядка, т. е. числитель нормированной пере-

даточной функции статической системы принимается равным передаточ-

ному коэффициенту замкнутой системы с единичной обратной связью, а

числитель астатической системы первого порядка — равным единице.

Нормированные переходные функции, полученные исходя из указан-

ных условий, приведены на рис. 6.2.

Рис. 6.2. Переходные функции:

а — минимальное время регулирования;

б — критическое затухание

Желаемая передаточная функция W

получается исходя из нормиро-

ванной W

путем умножения ее аргумента на масштаб времени z:

(

)

(

)

zpWpW

нж

. (6.4)

При этом не изменяется характер распределения полюсов на ком-

плексной плоскости. Следовательно, и характер изменения переходной

функции остается прежним, а изменяется только ее длительность в соот-

ветствии со значением масштаба времени.

Масштаб времени

рег

z =

, (6.5)

где t

рег

— желаемое фактическое время регулирования;

— нормированное время регулирования.

Желаемое время задается как исходный параметр для синтеза системы

регулирования. Нормированное время определяется по нормированным

138

переходным функциям (см. рис. 6.2), в соответствии с порядком полинома

знаменателя нормированной передаточной функции и принимается рав-

ным интервалу времени, в течение которого нормированная переходная

функция достигает значения 0,95.

Для получения структуры и параметров корректирующего звена необ-

ходимо в структурной схеме нескорректированной системы предваритель-

но, исходя из реальных условий, выбрать вариант включения

корректи-

рующего звена (рис. 6.3) и получить передаточную функцию скорректиро-

ванной системы. В данном случае в соответствии со структурной схемой,

приведенной на рис. 6.3, б передаточная функция скорректированной сис-

темы W

ск

запишется в следующем виде:

][1

2к1

к1

(p)W(р)W(p)W

(p)(p)WW

(p)(p)WW1

(p)(p)WW

(р)

ск

. (6.6)

Рис. 6.3. Структурная схема скорректированной системы

Тогда, из условия

(р)W(р)W

жск

получим передаточную функцию корректирующего звена:

(p)W

−−=

. (6.7)

Далее на основе полученной передаточной функции необходимо ре-

шать вопрос технической реализации корректирующего звена.

Пример

. Определить структуру и параметры корректирующего звена

(р) в системе автоматического регулирования (рис. 6.4, а) из условия

критического затухания переходного процесса при следующих исходных

параметрах:

139

K = 20, K

о.с

= 0,1, Т

= 0,2 с, Т

= 0,3 с, t

рег

= 0,9 с.

Рис. 6.4. Структурные схемы:

а — исходная; б — преобразованная

Решение.

Структура и параметры W

(р) определяются исходя из структуры и

параметров замкнутой системы с выходом по Х

о.с

(р) (см. рис. 6.5, б).

Передаточная функция внутреннего контура

(p)KWpT

(p)W

к1

1 ++

= .

Передаточная функция замкнутого контура с выходом по Х

о.с

(р)

130,150,03

о.со.с

о.с

о.ск22

о.с

+++

(p)рWрр

(p)рW

ТТ

(p)рWKТрТрТТ

(р)W

KKKKKK

Нормированная передаточная функция согласно табл. 6.1

140

11,5

рр

(p)W

Нормированное время регулирования по нормированным переходным

характеристикам рис. 6.2, б

= 4,5 с.

Масштаб времени

. 0,2

4,5

0,9

рег

===

Желаемая передаточная функция

10,30,04

11,5

нж

рр

р z р z

(zр)W(р)W

Из условия равенства исходной передаточной функции желаемой пе-

редаточной функции

10,30,04130,150,03

++=+++ рр(р)рWрр

( ) 0,0033 0,05W рр

6.3. ПОСТРОЕНИЕ ЖЕЛАЕМЫХ

ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ ЧАСТОТНЫХ

ХАРАКТЕРИСТИК РАЗОМКНУТОЙ СИСТЕМЫ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Метод синтеза систем автоматического регулирования на основе ло-

гарифмических частотных характеристик наиболее широко применяется

в инженерной практике.

Он основан на том, что логарифмические частотные характеристики

исходной разомкнутой нескорректированной системы за счет введения

корректирующего звена с соответствующими логарифмическими частот-

ными характеристиками, максимально возможно приближаются к желае-

мым логарифмическим частотным характеристикам разомкнутой системы

141

Следовательно, для выполнения синтеза системы автоматического ре-

гулирования по данному методу, т. е. для определения логарифмических

частотных характеристик корректирующего звена, необходимо иметь же-

лаемые логарифмические частотные характеристики разомкнутой системы.

Желаемая логарифмическая амплитудная частотная характеристика

разомкнутой системы строится исходя из требований, предъявляемых к

скорректированной системе. К этим требованиям относятся статическая

точность,

или коэффициент усиления, порядок астатизма, время регулиро-

вания, перерегулирование.

Логарифмическую амплитудную частотную характеристику разомк-

нутой системы можно разделить на три части: низкочастотную, среднечас-

тотную и высокочастотную (рис. 6.5).

Рис. 6.5. Желаемая логарифмическая амплитудная характеристика

Низкочастотная часть определяет статические свойства системы автома-

тического регулирования, т. е. точность и порядок астатизма. Исходя из это-

го, построение низкочастотной части логарифмической амплитудной частот-

ной характеристики осуществляется следующим образом. С учетом заданной

точности определяется коэффициент усиления разомкнутой системы

ст

∆

∆1

−

=K , (6.8)

согласно которому в плоскости L(ω) и ω определяется координата точки

KL lg 20) (ω

и ω

= 1. Через эту точку проводится прямая, часть кото-

142

рой и будет низкочастотной частью логарифмической амплитудной час-

тотной характеристики. Очевидно, что для статической характеристики

(ν = 0) это будет прямая, параллельная оси абсцисс, а для системы с аста-

тизмом первого порядка (1ν

) — прямая с наклоном –20 дБ/дек.

Среднечастотная часть в основном предопределяет динамику системы,

т. е. время регулирования и перерегулирования. Исходя из этих параметров,

характеризующих переходный процесс, можно получить логарифмическую

амплитудную частотную характеристику в диапазоне средних частот.

Рядом исследований установлено, что наклон желаемой амплитудной

частотной характеристики в диапазоне средних частот должен быть

равен

–20 дБ/дек, и эта характеристика должна пересекать при этом ось абсцисс

на частоте среза

ср

ω (см. рис. 6.5).

Для определения частоты среза по типовой вещественной частотной ха-

рактеристике, приведенной на рис. 6.6, в зависимости от максимального зна-

чения этой характеристики R

и при различных значениях

χ = ,

χ = получены номограммы, устанавливающие зависимости перерегули-

рования и времени регулирования от R

(

)( δ

и )(

мрег

R ft = .

Эти зависимости для статических и астатических с астатизмом первого по-

рядка систем автоматического регулирования приведены на рис. 6.7.

Частота среза и время регулирования связаны между собой следую-

щим соотношением:

ср

рег

πK

t =

. (6.9)

Таким образом, по представленным на рис. 6.7 номограммам в зави-

симости от перерегулирования δ(%) определяется конкретное значение

ср

πK

, а исходя из (6.7) вычисляется частота среза

рег

ср

= . (6.10)

Значения частот ω

и ω

(см. рис. 6.5) определяют минимальный диа-

пазон среднечастотной части логарифмической амплитудной частотной