Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

103

При использовании критерия Найквиста необходимо получить пере-

даточную функцию разомкнутого контура (см. рис. 4.27, г)

) ω(

jР

(p)W = , (4.53)

по передаточной функции разомкнутой системы получить амплитудно-

фазовую частотную характеристику

) ω(

jР

jW = , (4.54)

представить ее в виде суммы вещественной и мнимой составляющей:

(jω) = R

(ω) + jI

(ω), (4.55)

и построить амплитудно-фазовую частотную характеристику в координа-

тах R

(ω) и I

(ω).

104

ГЛАВА 5.

КАЧЕСТВО ПРОЦЕССОВ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Любая система автоматического регулирования, для того чтобы удов-

летворять своему назначению, как отмечалось выше, прежде всего должна

быть устойчивой.

Однако устойчивость является необходимым, но недостаточным ус-

ловием технической пригодности системы автоматического регулирования

в конкретных условиях.

Кроме требования устойчивости, к системе автоматического регули-

рования предъявляется требование удовлетворения так называемых каче-

ственных показателей

процесса регулирования, т. е. желаемого характера

протекания переходного процесса.

5.1. ПОКАЗАТЕЛИ КАЧЕСТВА

ПРОЦЕССА РЕГУЛИРОВАНИЯ

Под понятием качества процесса регулирования обычно понимают:

во-первых, время, в течение которого протекает переходный процесс, во-

вторых, наибольшую величину отклонения регулируемого параметра от

его новой установившейся величины и, в-третьих, точность воспроизведе-

ния управляющих сигналов как в статике, так и динамике. Это основные

показатели качества процесса регулирования, и они задаются

допустимы-

ми пределами изменения.

Необходимо заметить, что вообще требования к качеству процесса ре-

гулирования и количество его показателей зависят от конкретных условий

работы той или иной системы автоматического регулирования. В связи

с этим, кроме основных требований к характеру протекания переходного

процесса, могут возникать и другие дополнительные, например условие

монотонности протекания

переходного процесса, ограничение числа коле-

баний выходного параметра в интервале времени протекания переходного

процесса, обеспечение желаемого характера протекания переходного про-

105

цесса и показателей точности при воздействии на систему возмущающих

сигналов и др. Вопрос удовлетворения дополнительных требований к ка-

честву процесса регулирования решается индивидуально, применительно к

конкретной системе автоматического регулирования.

Остановимся на рассмотрении основных параметров качества процес-

са регулирования, к которым относятся:

Время регулирования или время протекания переходного процесса.

Перерегулирование.

Точность.

Требования, предъявляемые к качественным показателям процесса ре-

гулирования, можно представить графически в виде некоторой области, за

пределы которой не должен выходить регулируемый параметр, как в ста-

тике, так и в динамике. Такая область приведена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Диаграмма качественных показателей

переходного процесса

5.2. ВРЕМЯ РЕГУЛИРОВАНИЯ

И ПЕРЕРЕГУЛИРОВАНИЕ

Предварительно рассмотрим возможные виды переходных процессов

(переходных характеристик) в устойчивых системах автоматического ре-

гулирования при подаче на вход ступенчатого входного сигнала, в частном

случае единичного. Их всего четыре (рис. 5.2):

Колебательные (два и более колебаний).

Малоколебательные (одно колебание).

Колебательные без перерегулирования.

106

Монотонные.

Рис. 5.2. Виды переходных процессов:

1 — колебательный;

2 — малоколебательный; 3 — колебательный

без перерегулирования;

4 — монотонный

Перерегулированием называется максимальное отклонение регули-

руемого параметра в переходном режиме от своего нового установившего-

ся значения при подаче на вход системы автоматического регулирования

ступенчатого входного сигнала, отнесенного к этому значению (рис. 5.3).

Перерегулирование выражается в процентах

100.

∆

% δ

уст

⋅=

(5.1)

Время регулирования

— это интервал времени, в течение которого ре-

гулируемая величина достигает 0,95 х

уст

, как это показано на рис. 5.4. Вре-

мя регулирования определяет быстродействие системы автоматического

регулирования. Необходимо различать время регулирования и время про-

текания переходного процесса. Как видно из рис. 5.4, время протекания

переходного процесса — это интервал времени, в течение которого откло-

нение регулируемого параметра уменьшается до значения, определяемого

допустимой статической ошибкой. Очевидно, что

в случае колебательных

процессов при одинаковом времени регулирования время протекания пе-

реходных процессов может быть различным и будет зависеть от степени

колебательности и требуемой точности. При переходных процессах без

перерегулирования время регулирования и время протекания переходного

процесса практически равны.

107

Рис.

5.3. Переходный процесс с

перерегулированием

Рис. 5.4. Определение времени

регулирования

5.3. ТОЧНОСТЬ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Характеристикой точности системы автоматического регулирования в

общем случае является ошибка

, которая определяется как разность между

выходным сигналом, приведенным к входу системы, и входным сигналом.

Эти сигналы являются функциями времени:

)()()(δ

вхвыхош

tхtхt

−

. (5.2)

Это означает, что исходная структурная схема системы автоматиче-

ского регулирования для определения ошибки должна быть приведена к

системе с единичной обратной связью (рис. 5.5).

Согласно этой схеме получим следующие соотношения:

⎭

⎬

⎫

−=

)()(∆

)( ∆)(

1вх

разо.с1

pХpХр

рWрKрХ

(5.3)

из которых ошибка по сигналу

)(

)(1

∆

вх

разо.с

рХ

рWK

= , (5.4)

а ошибка, приведенная к выходному сигналу, равна

108

Рис. 5.5. Структурная схема системы автоматического регулирования:

а —

исходная;

б — преобразованная

(р)Х

(р)WK

(р)Х

вх

разо.с

о.с

вых

∆

= . (5.5)

Оценка ошибки системы автоматического регулирования, как пра-

вило, производится при ступенчатом входном сигнале

const

вх

(t)Х .

Для получения статической ошибки необходимо в (5.5) принять р = 0.

Тогда значение статической ошибки будет зависеть от передаточного ко-

эффициента K

раз

и полинома знаменателя передаточной функции W

раз

(р).

Если в полиноме знаменателя имеется член, не зависящий от р, то

в соответствии с (5.5) статическая ошибка

(0)

(0)∆δ

вх

разо.с

о.с

выхст

== , (5.6)

и такая система автоматического регулирования называется статической

Если же в знаменателе W

раз

(р) есть сомножитель

р , то статической ошиб-

ки при ν = 1, 2, 3 … в системе не будет, т. е.

0δ

ст

109

а система автоматического регулирования называется астатической ν-го

порядка (первого, второго и далее порядка).

Для ряда систем автоматического регулирования, а в частности сле-

дящих систем, важным показателем качества является ошибка при воздей-

ствии на систему медленно меняющегося входного сигнала. В этом случае

эффективным и наиболее приемлемым является способ определения

ошибки через коэффициенты ошибки.

Из (5.4) передаточная функция замкнутого контура (см.

рис. 5.5) по

ошибке равна

(р)WK(р)X

(p)

(p)W

разо.свх

∆

1∆

== . (5.7)

В общем виде передаточная функция

...

210

раз

++++

pcpcpcc

pbpbpbb

(p)W , (5.8)

тогда (5.7) запишется в следующем виде:

()()()()

...

33o.c

22o.c11o.c00o.c

210

∆

++++++++

++++

pcbKpcbKpcbKcbK

pcpcpcc

(p)W

.(5.9)

Обозначив

iii

cbKa +=

о.с

и вынося за скобки с

и а

, получим

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++++

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++++

...1

∆

(p)W . (5.10)

Приняв обозначения

000

=== ,

получим

...1

раз

++++

pApApA

pMpMpM

R(p)W . (5.11)

110

Разделив в (5.11) полином числителя на полином знаменателя, получим

∑

(i)

S(p)W

0∆

(5.12)

или

...

1∆

210

вх

∆

++++== pSpSpSS

(р)X

(p)

(p)W (5.13)

Следовательно,

(p)pXS(р)ХS(р)

вх1вх0

∆ += + (p)XpS

вх

...

вх

+(p)XpS (5.14)

Переходя к оригиналу, получим

(t)dх

S(t)хS(t)

вх

1вх0

+= +

вх

(t)хd

S +

...

(t)хd

S +

вх

. (5.15)

Для приведения ошибки к выходному сигналу х

вых

(t) необходимо

(5.15), согласно рис. 5.5, б, умножить на 1/K

о.с

⎢

⎣

⎡

(t)х

S(t)хS

(t)

вх

1вх0

о.с

ош

вх

(t)х

S +

⎥

⎦

⎤

+ ....

(t)хd

вх

. (5.16)

В этих выражениях постоянные коэффициенты S

, S

, … опре-

деляются, с учетом вышепринятых обозначений, по коэффициентам поли-

номов числителя и знаменателя передаточной функции W

раз

(р). Называют-

ся эти постоянные коэффициенты коэффициентами ошибки

Таким образом, ошибка в системе автоматического регулирования

при медленно меняющемся входном сигнале зависит от величины самого

входного сигнала и от всех его производных.

5.4. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА

Интегральные методы относятся к косвенным методам оценки качест-

ва процесса регулирования. Эти методы основаны на вычислении опреде-

111

ленных интегралов в пределах от 0 до ∞ от некоторых функций отклоне-

ния регулируемого параметра. Такой функцией отклонения, как правило,

является разность между координатами некоторой идеализированной кри-

вой переходного процесса х

(t) и реальной х(t). За идеализированную кри-

вую может быть принята кривая, непрерывно дифференцируемая в интер-

вале времени от 0 до ∞. Наиболее приемлемыми идеализированными

функциями являются ступенчатая и экспоненциальная. В данном случае

применительно к рассматриваемым методам в качестве идеализированной

функции используется ступенчатая (рис. 5.6), а характер изменения функ-

ции отклонения

определяется разностью между текущими значениями

идеализированной и реальной кривых переходного процесса

)х(t(t)х(t)

−

∆ . (5.17)

Рис. 5.6. Графики идеализированного и реального

переходных процессов

Следовательно, о качестве переходного процесса, т. е. о мере его при-

ближения к идеализированному, можно судить по площади, ограниченной

кривыми х

(t) и х(t), (см. рис. 5.6) или по площади, ограниченной кривой

(t)∆ и осями координат, как это показано на рис. 5.7, в зависимости от сте-

пени колебательности фактического переходного процесса.

Исходя из этого предложены косвенные интегральные методы оценки

качества переходных процессов, основным из которых является интегралы

следующих видов:

∫

∞

d∆

t(t)J ; (5.18)

112

∫

∞

)]( [∆

tJt; (5.19)

Рис. 5.7. Показатели качества по интегральным оценкам

∫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

∞

∆ d

)]( [∆ t

(t)

TtJ . (5.20)

Таким образом, приведенные интегралы являются критериями, или

показателями, оценки качества процесса регулирования.

Первый критерий качества — линейный, т. е. интеграл J

выражает

алгебраическую сумму заштрихованных площадей, ограниченных кривой

)(∆

. Вследствие этого применение линейного критерия ограничено.

Он может быть применен только в случае, когда переходный процесс про-

текает без перерегулирования (см. рис. 5.7, а). Очевидно, что качество пе-

реходного процесса будет тем выше, чем меньше J

При наличии незначительных колебаний (см. рис. 5.7, б) целесообразно

использовать квадратичный критерий качества, т. е. интеграл J

. По сути это

так называемая модульная оценка качества процесса регулирования, выра-

жающая общую сумму площадей, ограниченных кривой )(∆

, без учета

знака. Здесь также качество процесса будет тем выше, чем меньше J

При существенных колебаниях (см. рис. 5.7, в) необходимо использо-

вать критерий J

, который, являясь квадратичным, кроме самих отклоне-

ний учитывает с весовым коэффициентом Т производную отклонений.

Этот коэффициент, в зависимости от желаемого времени переходного про-

цесса t

, принимается в пределах

пп

3 6 tТt

≤