Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

143

характеристики, и их можно определить по значениям L

и L

из номо-

граммы (см. рис. 5.9), которые в свою очередь находятся по R

, получен-

ным из номограмм, показанных на рис. 6.7. Значения частот ω

и ω

также

можно приближенно принять следующими:

ср3

4)ω(2ω

−

= ;

ср

ω =

Рис. 6.6. Типовая вещественная частотная характеристика

Рис. 6.7. Номограммы для определения частоты среза:

а — статических систем; б — астатических первого порядка систем

144

Далее необходимо выполнить сопряжение низкочастотной и средне-

частотной части. Это производится прямой с наклоном, равным или превы-

шающим более –20 дБ/дек

При этом частота сопряжения ω

должна быть

больше частоты ω = 1 или равна ей и меньше частоты ω

или равна ей.

Высокочастотная часть логарифмической амплитудной частотной ха-

рактеристики относительно мало влияет на характер протекания переход-

ного процесса. Вследствие этого ее целесообразно, с целью упрощения

структуры корректирующего устройства, по возможности выбрать анало-

гичной исходной нескорректированной системе.

6.4. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ

КОРРЕКЦИЕЙ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ

ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

В системе автоматического регулирования с последовательной кор-

рекцией корректирующее звено включается последовательно с основными

звеньями, как это показано на рис. 6.8. При этом прежде чем приступить к

решению задачи синтеза, исходную замкнутую систему необходимо при-

вести к системе с единичной обратной связью.

Рис. 6.8. Структурная схема системы автоматического регулирования

с последовательной коррекцией

Передаточная функция контура с единичной обратной связью в ра-

зомкнутом состоянии запишется в следующем виде:

(р)(р)WW(p)W

p исхк

, (6.11)

где

(р)(р)W(р)WW(p)W

о.с21исх

;

(р) — передаточная функция корректирующего звена;

145

исх

— передаточная функция разомкнутого контура исходной систе-

мы с единичной обратной связью.

Из условия равенства передаточной функции разомкнутой скорректи-

рованной системы и желаемой передаточной функции

(p)W(р)W

жр

(6.12)

получим, что

(p)W

исх

= . (6.13)

Переходя к частотным характеристикам, найдем

ω)(

исх

= ,

или

) (ωθ

исх

) (ωθ

исх

ω)(

⋅

=⋅

j(W

. (6.14)

Логарифмируя (6.14), можно записать

ω)(lg 20ω)(lg 20ω)(lg 20

исхжк

jW jW jW −= , (6.15)

ω)( argω)( argω)( arg

исхжк

jWjWjW

−

(6.16)

или

) (ω) (ω) (ω

исхжк

LLL

−

, (6.17)

) (ωθ) (ωθ) (ωθ

исхжк

−

. (6.18)

Из полученных соотношений следует порядок получения логарифми-

ческих частотных характеристик корректирующего звена (рис. 6.9):

Построить логарифмические частотные характеристики разомкну-

того контура с единичной обратной связью исходной нескорректирован-

ной системы

) (ω

исх

) (ωθ

исх

;

146

В соответствии с требованиями к качеству переходного процесса

построить желаемые логарифмические частотные характеристики

) (ω

исх

) (ωθ

исх

Вычитая ординаты логарифмических частотных характеристик не-

скорректированной системы из ординат желаемых логарифмических час-

тотных характеристик, строятся логарифмические частотные характери-

стики корректирующего звена

) (ω

По полученным логарифмическим частотным характеристикам

корректирующего звена определить его структуру и параметры.

Рис. 6.9. Построение логарифмических частотных характеристик

для синтеза системы с последовательной коррекцией

147

Пример

. Определить передаточную функцию последовательного кор-

ректирующего звена в системе автоматического регулирования, приведен-

ной на рис. 6.10, при следующих параметрах:

= 0,55 с, Т

= 0,02 с, K

= K

= 10 с

–1

, K

о.с

= 0,2 с

–1

% 20σ = ,

0,065∆

ст

, t

рег

= 1,5 с.

Решение.

Передаточный коэффициент исходной нескорректированной разомк-

нутой системы

= K

о.с

=10 ⋅ 10 ⋅ 0,2 = 20.

Рис. 6.10. Структурная схема системы автоматического регулирования

с последовательным корректирующим звеном

(р)

Тогда

. дБ 26 lg 20

Частоты сопряжения логарифмической амплитудной частотной харак-

теристики будут следующими:

с1

с 1,8

0,55

−

===

с2

с 50

0,02

−

===

Согласно полученным значениям на рис. 6.11 построена

) (ω

исх

. В со-

ответствии с указанным перерегулированием из номограммы рис. 6.7,

а.

π2,8

ср

рег

=t .

148

Исходя из этого и заданного

рег

, частота среза желаемой

) (ω

исх

ср

с 6

1,5

3,142,8

−

⋅

Через точку ω

ср

на рис. 6.11 под наклоном — 20 дБ/дек проведена пря-

мая, соответствующая

) (ω

исх

в диапазоне средних частот.

Рис. 6.11. Логарифмические амплитудные частотные характеристики

системы автоматического регулирования с последовательной коррекцией

Согласно вышеприведенным рекомендациям диапазон средних частот

.с 2

,с 1863ω 3ω

ср

ср3

−

===

=⋅==

Желаемый передаточный коэффициент скорректированной разомкну-

той системы

,с 14,4

0,065

0,0651

∆

∆1

–1

ст

−

дБ. 23 lg 20

149

Прямая с наклоном –40 дБ/дек проведена через точку на

) (ω

исх

абсциссой ω

с1

, среднечастотная часть

) (ω

исх

сопряжена с

низкочастотной частью

) (ω

исх

с частотой сопряжения ω

= 0,9 с

–1

С учетом условия упрощения реализации корректирующего звена вы-

сокочастотная часть

) (ω

исх

проведена параллельно

) (ω

исх

Исходя из того, что

) (ω) (ω) (ω

исхжк

LLL

−

на рис. 6.11 построена

) (ω

, согласно которой можно записать

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−= 1ω

20lg1ω

lg 20lg 20) (ω

с15

кк

В соответствии с этим

кк

рТ

K(р)W

где

с 0,56

1,8

с1

===Т , с 1,11

0,9

===Т .

Из условия

дБ 32623 lg 20 lg 20 lg 20

ржк

−

= KKK ,

передаточный коэффициент корректирующего звена K

= 1,41.

6.5. СИНТЕЗ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО

РЕГУЛИРОВАНИЯ С ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ

КОРРЕКЦИЕЙ ПО ЛОГАРИФМИЧЕСКИМ

ЧАСТОТНЫМ ХАРАКТЕРИСТИКАМ

В системе автоматического регулирования с параллельной коррекцией

корректирующее звено включается встречно-параллельно с одним звеном

или группой звеньев нескорректированной системы. В результате этого

150

образуется дополнительный внутренний замкнутый контур через коррек-

тирующее звено (рис. 6.12). Как и в предыдущем случае, исходную замк-

нутую систему необходимо привести к системе с единичной обратной свя-

зью по внешнему контуру.

В результате этого передаточная функция контура с единичной обрат-

ной связью в разомкнутом состоянии запишется в следующем виде:

(р)(p)WW

(р)W

(p)W

к1

исх

1 +

, (6.19)

где

(р)(р)W(р)WW(p)W

о.с21исх

Соответственно комплексная частотная характеристика скорректиро-

ванной разомкнутой системы запишется в следующем виде:

) ω( ) ω(1

) ω(

к1

исх

jWjW

= . (6.20)

Рис. 6.12. Структурная схема системы автоматического регулирования

с параллельной коррекцией

В диапазоне частот, когда

1) ω() ω(

к1

<jWjW

уравнение (6.20) можно приближенно записать следующим образом:

(р)W(p)W

исхp

≈

. (6.21)

Из этого следует, что в таком диапазоне частот корректирующая

связь, т. е. корректирующее звено, практически не влияет на частотную ха-

рактеристику скорректированной системы.

151

В диапазоне частот, когда

1) ω() ω(

к1

>>jWjW

уравнение (6.20) можно приближенно записать в виде

) ω() ω(

) ω(

исх

jWjW

j(W

= (6.22)

Из этого следует, что в указанном диапазоне частот корректирующая

связь существенно влияет на частотные характеристики скорректирован-

ной системы. В связи с этим частотную характеристику следует опреде-

лять на основе выражения (6.22).

Представим частотные характеристики, входящие в выражение (6.22),

в показательной форме, тогда (6.22) запишется в следующем виде:

()

jWj(W

) (ωθ

ωθ

) (ωθ

исх

ωθ

к1

исх

) ω() ω(

) ω(

⋅⋅

⋅

=⋅ , (6.23)

отсюда, при условии ) ω() ω(

жp

jWjW

, частотная характеристика кор-

ректирующего звена

) (ωθ

исх

) (ωθ

ж1

исх

ее

) ω() ω(

) ω(

⋅⋅

⋅

=⋅

jWjW

. (6.24)

Логарифмируя (6.24), можно записать

ω)(lg 20ω)(lg 20ω)(lg 20

1исхк

jWjWjW −= ω)(lg 20

jW− , (6.25)

) ω( arg) ω( arg) ω( arg

1исхк

jWjWjW

−

= ) ω( arg

−

(6.26)

или

) (ω) (ω) (ω) (ω

ж1исхк

LLLL

−

; (6.27)

) (ωθ) (ωθ) (ωθ) (ωθ

ж1исхк

−

. (6.28)

Из полученных соотношений вытекает следует порядок построения ло-

гарифмических частотных характеристик корректирующего звена (рис. 6.13):

152

Строятся логарифмические частотные характеристики исходной ра-

зомкнутой нескорректированной системы с единичной обратной связью

) (ω

исх

В соответствии с требованиями к качеству переходного процесса

строятся желаемые логарифмические частотные характеристики

) (ω

исх

Строятся логарифмические частотные характеристики звена, охва-

ченного обратной связью

) (ω

По полученным логарифмическим частотным характеристикам оп-

ределяется логарифмическая частотная характеристика, представляющая

их алгебраическую сумму.

По полученным логарифмическим частотным характеристикам

корректирующего звена определяются его структура и параметры.

Пример

. Определить передаточную функцию параллельного коррек-

тирующего звена в системе автоматического регулирования, приведенной

на рис. 6.14, при параметрах предыдущего примера.

Решение.

Логарифмически исходная и желаемая амплитудные частотные харак-

теристики системы автоматического регулирования такие же, как и в пре-

дыдущем примере, и приведены на рис. 6.15.

Исходя из того, что

) (ω) (ω ) (ω) (ω

2жисхк

LLLL

−

на рис. 6.15 в соответствии с вышеизложенной методикой построена

) (ω

, согласно которой можно записать

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

+−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛

++= 1

lg 201

lg 20 lg 20) (ω

c2c15

кк

pppKL

В соответствии с этим

(

)

(

)

1)(

кк

pTpT

(р)WK

где

с 1,11

0,9

===T ; с 0,56

1,8

с1

===T ;