Динкель А.Д. Теория автоматического управления

Подождите немного. Документ загружается.

ВВЕДЕНИЕ

Курс теории автоматического управления знакомит с общими прин-

ципами построения систем автоматического управления, с методами ис-

следования, расчета и проектирования этих систем.

Задачи по управлению теми или иными явлениями или процессами,

возникающими в результате практической деятельности человека или не-

зависимо от нее, обширны и многообразны.

В результате изучения различных систем управления

была сформули-

рована идея единства законов управления независимого от того, где они

проявляются: в живом или неживом объекте. На основе этой идеи возник-

ла новая наука — кибернетика

— наука об управлении, понимаемая как

совокупность законов организации целенаправленных действий. Понятно,

что такое определение охватывает чрезвычайно широкий круг вопросов

управления. Вследствие этого кибернетика состоит из ряда разделов. Раз-

дел общей кибернетики, в котором рассматриваются вопросы управления

техническими системами, называется технической кибернетикой

Совокупность целенаправленных действий, направленных на обеспе-

чение любого процесса в цели достижения определенных результатов,

именуется управлением

Системы управления, в которых человек непосредственно не участвует

в процессе управления, называются системами автоматического управления

Любая система автоматического управления состоит из управляющей

части и объекта управления.

В дальнейшем будем рассматривать системы автоматического управ-

ления применительно к техническим объектам независимо от их физиче-

ской сущности.

Таким образом, под автоматическим управлением понимается автома-

тическое осуществление совокупности воздействий, выбранных из множе-

ства возможных на основании определенной информации и

направленных

на поддержание или улучшение функционирования управляемого объекта

в соответствии с целью управления.

Наука, изучающая процессы в системах автоматического управления,

называется теорией автоматического управления

. Частным случаем авто-

матического управления является автоматическое регулирование. Автома-

тическим регулированием

называется поддержание некоторой величины

(параметра) на заданном уровне или изменение ее по заданному закону.

Техническая система, реализующая процесс автоматического регули-

рования, называется системой автоматического регулирования

. Эта систе-

ма является неотъемлемой частью системы автоматического управления

либо функционирует самостоятельно.

Подраздел теории автоматического управления, в котором изучаются

процессы в системах автоматического регулирования, называется теорией

автоматического регулирования.

Исходя из изложенного, техническая кибернетика включает в себя

теорию восприятия и переработки информации, теорию автоматического

управления и теорию автоматического регулирования.

Кроме функций формирования управляющего сигнала на входе сис-

темы автоматического регулирования система автоматического управле-

ния может выполнять такие функции, как адаптация или самонастройка

системы в соответствии с изменением параметров ее

элементов или внеш-

них воздействий, автоматический выбор наилучшего режима работы из

нескольких возможных и др., не входящие в круг функций автоматическо-

го регулирования.

ГЛАВА 1.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ

И ХАРАКТЕРИСТИКИ

ЛИНЕЙНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Целью рассмотрения процесса автоматического управления или регу-

лирования, независимо от его назначения, является решение одной из двух

задач — задачи анализа или задачи синтеза. В первом случае задается сис-

тема и значение всех ее параметров, и требуется определить свойства сис-

темы. Во втором случае, наоборот, задаются свойства, которыми должна

обладать система, т

. е. требования к ней, и необходимо создать систему на

основе заданных функционально необходимых и дополнительных элемен-

тов, удовлетворяющую предъявляемым к ней требованиям.

В общем виде порядок исследования, расчета и проектирования сис-

тем автоматического управления и регулирования в обоих случаях вклю-

чает в себя математическое описание динамических процессов, протекаю-

щих в

системе в целом или в звеньях, из которых состоит система. Мате-

матическое описание может осуществляться в виде уравнений, связываю-

щих выходные и входные сигналы системы или отдельных звеньев, либо

графически в виде характеристик.

1.1. СТРУКТУРА, СОСТАВНЫЕ ЧАСТИ

АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ

И ИХ КЛАССИФИКАЦИЯ

Любая система автоматического управления или регулирования

включает в себя:

1. Объект управления или регулирования.

2. Информационно-исполнительную часть, в которую входят элемент

обработки информации и регулирующий элемент.

Автоматические системы строятся по разомкнутому или замкнутому

принципу, как это показано на рис. 1.1.

В разомкнутых автоматических системах выходной сигнал не контро-

лируется (см. рис. 1.1, а). В этом случае характер изменения выходного

сигнала с определенной точностью повторяет характер изменения входно-

го сигнала. При этом точность будет зависеть от свойств и параметров

эле-

ментов, составляющих систему.

В замкнутых автоматических системах выходной сигнал контролиру-

ется. Контроль осуществляется путем подачи информации о выходном

сигнале по каналу обратной связи на вход элемента обработки информа-

ции (см. рис. 1.1, б). По результатам сравнения информации о входном

и выходном сигнале элемент обработки информации осуществляет кор-

рекцию сигнала х

, направленную на минимизацию отклонения выходного

сигнала от входного. В этом случае свойства и параметры элементов в зна-

чительно меньшей степени влияют на точность. Вследствие этого точность

повышается, т. е. расхождение между выходным и входным сигналами

значительно уменьшаются по сравнению с предыдущим случаем.

На элементы автоматических систем, кроме основных управляющих

сигналов,

могут воздействовать так называемые сигналы возмущения f

, f

(см. рис. 1.1), которые соответствующим образом влияют на выходной

сигнал. В замкнутых системах это влияние будет значительно меньше, чем

в разомкнутых.

Прежде чем приступить к математическому описанию и исследованию

системы автоматического управления или регулирования ее необходимо

разбить на звенья, установить взаимосвязь между звеньями, выявить функ-

ции, выполняемые каждым звеном, и отразить

это в виде функциональной

схемы. Пример функциональной схемы приведен на рис. 1.2. Функциональ-

ная схема состоит из прямоугольников, изображающих звенья системы,

и стрелок, соединяющих выходы и входы звеньев согласно функциональ-

ным связям между ними. Стрелками также показываются внешние управ-

ляющие и возмущающие воздействия и сигнал на выходе системы.

Если на схеме отражен

ход преобразования информации и выполняе-

мых звеньями математических операций в аналитической или графической

форме, то она называется алгоритмической, исходя из определения алго-

ритма. Алгоритмом

называется всякое правило или предписание, устанав-

ливающее порядок выполнения математических или логических операций.

Пример алгоритмической схемы системы автоматического регулирования

представлен на рис. 1.3.

Рис. 1.1. Системы автоматического управления:

а — разомкнутая; б — замкнутая

ЗУ ЭС У ЭС УМ ИУ РО О

ЗОС

∆U

вых

Внутренняя

обратная связь

Главная обратная связь

Рис. 1.2. Функциональная схема системы автоматического управления:

ЗУ — задающее устройство; ЭС — элемент сравнения; У — усилитель на-

пряжения; УМ — усилитель мощности; ИУ — исполнительное устройство;

РО — регулирующий орган; О — объект; ЗОС — звено обратной связи;

— напряжение задающего сигнала; ∆U — напряжение рассогласования;

— напряжение с выхода усилителя

∆U

вых

УМ

ОС

ОС1

ОС2

∫

dtК

Рис. 1.3. Алгоритмическая схема системы автоматического регулирования:

, K

ум

— передаточные коэффициенты усилителей напряжения и мощно-

сти; K

о.с

— передаточный коэффициент обратной связи

Все системы автоматического управления или регулирования можно

разделить на линейные и нелинейные, непрерывные и дискретные, замкну-

тые и разомкнутые, цифровые и цифроаналоговые, экстремальные и опти-

мальные, адаптивные.

Звенья, входящие в системы, подразделяются на линейные и нелиней-

ные, непрерывные и дискретные. К дискретным относятся цифровые

и цифроаналоговые звенья.

Система автоматического управления или

регулирования, будет линей-

ной, если функциональная зависимость между выходными и входными сиг-

налами всех звеньев и системы в целом описывается линейными уравнения-

ми. Если же хотя бы у одного звена зависимость между выходным и входным

сигналами описывается нелинейным уравнением, то система в целом являет-

ся нелинейной. Система будет непрерывной, если

функциональная связь ме-

жду выходным и входным сигналами звеньев и системы в целом описывается

непрерывно дифференцируемыми функциями. При наличии в системе хотя

бы одного дискретного звена система является дискретной.

В цифровой системе все входные и выходные сигналы представлены в

виде цифровых кодов, а цифроаналоговые системы в своей структуре

имеют цифровые и

аналоговые звенья с непрерывно дифференцируемыми

зависимостями между выходным и входным сигналами.

Адаптивные, или самонастраивающиеся, системы обладают способ-

ностью приспосабливаться к изменению внешних условий и свойств объ-

екта управления, обеспечивая необходимое качество управления путем

изменения схемы и параметров управляющего устройства.

ум

∫

о.с1

о.с2

о.с

Оптимальными называются системы, в которых реализуется закон

управления по минимуму или максимуму критерия оптимальности, опре-

деляемый исходя из конкретных условий и задач управления.

Экстремальные системы по сути своей являются простейшими само-

настраивающимися системами. В них поддерживается экстремальное зна-

чение критерия, который характеризует работу объекта в статическом ре-

жиме, т. е

. обеспечивается работа в точке экстремума определенной стати-

ческой характеристики.

1.2. АНАЛИТИЧЕСКИЕ ЗАВИСИМОСТИ

В СИСТЕМАХ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

И РЕГУЛИРОВАНИЯ

Для установления аналитических зависимостей в системах автомати-

ческого управления и регулирования их исходная функциональная схема,

как это показано выше, должна быть разбита на простейшие, так называе-

мые типовые, звенья, исходя из выполняемых ими функций и удобства по-

лучения математического описания динамических процессов и характери-

стик, устанавливающих функциональную связь между выходным и

вход-

ным сигналами.

В теории автоматического управления и регулирования для математи-

ческого описания динамических процессов в звеньях и системе в целом

широко реализуется математический метод — преобразование Лапласа.

Основанием для этого является то обстоятельство, что такое преобра-

зование существенно облегчает исследование сложных систем, заменяя

дифференциальные уравнения алгебраическими. В частности, при реше-

нии дифференциальных уравнений применительно к сложным системам

преобразование Лапласа позволяет легко учесть начальные условия и из-

бежать сложных выкладок, связанных с определением постоянных интег-

рирования. Достаточно просто решаются также неоднородные дифферен-

циальные уравнения, позволяющие учитывать влияние возмущений на ди-

намику процессов.

1.2.1. Преобразование Лапласа и его применение

Преобразование Лапласа преобразует функцию от вещественной пе-

ременной в функцию от комплексной переменной, в результате чего диф-

ференциальное уравнение превращается в алгебраическое.

Если имеется некоторая функция f(t) независимой вещественной пе-

ременной, в данном случае времени t, то преобразование Лапласа, произ-

водимое над функцией

f(t) и преобразующее ее в функцию комплексной

переменной F(p), определяется соотношением

tf(t)F(p)

−

⋅

∫

∞

. (1.1)

В этом соотношении p — произвольная комплексная величина,

p = а + jb, (1.2)

где a и b — вещественные переменные; j =

√–1.

Функциональное преобразование вида (1.1), осуществляемое над

функцией ƒ(t), сокращенно обозначается как

F (p) = L[ƒ(t)].

При этом функция ƒ(t) называется оригиналом, а функция F(p) — изо-

бражением функции ƒ(t).

Следует заметить, что при применении преобразования Лапласа

к функции ƒ(t) в технических задачах рассматриваются значения этой

функции

при t > 0, т. е. после приложения внешних воздействий, а именно

это представляет практический интерес при решении задач автоматическо-

го регулирования.

Применительно к техническим системам, в которых зависимости ме-

жду выходными и входными сигналами описываются дифференциальными

уравнениями в полных производных с постоянными коэффициентами, при

t ≥ 0 и типовых сигналах воздействия на систему

интеграл (1.1) существует

и преобразование Лапласа всегда осуществимо.

Преобразования Лапласа, часто используемые при анализе и расчете

автоматических систем, приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Преобразование Лапласа

для типовых математических операций

ƒ(t) — оригинал F(p) — изображение

[1]

aƒ(t) aF(p)

(t) ± ƒ

(t) F

(p) ± F

(p)

f(t)

]d[

pF(p) — при нулевых начальных условиях,

pF(p) — f(0) — при ненулевых начальных услови-

ях

()

⎡⎤

⎣⎦

F(p) — при нулевых начальных условиях,

F(p) — [p

n–1

f(0) + p

n–2

(0) +…+ f

n–1

(0) ] — при

ненулевых начальных условиях

(t)

F(p)

f(t–τ)

)F(p

p⋅−

где τ — время запаздывания

Наряду с прямым преобразованием функции ƒ(t) в функцию F(p) ис-

пользуется обратное преобразование Лапласа, преобразующее изображе-

ния F(p) в оригинал ƒ(t). Это преобразование осуществляется по следую-

щему соотношению:

pF(p)f(t)

jba

de⋅

∫

−

. (1.3)

Функциональное преобразование вида (1.3), осуществляемое над

функцией F(p), сокращенно обозначается как

F(t) = L

–1

[F(p)].

Положим, что линейная система автоматического регулирования опи-

сывается дифференциальным уравнением n-го порядка с постоянными ко-

эффициентами следующего вида:

).(

)(

)]([ d

)]([d

вх

вых

txb

txd

++++=

=++++

−

)]([

...

)]([)]([

txc

c...

(1.4)

где с

… с

, b

… b

— постоянные величины, которые определяются фи-

зическими свойствами системы автоматического

регулирования;

вх

(t) — входное воздействие;

вых

(t) — выходная величина.

Умножая левую и правую части на e

–pt

и интегрируя в пределах от 0

до ∞, получим

txc

c...

−

⋅

∫

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

++++

∞

e)(

)](d[

)]([d

вых

∫

∞

−

⋅

⎪

⎭

⎪

⎬

⎫

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

++++=

e)(

)( d

...

)(

вх

txc

txd

][][)]([

или на основании (1.1)

[]

.)(

)](d[

...

)]([d

)(

)](d[

)]([d

вх

вых

txLc

LbtxLc

Lc...

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

⎥

⎦

⎤

⎢

⎣

⎡

−

(1.5)

При нулевых начальных условиях, исходя из табл. 1.1, получим

),()()()(

)()()()(

вхвх1вх

1вх0

выхвых1вых

1вых0

pxbppxb...pxpbpxpb

pxcppxc...pxpcpxpc

++++

=++++

−

(1.6)

или