Циценкова Г.А., Чукавина Т.В., Рязанова Л.Д., Труппова В.А. Методические указания и контрольные задания по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
Министерство образования РФ
ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
МАТЕМАТИКА
Методические указания и контрольные задания для студентов-заочников
инженерно-технических специальностей
Издательство
Иркутского государственного технического университета
2002
2
Высшая математика. Методические указания и контрольные задания для
студентов-заочников инженерно-технических специальностей. Составители Г.А.
Циценкова, Т.В. Чукавина, Л.Д. Рязанова, В.А. Труппова. –Иркутск: Изд-во ИрГТУ,
2002. – 138 с.
Содержат теоретические вопросы по курсу высшей математики; задания по
всем разделам для выполнения контрольных работ; образцы выполнения
контрольных работ
с подробными объяснениями.
Рецензент к. ф.-м. н., доцент Лебедева Г.А.
3
Оглавление
1. Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2. Правила выполнения и оформления контрольных работ . . . . . 5
3. Контрольная работа №1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия.
Ведение в математический анализ, производная и ее приложения . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
4. Контрольная работа №2. Дифференциальное исчисление функции
нескольких переменных. Неопределенный и определенный интегралы . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5. Контрольная работа №3. Дифференциальные уравнения.
Кратные и криволинейные интегралы
. Функция комплексного переменного . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
6. Контрольная работа №4. Ряды. Теория вероятностей и математическая
статистика . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
7. Рекомендуемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .138
4
Введение
Методические рекомендации предназначены для студентов заочного обучения
инженерно-технических специальностей по курсу высшей математики.
Основной формой обучения студента – заочника является его самостоятельная
работа над учебным материалом. Для повышения качества усвоения теоретического
материала студенту предлагаются вопросы для самоподготовки. Вниманию
студентов предлагается образец выполнения каждой контрольной работы (типовой
вариант). Типовой вариант содержит
решенные задачи, пояснения к ним, а также
основные понятия и формулы, используемые для решения этих задач. Каждому
разделу курса высшей математики соответствуют варианты контрольных заданий.
Нумерация состоит из 2-х чисел: первое число указывает номер задачи, а
второе число – номер варианта. Номер задачи отделяется от номера варианта точкой.
Студент должен выполнять
контрольные задания по варианту, номер которого
совпадает с последней цифрой его учебного номера (шифра).
Если по учебному плану предусмотрено другое число контрольных работ, или
кафедрой математики данного вуза установлено другое распределение материала, то
кафедра сообщает студентам об этих изменениях и дает соответствующие указания о
порядке выполнения работ.
5
Правила выполнения оформления контрольных работ.
При выполнении контрольных работ необходимо строго придерживаться
указанных ниже правил. Работы, выполненные без соблюдения этих правил не
зачитываются и возвращаются студенту для переработки.
1. Каждая контрольная работа должна быть выполнена в отдельной тетради
в клетку чернилами любого цвета, кроме красного.
2. В заголовке работы на обложке
тетради должны быть ясно написаны
фамилия студента, его инициалы, учебный номер (шифр), название
дисциплины, номер контрольной работы; здесь же следует указать
название учебного заведения. В конце работы следует поставить дату ее
выполнения и подпись студента.
3. В работу должны быть включены все задачи, указанные в задании,
строго по положенному варианту.
Контрольные работы, содержащие не
все задания, а также задачи не своего варианта, не зачитываются.
4. Решения задач надо располагать в порядке возрастания их номеров,
указанных в заданиях, сохраняя номера задач.
5. Перед решением задачи надо полностью выписать ее условие. В том
случае, если несколько задач, из которых студент выбирает задачи
своего
варианта, имеет общую формулировку, следует, переписывая
условие задачи, заменить общие данные конкретными, взятыми из
соответствующего номера.
6. Решения задач следует излагать подробно и аккуратно, объясняя и
мотивируя все действия по ходу решения и делая необходимые чертежи.
6
Контрольная работа №1.
Раздел 1. Элементы линейной алгебры, аналитической
геометрии и высшей алгебры.
Вопросы для самоподготовки:
1. Определители второго и третьего порядков, их свойства. Алгебраические
дополнения и миноры. Определители N-го порядка.
2. Матрицы. Действия над матрицами. Понятие обратной матрицы, ее
нахождение.
3. Ранг матрицы, его вычисление.
4. Понятие системы линейных
алгебраических уравнений. Однородные и
неоднородные системы уравнений. Исследование системы линейных
уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
5. Решение системы методами Крамера, Гаусса и матричным. Решение
однородной системы.
6. Трехмерное пространство R
3
. Векторы. Линейные операции над
векторами. Линейно независимые системы векторов. Базис.
7. Ортогональный базис. Разложение вектора по базису.
8. Проекция вектора на ось, ее свойства. Координаты вектора. Действия над
векторами в координатной форме. Длина (модуль), направляющие
косинусы вектора.
9. Скалярное, векторное, смешанное произведения векторов, их свойства,
вычисление в декартовых координатах.
10.
Угол между векторами, условие коллинеарности, компланарности
векторов.
11. Понятие об уравнениях линии, поверхности.
7
12. Прямая линия в R
2
, основные виды уравнений. Угол между прямыми,
условия параллельности и перпендикулярности прямых. Расстояние от
точки до прямой.
13. Плоскость, основные виды уравнений. Угол между плоскостями.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
14. Прямая линия в R
3
. Основные виды уравнений. Угол между прямыми (в
пространстве), условия параллельности и перпендикулярности прямых.
15. Взаимное расположение плоскости и прямой (угол между ними, условия
параллельности и перпендикулярности).
16. Общее уравнение кривых второго порядка. Канонические формы
уравнений эллипса, гиперболы и параболы. Геометрические свойства
эллипса, гиперболы и параболы.
17. Поверхности второго порядка. Канонические
формы уравнений.
Исследование поверхностей второго порядка методом сечений.
18. Полярные координаты, их связь с декартовыми. Построение точек и
кривых в полярной системе координат.
19. Комплексные числа. Их изображение на плоскости. Модуль и аргумент
комплексного числа. Алгебраическая, тригонометрическая и
показательная формы комплексного числа. Операции над комплексными
числами. Формула Муавра.
20. Комплексные функции
действительного переменного, их
дифференцирование. Формула Эйлера.
21. Многочлен в комплексной области. Теорема Безу.
22. Корни многочлена. Основная теорема алгебры. Разложение многочлена с
действительными коэффициентами на линейные и квадратичные
множители.
8
Контрольные задания
Задача 1.
Даны векторы
()
321
;; aaaa
,
(
)
321
;; bbbb
,
(
)
321
;; cccc
и
()
321
;; dddd
в
некотором базисе. Показать, что
cba ,,
образуют базис и найти координаты
вектора
d
в этом блоке.
1.1
()
3;2;1a
(
)
2;3;1−b
(
)
5;3;7
−
c
()
17;10;6d
1.2
()
8;7;4a
(
)
3;1;9b
(
)
1;4;2
−
c
()
13;13;1 −−d
1.3
()
3;2;8a
(
)
10;6;4b
(
)
1;2;3
−
c
()
11;4;7d
1.4
()
1;3;10a
(
)
2;4;1b
(
)
2;9;3c
()
7;30;19d
1.5
()
1;4;2a
(
)
6;3;1b
(
)
1;3;5c
()
6;20;24d
1.6
()
3;7;1a
(
)
2;4;3b
(
)
5;8;4c
()
14;32;7d
1.7
()
3;2;1 −a
(
)
2;7;4b
(
)
2;4;6c
()
6;18;14d
1.8
()
3;4;1a
(
)
5;8;6b
(
)
4;1;3c
()
33;18;21d
1.9
()
3;7;2a
(
)
8;1;3b
(
)
4;7;2
−
c
()
27;14;16d
1.10
()
1;2;7a
(
)
5;3;4b
(
)
2;4;3
−
c
()
13;5;2 −−d
Задача 2.
Даны координаты вершин пирамиды
4321
AAAA
. Найти:
1)
длину ребра
21
AA
; 2) угол между ребрами
4321
и AAAA
; 3) угол
между ребром
32141
гранью и AAAAA
; 4) площадь грани
321
AAA
; 5)
объем пирамиды; 6) уравнение прямой
21
AA
; 7)уравнение плоскости
9
321
AAA
; 8)уравнение высоты опущенной из вершины
4
A
на грань
321
AAA
.
Сделать чертеж.
2.1.
()
5;2;4
1
A
()
2;7;0
2
A
(
)
7;2;0
3
A
(
)
0;5;1
4
A
2.2.
()
10;4;4
1
A
()
2;10;4
2
A
(
)
4;8;0
3
A
(
)
4;6;9
4
A
2.3.
()
5;6;4
1
A
()
4;9;6
2
A
(
)
10;10;2
3
A
(
)
9;5;7
4
A
2.4.
()
4;5;3
1
A
()
4;7;8
2
A
(
)
4;10;5
3
A
(
)
8;7;4
4
A
2.5.
()
6;6;10
1
A
()
2;8;2
2
−A
(
)
9;8;6
3
A
(
)
3;10;7
4
A
2.6.
()
2;8;1
1
A
()
6;2;5
2
A
(
)
4;7;5
3
A
(
)
9;10;4
4
A
2.7.
()
5;6;6
1
A
()
5;9;4
2
A
(
)
11;6;4
3
A
(
)
3;9;6
4
A
2.8.
()
2;2;7
1
A
()
7;7;5
2
A
(
)
1;3;5
3
A
(
)
7;3;2
4
A
2.9.
()
4;6;8
1
A
()
5;5;10
2
A
(
)
8;6;5
3
A
(
)
7;8;10
4
A
2.10.
()
3;7;7
1
A
()
8;5;6
2
A
(
)
8;5;3
3
A
(
)
1;4;8
4
A
Задача 3.
Линия задана уравнением
(
)
ϕ
rr
=
в полярной системе координат.
Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от
0
=
ϕ
до
π
ϕ
2=
и
придавая
ϕ
значения через промежуток
8
π
; 2) найти уравнение данной линии в
декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а
положительная полуось абсцисс с полярной осью; 3) по уравнению в декартовой
прямоугольной системе координат определить, какая это линия.
3.1.
()
1cos1 +=
ϕ
r
3.2.
(
)
ϕ
cos21
+
=
r
3.3.
()
ϕ
cos324 −=r
3.4.
(
)
ϕ
cos38
−
=
r
3.5.
()
ϕ
cos221
+
=r
3.6.
(
)
ϕ
cos435
−
=
r
10
3.7.
(
)
ϕ
cos210 +=r
3.8.
(
)
ϕ
cos213
−
=
r
3.9.
(
)
[]
ϕ
cos131 −=r
3.10.
(
)
ϕ
cos365
+
=
r
Задача 4.
Дана система линейных уравнений
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
.
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Доказать ее совместность и решить двумя способами: 1) методом Гаусса; 2)
средством матричного исчисления.
4.1.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=++
.1132
,132
,523
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.2.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−−
=−+
=+−
.6523
,20432
,632
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.3.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=−+
=−+
=+−
.18265
,4352
,9234
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.4.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=++
−=+−
−=++
.244
,422
,12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.5.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=+−
=−+
=−−
.11423
,11243
,42
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4.6.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=−−
=++
.05
,432
,8243
321
321
321
xxx
xxx
xxx