Циценкова Г.А., Чукавина Т.В., Рязанова Л.Д., Труппова В.А. Методические указания и контрольные задания по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
121
Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд
решения
)(xyy =
данного дифференциального уравнения, удовлетворяющего
данному начальному условию.
Решение.
Решение уравнения будем искать в виде ряда Маклорена [10].
...
!3
)0(
!2
)0(
!1
)0(
)0()(
32
+
′
′
′
+
′
′
+
′
+= x
y
x
y
x
y
yxy
110)(
1
0
2
=+=+=
′
=
=
y
x
yxy
.
Найдем
y
′
и
y
′′
и подсчитаем их при
.1)0(,1)0(,0 =
′
=
=
yyx
Получим
.6)0(,)(22;2)0(,21
2
=
′′′′
+
′′
=
′′′
=
′′′
+=
′′
yyyyyyyyy
Запишем ряд:
,1
!3
6
!2
2
!1
1
32
32
xxx
xxx
y +++=+++=
это и есть решение уравнения.
Задача 5.
Разложить
xxf +=
π
)(
в ряд Фурье в интервале (-
π
;
π
).
Решение.
Если функция задана на интервале (-
π
;
π
), то ее можно представить в виде ряда
Фурье
()
∑
∞
=
++=
1
0
,sincos
2
)(
m
mm
mxbmxa
a
xf
122
π
π
π
ππ
π
π
π
π
π
π
π
π
2
1
)(
1
)(
1
0
=+=+==
∫∫∫∫
−−−−
xdxdxdxxdxxfa
- второй интеграл
равен нулю, как интеграл от нечетной функции в симметричном интервале.
∫∫
−−
=+==
π
π
π
π
π
ππ
mxdxxmxdxxfa
m
cos)(
1
cos)(
1
.cos
1
cos
∫∫
−−
+=
π
π
π
π
π
mxdxxmxdx
Второй интеграл равен нулю, так как
m
x
x cos
⋅
- нечетная функция
∫
===
π
π
0
0
.0sin
2
cos2 mx
m
mxdxa
m
∫∫∫
−−−
+=+==
π
π
π
π
π
π
π
ππ
mxdxmxdxxmxdxxfb
m
sinsin)(
1
sin)(
1
∫
−
⋅
π
π
π
.sin
1
mxdxx
Первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции, второй возьмем
по частям. Так как
xmx ⋅
⋅
sin
- функция четная, то
=
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−=
=
=
=
=⋅=
∫
mx
m
v
dxdu
mxdxdv
xu
mxdxxb
m
cos
1
,sin
,
sin
2
0
π
π
∫
=
⋅
+
⋅
−=
π
π
ππ
0
0
cos
2
cos
2
mxdx
m
mx
m
x
=
⋅
+
−
=
π
π
π
0
2
sin
2
cos
2
mx
m
x
m
m
123
,)1(
2
)1(
2
1+
−=−−=
mm
mm
).)1((cos
m
m −=
π
m - целое
Следовательно, разложение функции
xxf
+
=
π
)(
в ряд Фурье имеет вид
....
3
3sin
2
2sin
sin2sin
)1(
2)(
1
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−+−+=
−
+=
∑
∞
=
+
xx
xmx
m
xf
m
m
ππ
Раздел 2. Теория вероятностей и математическая статистика.
Вопросы для самоподготовки
1. Классическое определение вероятности.
2.
Определение условной вероятности. Какие события называются
независимыми?
3.
Определения произведения и суммы событий. Теоремы умножения и
сложения.
4.
Формулы полной вероятности и Байеса.
5.
Независимые повторные испытания. Формула Бернулли.
6.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
7.
Понятия дискретных и непрерывных случайных величин.
8.
Функция распределения случайной величины и ее свойства.
9.
Плотность распределения вероятностей и ее свойства.
10.
Основные законы распределения: биномиальный, пуассоновский,
нормальный, показательный, равномерный.
124
11. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал, если
она распределена по нормальному или показательному закону.
12.
Математическое ожидание и дисперсия случайной величины и их
свойства.
13.
Среднее квадратичное отклонение случайной величины и его
преимущество по сравнению с дисперсией.
14.
Понятие выборки, выборочной средней.
15.
Точечные и интервальные оценки.
16.
Доверительные интервалы для оценки математического ожидания
нормального распределения.
Контрольные задания
Задача 6.
6.1. Студент знает 20 из 25 вопросов программы. Найти вероятность того,
что студент знает предложенные ему три вопроса.
6.2.
Число грузовых автомашин, проезжающих по шоссе, на котором
стоит бензоколонка, относится к числу легковых машин,
проезжающих по тому же шоссе как 3:2. Вероятность того, что будет
заправляться грузовая машина, равна 0.1; для легковой машины эта
вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала для заправки
машина. Найти вероятность того, что это грузовая машина.
125
6.3. Среди 17 студентов группы, из которых 8 девушек, разыгрывается 7
билетов. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов
окажутся 4 девушки?
6.4. Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и
независимых испытаний равно 0.8. Найти вероятность того, что в
1600 испытаниях событие наступит 1200 раз.
6.5.
Для сигнализации об аварии установлены три независимо
работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает
первое устройство, равна 0.9, второе – 0.95, третье – 0.85. Найти
вероятность того, что при аварии сработает: а) только одно
устройство; б) только два устройства; в) все три устройства.
6.6.
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и
независимых испытаний равна 0.02. Найти вероятность того, что в
150 испытаниях событие наступит 5 раз.
6.7.
В партии из 1000 изделий имеются 10 дефектных. Найти вероятность
того, что среди 50 изделий, взятых наудачу из этой партии, ровно три
окажутся дефектными.
6.8.
Вероятность наступления события в каждом из одинаковых и
независимых испытаний равна 0.8. Найти вероятность того, что в 125
испытаниях событие наступит не менее 75 и не более 90 раз.
6.9.
На трех станках при одинаковых и независимых условиях
изготавливаются детали одного наименования. На первом станке
126
изготовляют 10%, на втором 30%, на третьем 60% всех деталей.
Вероятность детали быть бездефектной, если она изготовлена на
первом станке, равна 0.7, если на втором станке – 0.8, если на третьем
станке –0.9. Найти вероятность того, что наудачу взятая деталь
окажется бездефектной.
6.10.
Внутрь круга радиуса R наудачу брошена точка. Найти вероятность
того, что точка окажется внутри вписанного в круг: а) квадрата; б)
правильного треугольника. Предполагается, что вероятность
попадания точки в часть круга пропорциональна площади этой части
и не зависит от ее расположения относительно круга.
Задача 7.
Дискретная случайная величина Х может принимать только два значения: х
1
и х
2
, причем х
1
<х
2
. Известны вероятность р
1
возможного значения х
1
,
математическое ожидание М(Х) и дисперсия Д(Х). Найти закон распределения
этой случайной величины.
7.1. Р
1
= 0.1; М(Х) = 3.9; Д(Х) = 0.09;
7.2. Р
1
= 0.3; М(Х) = 3.7; Д(Х) = 0.21;
7.3. Р
1
= 0.5; М(Х) = 3.5; Д(Х) = 0.25;
7.4. Р
1
= 0.7; М(Х) = 3.3; Д(Х) = 0.21;
7.5. Р
1
= 0.9; М(Х) = 3.1; Д(Х) = 0.09;
7.6. Р
1
= 0.9; М(Х) = 2.2; Д(Х) = 0.26;
127
7.7. Р
1
= 0.8; М(Х) = 3.2; Д(Х) = 0.16;
7.8. Р
1
= 0.6; М(Х) = 3.4; Д(Х) = 0.24;
7.9. Р
1
= 0.4; М(Х) = 3.6; Д(Х) = 0.24;
7.10. Р
1
= 0.2; М(Х) = 3.8; Д(Х) = 0.16.
Задача 8.
Случайная величина Х задана функцией распределения
)(xF
. Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины.
8.1.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.1,1
;10,
;0,0
)(
2
x
xx
x
xF
8.2.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
.2,1
;21,2/)(
;1,0
)(
2
x
xxx
x
xF
8.3.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.1,1
;10,
;0,0
)(
3
x
xx
x
xF
128
3.4.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<+
≤
=
.
3
1
,1
;
3
1
0,23
;0,0
)(
2
x
xxx
x
xF
8.5.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
.4,1
;42,1
2
;2,0
)(
x
x
x
x
xF
8.6.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.3,1
;30,
9
;0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
8.7.
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.2,1
;20,
4
;0,0
)(
2
x
x
x
x
xF
8.8.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<−
−≤
=
.0,1
;0
2
,cos
;
2
,0
)(
x
xx
x
xF
π
π
129
8.9.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.
6
,1
;
6
0,sin2
;0,0
)(
π
π
x
xx
x
xF
8.10.
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.,1
;
4
3
,2cos
;
4
3
,0
)(
π
π
π
π
x
xx
x
xF
Задача 9.
Известны математическое ожидание
a
и среднее квадратичное
отклонение
σ
нормально распределенной случайной величины
X
. Найти
вероятность попадания этой величины в заданный интервал
);(
β
α
.
9.1.
10=a
,
4=
σ
,
2
=
α
,
13=
β
9.2.
9=a
,
5=
σ
,
5
=
α
,
14=
β
9.3.
8=a
,
1=
σ
,
4
=
α
,
9=
β
9.4.
7=a
,
2=
σ
,
3
=
α
,
10=
β
130
9.5.
6=a
,
3=
σ
,
2
=
α
,
11=
β
9.6.
5=a
,
1=
σ
,
1
=
α
,
12=
β
9.7.
4=a
,
5=
σ
,
2
=
α
,
11=
β
9.8.
3=a
,
2=
σ
,
3
=
α
,
10=
β
9.9.
2=a
,
5=
σ
,
4
=
α
,
9=
β
9.10.
2=a
,
4=
σ
,
6
=
α
,
10=
β
Задача 10.
Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
a
нормального распределения с надежностью 0.95, зная выборочную среднюю
x
,
объем выборки
n
и среднее квадратичное отклонение
σ
.
10.1.
x
= 75.17;
n
= 36;
σ
= 6;
10.2.
x
= 75.16;
n
= 49;
σ
= 7;
10.3.
x
= 75.15;
n
= 64;
σ
= 8;
10.4.
x
= 75.14;
n
= 81;
σ
= 9;