Циценкова Г.А., Чукавина Т.В., Рязанова Л.Д., Труппова В.А. Методические указания и контрольные задания по высшей математике
Подождите немного. Документ загружается.
131
10.5.
x
= 75.13;
n
= 100;
σ
= 10;
10.6.
x
= 75.12;
n
= 121;
σ
= 11;
10.7.
x
= 75.11;
n
= 144;
σ
= 12;
10.8.
x
= 75.10;
n
= 169;
σ
= 13;
10.9.
x
= 75.09;
n
= 196;
σ
= 14;
10.10.
x
= 75.08;
n
= 225;
σ
= 15;
Решение типового варианта
Задача 6.
а) В мешке смешаны нити, среди которых 30% белых, а остальные – красные.
Определить вероятность того, что вынутые наудачу 2 нити будут одного цвета.
Решение. Две нити одного цвета, если они обе белые (событие А) или обе
красные (событие В). По теореме умножения вероятностей независимых событий
[7] имеем:
Р(А) = 0.3
2
= 0.09; Р(В) = 0.7
2
= 0.49, а по теореме сложения совместных
событий получим
Р(А+В) = 0.09 + 0.49 = 0.58
Задача 6.
132
Б) Вероятность того, что расход электроэнергии на продолжении одних суток
не превысит установленной нормы, равна р = 0.75. Найти вероятность того, что в
ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.
Решение.
Вероятность нормального расхода электроэнергии на продолжении каждых
из 6 суток постоянна и равна
р = 0.75. Следовательно, вероятность перерасхода
электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна
q = 1-p = 1- 0.75 = 0.25.
Искомая вероятность находится по формуле Бернулли [7]
knkk
nn
qpCkP
−
=)(
или
.
)!(!
!
)(
knk
n
qp
knk
n
kP
−
−
=
.30.0)25.0()75.0(
!2!4
!6
)4(
24244
66
=⋅== qpCP
Задача 6.
В) Цех по обслуживанию ТУ-104 работает в три смены. Первая смена
обслуживает 40% всех самолетов, вторая – 10% и третья – 50%. Процент
некачественного обслуживания составляет: в первой смене 2, во второй 1, в
третьей 4. Какова вероятность того, что обслуживание наудачу выбранного
самолета будет произведена качественно?
Для решения этой задачи применим формулу полной вероятности [7].
).()(...)()()()()(
21
21
APBPAPBPAPBPAP
n
BnBB
⋅
+
+
⋅
+⋅=
133
Где В
1
, В
2
, … В
n
несовместные события, гипотезы, образующие полную
группу, так что
Р(В
1
) + Р(В
2
) + … + Р(В
n
) = 1.
Пусть событие А состоит в том, что обслуживание самолета произведено
качественно. События А может произойти вместе с одним из событий
В
1
, В
2
, В
3
,
которые обозначают обслуживание самолета 1-ой, 2-ой, 3-ей сменой
соответственно, тогда
;4.0
%100
%40
)(
1
==BP
;1.0
%100
%10
)(
2
==BP
.5.0
%100
%50
)(
3
==BP
Процент некачественного обслуживания в первой смене 2%, а
качественного 98%, во второй смене 99%, в третьей 96% - поэтому
;98.0
%100
%98
)(
1
==AP
B
;99.0)(
2
=
AP
B
.96.0)(
3
=
AP
B
Подставим все найденные значения в формулу полной вероятности
Р(А) = 0.4
⋅
0.98 +0.1
⋅
0.99 + 0.5
⋅
0.96 = 0.392 + 0.099 + 0.480 = 0.971.
Задача 6.
г) В авиационном агрегате имеется 3 узла. В течение одного рейса агрегат с
вероятностью 0.005 отказывает по причине выхода из строя первого узла; 0.003 –
второго узла и 0.002 – третьего узла. Агрегат отказал. Какова вероятность того,
что причиной отказа явился первый узел?
Решение.
Применяем формулу Бейеса [7].
)(
)()(
)(
AP
APBP
BP
i
Bi
iA
⋅
=
.,...,2,1 ni
=
134
).()(...)()()()()(
21
21
APBPAPBPAPBPAP
n
BnBB
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
Событие А – причина отказа. События (гипотезы)
В
1
, В
2
, В
3
– это
соответственно отказ 1-го, 2-го, 3-го узла.
;
3
1
)(
1
=BP
;
3
1
)(
2
=BP
.
3
1
)(
3
=BP
;005.0)(
1
=AP
B
;003.0)(
2
=
AP
B
.002.0)(
3
=
AP
B
=
⋅+⋅+⋅
⋅
=
⋅
=
002.0
3
1
003.0
3
1
005.0
3
1
005.0
3
1
)(
)()(
)(
1
1
1
AP
APBP
BP
B
A
5.0
002.0003.0005.0
005.0
=
++
=
.
Ответ. Вероятность того, что причиной отказа явился первый узел 0,5.
Задача 7.
Дискретная случайная величина Х имеет только два возможных значения: х
1
и
х
2
, причем х
1
<x
2
. Найти закон распределения величины Х, если известно, что
М(Х) = 1.4; Д(Х) = 0.24 и вероятность Р
1
, того, что Х примет значение х
1
, равна
0.6.
Решение.
Сумма вероятностей всех возможных значений Х равна единице, поэтому
вероятность
Р
2
того, что Х примет значение х
2
, равна 1 – 0.6 = 0.4.
Запишем закон распределения
Х [7]:
135
Х х
1
х
2
Р 0.6 0.4
Для отыскания
х
1
и х
2
составим два уравнения. Учитывая, что
математическое ожидание дискретной случайной величины подсчитывается по
формуле
∑
=
+=
2
1
21
4.06.0
i
ii
xxPx
.
Используя условие,
М(Х) = 1.4 , запишем первое из уравнений в виде
0.6х
1
+ 0.4х
2
= 1.4 ,
принимая во внимание, что по условию Д(Х) = 0.24 , и используя формулу
∑
=
⋅−=
2
1
2
))(()(
i
ii
PXMxХД
,
запишем второе уравнение
(х
1
- 1.4)
2
0.6 + (х
2
- 1.4)
2
0.4 = 0.24 ,
решив систему уравнений
0.6х
1
+ 0.4х
2
= 1.4,
(х
1
- 1.4)
2
0.6 + (х
2
- 1.4)
2
0.4 = 0.24 ,
найдем два решения: х
1
= 1, х
2
= 2 и х
1
= 1.8, х
2
= 0.8.
По условию х
1
< х
2
, поэтому задаче удовлетворяет только первое решение.
Таким образом, искомый закон распределения имеет вид:
136
Х 1 2
Р 0.6 0.4
Задача 8.
Случайная величина Х задана функцией распределения F(x). Найти
плотность распределения вероятностей, математическое ожидание и дисперсию
случайной величины.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
.01
,202
,00
)(
xпри
xприx
xпри
xF
Решение.
Найдем плотность распределения вероятностей f(x)= P
0
(x), для чего
продифференцируем по
х интегральную функцию F(x):
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
>
≤<
≤
=
′
=
.20
,2021
,00
)()(
xпри
xпри
xпри
xFxf
Для нахождения математического ожидания непрерывной случайной
величины используем формулу [6].
∫
∞
∞−
⋅= dxxfxXM )()(
.
∫∫ ∫
∞−
∞
=⋅=⋅+⋅+⋅=
02
02
2
0
2
1
22
1
0210)(
x
xdxxdxxdxXM
.
Дисперсию непрерывной случайной величины находим по формуле:
137
[]
∫
∞
∞−
⋅−= dxxfХМхХД )()()(
2
[]
∫
=−−−=⋅−=⋅−=
2
0
33
2
0
32
3
1
)10()12(
6
1
3
1
)1(
2
1
2
1
)1()( xdxхХД
.
Задача 9.
Известны математическое ожидание - 10 и среднее квадратичное
отклонение - нормально распределенной случайной величины
Х. Найти
вероятность попадания этой величины в заданный интервал (12,14).
Решение.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (
α
,
β
),
находится по формуле:
,)(
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=<<
σ
α
σ
β
βα
a
Ф
a
ФXP
где
dxexФ
x
x
∫
−
=
0
2
2
2
1
)(
π
функция Лапласа [6].
Подставив
α
= 12,
β
= 14, а = 10 и
σ
= 2, получим
Р(12 < X < 14) = Ф(2) – Ф(1)
Значения Ф(2) и Ф(1) находят по таблице, которая приводится в конце
каждого учебника по теории вероятностей.
138
Ф(2) = 0.4772; Ф(1) = 0.3413.
Искомая вероятность
Р(12 < X < 14) = 0.1359.
Задача 10.
Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания
«а» нормального распределения с надежностью 0.95, зная выборочную среднюю
14=x
объем, выборки n = 25 и среднее квадратичное отклонение
σ
= 5.
Решение.
Требуется найти доверительный интервал [6].
n
txa
n
tx
σ
σ
+<<−
(1)
Здесь все величины, кроме
t, известны. Найдем t. Из соотношения
2ф(t) = 0.95 получим ф(t) = 0.475. По таблице находим t = 1.96.
Подставив
t = 1.96,
σ
= 5, n = 25 в формулу (1), окончательно получим
доверительный интервал
12.04 < a < 15.96.
139
Рекомендуемая литература
1.
Бугров А.С., Никольский С.Н. Элементы линейной алгебры и аналитической
геометрии. М.: Наука,1985
2.
Бугров А.С., Никольский С.Н. Дифференциальные уравнения. Кратные
интегралы. Функции комплексного переменного. М.: Наука 1985.
3.
Бугров А.С. Никольский С.М. Высшая математика. Задачник. М.: Наука 1982.
4.
Власов В.Г. Конспект лекций по высшей математике. М. Айрис, 1996
5.
Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.: Высшая
школа 1975, 1998.
6.
Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и
математической статистике. М.: Высшая школа 1975, 1998.
7.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях
и задачах. М.: Высшая школа 1999, 2000. ч I, II.
8.
Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И. Функции комплексного
переменного. Операционное исчисление. Теория устойчивости. (Задачи и
упражнения). М.: Наука 1981.
9.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука 1984.
10.
Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике. М.: Наука 1987.
11.
Рябушко А.П., Бархатов В.В. и др. Сборник индивидуальных заданий по
высшей математике. Минск. Высшая школа 1990, I, II, III .
12.
Пискунов Н.С. Дифференциальное исчисление для втузов. М.: Наука 1985 т. 1,
2.
13.
Шипачев В.С. Высшая математика. М.: Высшая школа 1985, 1996.
140
Математика
Методические указания и контрольные задания для студентов – заочников
инженерно-технических специальностей
Составители Г.А. Циценкова, Т. В. Чукавина, Л. Д. Рязанова, В. А. Труппова.
Компьютерный набор и верстка: Гимазова С. М.
Подписано в печать Формат 60х84 1/16.
Бумага типографская. Печать офсетная. Усл
. печ. л.
Уч.-изд.л. Тираж 1000 экз. Зак. Поз. плана
ИД № 06506 от 26.12.2001
Иркутский государственный технический университет
664074, Иркутск, ул. Лермонтова, 83