Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

коли всі вони будуть мати один і той же знак, одержимо

таку формулу для визначення граничної помилки добутку:

гран

(23,16)

Але таке її значення при п > 2, так само як і для су

ми 5 (23,4), мало можливе. Через те формулу (23,16) вико

ристовують лише при п = 2. При я> 2 за граничну відносну

помилку вважають потроєну відносну середню квадратичну

помилку, тобто

¥ ) - з

(Я

гран

нір

або, беручи до уваги (23,15) і (22,8),

(Я’ - « i f c w +-

(23,17)

В окремому випадку, коли всі множники матимуть при

близно однакові відносні середні квадратичні помилки, мож

на припустити, що

т.,

х,

тп

х„

. "Iх

Тоді замість формули (23,15) будемо мати

Ч - Ч У * - Ч У Ї

(23,19)

(23,20)

іобто відносна середня квадратична помилка

,Ч Обутку ЗбіЛЬШуєТЬСЯ ПрЯМО ПрОПОрЦІО ПЭЛ fa

ll о квадратному кореню з числа множників п.

Граничні відносні

чорішіюватіїмуть:

при п 2:

помилки добутку в цьому випадку

т) '

/гран

при п -2, згідно з формулами (23,17) і (23,20):

О І тх і / I ах І f г

’3 І Т- У П \ = Т VIі І гран

З П.

(23,21)

(23,22)

Ніпіедепі загальні формули оцінки точності для множення

Гіv лу 11. нірні і для ділення. Справді, якщо маємо функцію

/V =

(23,23)

то, ирологарнфмувавши її, одержимо

In 7V = lnx—lny.

(23,24)

Відносну середню квадратичну помилку цієї функції

знайдемо за формулою

Ї - Ш ' - С П

(23,25)

І, нарешті, гранична відносна помилка частки дорівню

ватиме:

гран

-Г

(23,26)

3. Піднесення до степеня і добування ко

реня. Візьмемо функції

У = Х ,

У “ У х ,

(23.27)

(23.28)

де х — наближене (заокруглене) значення деякої величини,

ага — точне число. Прологарифмувавши їх, будемо мати:

In у = п In х,

InУ = I In х.

(23.29)

(23.30)

За формулою (18,14) знаходимо відносні середні квадра

тичні помилки цих функцій:

у X

(23,31)

(23,32)

Звідси випливає, що:

1) и р и піднесенні наближеного числа до

степеня відносна середня квадратична по

милка його збільшується пропорционально

показнику степеня;

2) відносна середня квадратична помилка

кореня її степеня з наближеного числа в п.

разів менша від середньої квадратичної по

милки самого числа.

Граничні відносні помилки функцій (23,27) 1(23,28), оче

видно, будуть дорівнювати відповідно

де 0.x — гранична помилка заокругленого числа х.

Приклад 1. Дано суму S п’яти доданків:

31,46

24,17

Ь 9,37

43,04

17,89

5=125,93

Знайти середню квадратичну, відносну і граничну помилки

суми, якщо відомо, що всі доданки мають однакову граничну

помилку заокруглення а = +0,005.

За формулами (23,8), (23,9) і (23,5) знаходимо відповідно:

середню квадратичну помилку ms суми:

Приклад 2. Дано добуток Р двох заокруглених множ-

Я=58,9 • 0,207 = 12,1923.

Знайти відносну і абсолютну граничні помилки добутку.

При числі множників га = 2 граничну відносну помилку

добутку знаходимо за формулою (23,16):

Абсолютна гранична помилка добутку дорівнюватиме:

(23,33)

(23,34)

відносну середню квадратичну помилку:

граничну помилку:

(AS)rpa„ = 3 % ^ ± 0,018.

пиків:

Звідси видно, що в добутку вже друга цифра після коми

буде невірна, а тому результат обчислень можна вважати

рівним Р= 12,19.

Приклад 3. Знайти відносну і абсолютну граничні по

милки квадрата заокругленого числа у =( 12,63)2 = 159,5169.

За формулою (23,33) будемо мати

/ Ду \ 0,005 1

І У /гран 2 12.<Я " 1200 •

Звідси абсолютна гранична помилка дорівнюватиме:

159,5169

( ^ ) гран = ” ш о“ - 0’13-

Отже, квадрат числа може мати помилку в ;j. 0,13, а тому

результат обчислень можна записати рівним 159,5.

Приклад 4. Знайти відносну і абсолютну г-раничні по

милки квадратного кореня з заокругленого числа = Vа7,56 =

= 2,7495.

За формулою ("23,34) знаходимо

/ Ду \ = 1 0,005 1

\ У /гран “ 2 ‘ 7,56 ~ 3 0 0 0 ’

Звідси абсолютна гранична помилка квадратного кореня

буде дорівнювати

(Л-У)‘-р.н= W ~ 0’0009-

§ 24. О Ц І Н К А Т О Ч Н О С Т І Р Е З У Л Ь Т А Т І В П О Д В І Й Н И Х

Р І В Н О Т О Ч Н И Х В И М ІР ІВ О Д Н О Р І Д Н И Х В Е Л И Ч И Н

В геодезичному виробництві часто доводиться проводити

подвійні виміри однорідних величин: кутів, довжин ліній,

перевищень між пікетами та ін. Вимірюючи яку-небудь ве

личину два рази, за найімовірніше її значення приймають

середнє арифметичне, і середня квадратична помилка його

М буде в У 2 раз менша від помилки т одного виміру. Але

така оцінка точності не є надійною, тому що вона виведена

тільки з двох вимірів. Крім того, точність кожного серед

нього арифметичного буде характеризуватись своєю помил

кою М і жодна з них не може бути прийнята за величину

для оцінки точності всіх результатів подвійних вимірів одно

рідних величин в цілому. Через те точність подвійних ви

мірів оцінюють так.

(24,1)

Нехай маємо результати рівноточних подвійних вимірів

однорідних величин:

1' 1 ' 1 '

1\ і *'2 > • • • і »

/ " / " / "

і'І , £о 5 •••»*'/? •

Знайдемо їх різниці:

d =1 '

/ "

2 2 2 ’ (24,2)

Якби всі виміри були проведені абсолютно точно, тоді

кожна різниця di дорівнювала б нулю. Отже, справжнє зна

чення кожної різниці дорівнює нулю, а їх істинні помилки

дорівнюють:

d і - 0 — d j,

d2—0 = d.j,

dn 0 — dn .

Звідси випливає, що різниці du d2, ..., dn являють со

бою істинні помилки цих різниць. Знаючи їх, можна за фор

мулою (16,5) знайтц середню квадратичну помилку однієї

різниці:

md « ± У Щ ], ■ (24,3)

де й — кількість подвійних вимірів.

Але, з другого боку, середня квадратична помилка т(і

різниці двох рівноточних величин (24,2) в }' 2 раз більша

від середньої квадратичної помилки т однієї величини,

тобто

md = m V 2, (24,4)

звідки

тd /г>л *~\

т = у^ - (24-°)

Підставивши в (24,5) значення (24,3), будемо мати:

т = ± І/

( 2 4 ’ 6 )

Однак тут необхідно зауважити, що визначення т за

формулою (24,6) в деяких випадках може дати значно

зменшене значення середньої квадратичної помилки одного

виміру. Справді, припустимо, що перший і другий ряди ви-

м 1 pi it (24,1) були проведені при однакових умовах: одним

споптрії ачом, одним і тим же інструментом і при однако-

нмх приблизно зовнішніх умовах. Тоді деякі окремі фак

тори в однаковій мірі вплинуть на результати як першого,

так і другого ряду вимірів, і в різницях (24,2) елементарні

помилки, обумовлені однаковими факторами, будуть виклю

чені або вилив їх значно послаблений. Так само в різницях

будуть виключені невідомі нам малі постійні і частково

систематичні змінні, але однобічно діючі помилки. Отже,

різниці (24,2) результатів подвійних вимірів не відбивати

муть повністю впливу всіх джерел помилок. Через те і. зна

чення середньої квадратичної помилки одного виміру буде

зменшеним. Цю обставину завжди треба мати на увазі.

В тому випадку, коли різниці подвійних вимірів (24,2)

містять систематичні помилки, то перш ніж давати оцінку

точності, їх необхідно виключити. Наявність в різницях си

стематичних помилок виявляється на підставі таких мірку

вань.

Припустимо, що різниці di складаються з випадкових

помилок Д,- і систематичних помилок а;:

dl = Al + vl,

й2 = А.2 + а.г,

dn — Дл +°п ■

Тоді в сумі [rf| при достатньому числі подвійних вимірів

випадкові помилки будуть компенсуватися, а систематичні

підсумовуватися. Отже, якщо [d\ значно відрізнятиметься

від нуля, то це можна віднести лише на рахунок перева

жаючого впливу систематичних помилок, і нерівність

и # (24,7)

буде умовою наявності в різницях систематичних помилок.

Для виключення систематичних помилок припустимо, що

значення їх у всіх різницях однакові і дорівнюють

d0- £ ]. (24,8)

Виправляючи на величину d{) всі різниці, одержимо:

A dx = dx fi?0,

Д d-z ~ d2 d0,

Д dn =dn dy.

Але величина d0 e середнє арифметичне значення різниці.

Через те, беручи до уваги ті визначення, які ми давали

в § 20, величини &d2, A dn можна вважати за най

імовірніші помилки величин flfj, d2, ..., dn. Застосовуючи

формулу Бесселя, знаходимо середню квадратичну помилку

однієї різниці:

(24,9)

Підставивши (24,9) в (24,5), одержимо:

( 2 4 ' , 0 )

В прикладі на стор. 78 сума різниць не дорівнює нулю. Че

рез те знаходимо величину систематичного впливу, що при

падає на один чотириразовий кут:

Виправляємо різниці і знаходимо середню квадратичну

помилку одного чотириразового кута:

і 1 / ~ ^"1 - ї f 8994,25 . r~.tr у /оА 1 1 "ї

= І V 2-(ТГ -і) = 4 V 2)<2Ї “ 4:13 ’7- <24Л1)

Середня квадратична помилка одного виміру одноразо

вого кута на основі формули (19,8) дорівнюватиме:

Оті= т г ^ = +3",42. (24,12)

Через те, що за остаточне значення кожного кута прий

мається середнє арифметичне з результатів вимірів при

„коло ліво“ і „коло право", то середня квадратична по

милка одного остаточного значення кута буде дорівнювати

т - ± Щ = ± 2",4. (24,13)

V 2 У 2

Цей результат можна було одержати зразу за такою

остаточною формулою, об’єднуючи формули (24,11), (24,12)

і (24,13) в одну:

— <24 ’, 4 >

де р кількість повторень.

Приклад. У полігонометричнііі сітці кути вимірялися ЗО"

теодолітом методом повторень. Значення чотирикратних ку

тів при „коло ліво“ і „коло право" наведені в таблиці 8. Знай

ти середню квадратичну помилку виміру одноразого кута.

Таблиця 8

а.

^-кратний кут

Номе]

кутів

КЛ '

КП

d 1 \d

Д іГ-

719°54'30"

54’15" -1 5 "

-13 ", 5

182,25

2 628 23 45

23 ЗО

— 15

— 13,5

182,25

3 752 07 30

07 15

-1 5

-13,5 182,25

721 16 00

16 15

+ 15

+ 16,5

272,25

■ 5

693 38 15 38 15

!• 1,5 2,25

290 47 00

46 45

— 15

•—13,5 182,25

7 446 11 15 11 00

--15 — 13,5

182,25

8 703 03 45

04 00 + 15

+ 16,5 272,25

9 654 57 00 56 30

—ЗО

-28 ,5

812,25

10 811 29 00 29 15

+ 15

+ 16,5 272,25

11 369 52 45

53 00 + 15

+16,5

272,25

12 417 02 30 03 00

+ 30

+ 31,5 992,25

13 653 06 ЗО 06 00

—ЗО

—28,5

812,25

447 38 45

38 45 00

+ 1,5

2,25

15 406 51 15 51 ЗО -1-15 і 16,5

272,25

892 21 00 20 45 -1 5

-13,5

182,25

17 876 54 ЗО

54 00

-ЗО

—28,5

812.25

18 667 58 15 58 00 — 15 —13,5

182,25

786 21 30

21 45

+ 15

+16,5

272,25

357 02 15

02 ЗО

+ 15

+ 16,5 272,25

296 38 00

38 15 + 15

+ 16,5

272,25

727 33 45 33 15

-ЗО

—28,5

812,25

411 00 00 00 ЗО + 30 + 31,5

992,25

741 05 15 05 08

-0 7

- 5,5

30,25

25 704 02 45 03 00

+ 15

+16,5

272,25

—

/•

1--

со

+ 0,5

8994,25

§ 25. СЕРЕДНЯ КВАДРАТИЧНА ПОМИЛКА ВИМІРУ

ПРИ НАЯВНОСТІ ДЕКІЛЬКОХ ДЖЕРЕЛ ВИПАДКОВИХ ПОМИЛОК

Нехай маємо результати рівноточних вимірів однієї ве

личини:

• • • і Аг

з істинними випадковими помилками

А і, Д2, ■ ■ ■ > Ап . (25,1)

Припустимо, ідо помилки (25,1) в свою чергу склада

ються з окремих елементарних випадкових помилок:

-ч , -м , -м , - • • ,

,\ ' \ // \ Ш

л2 і л2 » 2 > • * ♦ >

\ ' \ " \

“V/ J ^ ) /І > * * ■ ?

які обумовлені різними і незалежно діючими випадковими

факторами, тобто

A1-A 1' + V + V"+--- •

Д2 = Д2' + Д2" + Д2/" + . . .

.............

............................

(25,2)

A„ = Art4 -A / + A,/"-|- ...

Для визначення середньої квадратичної помилки одного

виміру піднесемо рівняння (25,2) до квадрата і результати

підсумуємо; після ділення суми па число вимірів а будемо

мати:

[ДД| = [Л'Д 'І [Л " Д " J [Д"'Д"'| ................... 2 [Д ^ Г ]

п п п п 11

2 Ед'л'"1 _U ... (25,3)

п п

Через' те, що добутки А/Ді", Дг'А/", А/'Д/", . ... мають усі

властивості випадкових помилок, подвійні суми будуть ве

личини малі, а тому при досить великому числі вимірів її

у формулі (25,3) останніми членами можна знехтувати:

і л л ] , ^ [Л 'Д'І [Д"Д"] [д;"д"2

п II II п ’

або, вводячи позначення

(25,4)

т - ± у т'2 -!- т"2 + +

/■

(25,5)

де ш — результативна середня квадратична помилка,

т', т", т"', ... — середні квадратичні помилки вимірів, що

походять від окремих джерел.

Отже, з формули (25,5) випливає, що результативна

середня квадратична помилка виміру дорів

нює квадратному кореню з суми квадратів

середніх квадратичних помилок, що похо

дять від усіх окремих випадкових і неза

лежно діючих джерел помилок.

Приклад 1. При вимірі кута середні квадратичні помилки

візування і відліку по лімбу дорівнюють mv і тв відпо

відно. Знайти середню квадратичну помилку остаточного

значення кута /яа, одержаного з вимірів при „коло ліво“ і

„коло право". При візуванні відліки брались по двох вер:

ньєрах з виводом середнього арифметичного з них.

Знайдемо спочатку середню квадратичну помилку ви

міру кута при одному положенні вертикального кола. Зна

чення кута одержуємо як різницю двох напрямків. Отже,

знаходимо їх середні квадратичні помилки. При кожному

візуванні ми беремо два відліки і утворюємо середнє ариф

метичне з них, помилка якого, очевидно, дорівнюватиме:

Беручи до уваги середню квадратичну помилку візу

вання mv, знаходимо середню квадратичну помилку тн од

ного напряму за формулою (25,5):

_ пи

//Ісередн. НІДЛ. — •./75

аоо

Г -

(25,6)

Таку ж саме помилку матиме напрям і на другу точку.