Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

тобто середня квадратична помилка одного

виміру дорівнює квадратному кореню з суми

квадратів найімовірніших помилок, поділе

ної на число вимірів без одиниці.

Ця формула називається формулою Бесселя на честь

німецького астронома і геодезиста, який запропонував її

для оцінки точності результатів рівноточних вимірів.

Кори туючись формулою (20, 13), легко виразити середню

квадратичну помилку М середнього арифметичного через

найімовірніші помилки. Для цього підстав, мо (20,13) в (19,6):

Формула Петерса служить для обчислення середньої

помилки 0 за абсолютними значеннями найімовірніших по

милок.

Як відомо, середню квадратичну помилку одного виміру

мпжип обчислювати або за формулою (16,5), якщо відомі

Іі-пшиІ помилки вимірів А/, або за формулою (20, 13), якщо

або

Звідси, після скорочення на п,

або

(20, 13)

ІІВ ІД КИ

(20, 14)

§ 21. ФОРМУЛА ПЕТЕРСА

відомі найімовірніші помилки 5/. Отже, при достатньому

числі вимірів п можна написати таку , рівність:

[ДД] [55].

п п—1

або

[ДД] = [85]^

-1 ’

Ця рівність дозволяє скласти таке наближене співвід

ношення між істинною та найімовірнішою помилками:

w- wVct-

яке означає, що в середньому істинна помилка Д більша

від найімовірнішої помилки S у відношенні ^ ■ Звідси

[|Д|] [1*1]

Y п V п— і ’

[|Д|] [і»|] і

п у/~п— 1 Y п ’

або

0 = - Ш ± и . (21,1)

Vn(n-1)

Це формула Петерса. Для спрощення обчислень її до

цільно перетворити так. При досить великому п можна при

пустити, що

п (п 1)~ ti2—ti +-J = ( п—і ) 2.

Тоді формула (21,1) набере такого вигляду:

Є - ПЧ1

„ _ 1 (21.2)

Раніш ми зазначали, що 0 = 0,80 т. Звідси

т= 1,253

[)»я

/ч{п 1)’

1,253 , ... ,

ш =

-----

Т {\о\).

П~~2

(21.3)

(21.4)

Як бачимо, обчислення за формулою (21,4) значно прос

тіші, ніж за формулою (21,3).

п 1,253

Для величини — __ за аргументом п можна скласти

тику таблицю:

Таблиця 5

1,253

/і

1.253

Ун(п-Ї)

Уп(п-~Ту

0,886

0,119

0,512

12 0,109

0.362

13 0,100

0,280

14 0,093

0,229

0,086

; 7

0,193 16 0,080

0,167 17

0,076

9 0,148 18

0,072

0,132

0,068

0,061

Тоді обчислення за формулою (21,3) будуть також досить

и рої і йми і нона може служити контрольною при визначенні

* • Ім• дпі»«>ї квадратичної помилки за формулою Бесселя.

Приклад /. На астропункті І класу на протязі декількох

.■і и і и 11 спостережень 15 пар зірок програми способу Таль-

і оі 1.1 одержали значення широти точки стояння інструмента,

11 о і. 11 і.і и таблиці G. Знайти найімовірніше значення широти,

< ■■ і>і- імі квадратичні помилки одного виміру і арифметичної

середини. Обчислення т проконтролювати формулою Пе

терса.

Таблиця 6

№

Формули і обчислення

49° 50' 9",6

10,1

9,5

10,7

10,2

9.7

10,9

9.7

9,4

10.4

9.7

9.8

10,6

11,6

10,7

+ 0,6

+ 1.1

+ 0,5

+ 1,7

+ 1,2

+ 0,7

+ 1.9

+ 0,7

+ 0,4

+ 1,4

+ 0,7

+ 0,8

+ 1,6

+ 2,6

+ 1,7

0,36

1,21

0,25

2.89

1,44

0,49

3,61

0,49

0,16

1,96

0,49

0,64

2,56

6,76

2.89

-0,57

—0,07

-0,67

+ 0,53

+ 0,03

-0,47

+ 0,73

-0,47

—0,77

+ 0,23

-0,47

-0,37

+ 0,43

+ 1,43

+ 0,53

0,3249

0,0049

0,4489

0,2809

0,0009

0,2209

0,5329

0,2209

0,5929

0,0529

0,2209

0,1369

0,1849

2,0449

0,2809

49 50 9,0

1,17

<рсер. 49 50 10,17 + 17,6

+ 3,91

-3,86

26,20

+ 0,05

= 7,77

5,5495

17,6

а= + 0,05

53495

15—1 '

= + 1",17

±0",63

M = + - ^ L = ± 0 " ,1 6

/ 15

Контроль:

1*12

[»*]-[**] —

■ 26,20- = 5,55*

309,76

= + _ Н £ = [ |В|] =

- у піп-1)

. 0,086 х 7,77 =±0",67

1 Вивід цієї контрольної формули див. § 27 (формула 27,5).

Приклад 2. На астропункті І класу із спостережень зірки

a Ursae minoris 18 прийомами був визначений азимут напряму

на земний предмет, значення якого дані в таблиці 7. Знайти

найімовірніше значення азимута і оцінити його точність.

№

Спостереже

ний азимут

«г 0

О2

Формули і обчислення

46° 39' 39".44

+ 1,44

2,0736

+ 0,90

0,8100

М _ . * “ 0-54

п 18

39,06

37,90

+ 1,06

-0,10

1,1236

0,0100

+ 0,52

-0,64

0,2704

0,4096

36,16

—1,84 3,3856 —2,38

5,6644

Остача а = —0,04

5 39,54

+ 1,54 2,3716

+ 1,00

1,0000

36,46

40,85

—1,54

+ 2,85

2,3716

8,1225

-2,08

+ 2,31

4,3264

5,3361

т/55Г9Ї06

т -± у -yj— = ±V,

34,72

-3,28 10,7584

—3,82

14,5924

1 Я1

М - + - 4 ^ - + 0",43

V 18

39,88

+ 1,88 3,5344

+ 1,34

1,7956

40,65

+ 2,65

7,0225

+ 2,11

4,4521

37,76

-0,24

0,0576

—0,78

0,6084

38,03

+ 0,03

0,0009

—0,51 0,2601

Контроль:

39,24

+ 1,24

1,5376

+ 0,70 0,4900

[=12

40,45 + 2,45 6,0025

+ 1,91 3,6481

[?,2] = [s*]

----

Н _ „

її

і:>

40,73

39,38

+ 2,73

+ 1,38

7,4529

1,9044

+ 2,19

+ 0,84

4,7961

0,7056

61,1162-5,2057 =

17 36,51

1,19 2,2201

-2,03

4,1209

55,9105

1Н

36,92

1,08 1,1664

-1,62

2,6244

1.253

trt . ..

..........

Л І _

! .’V,

і і

И, ;і'і .1,4,(111

■ 19,'.’5 і 13,82

у п(п—1)

1 1

! . о,,vi

‘1.57

13,86

- (0,072 х 27,68) =-±1",

.•і,,,,

к; зч .ч.ч.м

і 9,68 61,1162 — 0,04

55,9106

й 22. ПОМИЛКИ ЗАОКРУГЛЕННЯ. ЗВ’ЯЗОК МІЖ СЕРЕДНЬОЮ

КІІЛДІ'ЛТП'ШОІО ТА ГРАНИЧНОЮ ПОМИЛКАМИ ЗАОКРУГЛЕННЯ

11ри проведенні різних інженерно-технічних вимірів, а

і.’ікож їїрп обробці їх результатів доводиться завжди мати

■ 11 р; 111 у :і числами, які не є точними, а лише наближеними

и і.і ч с-11 п я м 11 різних величин. Такі числа називають наближе

ними.

II І 1.VI .111

Поява наближених чисел обумовлюється різними причи

нами. Вимірюючи лінію сталевою стрічкою декілька разів,

ми кожного разу одержуємо результат, який може відріз

нятися від іншого на сантиметри і навіть дециметри. Ці

розходження, як відомо, обумовлені неминучими помилками

вимірів. В той же час, беручи відлік по стрічці при остан

ньому її відкладанні на даній лінії, ми, виходячи з заданої

точності вимірів, записуємо довжину остачі лише до санти

метрів, відкидаючи міліметри та їх частини. Подібні заок

руглення відліків по різних шкалах обумовлюють появу так

званих помилок заокруглення.

Заокруглення чисел доводиться робити не лише при ви

мірах, але й при обчисленнях. Так, наприклад, при обчис

леннях вводять заокруглені значення ірраціональних ста

лих величин, логарифмів чисел і тригонометричних функцій

і т. д. Так само неминуче доводиться заокруглювати ре

зультати обчислень проміжних величин. Всі ці помилки

заокруглень нагромаджуються і можуть у значній мірі спо

творити значення відшукуваних величин.

Щоб уникнути цього, при обробці вимірів заокруглення

чисел необхідно провадити з таким розрахунком, щоб оста

точні значення відшукуваних величин не були обтяжені

додатковими помилками, обумовленими недостатньою точ

ністю обчислень, і в той же час були досить точні. Звичайно

вважають необхідним проводити обчислення з точністю в

десять разів більшою від точності вимірів.

Заокруглюючи числа, треба додержувати таких правил:

1) якщо частина числа, яка відкидається при заокруг

ленні, більша від 0,5 одиниці попереднього знака, тоді до

цього останнього, додається одиниця; наприклад, число

3,6472, заокруглене до двох десяткових знаків, буде 3,65;

2) якщо частина числа, яка відкидається, менша від 0,5

одиниці попереднього знака, то цей знак залишається без

зміни; наприклад, число 17,2438, заокруглене до двох де

сяткових знаків, буде 17,24;

3) якщо частина числа, яка відкидається, дорівнює точно

0,5 одиниці попереднього знака, тоді цей знак змінюється

до найближчої парної цифри; так, наприклад, числа 4,385

і 2,135, заокруглені до двох десяткових знаків, будуть 4,38

і 2,14 відповідно.

Істинною помилкою заокругленого числа будемо назива

ти різницю між заокругленим і точним його значенням. В'

більшості випадків вона залишається нам невідомою. Легко

встановити лише граничну помилку заокруглення. Познача

тимемо її через а. Як випливає із сформульованих вище

правил, вона завжди дорівнюватиме:

а <= 0,5.10 , (22,1)

де k — число десяткових знаків, які залишилися після заок

руглення числа.

Помилки заокруглення є помилками випадковими. Вони

мають такі ж властивості, як і випадкові помилки вимірів,

за винятком однієї, а саме: якщо при вимірах малі щодо

абсолютної величини випадкові помилки зустрічаються час

тіше, ніж великі,- то при заокругленнях малі помилки заок

руглення зустрічаються гак само часто, як і великі.

Такий розподіл випадкових величин за їх значенням на

зивається рівномірним. Отже, на відміну від випадкових

помилок вимірів, які підлягають нормальному - закону роз

поділу (див. § 13), помилки заокруглення підлягають рівно

мірному закону.

В зв’язку з цим залежність між середньою квадратичною

і граничною помилками для помилок заокруглення відріз

нятиметься від співвідношення (16,7), яке існує між такими

ж помилками для випадкових помилок вимірів.

Щоб знайти цю залежність, візьмемо в загальному ви

гляді ряд усіх можливих істинних помилок заокруглення

будь-яких величин. При цьому припустимо, що ці помилки

змінюються на величину є і мають своїм граничним значен

ням а, так що

де п — число можливих значень помилок заокруглення за

їх абсолютною величиню.

Будемо мати:

Квадрат середньої квадратичної помилки заокруглення

'іпрішповатиме середньому арифметичному з квадратів істин

нії >. помилок (22,3), тобто

(22,2)

--«є, --(rt-l)s, . . . , —2г, 0,

-!- г, +2г, ..., +(п- -1 )s, + /гє.

(22,3)

2{з"- + (2с)2 + (302+ ... +(пгу)

2н + 1

,іГ)о

, 2г2(12 + 2: + . . . +п2)

т- =

--------

ft——т--------1

(22,4)

Ллє математики відоме таке співвідношення:

(22,5)

<>пі<(\ підставивши (22,5) в (22,4), одержимо:

або, беручи до уваги (22,2),

(22,7)

ГІри заокругленнях чисел величина п може набирати

значення 5, 50, 500... Тому в формулі (22,7) величиною

071

можна нехтувати. Тоді будемо мати таку остаточну фор

мулу:

яка виражає залежність між середньою квадратичною і гра

ничною помилками заокруглення.

§ 23. ОЦІНКА ТОЧНОСТІ РЕЗУЛЬТАТІВ ОБЧИСЛЕНЬ

При виведенні в § 18 основної формули (18,14), яка ви

ражає закон нагромадження випадкових помилок при вимі

рах і обчисленнях, ми не використовували другої власти

вості випадкових помилок. Через те формула (18,14) і від

повідні формули § 19, які служать для визначення середніх

квадратичних помилок функцій часткових видів, будуть вір

ними і для середніх квадратичних помилок заокруглення.

Виходячи з цього, розглянемо питання оцінки точності ре

зультатів обчислення із заокругленими числами.

1. Додавання і віднімання. Візьмемо спочатку

випадок, коли окремі доданки, суму яких треба знайти,

мають різне число десяткових знаків, наприклад:

Перший доданок може мати граничну помилку а = +0,05.

Через те в одержаній сумі другий десятковий знак може

мати помилку в 5 одиниць. Отже, записана в такому ви

гляді сума не буде вірною, а через те три останні десяткові

знаки без втрати точності можна відкинути, і остаточна

сума дорівнюватиме:

(22,8)

ІЗ ЗАОКРУГЛЕНИМИ ЧИСЛАМИ

6,2

1,546

+ 0/23

(23,1)

0,01328

7,98928

6,2

1,55

0,23

0ДЛ

7,99

В ній максимальна помилка буде не більша від

Лгпах = 0,05 + 0,005 X 3 - 0,065.

В (23,2) другий десятковий знак утримується для того,

щоб не вносити в суму нової помилки від заокруглення

окремих доданків.

Візьмемо тепер другий випадок, коли всі доданки мають

однакове число десяткових знаків, наприклад:

4,864

3,259

+ 2*323 (23,3^

7,415_

19,047

Теоретично в загальному випадку гранична помилка заок

руглення в сумі з п доданків визначається за формулою

, Дгран~а^- (23,4)

Але таке її значення вже при п > 2 матиме малу імовір

ність і при тому тим меншу, чим більше п. Через те фор

мулу (23,4) вживають лише тоді, коли число доданків буде

не більше трьох.

Якщо при заокругленнях окремих чисел помилки заок

руглення підлягають рівномірному закону розподілу, то по

милки заокруглення для сум розподіляються за нормальним

законом. Отже, для сум граничні значення помилок заок

руглення можна визначити за формулою

-VpaH = 3 tTls , (23,5)

де ms — середня квадратична помилка суми заокруглених

чисел.

Знайдемо тепер середню квадратичну помилку ms суми

*S ~ JCi “Ь + ...-!■■ х.п (23,6)

п доданків при умові, що всі вони мають однакову граничну

помилку заокруглення а. Позначаючи середню квадратичну

помилку заокруглення одного доданка через т, за форму

лою (19,5) будемо мати:

ms = ± m Y (23,7)

або, беручи до уваги (22,8),

ms = + ^ a j/^ . (23,8)

Поділивши праву і ліву частини цього рівняння на S,

одержимо відносну помилку суми

У f (23,9)

Якщо в сумі (23,6) всі доданки приблизно однакові, тоді

S = nx. (23,10)

В цьому випадку формула (23,9) набере такого вигляду:

¥ - ± т / а - <2 3 . п >

Звідси виходить, що відносна середня квадра

тична помилка заокруглення сум змінюється

обернено пропори, іонально квадратному ко

реню з числа доданків.

2. Множення і ділення. Дамо оцінку точності до

бутку заокруглених множників

P = x t . х2... хп . (23,12)

Для цього візьмемо натуральний логарифм виразу (23,12);

одержимо:

In Я = 1п X'! -і In х>+ ... + In хп . (23,13)

Беручи повний диференціал, після заміни диференціалів

помилками знайдемо залежність між істинними помилками

функції (23,13) та її аргументів:

А Р A x t Ах, , А х п .

Р - + (23,14)

тобто відносна помилка добутку дорівнює алгебраїчній сумі

відносних помилок окремих множників.

Середню квадратичну помилку тР добутку знайдемо за

формулою (18,14):

('?Г=(т;)ї+(І),+--- + (^Г <2з.і5>

де ти т2, . . . , тп — середні квадратичні помилки аргумен

тів функції (23,13).

Щоб знайти граничну відносну помилку добутку (23,12),

можна у формулу (23,14) замість істинних помилок Д^,

Дх2, ... , Дхя підставити граничні помилки а,, а2, ... , а„ ок

ремих множників. Тоді в найбільш несприятливому випадку,