Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

ки їм були знайдені для більшості видів геодезичних вимірів

закони, яким підлягають помилки вимірів. Ці закони мають,

велике значення для дослідження і встановлення доцільних'

та ефективних методів вимірів, для оцінки точності резуль

татів і для визначення границь припустимих помилок, які

властиві тому чи іншому виду геодезичних вимірів. Теорія

помилок і спосіб найменших квадратів дають можливість

виявити помилки, легко зробити оцінку точності всієї системи

вимірів у цілому і провести дослідження з метою виявлення

кращих методів вимірів.

При врівноваженні тріангуляційних, полігонометричних,

нівелірних та інших сіток ми не можемо одержати абсолют

но точні значення відшукуваних величин. Спосіб найменших

квадратів дає можливість одержати несуперечлизі і при то

му найбільш надійні результати, не застосовуючи довільних

прийомів врівноваження. Велике практичне та теоретичне

значення теорії помилок і способу найменших квадратів по

лягає ще й в тому, що вони дають можливість не тільки одер

жати найбільш надійні результати, але й оцінити весь комп

лекс спостережень і вимірів якісно і кількісно. Вони дають

певні правила для дослідження і визначення помилок, ко

ристуючись лише результатами самих вимірів. Через те тео

рія помилок і спосіб найменших квадратів мають дуже ши

роке застосування в багатьох науках, де доводиться мати

справу з вимірами та їх обробкою: у фізиці, хімії, астрономії,

геодезії тощо.

В СРСР побудова державної геодезичної основи та толо-

графо-картографічне вивчення території проводяться в плано

вому порядку і підпорядковуються єдиним правилам і нормам

з метою одержання точного, високоякісного, однорідного ма

теріалу. При цьому повинні враховуватися перспективи даль

шого роззитку нашого народного господарства. Отже, кожна

геодезична робота незалежно від її розмірів і призначення,

а також від того, хто її проводить, повинна бути виконана

відповідно до вимог загальнообов’язкових інструкцій, з най

меншою затратою праці, часу та державних коштів. А цьо

го можна досягти лише тоді, коли виконавець або керівник

геодезичних робіт застосовуватиме правильну і відповідну

заданій точності методику польових вимірів і належні інстру

менти. Для цього потрібне грунтовне знання способу наймен

ших квадратів, теорії помилок і законів їх нагромадження.

§ 3. КОРОТКИЙ ІСТОРИЧНИЙ НАРИС

ВИНИКНЕННЯ ТА РОЗВИТКУ ТЕОРІЇ ПОМИЛОК

І СПОСОБУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

У XVIII столітті в астрономії, геодезії та інших науках

бу,в зібраний багатий матеріал в галузі вимірів. Перед вче

ними того часу виникло дуже важливе завдання: за резуль-

татами багатьох вимірів однієї і тієї ж величини знайти

найбільш надійне, найбільш імовірне її значення. Подібне

завдання виникло і при визначенні елементів планетних орбіт,

для чого необхідно було мати результати безпосередніх ви

мірів лише шести величин. Результати багатьох вимірів цих

величин завдяки неминучим помилкам вимірів не узгоджу

вались між собою, а тому астрономи не знали, як використати

їх для визначення цих шести елементів. За розв’язання цього

завдання взявся молодий німецький математик Карл Фрідріх

Гаусс з приводу такої події.

1 січня 1800 року італійський астроном Піацці відкрив

маленьку планету Цереру, яку він спостерігав на протязі

41 дня, визначаючи її положення на небі. Потім планета за

йняла таке положення відносно Сонця, в якому спостерігати

її стало неможливо, і вона була загублена. Щоб її відшу

кати, необхідно було за результатами спостережень астро

нома Піацці обчислити елементи її орбіти, які визначають

форму, розміри і положення орбіти в світовому просторі, а

також положення планети на орбіті в будь-який момент ча

су. Для цього досить мати лише три спостереження, прове

дені через певні проміжки часу, кожне з яких давало дві

координати планети. Якби спостереження Піацці були без

помилкові, то тоді за трьома з них можна було б. визначити

точну орбіту планети і знову знайти її. Але ми знаємо, що

всяке спостереження не є абсолютно точним. Отже, для того,

щоб визначити орбіту планети, яка мало відхилялася б від

справжньої, необхідно було скористатися результатами всіх

спостережень.

Це завдання успішно розв’язав Гаусс. При цьому він за

стосував принцип, який став основою теорії помилок і спо

собу найменших квадратів. Цей принцип полягає в тому,

що числове значення відшукуваної величини повинно бути

знайдене при додатковій умові мінімуму суми квадратів від

хилень остаточного значення цієї величини від окремих ре

зультатів її вимірів. Для випадку, який ми тільки що роз

глядали, цей принцип треба було б сформулювати трохи

інакше. Але на цьому питанні ми зараз зупинятися не буде

мо, тому що застосування цього принципу в різних випадках

геодезичної та астрономічної практики розглядатимемо де

тально при вивченні курсу.

Застосування принципу найменших квадратів для мате

матичної обробки результатів астрономічних спостережень

вперше запропонував французький математик А. Лежандр

в 1806 році в роботі під назвою «Новий метод визначення

орбіт комет», і першість опублікування цього принципу дійс

но належить йому. Але справжнім творцем способу наймен

ших квадратів по праву вважають Гаусса, тому що він у

своїх класичних наукових творах1, які були опубліковані з

1809 по 1826 рік, не тільки запропонував цей принцип, а й

дав повне його теоретичне обгрунтування. Крім того, з ли

стування Гаусса з іншими вченими видно, що способом най

менших квадратів він користувався постійно, починаючи з

1795 року.

Розробкою математичних методів обробки спостережень

займалося багато видатних вчених — математиків, астроно

мів і геодезистів: JI. Ейлер, Т. Майер, Ж- Лагранж, П. Лап

лас, А. Лежандр та інші. Всі вони намагалися розв’язати пи

тання, яким чином при наявності багатьох рівнянь, число

яких більше числа невідомих, знайти значення цих невідомих,

що найкраще задовольняли б ці рівняння. Відповідь на це

питання давала б можливість на певних наукових основах

врівноважувати градусні виміри та тріангуляції, які в сере

дині XVIII століття проводилися у великих розмірах для ви

вчення форми та розмірів Землі і картографування територій

окремих держав. У всій повноті це завдання розв’язав лише

Гаусс. Глибоке обгрунтування способу найменших квадра

тів, основане на теорії імовірностей, дав також в 1812 році

Лаплас у своїй класичній роботі «Аналітична теорія імовір

ностей».

Безпосередньо принцип найменших квадратів і так зва

ний «закон великих чисел», що його встановив Лаплас, а в

більш загальній формі П. Л. Чебишев і який має велике

значення для обгрунтування теорії помилок, геодезисту-прак-

тику мало що дає. Необхідно було ще ці принципи застосу

вати в геодезичній практиці. Розроблялись ці питання на

протязі всього XIX столітня. Провідну роль тут відігравали

німецькі астрономи і геодезисти, такі, як Ф. Бессель, Й. Енке,

П. Ганзен, Ф. Гельмерт. Значний вклад в галузі практичного

застосування принципу найменших квадратів внесли також і

російські вчені: В. Я. Струве, В. Я- Бувяковський, О. М. Са-

азич, М. Я. Ц ін гер та інші. В XX столітті першість у цій спра

ві перейшла до російських і особливо радянських геодези

стів.

Після Великої Жовтневої соціалістичної революції перед

радянською геодезією постало завдання якнайшвидше забез

печити державу точними планами та картами. Геодезичні ро

боти в СРСР набрали грандіозного розмаху, якого не знала

жодна країна. В цих нових умовах радянські геодезисти не

могли орієнтуватися на досягнення зарубіжної геодезичної

науки. Розвиток радянської геодезії пішов своїми самостій

ними шляхами і залишив далеко позаду геодезичну теорію і

практику зарубіжних країн.

5 К. Ф. Г а у сс . Избранные геодезические сочинения, т. 1. Изда

тельство геодезической литературы, М., 1957.

Все де стосується також розвитку теорії помилок і спо

собу найменших квадратів. Такі важливі і складні питання,

як методи багатогрупового врівноваження, врівноваження

посередніх спостережень великих геодезичних сіток, питання

полігонального врівноваження тріангуляції І класу, наближе

них методів врівноваження складних полігонометричних сі

ток, розробка спрощених методів врівноваження, оцінка точ

ності в тріангуляції і полігонометрії та цілий р.яд інших пи

тань одержали належну наукову розробку лише в працях

радянських вчених-геодезистів Ф. М. Красовського, О. С. Че-

ботарьова, В. В. Данилова, В. В. Попова, О. М. Урмаєва,

О. І. Кобиліна та інших. Усі вони в значній мірі сприяли

дальшому розвитку теорії і практики способу найменших

квадратів.

Розвиток теорії помилок і способу найменших квадратів

проходив у тісному зв’язку з розвитком теорії імовірностей —

математичної науки, яка вивчає закономірності, що проявля

ються в масових випадкових явищах.

Зародки теорії імовірностей знаходимо в дослідженнях

Б. Паскаля, П. Ферма, X. Гюйгенса та інших вчених XVII

століття. В їх працях одержали оформлення такі важливі

поняття, як імовірність, математичне сподівання, були вста

новлені їх основні властивості та прийоми обчислення.

Перші значні успіхи в аналізі простих масових випадко

вих явищ зв’язані з граничними теоремами Я- Бернулі (1654—

1705 pp.) та А. Муавра (1667—1754 pp.). Першому з них

належить доказ для простого випадку одного з найважли

віших положень теорії імовірностей — так званого закону

великих чисел (теорема Бернулі). Муавр уперше ввів і для

простого випадку обгрунтував дуже важливий для випад

кових явищ закон, відомий під назвою нормального закону

Гаусса.

Дуже велика роль в розвитку теорії імовірностей нале

жить знаменитим математикам Гауссу і Лапласу. В своїй

фундаментальній праці «Аналітична теорія імовірностей»

Лаплас уперше систематично виклав основи теорії імовір

ностей, а також довів граничну теорему, відому під назвою

теореми Муавра—Лапласа. Гаусс, як згадувалося вище, дав

більш загальне обгрунтування нормального закону і роз

робив метод обробки спостережень — метод найменших квад

ратів.

Новий період в розвитку теорії імовірностей почався з се

редини XIX століття і пов’язаний з іменами російських

математиків П. Л. Чебишева (1821 —1894 pp.) та його учнів

А. А. Маркова (1856—1922 pp.) і О. М. Ляпунова (1857—

1918 pp.). Працями цих вчених теорія імовірностей була пе

ретворена в струнку, логічно обгрунтовану математичну нау

ку. Чебишев довів закон великих чисел у більш загальній

формі, яка охоплює як частковий випадок теорему Бернулі.

Марков значно розширив межі застосування цього закону.

Крім того, він заклав основи нової галузі теорії імовірно

стей — теорії випадкових процесів. Ляпунову належить до

ведення дуже важливого для теорії імовірностей, а також

для теорії помилок твердження, відомого під назвою цент

ральної граничної теореми теорії імовірностей, або теореми

Ляіпунова.

Сучасний розвиток теорії імовірностей завдяки фундамен

тальним працям радянських вчених характеризується загаль

ним підвищенням інтересу до неї у всіх країнах і розширен

ня кола її практичного застосування. Серед представників

радянських учених, наукові .праці яких відіграли вирішальну

роль в розвитку сучасної теорії імовірностей і математичної

статистики, слід назвати імена С. Н. Бернштейна, А. М. Кол

могорова, О. Я. Хінчина, Б. В. Гнєденка, В. І. Романовського,

Є. Є. Слуцького та багатьох інших.

С. Н. Бернштейну і А. М. Колмогорову належать фунда

ментальні праці з основ теорії імовірностей. Колмогоров і

Хінчин створили теорію випадкових процесів, яка стала тепер

основним напрямом досліджень в теорії імовірностей. В цьо

му напрямку працює також ряд вчених в інших країнах.

В. І. Романовський, Є. Є. Слуцький та інші вчені відомі свої

ми роботами в галузі математичної статистики.

РОЗДІЛ ПЕРШИЙ

ТЕОРІЯ ПОМИЛОК ВИМІРІВ

Глава I

РІВНОТОЧНІ ВИМІРИ

§ 4. СУТЬ ТА ВИДИ ВИМІРІВ

Виміряти будь-яку величину — це значить знайти відно

шення вимірюзаної величини до другої однорідної з нею ве

личини, яка приймається за одиницю міри. Математично це

можна записати так:

де М — вимірювана величина, N — одиниця міри, L ■— число,

яке одержують в результаті виміру і яке є числовим значен

иям величини М, Очевидно, що число L залежить від вели

чини одиниці міри.

При проведенні вимірів повинні задовольнятися такі

умови.

1) Величина одиниці міри повинна бути добре відома і

в процесі вимірів залишатися практично незмінною. Для цьо

го одиниці міри порівнюються з так званими нормальними

мірами до і після проведення вимірів. Крім того, в процесі

роботи слідкують за незмінністю одиниці міри. Якщо вона при

вимірах змінює свою величину під впливом зовнішніх умов,

наприклад температури, то в результат вимірів вводять від

повідні поправки. Це доводиться робити, наприклад, при до

сить точних лінійних вимірах.

2) Величина об’єкта під час. його вимірювання повинна

бути практично незмінною. Ця умова при більшості видів

геодезичних вимірів задовольняється майже завжди, на

приклад віддаль між двома надійно закріпленими точка

ми, величина кута, який закріплено трьома сталими центра

ми, на протязі довгого часу залишаються практично незмін

ними. Але бувають такі Оіб’єкти, які з часом більш або менш

швидко змінюють свою величину, наприклад барометричний

тиск, рівень води у рїчці, висота зірки над горизонтом та

інші. Результати вимірів таких величин будуть справедливі

тільки для моментів вимірів.

Усі виміри будь-яких величин з точки зору тих чи інших

і II. т. Купім

їх особливостей в теорії помилок і способі найменших квад

ратів доводиться поділяти на окремі види. В залежності від

того, яким шляхом були одержані числові значення відшу

куваних величин, виміри поділяються на прямі, або безпосе

редні, і непрямі, або посередні.

Вимір називається прямим, або безпосе

реднім, якщо вимірювана величина без,по се

редньо порівнюється із своєю одиницею м і-

' Нія неприступної віддалі АС через

широку річку (рис. 1) вздовж берега довільно вибирають лі-

Про величину АС в цьому випадку говорять, що во

на виміряна посереднім шляхом. Отже, непрямими,

або посередніми вимірами називаються

такі, к о л и в і д ш у к у в а н і в е л и ч и н и в и з н а ч а 

ю т ь ш л я х о м о б ч и с л е н ь , як ф у н к ц і ї і н ш и х

безпосередньо виміряних величин.

В залежності від того, змінюються чи не змінюються ті

умови вимірів, які в основному обумовлюють їх точність,

виміри однієї або декількох однорідних величин поділяються

на рівноточні і нерівноточні.

Виміри однієї або декількох однорідних

величин називаються рівноточними, якщо

вони були проведені при однакових умо

вах: інструментами однакової точності,

одним і тим же методом, спостерігачами

о д н а к о в о ї к в а л і ф і к а ц і ї та д о с в і д ч е н о с т і ,

при однакових приблизно зовнішніх умо

вах тощо.

Виміри однієї або декількох однорід

них величин називаються нерівноточними,

якщо вони були проведені при неоднако

вих умовах.

р и. Так, наприклад, довжину лінії

на місцевості вимірюють сталевою

стрічкою, величину кута — за допо

могою поділеного на градуси лімба

теодоліта і т. д.

Рис. і.

Але в практиці часто бувають

випадки, коли ту чи іншу величину

або зовсім не можна виміряти без

посередньо, або якщо і можна, то

лише шляхом досить складних, ви

мірів. У таких випадках застосову

ють так звані непрямі, або посе

редні виміри. Так, для визначен-

, , „ ЛЯ sin^

ну віддаль можна визначити за формулою ЛС = —£— —•

У наведених визначеннях «однаковими умовами» в більш

широкому і точному їх розумінні ми повинні вважати постій

ність при вимірах одних і тих же факторів, які в основному

обумовлюють точність результатів вимірів.

Припустимо, що один і той же спостерігач одержав ре

зультати вимірів '20-метровою сталевою стрічкою двох ліній

довжиною в 500 і 300 метрів, розташованих на однаковій за

своїми властивостями для вимірів місцевості. Виміри були

проведені- однаковими методами і з однаковою старанністю.

При вимірюванні першої лінії стрічка укладалася 25, а дру

гої — 15 разів. Щоразу з’являлася якась невеличка помилка.

Отже, очевидно, що результати вимірів цих двох ліній не

можна вважати рівноточними, тому що число факторів (чис

ло відкладань вимірювального приладу), які спричиняють

помилки, було неоднакове, незважаючи на те, що всі інші

умови вимірів були такі ж самі. Цього, очевидно, не можна

сказати про результати вимірів однаковими методами, ін

струментами та при однакових зовнішніх умовах двох різних

щодо величини кутів.

У залежності від кількості вимірів, проведених для ви

значення відшукуваних величин, виміри поділяються на необ

хідні та додаткові. Ті

виміри, які необхідно бу

ло п р о із е с т и, щоб одержати хоча б одну си

стему значень відшукуваних величин, на

зиваються необхідними. Виміри, проведе

ні з тією ж метою понад необхідну кіль

кість, називаються (додатковими.

Наприклад, для визначення взаємного положення чоти

рьох напрямів, які виходять з однієї точки (рис. 2), досить

виміряти три кути: х, у, z. Вимір четвертого кута и буде до

датковий, тому що його можна обчислити як функцію перших

трьох за формулою и = 360° — (x-\-y-\-z). Для визначення

перевищення між двома точками А і В досить лише один ні

велірний хід / (рис. 3). Якщо між ними були'прокладені ще

два ходи II і III, то виміри суми перевищень по них будуть

додатковими. Щоб визначити неприступну віддаль АС (рис. 1),

досить було виміряти довжину лінії АВ і кути р та '{. Вимір

третього кута а буде додатковим.

Додаткові виміри мають велике практичне значення через

те, що вони дають можливість 1) виявити у вимірах грубі

помилки, 2) знайти більш надійні значення вимірюваних ве

личин, 3) визначити точність вимірів і результатів їх обробки

і притому з тим більшою певністю, чим більше буде зроб

лено додаткових вимірів. Отже, результати вимірів можуть

бути надійними лише при наявності додаткових вимірів, а

тому проведения їх повинно бути обов’язковим.

Крім вказаних вище видів вимірів, при обробці їх резуль

татів доводиться мати справу ще з так званими умовними

вимірами. Умовними вимірами називаються

такі, про які відомо, що результати їх по

винні задовольняти певні теоретичні умо

ви. Так, наприклад, сума виміряних кутів трикутників по

винна дорівнювати 180°, сума перевищень у зімкнутому ні

велірному ході повинна дорівнювати нулю і т. д. Отже, в

цьому розумінні виміри кутів трикутників, перевищень між

окремими точками зімкнутих полігонів та інші подібні ви

міри скорочено називають умовними.

§ 5. СКЛАДОВІ ЕЛЕМЕНТИ ВИМІРЮВАЛЬНОГО ПРОЦЕСУ

Основна мета всякого геодезичного процесу полягає в то

му, щоб визначити взаємне положення багатьох точок між

собою і положення їх на земній поверхні. Ці визначення мож

на зробити тільки після проведення відповідних лінійних,

кутових та інших вимірів. Звідси ясно, що виміри в геодезії

відіграють головну роль. При організації зйомки будь-якої

території в будь-якому масштабі на лінійні та кутові виміри

завжди звертають особливу увагу. Беручи до уваги, що вся

кий вимір завжди супроводиться помилками, вся методика

знімальних робіт розробляється з таким розрахунком, щоб

найбільш повно усунути вплив цих неминучих помилок.

При проведенні вимірів треба мати на увазі, що всякий

точний вимір, загалом кажучи, є досить складний процес.

Щоб в результаті його одержати надійне значення вимірю

ваної величини, необхідно добре знати сам процес вимірю

вання і, крім того, вміти визначити величини тих помилок,

які завжди супроводять виміри.;

При всякому вимірювальному процесі завжди є такі чо

тири елементи:

1) об’єкт виміру,