Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

2) особа, яка проводить вимір,

3) інструмент, за допомогою якого проводиться вимір,

4) умови зовнішнього середовища, в яких проводиться

вимір.

На остаточний результат виміру кожен з названих еле

ментів має сзій вплив. Отже, для якісної оцінки результа

тів вимірів ми повинні мати ясне і по можливості повне уяв

лення про всі ці елементи і знати, який вплив чинить кожен

з них на результати вимірів.

1. Об’єкт виміру. Об’єкт виміру може мати постій

ну, незмінну величину за певний проміжок часу і, навпаки,

він може на протязі часу змінювати своє положення в про

сторі або свою величину. При вимірах необхідно знати, як

точно зафіксовані границі вимірюваного об'єкта,

2. Особа, яка проводить вимір. Треба знати

ступінь її кваліфікації; міру її виробничої досвідченості; фі

зичні можливості органів чуття; психіко-фізіологічний стан

спостерігача під час проведення вимірів.

3. Інструменти вимірі в. Одиниця міри може в

процесі вимірів змінювати або не змінювати свою величину.

Тому треба знати, з якою точністю відома величина одиниці

міри; конструктивні можливості інструмента; як точно прове

дено юстировку (перевірку) його згідно з ідеєю його будо

ви; стійкість інструмента під час вимірів тощо.

4. З о з н і ш н і умови вимірі в. Це атмосферні умо

ви, в яких проводились виміри; температурні умови; топо

графічні та інші умови місцевості; геологічні та грунтові

умови.

Тільки маючи відомості про всі ці та інші можливі фак

тори і елементи, можна дати більш-меНш повну якісну ха

рактеристику результатів вимірів.

Детальним вивченням впливу всіх згаданих вище факторів

на результати вимірів займаються експериментальні науки,

які мають справу з вимірами (геодезія, астрономія, фізика,

хімія та інші). На основі такого вивчення встановлюються

відповідні правила проведення вимірів, яких треба строго

додержувати, щоб результати вимірів були досить надійними

і доброякісними.

Надалі, вивчаючи теорію помилок і спосіб найменших

квадратів і застосовуючи висновки їх для обробки результа

тів вимірів, ми вважатимемо, що числові значення вимірю

ваних величин були одержані внаслідок досить старанних ви

мірів, з додержанням усіх технічних правил відповідних ін

струкцій та порадників.

Помилки вимірів за своїм походженням поділяються на

1) інструментальні, 2) особисті, або персональні, 3) зовнішні,

або помилки зовнішнього середовища.

Інструментальні помилки вимірів і спостережень обумов

лені недосконалістю інструментів, тобто відмінністю реаль

ного конкретного інструмента від інструмента ідеального,

який лежить в основі його побудови, а також неточністю

встановлення його в робочому положенні. Ці помилки мо

жуть досягти значних розмірів, і вплив їх на результати ви

мірів переважно систематичний. Отже, врахування інстру

ментальних помилок має велике значення; нехтуючи ними,

можна в значній мірі знецінити результати навіть дуже ста

ранних вимірів. У зв’язку з цим розробка методів досліджен

ня інструментальних помилок і виключення їх впливу з ре

зультатів вимірів і спостережень повинна бути одним з ос

новних завдань теорії астрономічних і геодезичних інстру

ментів.

Інструментальні помилки вимірів можуть бути поділені

на три категорії.

1) Помилки, обумовлені недосконалістю виготовлення ок

ремих частин інструмента. До них належать, наприклад, та-ч

кі: помилки штрихів поділених кругів кутомірних інструмен

тів та шкал різних вимірювальних приладів; помилки екс

центриситету, від нерівності діаметрів цапф та неправильної

їх форми; періодичні та ходові помилки мікрометричних гвин

тів; помилки, обумовлені недосконалістю виготовлення оптич

них частин та багато інших. Ці недоліки у виготовленні ін

струмента не можуть бути усунені або виправлені самим

спостерігачем, який проводить виміри. Помилки цієї катего

рії переважно мають систематичний характер.

Для виявлення таких інструментальних помилок інстру

мент необхідно детально дослідити. Виявлені таким чином

помилки або враховуються введенням в результати безпосе

редніх вимірів відповідних поправок, або виключаються шля

хом застосування спеціальних методів вимірів. Так, помил

ку, викликану нерівністю діаметрів цапф труби нівеліра при

високоточному нівелюванні, можна виключити, якщо ніве

лювання проводити з перекладкою зорової труби і т. д.

2) Помилки, обумовлені не цілком точною юстировкою та

встановленням інструмента в робоче положення для спо

стережень і не досить правильним його складанням. До цих

помилок належать такі: колімаційна помилка, помилка, обу

мовлена негоризонтальніетю осі обертання труби теодоліта,

помилки, викликані нерівністю підставок, на яких лежить

вісь обертання труби або сама труба, та багато інших. Ці

помилки можуть бути в значній мірі усунені самим спостері

гачем шляхом старанної перевірки інструмента. Але ідеаль

но точно цю перевірку зробити не можна, а тому помилки,

які ще залишаються після перевірки, виключають, застосо

вуючи відповідну методику спостережень.

3) Помилки, обумовлені зміною властивостей інструмента

з бігом часу. Головним чином ці помилки зв’язані із зміною

температури. Вони є найменш вивченими. Дослідження та

вивчення їх впливу при тих чи інших точних вимірах може

бути предметом' досить складної науково-дослідної роботи.

§ 7. ОСОБИСТІ ПОМИЛКИ ВИМІРІВ

Особистими, або персональними помилками називають

такі, які обумовлені обмеженою чутливістю органів чуття,

недостатньою кваліфікацією і досвідченістю та психіко-фізіо-

логічними 'особливостями і станом спостерігача.. Так, при

оцінці на око частини якої-небудь поділки один спостерігач

може оцінити її в 7/10, а другий — у 8/10. У практичній аст

рономії спостереження зірок астрономічним універсальним

інструментом полягають в тому, що за точним годинником

фіксують моменти проходження їх зображень через горизон

тальні або вертикальні нитки сітки труби, причому один спо

стерігач може фіксувати ці моменти з випередженням, а

другий, навпаки, із запізненням. Завдяки цьому в резуль

татах спостережень з’являються помилки особистого похо

дження.

В деяких випадках можна виявити закономірності, яким

підлягають особисті помилки того чи іншого спостерігача,

визначити їх величину і виключити їх з результатів спосте

режень якщо не повністю, то хоча б частково. Але найча

стіше спостерігачеві зовсім невідомі ні величина, ні знак осо

бистої помилки, яку він доіпуетив при спостереженні, тому

що вони безперервно змінюються при переході від одного

спостереження до другого в залежності від зміни психіко-

фізіологічного стану спостерігача. Через те особисті помилки

вимірів переважно мають випадковий характер.

§ 8. ПОМИЛКИ ЗОВНІШНЬОГО СЕРЕДОВИЩА

Зовнішні помилки обумовлюються різними несприятливи

ми для вимірів факторами та умовами зовнішнього середо

вища, в якому проводяться виміри. До них належать: -тем

пература, атмосферний тиск, вологість та непрозорість по

вітря, вітер, рельєф місцевості, нестійкість грунту (пісок,

луки) та багато інших. Для врахування або послаб

лення в,пливу цього виду помилок на результати вимірів

і спостережень доводиться вводити поправки, наприклад

за температуру, атмосферний тиск, або вживати спеці

альних заходів, щоб робити виміри в більш сприятли

вих умоваїх: лінії вимірюють підвісними вимірювальними при

ладами, кути в тріангуляції вимірюють вночі, коли атмосфе

ра перебуває в спокійному стані, візуючи при цьому на чіт

кі світлові сигнали тощо. Можна також зовнішні помилки в

деяких випадках виключити, застосовуючи спеціальні методи

спостережень.

Однак тому, що деякі умови зовнішнього середовища ві

домі нам приблизно або зовсім невідомі, то повністю ви

ключити зовнішні помилки з результатів вимірів не можна;

в них завжди залишаються невизначеними ні за величиною,

ні за знаком малі помилки цього виду.

§ 9. СИСТЕМАТИЧНІ ПОМИЛКИ ВИМІРІВ

За характером впливу на результати вимірів та за своїми

властивостями помилки поділяються на систематичні, грубі

та випадкові.

Систематичними, або регулярними помилками називають

ся помилки, які входять в результати вимірів згідно з тим

або іншим законом залежно від тих факторів, які обумов

люють їх виникнення.

Систематичні помилки поділяються на постійні та змінні.

Постійними помилками називаються помилки,

які при переході від одного виміру до другого не змінюються

ні за величиною, ні за знаком і поява яких обумовлюється

постійно і незмінно діючими факторами. Ці помилки вини

кають:

1) від неточного встановлення кутомірного інструмента

або візирного знака над центром пункту (помилки центру

вання) ;

2) від неточного визначення довжини вимірювального при

ладу при лінійних вимірах (помилки компарування);

3) від- неточного нанесення поділок на різних шкалах,

горизонтальному та вертикальному колах кутомірних інстру

ментів;

4) постійні помилки можуть з’являтися також внаслідок

заокруглення відліків, неповної перевірки інструментів, не

змінної дії під час вимірів факторів зовнішнього середовища

та багатьох інших причин.

Постійну помилку не можна виявити шляхом порівняння

результатів повторних вимірів відшукуваних величин. Для

цього необхідно провести спеціальні дослідження або вимі

ри, які повинні дати числову характеристику постійної по

милки. Так, наприклад, для визначення помилок центру

вання вимірюють елементи центрування та редукцій; помил

ку від неточності довжини вимірювального приладу визнача

ють шляхом порівняння його з нормальною мірою і т. д.

Змінними помилками називаються помилки, які

при вимірюванні будь-якої величини змінюють свою величину

і знак за певним законом, аналітична форма якого залежить

від характеру впливу на результат виміру тієї причини, що

обумовлює появу даної систематичної помилки.

Як постійні, так і змінні систематичні помилки за своїм

походженням можуть бути інструментальними, особистими,

зовнішніми. Так, колімаційна помилка, помилки у відліках по

нівелірній рейці, обумовлені непаралельністю осі візування

труби нівеліра до осі рівня, помилки в довжинах ліній, ви

кликані відмінністю довжини вимірювального приладу від йо

го нормальної довжини, — це систематичні інструментальні

помилки. Фіксація спостерігачем моментів проходження зо

браження зірки через нитки сітки труби завжди з випере

дженням або запізненням спричинює систематичні помилки

особистого походження. Нехтування земною або астрономіч

ною рефракцією при вимірюванні кутів нахилу та зенітних

віддалей, температурою вимірювальних приладів при ліній

них вимірах приводить до появи систематичних помилок зов

нішнього середовища.

Систематичні помилки небезпечні тим, що, по-перше, во

ни в більшості випадків впливають на результати вимірів од

нобічно — або з додатним, або з від’ємним знаком; по-друге,

в деяких видах вимірів вони можуть нагромаджуватися і тим

самим значно спотворювати результати (наприклад, при ні

велюванні, лінійних вимірах тощо); по-третє, часто буває

важко виявити джерело систематичної помилки, дослідити і

встановити закономірність його впливу на результат вимі

ру. Особливо це стосується систематичних помилок особи

стого та зовнішнього походження.

Систематичні помилки в теорії помилок не вивчаються,

тому що не можна встановити загальних правил виявлення

і виключення їх із результатів вимірів. В зв’язку з цим в

геодезії, астрономії та інших експериментальних науках, які

мають справу з вимірами, для більшості видів та способів

вимірів розроблені методи дослідження систематичних по

милок, визначення їх величини та знайдені способи їх враху

вання і виключення.

Для виявлення невідомих систематичних помилок існу

ють різні способи. Так, щоб виявити, чи властиві тому чи

іншому методові вимірів, тому чи іншому інструментові пев

ної конструкції якісь особливі, ще невідомі систематичні по

милки, проводять виміри одних і тих же величин по можли

вості в однакових зовнішніх умовах, але різними методами

або різними, але однакової точності інструментами. Це зав

дання можна розв’язати також шляхом порівняння резуль

татів вимірів досліджуваними методами або інструментами з

результатами вимірів цих же величин більш точними мето

дами та інструментами.

Для виявлення систематичних помилок зовнішнього сере

довища використовують в основному метод, суть якого поля

гає в тому, що проводять спостереження одних і тих же од

норідних величин декілька разів при різних зовнішніх умо

вах, причому виміри організовують так, щоб при окремому

спостереженні цих величин усі зовнішні фактори, крім одно

го досліджуваного, в процесі вимірів зберігали один і той

же стан. Так досліджують, наприклад, вплив вертикальної та

бічної земної рефракції на результати вимірів при різних

зовнішніх умовах — температурних, барометричних та ін.

Найменш вивченими є особисті систематичні помилки. Для

виявлення і визначення величин цих помилок використовують

такі способи.

1) Два однаково досвідчені спостерігачі одночасно прово

дять виміри однієї або декількох величин однаковими мето

дами та інструментами. Порівнюючи відповідні результати

вимірів цйх двох спостерігачів, виявляють, чи властиві їм

обом особисті систематичні помилки, чи ні.

2) Спостерігач, який повинен знайти свою особисту помил

ку, досить точним методом та інструментом визначає з бага

тьох спостережень числове значення такого об’єкта, вели

чина якого відома з попередніх дуже точних вимірів. Якщо

результати кожного виміру спостерігача будуть завжди або

більші, або менші від числового значення об’єкта на якісь

приблизно однакові величини, то тоді середнє їх значення .і

приймається за особисту систематичну помилку даного спо

стерігача.

Дослідження особистих систематичних помилок проводять

переважно лише тоді, коли спостерігач повинен займатися

дуже важливими і точними вимірами.

Існує, звичайно, багато інших методів дослідження і ви

явлення систематичних помилок вимірів. У кожному конкрет

ному випадку вибір того чи іншого з них залежить від при

роди завдання, яке стоїть перед дослідником.

Врахування і виключення систематичних помилок прово

дять або шляхом введення в результати вимірів відповідних

поправок, якщо закон впливу того чи іншого джерела си

стематичної помилки добре відомий і за ним можна визна

чити їх величину, або шляхом застосування спеціальних ме

тодів вимірів, внаслідок чого систематичні помилки виклю

чаються. Наприклад, у довжини ліній та базисів вводять по

правки на зміну довжини вимірювальних приладів від змі

ни температури. Помилка за ексцентриситет при вимірах ку

тів виключається, якщо відліки брати по двох верньєрах і

за остаточний взяти середнє з них. Для виключення коліма

ційної помилки кути вимірюють при двох положеннях зорової

труби — «коло право» і «коло ліво» тощо.

§ 10 ГРУБІ ПОМИЛКИ ВИМІРІВ

Грубими помилками називаються такі, яких щодо вели

чини не можна допустити при даних умовах вимірів. На

приклад, при вимірюванні кута тридцятисекундним теодолі

том не можна допустити помилку в ЗО' або 1°; вимірюючи

довжину лінії ,в 200 метрів сталевою стрічкою звичайним спо

собом, не можна допустити помилку, наприклад, в 4 метри.

Грубі помилки часто трапляються при обчисленнях. Обу

мовлені вони, головним чином, неуважністю та недбайливі

стю спостерігача або обчислювача. Однак грубу помилку мо

же допустити і досить уважний спостерігач. Через те для

виявлення їх необхідно завжди проводити повторні, конт

рольні виміри і обчислення. Але всякі контрольні виміри

будуть ефективними лише тоді, коли вони проведені іншими

способами або іншими інструментами. Так, повторний вимір

кута роблять після перестановки лімба на довільне число

градусів; при нівелюванні вживають двосторонні рейки або

нівелюють з перестановкою інструмента; для контролю лі

нійних вимірів бажано мати вимірювальний прилад іншої

довжини. Для перевірки обчислень користуються контроль

ними формулами.

Надалі ми вважатимемо, що в результатах вимірів і спо

стережень відсутні грубі помилки.

§ II. ВИПАДКОВІ ПОМИЛКИ ВИМІРІВ

Випадковими помилками' називаються такі, які в ряді ви

мірів будь-якої величини змінюють свою величину і знак без

всякої видимої закономірності. Випадкова помилка являє со

бою сумарний ефект впливу багатьох відомих і невідомих

нам причин, кожна з яких незалежно від інших вносить в

результат виміру свою невеличку елементарну помилку.

Характерні особливості факторів і явищ, внаслідок дії

яких виникають елементарні випадкові помилки вимірів,

такі:

1) зв’язок їх з процесом того чи іншого виміру має не

стійкий, тимчасовий характер. Цей зв’язок в даному проце

сі виміру виступає як щось другорядне, не головне; такі

зв’язки між явищами, які можуть не бути, але все ж таки

бувають, називаються випадковими;

2) випадкові фактори при вимірах діють незалежно один

від одного, в різноманітних сполученнях, і сумарний отлив

їх на результат того чи іншого виміру проявляється без вся

кої видимої закономірності. Через те при переході від одного

виміру до другого з’являються різні випадкові помилки як

щодо величини, та<к і щодо знака, і ми заздалегідь не можемо

передбачити, яка саме випадкова помилка з’явиться при

даному вимірі.

Існує багато причин, що обумовлюють виникнення в ре

зультатах вимірів елементарних випадкових помилок. За

своїм походженням ці помилки можуть бути інструменталь

ними, особистими або зовнішніми. В більшості випадків ми

зовсім не знаємо, яка причина мала місце при даному ви

мірі, а якщо вона й відома, то вплив її настільки складний,

що визначити його або зовсім неможливо, або для цього не

обхідно було б затратити багато часу, застосовуючи спеці

альні методи та точні інструменти при відповідних зовніш

ніх умовах.

Для ілюстрації розглянемо такий приклад.

Нехай вимірюється горизонтальний кут між двома на

прямами на пункти тріангуляційної сітки, які для виміру

кута зафіксовані візирними циліндрами. При цьому можуть

мати місце такі випадкові помилки.

1) Помилка візування; вона обумовлена, головним чи

ном, не цілком доброю видимістю візирного циліндра, недо

сконалою оптикою інструмента, неточністю наведення його

спостерігачем завдяки обмеженим можливостям його зору та

іншими причинами. Визначити величину цієї помилки при да

ному візуванні не можна, тому що навіть сам спостерігач

не може сказати, чи зробив він цю помилку, чи ні, не кажучи

вже про її величину і знак. При різних візуваннях вона мо

же бути різною щодо величини і знака. Отже, за своїм по

ходженням помилка візування є одночасно інструменталь

ною, особистою і зовнішньою, а за характером цілком ви

падковою.

2) Помилки у відліках по лімбу, обумовлені неточністю

нанесення поділок лімба та верньєра, нерівномірним освіт

ленням їх, паралактичним зміщенням кінців штрихів лімба

або верньєра, якщо не зливаються площини, що проходять

через кінці цих штрихів, обмеженою чутливістю зору спосте

рігача та іншими причинами.

3) При візуванні на віддалений предмет ми вважаємо,

що світловий промінь іде.від візирного сигналу до інструмен

та по лінії, що лежить у вертикальній площині. Але в дійс-

пості завдяки нерівномірному розподілу густини атмосфери

ця лінія може бути просторовою кривою двоякої кривини.

Це приводить до появи у величині горизонтального кута ви

падкової елементарної помилки, обумовленої так званою

бічною рефракцією. Дослідити і визначити її величину ми не

можемо. Можна лише шляхом спеціальних дослідів знайти

приблизно її максимальну величину при певних зовнішніх та

інших умовах вимірів.

Опускаючи розгляд інших можливих факторів, які обу

мовлюють появу елементарних випадкових помилок, заува

жимо лише, що в процесі багатьох вимірів одного і того ж

кута може змінюватись як сама кількість діючих факторів,

так і інтенсивність їх впливу на результати окремих вимірів,

мого при спостереженнях простежити не можемо. Отже, су

марні помилки в значеннях вимірюваного кута від усіх цих

факторів матимуть випадковий характер.

У процесі вимірів ми не можемо позбутися впливу всіх

випадкових причин тому, що випадковість неминуче входить

у домінуючий в природі та суспільстві всез'агальний зв’я

зок явищ. Через те поява в результатах вимірів випадкових

помилок буде неминучою, і в цьому розумінні їх можна

назвати ще неминучими помилками. Позбутися їх не можна.

На даному етаїпі розвитку науки і техніки можна лише, за

стосовуючи більш точні, старанно досліджені і перевірені

інструменти, вдосконалені методи вимірів та добираючи най

більш сприятливі зовнішні умови,звести величини випадкових

помилок до певного мінімуму.

Раніш ми зазначали, що змінні систематичні помилки

для кожного виду вимірів необхідно досліджувати, визнача

ти і виключати їх величину з результатів вимірів. Для цьо

го потрібно знати форму функціональної залежності і зна

чення аргументів, від яких залежить величина тієї чи ін

шої систематичної помилки. Але в багатьох випадках ці

елементи нам бувають відомі не точно, а з деяким наближен

ням. Крім того, в процесі декількох вимірів однієї величи

ни вони можуть в більшій або меншій мірі безперервно змі

нюватися. Через те між істинним значенням систематичної

помилки і відповідною їй поправкою до результату виміру

існує невеличка різниця, яка має випадковий характер. Цю

різницю, яку не можна врахувати, називають остаточним

впливом систематичної помилки.

Таким чином, в результатах повторних вимірів після

виключення відомих нам систематичних помилок разом з ви

падковими можуть залишатися ще залишкові систематичні, а

також і ті систематичні помилки, які походять від невідо

мих нам причин. Виміри необхідно організовувати так, щоб

ці останні були значно менші від випадкових помилок.

§ 12. ВЛАСТИВОСТІ ВИПАДКОВИХ ПОМИЛОК

ВИМІРІВ

Випадковими помилками ми назвали такі, які в ряді вимі

рів будь-якої величини змінюють свою величину і знак без

всякої видимої закономірності. Але це не значить, що вони

з’являються безпричинно. В природі безпричинних явищ не

має. Лише через те, що наші знання умов вимірів є обме

жені, ми або зовсім не знаємо причин появи даної випадкової

помилки, або знаємо дуже багато цих причин, але не може

мо встановити загального результату їх взаємодії.

Отже, слово «випадковий» не виключає причинного зв’яз

ку явищ. Ф. Енгельс говорив: «...де на поверхні відбуваєть

ся гра випадковості, там сама ця випадковість завжди вияв

ляється підпорядкованою внутрішнім, прихованим законам.

Вся оправа лише в тому, щоб відкрити ці закони»1. Отже,

випадковість є непізнана необхідність. Як тільки ми вивчи

мо причини появи того чи іншого випадкового явища, то по

бачимо, що воно з’явилося з залізною необхідністю; після

такого вивчення воно втрачає характер випадковості.

Поняттям «випадкова помилка» підкреслюється лише тон

факт, що або ми не спостерігаємо безпосередньо того зв’яз

ку, який існує між .процесом виміру і причинами, що обумови

ли появу випадкової помилки, або зв’язок цей настільки

складний, що ми, крім констатації факту появи випадкової

помилки, нічого більш певного про нього сказати не можемо.

Випадкові помилки вимірів, як і всякі явища в природі,

підлягають певним причинним закономірностям. Завдяки то

му, що наші знання про умови вимірів обмежені, а знання

законів діяння як основних, так і другорядних факторів, які

обумовлюють поязу цих помилок вимірів, не є абсолютно

точні, то знайти ці причинні закономірності ми або не може

мо, "або при заданій точності вимірів досліджувати їх недо

цільно.

Але випадкові помилки підлягають також так званим ста

тистичним закономірностям. Статистичними закономірностями

називаються такі, які виводяться на основі вивчення кіль

кісних змін або розподілів певних характеристик в масових

і однорідних випадкових явищах. Щодо випадкових помилок

вимірів такими найбільш важливими характеристиками

будуть величина помилки та її знак.

Вивчаючи розподіл випадкових помилок за їх величиною

та знаком у досить великих рядах рівноточних вимірів одних

і тих же величин, було виявлено такі статистичні законо

і К. М а р к с , Ф. Е н г е л ь с . Вибрані твори, т. II. Держполітвидав

УРСР. 1953, стор. 338—339.