Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

квадратний корінь із рх раз більша від

середньої квадратичної помилки виміру з

загою рх.

Величину ц. надалі коротко називатимемо середньою квад

ратичною помилкою одиниці ваги. Вона має разом з форму

лою (29,4) важливе теоретичне і практичне значення.

Вияснимо, нарешті, питання, який зміст має коефіцієнт

пропорціональності X. Для цього, згідно з основними визна

ченнями цього параграфа, напишемо таке очевидне співвід

ношення:

звідки

X = [х2, (29,5)

тобто сталий коефіцієнт пропорціонально

сті X дорівнює квадрату середньої квадра

тичної помилки і-і такого виміру, вага яко

го прийнята рівною одиниці. Таким чином, ви

бираючи при обчисленні ваг коефіцієнт X, ми тим самим вста

новлюємо той вимір, вага якого дорівнює одиниці.

Тут необхідно зауважити, що .в даному ряді нерівноточних

вимірів однієї або декількох однорідних величин може й не

бути виміру* вага якого р = 1. Але за такий ми можемо взя

ти уявний, фіктивний вимір і з ним порівнювати з точки

зору надійності результати інших дійсних вимірів.

У геодезичній практиці ваги результатів вимірів та інших

величин часто знаходять не за формулою (29,1), а за пев

ними правилами. Так, наприклад, за ваги результатів ви

мірів довжин ліній і сум перевищень по окремих нівелірних

ходах приймають величини, обернено пропорціональні дов

жинам ліній і ходів, за ваги сум кутів зімкнених теодолітних

полігонів — величини, обернено пропорціональні числу ку

тів у полігонах і т. д. Але ці правила не можна назвати

принципово іншими способами встановлення ваг. Всі вони,

як це ми побачимо в § ЗО і 35 (див. також § 38, задачі № 1,2),

випливають з основних формул (18,14) і (29,1), перша з

яких виражає закон нагромадження помилок, а друга дає

основне визначення ваги.

§ ЗО. ВАГА АРИФМЕТИЧНОЇ СЕРЕДИНИ

Ваги визначають не тільки для величин, одержаних шля

хом безпосередніх вимірів, а й для величин, одержаних шля

хом обчислень. Очевидно, що величини, які одержують в ре

зультаті обробки, будуть мати інші точності і ваги, ніж ті

величини, за допомогою яких одержують результати обчис

лень. Визначимо, наприклад, вагу середнього арифметич

ного.

Нехай маємо результати l\, h, ..., Іп рівноточних ви

мірів однієї величини з середньою квадратичною помилкою

одного виміру т.

Як відомо, середня квадратична помилка М середнього

арифметичного дорівнює:

Знайдемо тепер ваги р і Р одного виміру і середнього

арифметичного L0 відповідно. Згідно з визначенням ваг бу

демо мати:

отже, вага Р середнього арифметичного в п

разів більша від ваги р одного виміру.

Приймаючи вагу одного виміру рівною одиниці, при р — І

тобто вага середнього арифметичного до

рівнює числу п, яке показує, з кількох рів

ноточних вимірів виведене дане середнє

арифметичне.

Це положення має важливе значення, тому що воно дає

можливість всяку величину а з вагою ра розглядати як се

реднє арифметичне, виведене з ряду уявних рівноточних ви

мірів, ЧИСЛО ЯКИХ дорівнює ра-

Як уже було сказано, для визначення остаточного зна

чення якої-небудь величини з ряду нерівноточних вимірів не

можна брати просте середнє арифметичне, тому що при об

робці таких вимірів необхідно зважати на надійність, або

вагу кожного виміру. Через те обробку результатів нерівно-

точних вимірів однієї величини необхідно проводити так.

У п

X р _ X _ Хя

и 2 ’ ~ пі2 ~ тг

(30,1)

Звідси знаходимо відношення ваг:

(30,2)

(30,3)

§ 31. ЗАГАЛЬНЕ СЕРЕДНЄ АРИФМЕТИЧНЕ

Нехай маємо ряд нерівноточних вимірів

Ifr • • • » In (31,1)

з вагами

Р ъР ъ ---,Р п. (31,2)

Раніш ми знайшли, що вага простого середнього ариф

метичного дорівнює числу, яке показує, з кількох рівноточ

них вимірів виведена дана арифметична середина (див. фор

мулу (30,3) і висновок з неї). На основі цього кожну ве

личину lt можна розглядати як середнє арифметичне, виве

дене з рі уявних рівноточних вимірів:

Р , (31,3)

і написати ряд таких рівностей:

^ £ 1

........

и . Ш (31.4)

Р1 Рг Рп

Знайдемо тепер середнє арифметичне з ряду (31,3) рів

ноточних уявних вимірів:

Lo_ i n ± m ± ^ ± m (31,5)

0 Рі+Рг+---+Рп " V > /

Але, згідно з (31,4),

[Г]=/?2/2, (31;6)

1/(Л>] -/> « In -

Підставивши (31,6) в (31,5), остаточно будемо мати

, рА+рА+ ••• +Рп1п [рі] /01

Рі*Рг+...+Рп [р] ' (61’П

Це є формула середнього арифметичного по вагах у за

гальному вигляді, яка читається так: загальне серед

нє арифметичне з ряду результатів нерів

ноточних вимірів дорівнює сумі добутків

кожного з них на їх ваги, поділеній на су

му ваг. Вага його Ро, очевидно, дорівнюватиме числу всіх

уявних рівноточних вимірів (31,3) або сумі ваг:

а середня квадратична помилка, яку позначатимемо через М0

на підставі (29,4), дорівнюватиме:

М0= + - ^ . (31,9)

0 [р] к '

Обчислювати середнє арифметичне по вагах краще не за

формулою (31,7), а за допомогою наближеного значення

вимірюваної величини /0 і остач є таким способом.

Візьмемо довільне наближене значення вимірюваної ве

личини /0 і напишемо ряд таких рівностей:

/і = Iq + Ej,

/2 = /0 + г2, (31,10)

In — + £я •

Помножимо їх на відповідні ваги вимірів і добутки під

сумуємо:

[рІ]=Цр] + \ре\,

або, після ділення на [р],

W - (31'п>

§ 32. ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ КВАДРАТИЧНОЇ ПОМИЛКИ

ОДИНИЦІ ВАГИ ЗА ІСТИННИМИ ПОМИЛКАМИ

Істинною помилкою нерівноточних вимірів називають

різницю між результатом виміру і дійсним значенням вимі

рюваної величини. Цілком очевидно, що до істинних помилок

цих вимірів не можна застосувати відому формулу

т - ± у Ш ,

тому, що при оцінці точності 'результатів нерівноточних вимі

рів необхідно брати до уваги їх ваги.

При рівноточних вимірах для оцінки точності ряду ре

зультатів служить середня квадратична помилка т одного

виміру. Вона є загальною характеристикою точності вимірів

даного ряду. При порівнянні між собою з точки зору точ

ності однорідних рядів нерівноточних вимірів такою загаль

ною характеристикою точності для кожного з них служить

середня квадратична помилка їх одиниці ваги. Очевидно, що

найточнішим буде той ряд нерівноточних вимірів, середня

квадратична помилка одиниці ваги ц. якого буде найменшою.

Виведемо формулу для визначення величини р в тому ви

падку, коли відомі істинні помилки Д; та ваги рі результатів

нерівпоточних вимірів.

Нехай маємо результати вимірів

(32,1)

Ваги, істинні і середні квадратичні помилки їх нехай бу

дуть відповідно

ри р2, . . . , Рп , (32,2)

Ді, Д2, • • • , Д« , (32,3)

ти т2, , тп . (32,4)

Помножимо кожен з результатів вимірів (32,1) на від

повідний Урі, одержимо новий ряд величин:

h V Pi, h V Р2, •••> ІпУрп. (32,5)

Очевидно, шо істинні помилки їх будуть рівні

АіУ ри д , у р2, ... , Д пУ Рп, (32,6)

бо при збільшенні або зменшенні виміряного значення будь-

якої величини в довільне число разів у стільки ж разів збіль

шиться або зменшиться й істинна помилка зміненого резуль

тату виміру.

Використовуючи формулу, (19,1), знайдемо середні квад

ратичні помилки величин ряду (32,5):

т У рі, т2У р2, . . . , Шп У рп . (32,7)

Але, згідно з формулою (29,4), псі ці помилки рівні між

собою і дорівнюють середній квадратичній помилці ц одиниці

ваги, тобто

ті У Рі = т2У р2 = =тпУр,і = \і- (32,8)

Отже, ми можемо зробити висновок, що величини ряду

(32,5) є рівноточні з середньою квадратичною помилкою {і.

Звідси в свою чергу виплив-ає, що помилки (32,6) є істинні

помилки рівноточних величин (32,5). Таким чином, при до

сить великому числі п можна написати таку остаточну фор

мулу:

11= ± (32,9)

яка виражає зв’язок між середньою квадратичною помил

кою {і, з одного боку, і вагами та істинними помилками не

рівноточних вимірів, з другого боку.

Легко виразити середню квадратичну помилку ц одиниці ва

ги через ваги рі і середні квадратичні помилки ть Справ

ді, використовуючи співвідношення (29,4), можемо написати:

11а = /Я,2 А,

;і2 = пг22 р2,

V? = mn2pn

Підсумувавши, одержимо:

щ 2 = [т?р\,

звідки

§ 33. ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ КВАДРАТИЧНОЇ ПОМИЛКИ

ОДИНИЦІ ВАГИ ЗА НАЙІМОВІРНІШИМИ ПОМИЛКАМИ

В тому випадку, коли істинні помилки нерівноточних ви

мірів однієї величини невідомі, а відомі лише їх ваги або се

редні квадратичні іпомилки, тоді оцінку точності проводять за

найімовірнішими помилками.

Нехай маємо результати нерівноточних вимірів однієї ве

личини її, 12, ..., In та їх ваги ри р2, ..., рп ■ Як відомо, най

імовірніше значення цієї величини визначається за формулою

середнього арифметичного по вагах:

і _\р± L

0 А р \ '

вага якого Ра — [р].

Різниці між окремими і найімовірнішим значеннями ви

мірюваної величини називаються найімовірнішими помилка

ми результатів вимірів. Будемо позначати їх літерою S, тобто

S i ~ h - L 0. (33,1)

Доведемо спочатку такі дві особливості найімовірніших

помилок нерівноточних вимірів.

1. Напишемо ряд рівностей виду (33,1):

8j = Іх і 0,

5П = ІП

Lq.

Помножимо їх на .відповідні ваги і добутки підсумуємо:

[pb\~[pl\-L0\p]. (33,2)

Але з формули (31,11) маємо

L0[p]-[pl\. (33,3)

Підставивши (33,3) в (33,2), одержимо

[/75] =0, (33,4)

тобто сума добутків найімовірніших поми

лок на ваги відповідних результатів не

рівноточних вимірів завжди дорівнює н у -

л ю.

2. Напишемо дві системи таких очевидних рівностей:

Ді = /1—X, 8 L = /, L0,

^2 = ^2 ^2 = ^2 ^0>

Дп — іп X, 0„— ln L0,

де X і L0 — істинне і найімовірніше значення вимірюваної

величини, Ді і З* — істинні і найімовірніші помилки вимірів.

Віднімаючи почленно від перших рівностей відповідні їм дру

гі, будемо мати:

Д( 8 j = Z,0 X,

Д2 &2~ L>o

або

Д/і 8n — L0 X,

Дх = + Д0,

До — Srt -Ь Дм,

“ 2 и (33,5)

Дл=^л + Л<)!

де До — величина стала, яка означає істинну помилку за

гальної арифметичної середини. Піднесемо тепер рівності

(33, 5) до квадрата, результати помножимо на відповідні ва

ги рі, р2, ..., Рп і добутки підсумуємо:

Рі V = P i 5i2 + V A + 2 A 0Pi5,,

р2 V '= Р$2 + V р2 + 2 д0Рг §•>,

Рп — Рп "Ь ^q2 Рп 2 Дц рп 8(і

\р Д2] = [pS2] + Д02 \р\ + 2 Д0 \рЬ\.

Але, згідно з (33,4), [ро] = 0 . Отже, знайдену суму мож

на записати так:

(33,6)

Обидва члени в правій частині формули (33,6) є величи

ни додатні. Через те

[/> ^ ]> |р3'-г (33,7)

тобто сума добутків квадратів істинних по

милок нерівноточних вимірів на їх ваги

завжди буде більша від 'суми добутків

квадратів найімовірніших помилок тих же

вимі'рів на ваги. Це буде вірно при будь-якій си

стемі істинних помилок.

Щоб вивести тепер формулу для визначення середньої

квадратичної помилки [і одиниці ваги за найімовірнішими по

милками нерівноточних вимірів, звернемось до співвідношен

ня (33,6). Поділимо його спочатку на число вимірів п\

[р¥\ [рог] , [р] Л 2

п п 1 п _0 ’

або, беручи до уваги (32,9),

'l2=- ? + ? V - (33,8)

Тут Л0 — істинна помилка загального середнього ариф

метичного. Величина її нам невідома, тому що невідоме іс

тинне значення вимірюваної величини X. Але при достат

ній кількості вимірів п середнє арифметичне по вагах L0 ма

ло відрізнятиметься від X і величина До буде досить мала.

Через те ми допустимо незначну помилку, якщо в (33,8)

замінимо До середньою квадратичною помилкою Л10 серед

нього арифметичного по вагах, яка, згідно з формулою

(31,9), дорівнює:

Af0=+-T^=.

~V[p\

Отже, підставивши в (33,8) замість Д02 величину М02, бу

демо мати

,а _ і \р \ 'У

аоо

^ її + п (/>]’

„2 ІР®2] , !і!

(33,9)

З формули (33,9), так само як і з (32,9) і (32,10),

видно, що значення середньої квадратичної помилки одини

ці ваги [і залежить від коефіцієнта X, який був прийнятий

при обчисленні ваг вимірів.

§ 34. СЕРЕДНЯ КВАДРАТИЧНА ПОМИЛКА

ЗАГАЛЬНОЇ АРИФМЕТИЧНОЇ СЕРЕДИНИ

При визначенні середньої квадратичної помилки М0 за

гальної арифметичної середини можуть бути два випадки:

коли відомі істинні помилки результатів нерівноточних ви

мірів і коли вони невідомі. Для виведення відповідних фор

мул в обох випадках використаємо формулу (31,9):

де Р0 = [р] — вага загального середнього арифметичного.

Підставивши в неї замість [а й о г о значення (32,9) виражене

через істинні помилки А;, будемо мати :

М0= ± 1 / Щ . . , (34,1)

V п[р\

Так само, підставивши в (31,9) замість його значен

ня (33,9), виражене через найімовірніші помилки 5,-.одер

жимо:

АГ0- + і / . „ Н _ . (34 2)

0 - V (п—1 jір\' >

З формул (34,1) і (34,2) видно, що середня квадратична

помилка уИ0 не залежить від вибору коефіцієнта пропорціо-

нальності X при обчисленні ваг вимірів. Справді, при збіль

шенні або зменшенні в певне число разів коефіцієнта X в

стільки разів зміняться ваги р, а також чисельники і зна

менники, які стоять під знаком кореня в формулах (34,1) і

(34,2). Значення же М0, очевидно, залишиться незмінним.

§ 35. ВАГИ ФУНКЦІЙ НЕЗАЛЕЖНО ВИМІРЯНИХ ВЕЛИЧИН

Середня квадратична помилка функції незалежно вимі

ряних аргументів обчислюється, як відомо, за формулою

(18,14). Для цього необхідно знати середні квадратичні

помилки аргументів х, у, z, и. Але бувають випадки, ко

ли для аргументів відомі лише їх 'відносні ваги, які можна

встановлювати не за середніми квадратичними помилками,

а на основі інших відомих нам умов вимірів, які обумови

ли неоднакову їх точність. Так, наприклад, за відносні ваги

кутів ми можемо -приймати кількість застосованих при їх ви

мірах прийомів, за ваги сум перевищень у нівелірних хо

дах — величини, обернено пропорціональні їх довжинам,

і т. д. В таких випадках для оцінки точності функції визна

чають спочатку її вагу Pf, а потім, за відомою середньою

квадратичною помилкою одиниці ваги |і знаходять і серед

ню квадратичну помилку т/ функції за формулою:

т}

Таким чином, для оцінки точності функції незалежних ар

гументів досить знати середню квадратичну помилку одини

ці ваги ц і обернену величину ваги функції -І-.

Для визначення останньої візьмемо формулу (18,14):

т? - (М ) о т "+(% ) « + • - •ь (ш ),; т‘‘ •

Користуючись загальною формулою (29,3), замінимо в

ній квадрати середніх квадратичних помилок функції і ар

гументів через

2 .

Pf ’ "¥у "~1\'

”>ґ - р , , щ

т ,-2 = -—, о iJ-;

Р х т <Г

Ри

будемо мати

р /

.(dJY £. л . (д1 V і4*. _l і і pf Y, і*’2.

дх

рх

ду

ру

да

Р и

’

або, після скорочення на ц2,

‘ ~(jiY -L + ( <>lY ± + + (.дХ у .І - т п

P f \ дх

/ о

Рх Уду

ру

' ' ' ^ І

ди J о р и '

тобто обернена величина ваги функції неза

лежно виміряних величин дорівнює, сумі

добутків квадратів часткових похідних

функції по кожному аргументу на оберне-

іі і ваги відповідних аргументі в.