Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

Застосуємо загальну формулу (35,1) для визначення

обернених величин ваг функцій таких часткових видів.

1. Дано функцію z = kx і вагу рх, це к — сталий коефі

цієнт. Знайти рг • Маємо

% - к' 7 ; - Ь л6ор- !г- (35’2)

2. Дано функцію z = x±y і ваги рх і ру. Знайти вагу рг.

Маємо

дг * dz І І , І

~дх ^ ’ ‘ду- - 1, Ру'’ (35,3)

тобто обернена величина ваги суми або р;,і з

ниці двох аргументів дорівнює сумі обер

нених величин ваг аргументів.

Формулу (35,3) після приведения до загального знамен

ника можна записати так:

1 Рх +pv РхРч

Т Г - р . ^ р' - 7 т А - <35’4)

Якщо Рх = Ру=Р, то

Рг- (35,5)

тоото вага суми або різниці двох рівно-

точних величин в два рази менша від ваги од

нієї з цих величин.

3. Дано лінійну функцію z = ± x t ± х2 ± ... ± хп і ваги

аргументів р г_ . Знайти вагу pz.

Як і в попередньому випадку, маємо:

* ' 1 L +_L+ ... + _I

Рхг Рх,

д~ - ± 1; V , •••+я7 (35’6>

Якщо всі аргументи рівноточні, а саме

РхГР**“ ■■■ -Р*п = Р'

ТО Рг- (35,7)

тобто вага алгебраїчної суми п рівноточ

них результатів вимірів в п разів менша

від ваги одного результату.

4. Дано лінійну функцію загального виду

z = X, + koX2+ ...+k„xn

і ваги аргументів рх. . Знайти вагу функції рг. Маємо

дг

дхі

Підставивши (35,8) в (35,1), одержимо

1 Ь\г , кгг , ,

а " " ^ Г + ^ + - - - + /^Г- (35,9)

Очевидно, що при рх^ хр— ... = рХп = р будемо мати

1 [k-\ , р

Тг p ' &OOPz=m (35’10>

Приклад 1. Знайти вагу функції и = х—2y~\-z, якщо

Рх, — 2, ру — 1, Pz — 3.

Знаходимо часткові похідні функції

д и . д и _ „ д и _ 1

д~х=1, сТу~~ ’

Після підстановки у формулу (35,1) значень похідних і

ваг аргументів будемо мати

1 1 , Л , 1 5 с 1

— —2 -r 4 T-y -4g -^ 5, Р“~ ъ-.

Приклад 2. При вимірі кута його, в_елцчину одержують.як

різщіцк^двох напрямів. Знайти.вагу кута _ра ,якщо в'асу Д од;

ного напряму прийняти рівною одиниці.;*

'Відповідь одержуємо за формулою (35,5):

р„ = 2-.

Приклад 3. Визначити вагу pz суми п кутів зімкнутого

теодолітного ходу, якщо всі ці кути були виміряні з однако

вою точністю.

Приймаючи вагу одного кута р= 1, за формулою (35,7)

знайдемо, що

§ 36. ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ КВАДРАТИЧНОЇ ПОМИЛКИ

ОДИНИЦІ ВАГИ З РЯДУ ПОДВІЙНИХ

НЕРІВНОТОЧНИХ ВИМІРІВ

Нехай маємо ряд результатів подвійних вимірів одно

рідних величин:

Припустимо спочатку, що окремі виміри в парі рівноточні,

але виміри в різних парах — нерівноточні. Знайдемо при

цих умовах середню квадратичну помилку jx, що відповідає

одиниці ваги.

Позначимо ваги окремих результатів вимірів в парах від

повідно через

Легко визначити ваги цих різниць. Згідно з формулою

(35,5) вони будуть

Через те, що величини d\, •. •,, dn являють собою істин

ні помилки різниць (36,1) з вагами (36,2), то для визна

чення середньої квадратичної помилки jx одиниці ваги ми мо

жемо застосувати формулу (32,9):

Якщо ваги результатів вимірів в одній парі будуть різ-

В тих випадках, коли різниці результатів парних вимірів

матимуть систематичні помилки, їх необхідно спочатку ви

ключити і лише після цього можна проводити оцінку точ-

і знайдемо різниці

(36,1)

Р± Рл PJL

2 , 2 ’ "' ' • 2

(36,2)

(36,3)

/ А. Л. U І4Х ^ 4 U Л. А Х-Л Хі 1U Д А 11 1 11 Ж А м д J >—S J ,

ні, то ваги різниць визначаються за формулою (35,qf):

8 П, Т. Бугай

113

ності в такий спосіб. Позначимо систематичні помилки окре

МИХ різниць через Oj, а„. Виключивши їх, одержимо

Adx — dx'

Дй?2 = d2—0 2, (36,4)

Д dn ■= dn o„.

Величини Дdi можна розглядати як найімовірніші помилки

Рі

різниць з вагами -у-. Застосовуючи формулу (33,9), знахо

димо середню квадратичну помилку одиниці ваги:

(36,5)

Т 2 (Л—1)

Т а б л и ц я І !

Номе

ри

секцій

Назва

секцій

Різни

ці d в

МЛІ

Число

шта

тивів

Пі

Систе

матич

на по

милка

Оі

A di=--di—

— Ні

№

Ваги

100

А—І

+ 2,3

24 -3 ,7

+ 6,0 36,00 4,2

151,200

2 І—II

- 8,6 32 -4 ,9 -3 ,7

13,69

3,1

42,439

II—III - 5,4

-6 ,2

+ 0,8

0,64

2,5

1,600

4 III—IV

+ 3,1

-3 .1

+ 6,2

38.44

5,0

192,200

IV -V

- 6,2

-2 ,8

—3,4 11,56 5,6

64,736

6 V -V I

-11,3

42 -6 ,5 —4,8

23,04

2.4

55,296

VI- в

— 4,9

-3 ,8

—1,1

1,21

4,0

4,840

-31,0 201 -31,0

— —

512,311

Визначення середньої квадратичної помилки одиниці ва

ги з результатів подвійних нерівноточних вимірів при наяв

ності в різницях систематичних помилок розглянемо на кон

кретних прикладах.

Приклад 1. Між двома марками А і В високоточного ні

велювання був прокладений подвійний хід геометричного ні

велювання нижчого класу з метою визначення висот k—1

знов встановлених марок і реперів. Усі вони, разом з вихід

ними марками

А і В, утворили k секцій подвійного нівелю

вання. Через те, що все нівелювання проводилося при од

накових умовах, то дві суми перевищень (по прямому і зво-

ротному ходу) в одній секції будуть рівноточними, а в різ

них секціях завдяки неоднаковим віддалям між марками і

реперами — нерівноточними.

В таблиці 11 наведені всі дані, необхідні для оцінки точ

ності нівелювання.

Суму різниць [d\ — 31,0 можна розглядати як результат

впливу на різниці лише систематичних помилок вимірів. При

ймаючи міру впливу цих систематичних помилок прямо про-

порціональною числу штативів по секціях, знайдемо вели

чину помилки, ідо припадає на одне встановлення інстру

мента:

а»= fnj = ГТіїГ = ” °’15423‘ <3б>6)

Тоді систематична помилка в різниці dt по t'-й секції, оче-,

видно, буде дорівнювати

г0 /і;. - (36,7)

Віднімаючи від різниць dt помилки а* , знаходимо найімо

вірніші помилки Дdt з вагами pt, які обчислюються за фор

мулою

Р,-™- (36,8)

Середню квадратичну помилку, що відповідає одиниці ва

ги, обчислюємо за формулою (36,5):

, і / 5ЇЇ?дГГ

а г „ „

Iі ~ і у |2 —~6,5 мм.

При обчисленні ваг ми взяли коефіцієнт пропорціональ-

ності 1 100. Отже, вагу, рівну одиниці, матиме нівелірний

хід в 100 штативів. Якщо віддаль від нівеліра до рейки до

рівнюватиме 50 м, тоді вагу, рівну одиниці, буде мати хід

довжиною в 10 км. При цій умові легко знайти середню

квадратичну помилку нівелювання на 1 км, а саме:

ГП\ км =--у--=~2,0 мм.

/10 /10

Приклад 2. В полігонометричному ході лінії вимірялись

шкаловою стрічкою двічі: в прямому і зворотному напрямах.

Результати вимірів наведені в таблиці 12. Зробити оцінку

точності по різницях цих подвійних вимірів.

Номери

ліній

S' в м

d = s'—s"

в мм

Мі д d.-

1000

" - 5 Г

Рі^ і

10U0

274,5864

5870

-0 ,6 + 1,1

—1,7 2,89

3,6

0,0010

127,9318

9306 + 1,2 + 0,5 + 0,7

0,49

7,8 0,0038

144,1250

1254

-0 ,4 + 0,6 —1,0

1,00 6,9 0,0069

4 196,4328

4312

+ 1,6

+ 0,8 + 0,8 0,64

5,1

0.0033

5 227,6342 6349

-0 ,7

+ 0,9

—1,6 2,56 4,4

0,0113

6 285,1975

1990

— 1,5

+ 1,1

-2 ,6

6,76 3,5 0,0237

7 342,8431

8399

+ 3,2 + 1,4 + 1,8 3,24 2,9

0,0094

2054756

4729

+ 2,7

+ 0,8 + 1,9 3,61 4,9

0,0177

115,3846

3849

-0 ,3

+ 0,5

-0 ,8

0,64

8,7

0,0056

167,2484

2452

+ 3,2 + 0,7

+ 2,5

6,25 6,0

0,0375

—

[s] = 2087 л

■

+8,4

+ 8,4 0 -| —

—

0,1202

Так само, як і в попередньому прикладі, обчислюємо різ

ниці і Тх суму:

Id\ ■■ 1-8,4 мм.

Далі, припускаючи, що вплив систематичних помилок гіро-

порціональний довжинам ліній, знаходимо величину систе

матичної помилки °о, що припадає на одиницю довжини:

а« Ї Г ~ Ж = 0’0000()4' (36’9'>

Величина о0 називається коефіцієнтом систематичного

впливу.

Систематичні помилки, що припадають на кожну лінію,

обчислюються за формулою

О/“ Оо Si. (36,10)

Виправлені різниці Да',-знаходимо за формулою (36,4):

Д di^d i—Oi.

І, нарешті, обчислюємо середню квадратичну помилку оди

ниці ваги за формулою (36,5):

, , і / ' 0,1202 ппо

T ^ V =±y - І 8 - = 0’08 мм-

§ 37. ОБРОБКА РЕЗУЛЬТАТІВ НЕРІВНОТОЧНИХ

ВИМІРІВ

При обробці результатів нерівноточних вимірів однієї ве

личини, так само як і рівноточних, необхідно знайти, по-пер-

ще, найімовірніше її значення і, по-друге, зробити оцінку

точності вимірів, тобто треба знайти середню квадратичну

помилку |л одиниці ваги і середню квадратичну помилку Мй

остаточного значення вимірюваної величини.

За найімовірніше значення вимірюваної величини з ряду

результатів нерівноточних вимірів приймають середнє ариф

метичне по вагах, яке можна обчислити за формулами

причому обчислення за другою з цих формул значно про

стіші, ніж за першою.

При оцінці точності нерівноточних вимірів необхідно роз

різняти два випадки: перший, коли відомі результати вимь

рів та їх середні квадратичні помилки mh і другий, коли

відомі результати вимірів та їх ваги, виведені не за серед

німи квадратичними помилками, а за іншими даними.

Ці два випадки відрізняються тим, що в першому з них

ми можемо провести оцінку точності двома незалежними шля

хами: по-перше, за середніми квадратичними помилками т,-

окремих результатів вимірів за формулою (32,10):

де X— квадрат середньої квадратичної помилки виміру, вага

якого прийнята рівною одиниці (коефіцієнт пропорціонально-

сті при обчисленні ваг); по-друге, за найімовірнішими по

милками ,5г. Як бачимо, перший шлях оцінки точності не за

лежить від обчислення загального середнього арифметично

го, а звідси й від найімовірніших помилок 5г-.

В другому випадку оцінку точності можна провести лише

за найімовірнішими помилками о,- за формулою (33,9):

або за формулою

(37,1)

Розглянемо принципову різницю між зазначеними вище

двома випадками обробки нерівноточних вимірів на конкрет

них прикладах.

Приклад 1. Для визначення висоти вузлової точки А від

п’яти реперів були прокладені нівелірні ходи. Знайдені висо

ти точки по кожному ходу ии и2, и3, щ, «5 разом з їхніми се

редніми квадратичними помилками подано в таблиці 13. Зна

йти найімовірніше значення висоти точки А і її середню квад

ратичну помилку.

Таблиця 13

! Номери

ходів

Висоти

в м

в мм

тг

Р~т>

В мм

рг рег

в мм

рЬ

рЬг

135,558

2,8

7,84

1,28

10,24

81,92 + 3,9 + 4,99 19,461

550

3,3 10,89

0,92

0 0

-4,1

-3,77

15,457

554 2,0 4,00 2,50

10,00 40,00 -0,1 —0,25 0,025

4 556

4,1

16,81 0,60

6 3,60 21,60 + 1,9

+ 1,14

2,166

5 552

3,1

9,61

1,04 2

2,08 4,16

-2,1

-2,18

4,578

«0

135,550

49,15 6,34

25,92

147,68

+ 6,13

ІР-)

\Р\

4,1

-6,20

.............

135,5541

[ртг]~

50,1344

—0,07

41,687

Контроль:

[р Ь ^[р г*]-{р^ = 147,68— = 41,71.

Середня квадратична помилка одиниці ваги

* - ± У Щ - ± У ~ ^ - ±

1! - ± К Г - ± У Щ $ - ± 3,2 мм.

Як бачимо, в цьому прикладі середні квадратичні помилки

одиниці ваги, обчислені за формулами (33,9) і (32,10), є од

наковими.

Середня квадратична помилка середнього арифметичного

по вагах

м °~ :і:7 б ,й “ :t 1,3 мм-

Отже, остаточна висота точки А дорівнює:'

На = 135,5541 +1,3 мм з вагою Я0 = 6,34,

Приклад 2. Для визначення географічної широти обсерва

торії Московського університету в 1845 і 1846 роках були про

ведеш спостереження 9 зірок. В результаті обробки спосте

режень кожної з них одержали значення широти та їх се

редні квадратичні помилки, які наведені в таблиці 14. Знайти

найімовірніше значення широти і оцінити його точність,

Таблиця 14

Рі '

№

от*

0,1600

рг

Р-г

й рЬ

рі*

щ г

55в45'20",29 0,"25 0,0625

2,56

1,29

3,30

4/26

+ 0,51

+ 1,31

0,67

19,39

0,37 0,0729

1,19

0,39

0,46

0,18

-0,39

-0,4 6

0,18

3 .20,61 ’

0.20,

0,0400

4,00 1,61

6,44

10,37

+ 0,83 + 3,32

2,76

20,27

0,23

0,0529

3,02 ■;

1,27

3,84

4,88

+ 0,49

+ 1,48 0,73

5 ” 19,81

0,19

0,0361

4,43 0,81

3,59

2,91

+ 0,03

+ 0,13

19,61 0,40 0,1600 1,00 0,61

061

0,37

-0,17 -0,17

7 19,22 0,21 0,0441 3,63

0,22

0,80

0,13

-0,56 -2,03

1,14

19,08

0,18

0,0324 4,94 0,08 0,40

0,03

-0,70

—3,46

2,42

19,71

0,22

0,0484 3,31

0,71

2,35 1,67

-0,07

—0,23

0,02

¥о

55 45 19,00

28,08 21,79 24,85

+ 6,24

[РА

+ 0.78

-6,35

65 45 19,78

ІР>п'-}

— 1,3668

-0,11

7,92

Відносні ваги в цьому прикладі обчислюємо за форму-

(

0 40 \ 2

т і ’ т0^т0 вагу р = 1 має результат, середня

квадратична помилка якого дорівнює 0",40,

^S21 = [реЦ - '-g j-2 = 24,85 = 7,94.

Середні квадратичні помилки одиниці ваги:

1) за формулою (33,9):

± |/ ЛИ = = ± |/ ГІ |^ = ± 0 /,99;

2) за формулою (37,1):

[*!= ±0",40.

Середня квадратична помилка середнього арифметичного

по вагах

ЛТ0 = ± = -f 0," 19.

/28,(W ~

Остаточне значення географічної широти обсерваторії з

даного ряду нерівноточних вимірів

<Р = 55°45'19,"78±0,"19.

Звернемо тепер увагу на те, що в цьому прикладі серед

ні квадратичні помилки одиниці ваги [і і ц., значно відрізня

ються одна від одної. Цю обставину можна пояснити таки

ми головними двома причинами.

В § 29 при визначенні ваг результатів нерівноточних ви

мірів, які дають числові характеристики міри надійності для

кожного з них, ми ставили дві умови: по-перше, щоб серед

ні квадратичні помилки окремих результате були визначені

досить надійно з достатнього числа вимірів і, по-друге, щоб

результати вимірів були вільними від постійних і система

тичних помилок. Але в дійсності ці умови не завжди вико

нуються.

Відсутність першої умови приводить до того, що рівності

т\ Рі-Щ2 Рі = - • - ^тп* р,і = — y =

будуть лише грубо наближеними. Крім того, при наявності

в результатах постійних або систематичних помилок остання

з написаних рівностей взагалі не буде вірною.

Отже, той факт, що в нашому прикладі середні квадра

тичні помилки одиниці ваги (х і значно відрізняються міл£

собою, пояснюється тим, що в даному ряді нерівноточних ви

мірів не задовольняються вказані вище основні умови.