Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

Середнє арифметичне по вагах з цих висот:

~ 151,857+ 151,857 + 0,009- 151,866

з вагою -pjg — 101; кількість станцій, що відповідає цій вазі,

1000 1П

' 4 - о ї - 10-

Висоти вузлової точки N по ходах £Vj-3, 4, 5:

/Д 2,з*= 151,866 — 6,842= 145,024 з вагою р. „ ,=

....

— = 45^

і, /, о. 1tj? •)• /?з

Ні= 143,213 + 1,814 = 145,027 з вагою /;4 = 43,

Нй = 142,117 + 2,935 = 145,052 з вагою рь~ 34.

Найімовірніше значення висоти точки N:

HN -145,024 -І- “ 145,024 + 0,009 -145,033,

Нев’язки ходів ЛгІ-3, 4, 5:

Ні г я

...

------

0,009 м,

НА • ■//дг'-—0,006 м,

н. - Нм - +0,019 м.

Поправка на одну станцію по ходу Ег 1-3:

+ 9 мм п ,

а = —22— = 0,41 мм.

Остаточна висота точки М\

Им - Ніп + апЄі = 151,866 + 0,004 - 151,870 м.

Спп Р03ц/Л ДРУГИЙ

ПРИНЦИПИ СПОСОБУ НАЙМЕНШ ИХ КВАДРАТІВ

§ 39. ПРИНЦИП НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

ТА ЙОГО ЗВ’ЯЗОК З ПРИНЦИПОМ АРИФМЕТИЧНОЇ

СЕРЕДИНИ

Одним з основних завдань теорії помилок є вивчення за

кономірностей випадкових помилок вимірів. При вивченні

теорії помилок ці закономірності були сформульовані у ви

гляді так званих властивостей випадкових помилок. Найваж

ливішими з них є третя і четверта властивості, які вира

жають закон компенсації помилок при вимірах. Базуючись

на них, ми встановили принцип арифметичної середини,

знайшли закон, за яким проходить нагромадження помилок

при вимірах та при їх обробці, і побудували теорію помилок

як рівноточних, так і нерівноточних вимірів.

Таким чином, висновки теорії помилок з повним правом

можна застосувати для обробки результатів лише таких ви

мірів, помилки яких підлягають нормальному закону розпо

ділу їх щодо величини і знака. Але в дійсності виміри мо

жуть мати найрізноманітніші властивості і помилки їх мо

жуть підлягати не лише нормальному, але й іншим законам

розподілу. Отже, для обробки результатів вимірів бажано

мати більш загальний принцип, який не залежав би від тре

тьої властивості випадкових помилок.

Таким принципом є принцип найменших квадратів. Суть

ііого полягає в тому, що остаточні значення відшукуваних

иеличин необхідно знаходити при одній з таких додаткових

умов:

1) сума квадратів поправок до результатів тих вимі

рів, які були проведені для визначення відшукуваних вели

чин, повинна бути. мінімальною при рівноточних вимірах,

або

2) сума квадратів поправок, помножених на ваги від

повідних вимірів, повинна бути мінімальною при нерівно

бічних вимірах.

У математичній формі ці умови записуються так:

[vv] = minimum,

[pvv] = minimum.

(39,1)

В теорії помилок остаточне значення однієї величини з

ряду результатів багатьох повторних вимірів її ми знахо

дили або за формулою простого середнього арифметичного,

або за формулою середнього арифметичного по вагах і згід

но з принципом арифметичної середини вважали це остаточ

не значення найбільш надійним, тобто таким, яке найменш

відрізняється від істинного значення цієї величини. Тепер по

ставимо питання: а за якою формулою ми повинні знаходити

остаточне значення відшукуваної величини, якщо виходити

не з принципу арифметичної середини, а з принципу наймен

ших квадратів?

Для відповіді на це питання припустимо, що в резуль

таті вимірів були одержані значення невідомої величини X

з вагами

Ри Ріі,-, Рп.

Позначимо остаточне значення відшукуваної величини че

рез х і знайдемо його при умові

де Vi, V2, vn — поправки до результатів вимірів, які об

числюються за формулою

Підставимо (39, 3) в (39, 2):

[pvv] =р1(х—11)2+р.2(х-12)2 + . .. + р п ( х - І п У . (39,4)

Щоб визначити мінімум цієї функції, візьмемо її похідну

по аргументу х і прирівняємо її до нуля:

2рх (х—/,) + 2р2 (х —12) +... + 2рп (х—1„) =0. (39,5)

Розкриваючи дужки і скорочуючи на 2, знаходимо зна

чення відшукуваної величини, при якому сума [рии] буде мі

німальною:

[pvv] =/?1'y12+/?2'P22 + ...+p„'a„2 = minirnum> (39,2)

V i = Х — l і .

(39,3)

Отже, для того, щоб [pvv] --= minimum, величину х необ

хідно обчисляти за формулою середнього арифметичного по

вагах.

Друга похідна функції (39,4) буде більшою від нуля:

2р1 + 2рг-У... + 2ря ~2\р\>0. (39,7)

Це є ознакою того, що функція [pvv] має мінімальне, а

не максимальне значення.

Якщо всі виміри будуть проведені рівноточно, то можна

припустити, що

Рі=Рг“ --Р п = 1, (39,8)

і формули (39,2) та (39,6) наберуть відповідно такого ви

гляду:

[vv] = minimum, (39,9)

* = (39,10)

§ 40. ПРИНЦИП НАЙБІЛЬШОЇ ВАГИ

Імовірнісні обгрунтування принципу найменших квадра

тів уперше дали Гаусс і Лаплас. Обгрунтування Лапласа

базувалося на припущенні, що число вимірів, проведених для

визначення невідомої величини, є безконечно велике. При

цьому питання, як треба обробляти результати багатьох

повторних вимірів однієї величини при конечному їх числі,

залишалося нерозв’язаним. Отже, принцип найменших квад

ратів Лаплас обгрунтував для не існуючого в дійсності ви

падку безконечного числа вимірів.

Так само і обгрунтування Гаусса не було цілком бездо

ганним. Так, наприклад, при виведенні основної формули,

яка в математичній формі виражає закон розподілу імовір

ностей випадкових помилок вимірів, Гаусс виходив з припу

щення, що середнє арифметичне з результатів рівноточних

вимірів є найімовірніше значення відшукуваної величини.

Але це положення не є цілком очевидним, що розумів і сам

Гаусс. Згодом він від нього відмовився і в 1821 році запро

понував другий принцип для обробки результатів вимірів,

відомий під назвою принципу найбільшої ваги. Суть його

полягає ось в чому.

Припустимо, що для визначення деякої величини були

проведені виміри різної точності і одержано результати

Іи Іг, , Іп (40,1)

з середніми квадратичними помилками

ти т2, ... , т„ . (40,2)

Вважатимемо, що результати вимірів (40,1) не мають

постійної і систематичних змінних помилок, а обтяжені ли

ше випадковими помилками, які підлягають четвертій їх

властивості.

Знайдемо тепер за цими даними остаточне і найбільш на

дійне значення відшукуваної величини, тобто таке, яке мало

б найменшу середню квадратичну помилку, а значить і

найбільшу вагу, не використовуючи при цьому ні принципу

арифметичної середини, ні принципу найменших квадратів.

Позначимо це остаточне значення через х. Очевидно, що

воно буде якоюсь функцією результатів вимірів (40,1).

тобто

x= f(lu l2,..., Іп). (40,3)

Щоб знайти цю функцію, відмітимо спочатку такі її вла

стивості.

1. Функція / (/і, І2, . • . , Іп) не повинна мати вільного чле

на. Справді, якщо припустити, що h — /2 ==- . . = U = 0, тоді і '

х=0. Цього, очевидно, не буде, якщо функція (40,3) ма

тиме вільний член.

2. Якщо аргументи U, 12, ■ ■ ■ , L функції (40, 3) збільшити

або зменшити в довільне число разів, то і значення х функ

ції теж повинно збільшитися або зменшитися в стільки ж

разів. Але таку властивість мають лише лінійні функції. От

же, функція (40, 3) повинна мати такий вигляд:

X — Ctj/2 -f- *2^2 “f" “I- In > (40,4)

де коефіцієнти аи а2,..., а„ поки що є неозначені.

3. Коефіцієнти функції (40,4) повинні задовольняти

умову

4- <*2 • ап — 1 • (40,5)

Щоб довести цю властивість, припустимо, що результати

всіх вимірів є однакові, тобто /] = /2 = . • ■ — ІП —І- Тоді, оче

видно,

х = 1, (40,6)

і через те функцію (40,4) для цього часткового випадку мож

на записати так:

X = l (a, + СЦ-4- ... -і- а„),

або, беручи до уваги (40, 6),

м~1. (40,7)

Встановивши ці властивості, поставлену задачу можна

сформулювати так: за результатами вимірів (40,1) та їх

середніми квадратичними (помилками (40,2) знайти таку

систему значень коефіцієнтів лі функції (40,4), при якій

квадрат її середньої квадратичної помилки тх2 — minimum,

або, застосовуючи до функції (40,4) формулу (18,14),

тх2 = at- m 2 + T..f m.f-т... f a„3 tnn’- = minimum (40,8)

при додатковій умові (40, 5).

Таким чином, ми маємо задачу на умовний екстремум.

Як відомо з вищої математики, розв’язання такої задачі мож

на звести до визначення абсолютного екстремуму нової

функції Ф, яка складається так: до функції (40,8) дода

ється рівняння (40,5), помножене спочатку на неозначений

поки що множник Лагранжа X — —2k, тобто знаходять мі

німум функції:

Ф = а,- т ,2 + а.,2 т ? Ь ... + а„- m„2 — 2k (я, + а2 +

}- . . .4- а„) = minimum. (40,9)

Для цього знайдемо часткові похідні функції (40,9) по

кожному коефіцієнту а,- і прирівняємо їх до нуля:

Фа/ = ’2 Я] ту —2 k = 0,

Фа2' = 2 а2 т23—2 k = 0,.

ФаП' = 2а„ т„2 — 2 £ = 0,

(40,10)

звідки

т\* ’ тУ'"-'ап тУ (40,11)

тобто коефіцієнти *1( а2, дорівнюють величинам, обер

нено пропорціональним квадратам середніх квадратичних по

милок вимірів. Як відомо, такі величини приймають за ва

ги вимірів. Отже, вводячи позначення

(40,12)

одержимо

а>і = hр а, = кр2, .. ., = kрп . (40,13)

Для визначення неозначеного множника k підставимо зна

чення коефіцієнтів (40,13) у'рівняння (40,5):

k ( P i + p 2 + ■ ■

• +

Рп

) — 1.

звідки

Л -Л - <40’14)

[Р\

Нарешті, підставивши (40,13) в рівняння (40,4), будемо

мати

x = iip1ll + kp2l2+ . .. \-kpn ln = k\p /J,

або, беручи до уваги (40, 14),

\pl\

Х = ІЯ ' (40,15)

Це формула середнього арифметичного по вагах.

Одержане таким способом остаточне значення х відшуку

ваної величини матиме найменшу середню квадратичну по

милку і найбільшу вагу.

Якщо виміри будуть рівноточними, то можна припустити,

що рі = р2 = ... = рп = 1, і формули (40,14) та (40,15) на

беруть відповідно такого вигляду:

k = ~ (40,16)

JZ1

п '

Таким чином, ми бачимо, що принципи арифметичної се

редини, найбільшої ваги і найменших квадратів приводять

до однакових результатів. При цьому перші два принципи

можна застосовувати для обробки результатів лише таких

вимірів, помилки яких підлягають закону компенсації, тоб

то четвертій властивості випадкових помилок. Принцип

же найменших квадратів можна використовувати для роз

в’язування і таких задач, які зовсім не зв’язані з по

милками вимірів. Але в цьому випадку одержані -остаточні

значення відшукуваних величин не можна вже називати

найімовірнішими, або найбільш надійними.

Для прикладу припустимо, що ми маємо нівелірний про

філь деякої лінії місцевості. На цьому профілі необхідно про

вести таку проектну лінію, щоб сума квадратів робочих від

міток Vk була мінімальна. Для цього, очевидно, треба знати

таку висоту Я0 початкової точки проектної лінії та її ухил

і, щоб

Як бачимо, при розв’язуванні цієї задачі ми зовсім не

маємо справи з помилками вимірів і умову (40,18) вико

ристовуємо як математичний принцип для розв’язання пев

ної технічної задачі.

Для більш повного розуміння суті теорії помилок і спо

собу найменших квадратів розглянемо, нарешті, таке важли

ве питання: в чому полягає істотна різниця між принципами

найменших квадратів та найбільшої ваги при застосуванні їх

для обробки результатів вимірів невідомих величин?

Імовірнісне обгрунтування принципу найменших квадратів

Гаусс дав для випадку, коли імовірності випадкових помилок

вимірів однієї величини підлягають нормальному закону роз

поділу. Ввівши деякі додаткові припущення, він знайшов вид

функції розподілу цих імовірностей в залежності від вели

чини помилки. Далі він поставив умову, щоб система попра

вок Vk до результатів вимірів мала найбільшу імовірність, і

довів, що таку імовірність матиме та система поправок, при

якій

I pvv\= minimum, (40,19)

га, крім того, показав, ицо знайдене при цій умові остаточне

значення відшукуваної величини матиме найменшу можли

ву середню квадратичну помилку, а звідси й найбільшу вагу.

Через те це значення і називають найімовірнішим і найбільш

надійним.

Але в дійсності може бути так, що випадкові помилки вимі

рів підлягають не нормальному, а якомусь іншому, наприк

лад, близькому до рівномірного закону розподілу. Крім то

го, розподіл помилок за величиною і злаком у дійсному ряді

вимірів може значно відрізнятися від нормального завдяки

обмеженій кількості вимірів, бо, як відомо, цей закон чітко

проявляється лише при масових випадкових явищах. В та

ких випадках при обробці результатів вимірів ми не можемо

базуватися на імовірнісному обгрунтуванні принципу наймен

ших квадратів, і знайдені за цим принципом остаточні зна

чення відшукуваних величин хоч і матимуть найменші .се

редні квадратичні помилки, тобто вони є найбільш надій

ними, але називати їх найімовірнішими вже не можна.

Інакше побудована друга теорія Гаусса обгрунтування

теорії помилок і способу найменших квадратів за допомо

гою принципу найбільшої ваги. В цій теорії Гаусс ставить

умови, щоб результати вимірів були обтяжені лише випад

ковими помилками, які підлягають третій їх властивості, і

щоб за ваги вимірів приймати величини, обернено пропор-

ціональні квадратам середніх квадратичних помилок. При

цьому число вимірів може бути конечним, а закон розподілу

випадкових помилок не обов’язково нормальним.

У цьому параграфі ми довели, що і ііри цих більш за

гальних умовах ми одержали ті ж самі формули для ви

значення невідомих величин, що й при застосуванні прин

ципу найменших квадратів.

Таким чином, якщо не ставити вимоги, щоб спосіб най

менших квадратів приводив до найімовірніших значень від

шукуваних величин, то правило найбільшої ваги можна вва

жати за загальний принцип, який повинен лежати в основі

обробки результатів вимірів незалежно від того, чи підля

гають випадкові помилки вимірів нормальному закону, чи ні.

З приводу цього академік А. А. Марков писав: «Не до

пускаючи певного закону розподілу помилок окремих спосте

режень, ми можемо прийти до способу найменших квадра

тів, виходячи з таких положень: 1) ми розглядаємо тільки та

кі наближені рівності, які, за нашими припущеннями, не

містять постійної помилки; 2) кожній наближеній рівності

ми приписуємо певну вагу, причому ваги різних наближених

рівностей вважаємо обернено пропорціональними матема

тичним сподіванням квадратів помилок; 3) вартість кожної

наближеної рівності ми оцінюємо її вагою і згідно з цим для

кожного невідомого відшукуємо таку наближену рівність,

вага якої найбільша.

Тільки цей вивід способу найменших квадратів я вва

жаю раціональним; він вказаний Гауссом.

Раціональним я вважаю цей спосіб головним чином тому,

що він не затемнює умовності способу найменших квад

ратів».1

і А. А. М а р к о в . Закон больших чисел и способ наименьших квадра

тов. Известия физико-математического общества при Казанском универ

ситете, 2 серия, т. VIII, 1899, стр. 110.