Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

двох множників, які утворюються із знаменника заміною

обох його літер літерами, що входять до складу першого чле

на лівих частин позначень (47,3) і (4-7,5).

Користуючись цими правилами, легко розкрити будь-який

коефіцієнт в рівняннях (47,8). Для прикладу розкриємо такі

'з них:

U»cf.2J - 1

. \pdm -\pdL2\^[pef ^ a].

Всі обчислення по розв’язуванню нормальних рівнянь ду

же зручно провадити в простій схемі (табл. 23, 24), яку при

йнято називати схемою Гаусса—Дулітля.

Пояснення до схеми Гаусса—Дулітля

В рядок 1 виписуються всі коефіцієнти першого нормаль

ного рівняння. Після винисаїшя неодмінно треба перевіри

ти справедливість контрольної рівності

[аа\-'~[аЬ\ •-\ас\ г [al\ = [as].

Рядок 2 містить коефіцієнти першого елімінаційного рів

няння Еі, які одержують діленням усіх коефіцієнтів першого

рядка на квадратичний коефіцієнт [аа] при першому невідо

мому із зміною знака. —1, що стоїть в цьому рядку, так

само як і в 7 і 13 рядках, при дальших обчисленнях не вико

ристовується. Він служить лише для контролю обчислень.

У рядок 4 виписуються коефіцієнти другого нормального

рівняння, починаючи з \bb\, бо коефіцієнт \ab\ уже виписа

ний в першому рядку, стовпчик ft] .

В рядку 5. стоять добутки (11 означає добуток — «произ

ведение») коефіцієнта [ab] першого рядка на величини дру-

* того рядка.

Рядок 6 містить суми по стовпчиках величин 4 і 5 рядків.

Ці суми є коефіцієнтами першого рівняння перетвореної

системи (47,4).

Величини рядка 7 утворюються діленням коефіцієнтів б

рядка на квадратичний коефіцієнт [bb. 1] із зміною знака. В

результаті одержують коефіцієнти другого елімінаційного

рівняння Е2.

В рядок 9 виписуються коефіцієнти третього нормального

рівняння, починаючи з \сс], бо коефіцієнти [ас] і \Ьс] уже

ииписані в цьому стовпчику (рядки 1 і 4).

Схема Гаусса—Дул ітл я (в літерних позначеннях)

і Номери

1 рядків

Позначенії:

і.. .

а] / /

/ *

І>) у '

/ у

\ -2-

/1'

. Ч

!«

[аа] \ ■[аЬ\

[ас]

И1

И І

—1

[аа] .

"_ И 1

[аа]

_ №

[аа]

[as]

[аа]

А"

- Ш у

[аа]У

_ І ? І І ,

[аа[

И 1

[аа]

[Ь [ЬЬ ]

[Ьс]

[«]

[frs]

[ab] [о&]

„ [аа]

[ab] [яс]

- \аа]

[ab] [а/]

~ [аа]

[ab] [as]

|аа |

6 [Ь. 1

[ЬЬ. 1]

[бс.1] [fr/.lj

[frs.l]

У “

— 1

[Ьс.Ц

\^[ЬЬ. 1]

[ЬЬ. I l f

[fr/.l]

[frfr.l]

[Ы. 1)

iw .il

[frs.l]

[frfr.l ]

!()

\с

„ ,-4 сс] -

і |</с] [осі

І аду

[сі] ^

_|йс_] И 1

, \аа]

J [cs|

_ [ <7CL i"s!

[aa]

Ifrc.llf6c.il

[Ьс. 1] І6/.11

lfrc.llifrs.il

[ЬЬ. 1]

iw .il

[frfr.l 1

[с. 2

[сс.2]

[с/.2]

[cs.2]

' —1

[С/.21

[сс.2]ч

[cs.2]

[Cc.2|

2 =

[С/.21

[сс.2]

[Щ

[/s]

[аі] [аі]

[аа]

[al] [os]

[aa]

я ,

[&/.1П&/.И

[fr/.l] ffrs.li

Ifrfr.lj [frfr.l]

п.

ІС/.21 [с/,2]

[c/.2] lcs.2]

Jcc.2]

[cc.2]

[/.3

[//.3]

[/s.3]

Схема Гаусса—Дулітля (числовий приклад)

О- Я

аі —

Я 3 '

° «

X! сі.

Позна

чення

а] /

/ х

*] /

сі /

/ і

з]

[Я

+ 3,0

+ 2,0

+ 1,0

-7,1

- u

Еі

—1,0

-0,667

-0,333

+ 2,367 + 0,367

X ~

+ 6,251

+ 3,784

+ 0,100

+ 2,367

[Ь

+ 4,0

+ 2,0

+ 10,8

+ 18,8

п -1,334

-0,667 ■

+ 4,734

+ 0,734

6 lb. 1

+ 2,6Ґ>6

+ 1,333 +15,534

+ 19,534

-1 .0 -0,500

- 5,824 - 7,324

у ■- —5,673 .

4 0,151

- 5,824

ч ЗДЬ

+ 6,0 + 12.0

10 ' п

—0.333

+ 2,367

+ 0,367

Я,

' 0,667

-7,763 — 9,763

12 [с.2

+ 2,000

+ 0,604 + 2.604

—1,0 -0,302 — 1,302

—0,302

h 130,18

+ 139,88

16,806 — 2,606

/7,

— 90,470

- 13,771

Пг

- 0,182 — 0,786 ;

[1.3

+ 22,722 + 22,717

Рядок 10 містить добутки П коефіцієнта [ас] (перший

рядок, стовпчик с]) на величини другого р^дка, починаючи

3 — [laf* Д°буток — Уже обчислений (рядок 5,

стовпчик с]).

В рядку 11 знаходяться добутки /71 коефіцієнта [6с. 1]

з рядка 6 на величини рядка 7.

Рядок 12. Суми величин рядків 9, 10 і 11 дають коефіцієн

ти перетвореного нормального рівняння (47,6).

В рядку 13 визначаються коефіцієнти третього еліміна

ційного рівняння Ел діленням величин попереднього рядка на

квадратичний коефіцієнт [сс.2] із зміною знака.

В рядок 14 в стовпчик с} виписується значення невідо-

[сі. 2]

МОГО Z, яке дорівнює — [сс'Щ •

В рядках 8 і 3 записуються результати послідовної під

становки невідомих г і у в елімінаційні рівняння Е2 (рядок 7)

та Ех (рядок 2) і знаходяться невідомі у та

Рядки 15—19 обчислюються в такому ж порядку, як і по

передні. Ці обчислення потрібні для оцінки точності, про що

буде сказано далі.

§ 48. КОНТРОЛІ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ

НОРМАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

1. Контроль при обчисленні елімінаційних

рядків Ех, Ео, Е%. Візьмемо такі контрольні співвідно

шення:

[аа] + [ab] + [ас] + [а/] = [as],

[bbA} + [bc.\} + [bl.\}*=lbs.\l (48,1)

[сс. 2] + [c/.2] = [cs.2].

Поділивши праві і ліві частини па квадратичні коефіцієн

ти, після зміни знаків одержимо:

Е - \ -

[яб] [ас] [я/J

[аа] \аа\ \аа] ’

2 1 [ЬЬЛ] [66.1] [66.1]’

F . [с/,2] [rs.2]

3 [сс.2] [сс.2]‘

Отже, величини контрольного стовпчика s] рядків 2, 7,

13 дорівнюють сумам величин по цих рядках. Контроль тут

досягається тим, що всі величини співвідношень (48,2) об

числюються незалежно одна від одної, а тому допущена в

будь-якій з них помилка порушує відповідну рівність.

2. Контроль при обчисленні коефіцієнтів

перетворених нормальних рівнянь (рядки 6,

12). Доведемо рівність таких співвідношень:

[bbA} + [bcA] + [blA} = [bsA],

[be. 1] + [сс. 1J + І с/. 1] = [cs. 1 ].

Для цього запишемо ці коефіцієнти в розкритому ВИДІ і

підсумуємо ліві і праві частини:

\ЬЬЛ\~[ЬЬ]-

[Ьс.І] *

IW.lj-IW] ~~[аїїаГУ'

1^ .1 ] -І [ас] -t )« / ]} -

. =• [bs) - [ab\ - g ] '{[as]

......

[aa]}- [fe ]- [ab^ . s]

Отже, перша ріївність (48,3) доведена. Так само доведемо

вірність і другої рівності

\аЬ) [яс]

[ 1 ] І Ьс\ —

\аа\

[ссЛ] - И —

\П Л \^\СІ\- [а^ а1]

[« .11- М

...

\ac\-^l{[ab]v[ac]-\[al\)

н -

[яс]

їй]

\ас\ [as]

[«] - [ас\ - - g {[as]- [аа]}=--

[аа]

Доведемо тепер вірність співвідношень:

]сс.2]-\ [cl.2] = [cs.2],

[c/.2] + [//.2 ] = [/s.2].

Для цього розкриємо коефіцієнти лівих частин:-

[ср.2]-\ссЛ\-1ЬеЩ ^ '] \

[cL2]^[cl.l]^^c^ ] , \

(48,4)

I6'S.2] » [rs. 1 ] - [&c.l 1 — {[^с. 1 ] + ї*/. 1 ] Ч І 1 ї 11>■

= f 1 [ftc.11tte.ll

lCSa| [66. 1] ’

[cl.2] = [c/.l]- [йсЛНш 1

[66. 1]

[//.2 ] = [//.11 —

|/5.21 = [/5.1]-[& /.1]-І^[|{[йс.1] + [й/.11 + [ ^ . 1]-[й&Л|} =

~[ls.l]-[blA]-^\{[bsA]-[bb.l}}~

_ г/с n [6/-1] [fta-H

[66.1] '

І, нарешті, доведемо, що

[Я.З] = [/s.3], (48,5)

Одержимо:

= [//.2] + \cl.2]-[cl.2]- | g j { [с/.2] + К 2] - И _ 2] } =

= [Is.2] —[с/.2]- { [«.2] - [сс.2]} =

= [/s.2] - [с/'21 [es-2]

[сс.2] •

3. Контроль при обчисленні добутків П, Пі.

Пг. Помножимо коефіцієнти рівності Еі (48,2)

1 _ ІаА1 _ І££Ї _ Кі „

[ fl Sl

[аа] [<za j [аа] [аа]

спочатку на [ab], потім на [ас] і, нарешті, на [а/]:

[аб] [ab] [аб] [ас] [аб] аі] _ [аб] [as]

[ab]

[аа] [аа] [аа] [аа]

fac] ^ ^ ^ ^ ^ ^ ("48 6)

*■ * [аа] [аа] [аа] [аа] ’ ' ’

(„п lab1 И 1 М И 1 И) И 1 M Iasl

1 J [аа] [аа] [аа] ' [аа] '

Це будуть контрольні співвідношення для рядків 5, 10, 16

відповідно з позначеннями П. Легко бачити, що .для кожного

з цих рядків величина, яка стоїть у правій частині співвід

ношень (48,6) (стовпчик s]), дорівнює алгебраїчній сумі

ВСІХ ВЄЛИЧИН'по рядку П і тих чисел усіх попередніх рядків з

позначеннями П, які знаходяться в крайньому лівому стовп

чику даного рядка мінус величина першого -рядка цього

стовпчика. Так, наприклад, рядок 10 контролюється в такий

[ас] [as] .. ,

спосіб: величина — г т-^ що СТ01ТЬ в стовпчику s], дорів-

[ас] [асі [ас] [дЛ

НЮЄ сумі величин ПО цьому рядку — — [^j~ плюс

величина -- ЩО стоїть в рядку 5 в стовпчику с],

мінус величина \ас\, що стоїть в першому рядку стовп

чика с j.

Помножимо тепер рівняння Е2 (рядок 7)

, [Ьс.Ц [Ш ] [&S-1 ]

\W.\\ ' [ЬЬ.\\~ [ЬЬЛ]

на коефіцієнт [Ьс.І], а потім на \Ы. 1]; матимемо контроль

ні співвідношення для рядків 11 і 17 з позначеннями /7ь

~і*.«і - ш ф щ п . • W - ' W

(рядок 17).

Нарешті, помножимо рівність Е3

(48,7)

і \сЩ [cs.2].

[сс.2] [сс.2]

на [сі.2]; одержимо контрольне співвідношення для рядка

18 з позначенням Я2:

(48,8)

Заключний контроль усіх обчислень по розв’язуванню

нормальних рівнянь в схемі Гаусса такий: необхідно знайде

ні невідомі х, у, z підставити в нормальні рівняння; якщо во

ни задовольнятимуть їх, то це означатиме, що всі обчислення

проведені вірно, якщо рівняння помилок і .Y-'рм.альні рівняння

були складені вірно. Останнє зауваження дуже важливе.

Справді, невірно складені нормальні рівняння теж можна роз

в’язати в схемі Гаусса з додержанням усіх контролів цьо

го параграфа. Але знайдені з них невідомі будуть невірні і

не відповідатимуть умовам задачі.

§ 49. ЗАГАЛЬНІ ПРАВИЛА, ЯКИХ НЕОБХІДНО

ДОДЕРЖУВАТИ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ НОРМАЛЬНИХ

РІВНЯНЬ

1. Необхідно правильно складати рівтяння помилок. Особ

ливо уважно треба слідкувати, щоб вірно були визначені зна

чення вільних членів І; та їх знаки.

2. При складанні коефіцієнтів нормальних рівнянь їх

обов’язково слід перевіряти контрольними сумами.

3. Дуже уважно треба слідкувати за вірним вписуванням

коефіцієнтів і вільних членів нормальних рівнянь у схему

Гаусса.

4. Обчислення величин кожного рядка схеми необхідно пе

ревіряти контрольними сумами стовпчика s].

5. Всі обчислення треба вести уважно і акуратно.

6. Обчислення в схемі Гаусса—Дулітля найкраще прово

дити на арифмометрі або електричній лічильній машині до

2—3 десяткових знаків при 3—4 невідомих. Якщо їх значно

більше, то обчислення проводять з 4—5 десятковими зна

ками. Проте треба мати яа увазі, що кількість знаків, яку

необхідно утримувати при розв’язуванні нормальних рівнянь

в схемі Гаусса—Дулітля, .в основному залежить від тієї точ

фіцієнтів нормальних рівнянь, а тому в кожному конкретно

му випадку це питання розв’язується окремо.

§ 50. СПОСОБИ ВИЗНАЧЕННЯ СУМИ КВАДРАТІВ

НАЙІМОВІРНІШИХ ПОПРАВОК

Суму квадратів найімовірніших поправок [уу], яка по

трібна для оцінки точності результатів вимірів, можна одер

жати декількома способами. '

1. Підставимо в рівняння помилок знайдені в схемі Гаус

са значення невідомих х, у, и. В результаті одержимо

поправки Vi, v2, .. . , vn . Підсумувавши квадрати цих попра

вок, знаходимо [vv].

Щоб знайти [pvv], квадрати поправок vu v2, vn множать

ще на відповідні ваги р ь Рг, • • •, рп і тоді одержують су

му [pvv] .

2. Візьмемо рівняння помилок:

ахх -1-ЬіУ + CjZ + . . . + —

a.,xJr b.,y + c.)Z + .... + t2u + l2 = v 2

й п Х Ьп У Jr CnZ -j - ... -;- tn It \ - In -- Vn

In ‘Vn

Помножимо праві і ліві їх частини спочатку на її, Іь---Лп ,

а потім на vu v2,...,vn\ кожен раз підсумуємо добутки. Бу

демо мати:

[al\x+ [Ы]у'г [cl]z + . . . f [U\ii\-[ll] = [lv],

[av]x + [bv]y-'r[cv]z -і- . . . { [tv\u~\ [lv] = [vv\.

Але раніше ми довели, що

[av] = [bv] = [сг>] = . . . [tv] = 0.

Отже, попередні рівняння можна записати так:

[al\x-Y [Ы\у + \cl\z -і- ...+ [Щи +[//]= [lv],

[al\x + [Ы]у + [cl]z + . . . + [tl]u+[ll\ = [t"»] = [/г']. (50,1)

3. Співвідношення (50,1) має вигляд нормального рівняння.

Якщо ми приєднаємо його до них і будемо з нього в схемі

Гаусса послідовно виключати невідомі х, у, то одер

жимо, як в цьому легко переконатись, такі перетворені рів

няния:

[//. (k — l)]w~f [11. (k — 1)] = [гм>].

Але останнє невідоме

[tl.(k-Y)]

. н “ ~[tt.(k -1)) ’

де k — кількість невідомих.

Підставляючи це значення и в останнє рівняння (50,2),

, одержимо:

Якби ми мали три нормальні рівняння з трьома невідо

мими х, у і z, то, приєднавши до них рівняння виду (50,1)

і виключивши з нього послідовно невідомі х та у, одержа

ли б:

[/г>]= \ vv\.

ЗВІДКИ

[blA\y + [clA]z-\- . . . -1- [tl.\]u\-[llA]^[vv],

[cl.2]z і ... + [tl.2]u + [ll.2]-[vv\,

(50,2)

= [ll.k]=r [vv]. (50,3)

[al]x-f [bl]v + [cl]z+[ll] = [vv]

[ bl. 1 ]у -I [cl. 1 ]z + [//. 1 ] = [от],

[cl.2]z + [ll.2\ =[vv].

Підставивши в друге л цих рівнянь значення невідо

мого г:

№ 2]

"[сс.2]’

будемо мати:

[11.2] - - [ІЩ - [«*]. (50,5)

4. Користуючись символічними позначеннями (47,3) і

(47.5), формулу (50,5) можна розкласти так:

[//.3] = [11.2] — ,

[11.3] - [//. 1 ]—

або

м - \и.ц - \щ

- [ S f . (50,6)

Тепер легко помітити, що члени правої частини (50,6) об

числюються в схемі Гаусса—Дулітля в рядках 15, 16, 17

і 18.

В загальному випадку при k невідомих співвідношення

(50.6) матиме такий вигляд:

|,w ]„ \ц k\ = І//] \ЬІЛ І" . - (50 7)

Ця формула буде нам потрібна при оцінці точності функ

цій врівноважених величин.

§ 51. ВИЗНАЧЕННЯ СЕРЕДНЬОЇ КВАДРАТИЧНОЇ

ПОМИЛКИ БЕЗПОСЕРЕДНЬОГО ВИМІРУ

Щоб врівноважити посередні виміри, треба не тільки зна

йти найімовірніші значення відшукуваних величин, але й

зробити оцінку точності як результатів безпосередніх вимі

рів функцій невідомих, так і знайдених в результаті врівно

важення самих невідомих.

Якби нам були відомі істинні помилки Аь Д2, , Ап ре

зультатів L[, L2, ..., Ln безпосередніх вимірів і кількість їх бу

ла досить великою, то можна було б знайти середню квад

ратичну помилку т одного виміру за формулою (16,5) прн

рівноточних вимірах або середню квадратичну помилку ^ оди

ниці ваги за формулою (32,9) при нерівноточних. Але істин

ні помилки вимірів знайти не можна. Тому для визначення