Бугай П.Т. Теорія помилок і спосіб найменших квадратів

Подождите немного. Документ загружается.

п о м и л о к

II. і. ІіУГЛГІ

в /и ЛГ Т о л * у 4 л ft* U. ftsp* **f *

Щ ь ґ ь Ґ

Н . і у . ' f i r -

ТЕОРІЯ ПОМИЛОК І СПОСІБ

НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

ЧАСТИНА ПЕРША

Допущено

Міністерством вищої і середньої

спеціальної освіта УРСР

як підручник для студентів

геодезичних спеціальностей вузів УРСР

ВИДАВНИЦТВО ЛЬВІВСЬКОГО УНІВЕРСИТЕТУ

1960

Книга призначена служити підручником для студентів

астропомо-геодезичної, аерофотогеодезичної та інженерно-

геоді'.чіічпої спеціальностей геодезичних вузів і факульте-

тіп. У ній докладно, в найбільш простій і наочній формі

никладяються основи теорії помилок і способу найменших

квадраті», що дає можливість початківцям вивчати цю труд

ну дисципліну самостійно.

Підручник написано в обсязі стабільної програми для

іазначічшх спеціальностей (але без основ теорії імовірно

стей). Виклад супроводиться необхідною кількістю прикла

ді її і задач, взятих з геодезичної практики, які полегшують

.інпіоєімія теоретичних питань курсу. і

Підручник також можна рекомендувати студентам-заоч-

іінкам, інженерам і технікам-геодезистам, які бажають погли

бити свої знання з теорії помилок і способу найменших

квадратів, а також студентам землевпорядних, меліоративних

та інших факультетів, де вивчається цей курс.

Відповідальний редактор

кандидат технічних наук

О. С. Л и с и ч а н с ь к и й

ПЕРЕДМОВА

За останні роки геодезична література збагатилася рядом

нових книг з теорії помилок і способу найменших квадратів.

Більшість з них є посібниками, а не підручниками для тих,

хто починає вивчати цю дисципліну. Особливе місце серед

них займає відома капітальна праця проф. О. С. Чеботарьова

«Способ наименьших квадратов с основами теории вероят

ностей и математической статистики» (Геодезиздат, 1958).

Але і її, на нашу думку, не можна назвати підручником. Для

інженерів-геодезистів вона може служити як основний посіб

ник для повсякденного керівництва в їх виробничій діяльно

сті. Студентам же геодезичних спеціальностей її можна ре

комендувати для більш поглибленого вивчення предмета в

міру засвоєння таких спеціальних дисциплін, як вища гео

дезія, фотограмметрія, аерофотозйомка, практична астроно

мія та інші.

Теорію помилок і спосіб найменших квадратів студенти

геодезичних спеціальностей вивчають на другому курсі. Че

рез те підручник з цієї дисципліни перш за все повинен від

повідати рівневі підготовки студентів із загальноосвітніх та

спеціальних дисциплін: математики, геодезії та інших. З огля

ду на це автор, приступаючи до складання цієї книги, по

ставив перед собою завдання створити саме підручник з тео

рії помилок і способу найменших квадратів для студентів

геодезичних спеціальностей як стаціонарних, так і заочних

факультетів. При цьому основну свою увагу він звертав на

те, щоб правильно підібрати основний і необхідний учбовий

матеріал в обсязі відповідної стабільної програми і ви

класти його систематично і по можливості в простій і ясній

формі так, щоб він засвоювався не формально і механічно,

а цілком свідомо.

Як відомо, теоретичним фундаментом теорії помилок і

способу найменших квадратів є теорія імовірностей. Через

те на початку курсу треба було б дати виклад елементів тео

рії імовірностей. Але автор свідомо вибрав загальноприйняту

в геодезичних вузах і з методичної точки зору цілком доціль

ну систему викладання, в якій наукове обгрунтування теорії

предмета спочатку базується на властивостях так званих

іауссівських помилок і на принципах арифметичної середини,

найбільшої ваги і мінімуму суми квадратів поправок до ре

зультатів вимірів. Автор вважає, що на сучасному етапі роз

витку геодезичної науки і при сучасних потребах геодезич

ного виробництва в питаннях обробки результатів вимірів не

можна вже імовірнісне обгрунтування теорії помилок будува

ти на елементах теорії імовірностей. Для цього необхідно

давати основи цієї науки з вивченням законів розподілу ви

падкових величин та їх характеристик, композиції цих за

конів, основних та граничних теорем теорії імовірностей, тео

рії кореляції та інших питань. Але все це вимагає створення

для геодезичних спеціальностей другої частини курсу, яку

студенти зможуть вивчати лише в останні роки навчання.

Над складанням цієї частини автор зараз і працює.

Вважаю за свій обов’язок висловити щиру подяку редак

торові цієї книги доценту, кандидату технічних наук О. С. Ли-

сичанському, а також рецензентам професору, доктору тех

нічних наук М. Г. Відуєву, доктору технічних наук С. В. Єв-

сєєву та доценту, кандидату технічних наук Б. В. Голдирєву

за цінні поради і зауваження при іпідготовці рукопису до

друку.

П. БУГАЙ.

ВСТУП

§ 1. ЗАВДАННЯ ТА ПРЕДМЕТ ТЕОРІЇ ПОМИЛОК

І СПОСОБУ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ

В основі всякої геодезичної роботи лежать виміри. Так,

наприклад, ми вимірюємо кути, лінії, азимути напрямів на

земні предмети, перевищення між точками та інші елементи,

які потрібні нам для визначення положення багатьох точок

на земній поверхні. Для пізнання навколишнього світу та

явищ, що в ньому відбуваються, ми повинні вивчати їх не

лише з якісного, але й з кількісного боку, для чого також

необхідно провадити різні виміри.

Однак багатовіковий досвід людства в галузі вимірів по

казує, що всякий вимір, як би ретельно він не був проведе

ний і які б точні інструменти ми при цьому не застосовува

ли, не є 6ean0MWiK0BHMj Результат виміру неминуче буде

обтяжений більшою або меншою помилкою. В цьому легко

переконатися, якщо одну і ту ж величину виміряти декілька

разів при однакових умовах. Одержані при цьому резуль

тати будуть відрізнятися один від одного на незначні вели

чини. Це говорить про те, що виміри завжди супроводяться

помилками і кожен їх результат буде відрізнятися від дійс

ного, істинного значення вимірюваної величини, яке в біль

шості випадків залишається невідомим.

Всякий вимір, взагалі кажучи, є досить складним проце

сом. Встановлюючи методику його проведення, ми враховуємо

лише головні умови, які обумовлюють точність одержуваних

результатів. До таких умов належать, наприклад, точність

інструмента, метод вимірів, кваліфікація спостерігача, зов

нішні умови і т. д. Проводячи повторні вимірювання будь-

якої величини, намагаємося ці основні умови зберігати не

змінними. Але точність окремого виміру залежить не лише

від них, а й від багатьох інших другорядних, випадкових

факторів, які при переході від одного виміру до другого змі

нюються і обумовлюють випадкові коливання результатів

вимірів відносно якогось середнього значення відшукуваної

величини.

В природі немає жодного фізичного явища, в якому не

були б присутні в тій чи іншій мірі елементи випадковості.

Енгельс говорив: «...те, що утверджується як необхідне, скла

дається з чистих випадковостей, а те, що вважається випад

ковим, є форма, за якою приховується необхідність . . ,»1. Ви

падковість існує об’єктивно і завжди причинно обумовлена.

Однак вона не випливає з необхідністю із закономірного роз

витку даного явища, а є лише доповненням і формою про

явлення необхідності. Так буває і при вимірах. Як би точно не

були враховані основні умови в процесі виміру, завжди ма-

тиме місцеТплИГВИїїадкових 'факторів, і ми не можемо до

сягти того, щоб при повторному вимірюванні були одер

жані такі самі результати.

Помилки вимірів обумовлені..багатьма причинами: обме

женою чутливістю органів чуття спостерігача, недосконалі

стю вимірювальних приладів, несприятливими зовнішніми

умовами тощо. Через те, що ми не можемо уникнути впливу

всіх цих факторів, виникнення помилок в результатах вимі

рів є неминучим.

Усі фактори, які викликають появу помилок, впливають

на результат виміру незалежно один від одного і при тому

в різних напрямах щодо знака. Отже, остаточне значення ви

мірюваної величини матиме помилку, яка являє собою су

марний ефект впливу всіх джерел помилок, що мали місце в

процесі вимірювання.

Вивчення помилок з метою послаблення їх впливу на ре

зультати" вимірів можна провадити різними методами. Суть

одного з них полягає в тому, що, по-перше, застосовують

більш точні і досконалі інструменти і методи вимірів і, по-

друге, беруть до уваги все більше й більше другорядних

факторів, докладно вивчають закони їх діяння і відповідним

чином виключають вплив кожного з них на результати ви

мірів.

Однак в багатьох випадках для розв’язання цілого ряду

питань, зв’язаних з помилками вимірів, описаний вище кла

сичний метод, властивий так званим точним наукам, є не

цілком придатним: його не завжди можна застосувати, а

надмірне ускладнення програми досліджень у відриві від

практичних завдань може привести до великих труднощів.

Крім того, може виявитися, що знайдені в результаті склад

них досліджень кількісні закономірності не матимуть загаль

ного характеру через те, що вони будуть справедливими ли

ше:. для тих умов, в яких проводились дослідження.

■При проведенні масових вимірів доводиться мати справу

з такою великою кількістю другорядних випадкових факторів,

що практично неможливо зареєструвати і врахувати вплив

їх усіх. Вони відіграють значну роль тому, що обумовлюють

і К. М а р к с, Ф. Е н г ел ь с . Вибрані твори, т. II. Держцолітви-

дан УРСР, 1953, стор. 336.

(і

появу так званих випадкових помилок, вивченням яких в

основному і займається теорія помилок вимірів.

Очевидно, повинна існувати принципова різниця між ме

тодами вивчення помилок вимірів, викликаних основними

факторами, і методами вивчення помилок, викликаних дру

горядними, випадковими факторами. Властиві випадковим

явищам (а до цієї категорії явищ належать і випадкові по

милки вимірів) елементи неозначеності, складності, багато-

причинності вимагають створення спеціальних методів для

вивчення цих явищ. Такі методи розробляються в теорії імо

вірностей, яка вивчає закономірності масових випадкових'

явищ. Таким чином, теорія, помилок і спосіб найменших

квадратів, користуючись методами теорії імовірностей, став

лять перед собою такі завдання:

]) Вивчити закономірності, яким підлягають випадкові

помилки вимірів. •

Щоб розв’язати це завдання, необхідно мати на увазі, що

методи теорії імовірностей пристосовані лише для вивчення

масових випадкових явищ. Закономірності, які проявляються

в цій масі, практично не залежать від індивідуальних особ

ливостей окремих випадкових явищ і проявляються тим кра

ще, чим більша кількість цих однорідних явищ входить у

дану задачу. Це справедливо і для закономірностей, які

встановлюються в теорії помилок і способі найменших квад

ратів. Щоб вони краще проявлялися, необхідно відшукувані

величини вимірювати багато разів, і чим більше для кожної

з них буде проведено додаткових вимірів, тим з більшою точ

ністю можна буде одержати остаточні їх значення. В зв’язку

з дим виникає друге важливе завдання теорії помилок —

1 2) Знайти способи, як за результатами багатьох вимірів

відшукуваних величин визначити найбільш надійні їх значен

ня і дати оцінку їх точност^

З математичної точки зору таке завдання є невизначе-

ним хоча б тому, що не цілком ясно, які саме значення від

шукуваних величин треба вважати за найбільш надійні. От

же, для розв’язання другого завдання необхідно ввести якусь

додаткову умову, яка б уточнила поняття «найбільш на

дійні».

Необхідність у цьому виникає також в зв’язку з тим, що

результати всіх вимірів, які' проводять для побудови геоде

зичних сіток, повинні задовольняти певні геометричні умо

ви. Так, наприклад, сума перевищень у зімкненому нівелір

ному полігоні повинна дорівнювати нулю; сума кутів у три

кутнику тріангуляційної сітки повинна дорівнювати 180°

і т. д. Але через те, що всі виміри обтяжені неминучими по

милками, ці умови не будуть додержуватись. Тому в резуль

тати вимірів необхідно вводити деякі поправки. Таке виправ-

лсчшя вимірів називається ув’язкою, або врівноваженням ви

мірів, що можна зробити різними способами. Найкращим з

них був би той, при застосуванні якого, по-перше, задоволь

нялись би геометричні умови геодезичних сіток і, по-друге,

виправлені, або як їх називають, врівноважені результати

вимірів були б «найбільш надійними».

Один з таких способів обробки результатів вимірів, ві

домий під назвою способу найменших квадратів, запропону

вали математики Лежандр і Гаусс. У цьому способі додат

ковою умовою, при якій врівноважені результати вимірів

будуть найбільш надійними, вважається та, при якій сума

квадратів поправок до результатів вимірів буде мінімальною,

тобто меншою, нілі сума квадратів поправок, одержаних при

будь-якій іншій додатковій умові. Звідси походить і назва

способу. Повне теоретичне обгрунтування цього способу дав

Гаусс.

Більшість вимірів у геодезичному виробництві проводять

з метою одержати величини, необхідні для визначення но

вих величин. Так, наприклад, кути і довжини ліній вимірюють

для визначення висот точок, координат та інших елементів.

Причому значення цих останніх знаходять шляхом обчислень

як функції результатів безпосередніх вимірів. Внаслідок на

явності в результатах вимірів неминучих помилок значення

цих функцій будуть теж помилкові. В зв’язку з цим виникає

ще одне важливе завдання теорії помилок —

3) Знайти закон, за яким проходить нагромадження по

милок як при вимірах, так і при обробці і врівноваженні їх.

Розв’язанням цих основних завдань і займається теорія

помилок і спосіб найменших квадратів. ,

Теорія помилок і спосіб найменших квадратів мають ду

же важливе значення для геодезичного виробництва. Вони

дають відповідь на питання, які методи вимірів і обробки

треба застосувати, щоб результати їх були найбільш точ

ними, і як з найбільшою надійністю оцінити точність цих

результатів. У зв’язку з бурхливим розвитком радянського

народного господарства і техніки геодезичне виробництво

СРСР поставило перед геодезичною наукою ряд нових важ

ливих проблем в галузі обробки результатів вимірів. До них

належать, 'наприклад, такі: 1) знайдення способів більш пра

вильного і повного врахування систематичних помилок ви

мірів; 2) розробка простих і ефективних наближених методів

урівноваження геодезичних сіток з оцінкою точності резуль

татів урівноваження; 3) виявлення особливостей обчислень

при врівноваженні сіток з великою кількістю невідомих;

4) вивчення особливих властивостей помилок, які мають міс

це при аерофотозйо'мці, та інші. Розробка цих питань теж

входить у завдання теорії помилок і способу найменших

квадратів.

§2. ЗНАЧЕННЯ ПРЕДМЕТА В ГЕОДЕЗИЧНІЙ ТЕОРІЇ

ТА ПРАКТИЦІ

В топографо-геодезичному виробництві знання основ тео

рії помилок і способу найменших квадратів завжди мало ду

же велике значення. Зараз, особливо в умовах радянської

дійсності, в епоху переходу від соціалізму до комунізму гео

дезист, який не володіє в достатній мірі знаннями з теорії

помилок і способу найменших квадратів, не зможе самостій

но і доброякісно провести будь-яку геодезичну роботу.

Щоб організувати і виконати геодезичну роботу, потріб

но насамперед скласти проект її виконання. Згідно з завдан

ням необхідно встановити методику побудови геодезичної

основи, підібрати відповідні інструменти, вибрати методи ви

мірів та способи обробки результатів. При цьому всі ці за

ходи проводяться не довільно, а завжди береться до уваги

та точність, з якою повинна бути виконана вся робота в ці

лому або в окремих частинах. Крім того, в процесі вико

нання роботи виконавець і керівник повинні постійно слід

кувати за її якістю з точки зору точності результатів ви

мірів.

Усі результати безпосередніх вимірів використовуються

для дальшої обробки. Так, за виміряними значеннями кутів,

довжин ліній, азимутами початкових напрямів шляхом об

числень можна визначити координати багатьох точок геоде

зичної опорної сітки. Через те, що результати безпосередніх

вимірів та вихідних даних завжди бувають помилковими, ви

никає необхідність попереднього обчислення точності резуль

татів вимірів та їх обробки, які можна буде одержати, за

стосовуючи передбачені проектом інструменти, методи вимі

рів та обробки. Наперед обчислені помилки порівнюються з

припустимими. В тому випадку, коли перші будуть значно

більші від других, треба підвищити точність вимірів, замінив

ши інструменти більш точними або змінивши методи вимі

рів. Якщо ж, навпаки, наперед обчислені помилки будуть

значно менші від припустимих, тоді доцільно застосовувати

менш точні інструменти та простіші методи вимірів.

Попереднє обчислення помилок вимірів має дуже важли

ве практичне значення. Для забезпечення необхідної точності

запроектованих методів геодезичних вимірів його застосову

ють завжди при проектуванні опорних геодезичних сіток, пе

ренесенні проектів промислових підприємств і споруд на міс

цевість, будівництві гідростанцій, каналів, шляхів, тунелів,

шахт, метрополітенів і т. д.

Найкращою і найбільш надійною основою для попередньо

го обчислення можливих при даних методах вимірів точно

стей і для оцінки точності результатів вимірів та їх обробки

»г теорія помилок і спосіб найменших квадратів. Тільки завдя