Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Активное сопротивление обратной последовательности с ростом

степени демпфирования стремится к величине приведённого актив-

ного сопротивления демпферной обмотки, если не принимать в рас-

чёт активного сопротивления обмоток статора и возбуждения.

Результаты, приведённые в табл. 12.4, показывают характер влия-

ния электропроводности материала ротора на величину сопротивле-

ний обратной последовательности. Для более точного определения

этих сопротивлений необходимо использовать двумерную математи-

ческую модель, позволяющую учитывать эффект вытеснения тока

в массивном роторе.

12.4. МОДЕЛИРОВАНИЕ ГИСТЕРЕЗИСНЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ

В настоящее время довольно широкое распространение полу-

чили гистерезисные двигатели, которые являются разновидностью

синхронных машин [45]. Конструкция гистерезисных двигателей

практически не отличается от конструкции асинхронных двигате-

лей с полым немагнитным ротором. Основное отличие заключает-

ся в материале ротора, который является ферромагнитным с ши-

рокой петлёй гистерезиса. Если такой материал помесить в пере-

менное магнитное поле, то помимо потерь от вихревых токов

в нём возникают потери от гистерезиса, пропорциональные часто-

те перемагничивания. Если частота вращения ротора близка к час-

тоте вращения магнитного поля, то при малом скольжении мате-

риал ротора успевает намагнититься в течение полупериода изме-

нения магнитного поля и втянуться в синхронизм. После этого

двигатель начинает работать как синхронный с частотой вращения

магнитного поля.

На ротор двигателя действуют два момента: асинхронный -

вследствие взаимодействия магнитного поля двигателя с вихревыми

токами, и синхронный - при взаимодействии магнитного поля стато-

ра с магнитным полем ротора, возникающим при намагничивании

материала ротора. При пуске двигатель работает как асинхронный,

а после втягивания в синхронизм - как синхронный.

В некоторых конструкциях ротор двигателя выполняют комби-

нированным: часть ротора изготовляется из материала с широкой

петлёй гистерезиса, вторая часть - с беличьей клеткой. Эта часть

способствует увеличению пускового момента двигателя и уменьше-

нию его колебательности за счёт демпфирования.

Рассмотрим особенности математической модели гистерезисно-

го двигателя, считая, что в воздушном зазоре помимо среды с посто-

янной электропроводностью размещена среда, электропроводность

которой обратно пропорциональна скольжению.

Напряжённость электрического поля в движущейся среде для

одномерной модели определяется выражением (8.29):

= ->сД, = K

Величина напряжённости электрического поля в движущейся

среде пропорциональна скольжению. В то же время частота ЭДС

движущейся среды также пропорциональна скольжению

= fi. (12.75)

Определим эквивалентную электропроводность сред, равномерно

распределённых в зазоре гистерезисного двигателя, приравнивая по-

очерёдно потери от вихревых токов и гистерезиса ферромагнитного

материала к потерям движущихся в зазоре сред.

Для этого подставим в (7.59) и (7.64) напряжённость электриче-

ского поля и частоту по выражениям (8.29) и (12.75) и, выполняя

промежуточные преобразования, получим выражение электропро-

водности движущейся среды, эквивалентной вихревым токам. Выра-

жение эквивалентной элекгропроводности для движущейся среды

ротора (12.76) полностью совпадает с аналогичным выражением для

среды неподвижной (7.65):

у = Y*. (12 76)

2jt

Анализируя потери в материале ротора с широкой петлёй гисте-

резиса, можно показать, что электропроводность, эквивалентная по-

терям от гистерезиса, для движущейся среды записывается в виде

_ ^ЕдКпр У

Угр

Blhl V

(12.77)

При этом следует учитывать, что электропроводность рассмат-

риваемой среды зависит от скольжения, и в уравнение магнитного

поля указанную электропроводность необходимо подставлять в виде

ГггА-

Удельные потери от вихревых токов и от гистерезиса пропор-

циональны квадрату напряжённости электрического поля:

ДП„хр=(М

.р-/; (12.78)

А^г„о

=(М

—(12.79)

Электромагнитный момент двигателя определяется суммарной

мощностью потерь ротора:

M,» =

APmxp + APnKl

s + Mr. (12.80)

ю»?

Электромагнитный момент гистерезисного двигателя состоит из

двух составляющих: первая, пропорциональная скольжению и зави-

сящая от скорости вращения, представляет асинхронный момент; вто-

рая, не зависящая от скорости вращения, - гистерезисный момент.

Анализ электромагнитных процессов гистерезисного двигателя

производится с использованием схемы замещения, которая пред-

ставлена на рис. 12.21. Сопротивление R

здесь представляет актив-

ное сопротивление обмотки статора, Ху - индуктивное сопротивле-

ние рассеяния обмотки статора, Х^ - индуктивное сопротивление на-

магничивающего контура. Активное сопротивление R

, включённое

параллельно намагничивающему контуру и имеющее постоянную

величину, соответствует потерям в магнитопроводе статора

от вихревых токов. ЭДС, наводимая основным потоком в листах

электротехнической стали статора, пропорциональна частоте сети.

Поэтому мощность, затрачиваемая в этом сопротивлении, пропор-

циональна квадрату частоты.

Е-,

_rvv\_

г.сЦ

Ов

h)r

Хр)

/' R'

в.р r.p

r.p

Рис. 12.21. Схема замещения гистерезисного двигателя

Сопротивление А» обратно пропорционально электропровод-

ности у

гс

//, эквивалентно потерям в магнитопроводе статора от

гистерезиса. Поскольку ЭДС, наводимая в стали статора, и сопро-

тивление R

пропорциональны частоте сети, то мощность, затрачи-

ваемая в этом сопротивлении, оказывается пропорциональна первой

степени частоты, т.е. мощности потерь от гистерезиса.

Аналогично, сопротивления R'^VL /?',

эквивалентны потерям

ротора от вихревых токов и гистерезиса. Схема замещения соответст-

вует электромагнитным процессам гистерезисного двигателя и может

использоваться для их анализа [45].

Для предложенного способа учёта потерь в стали статора и ро-

тора стационарное уравнение магнитного поля записывается в виде

Rl ЭФ

1 ЭА

М(Ф) Эф,

J шойо

(Ув.р +

Тг.р

+</(ф)

-ц

ст

(ф). (12.81)

Его решение совместно с системой уравнений Кирхгофа позво-

ляет рассчитать характеристики гистерезисного двигателя.

Для моделирования гистерезисного двигателя используется моди-

фицированная модель короткозамкнутого асинхронного двигателя. От-

личие модели гистерезисного двигателя заключается в том, что в зазоре

двигателя распределена комбинированная вторичная среда. Электро-

проводность одной компоненты среды постоянна, электропроводность

второй компоненты - обратно пропорциональна скольжению.

На рис. 12.22 представлена зависимость электромагнитного мо-

мента гистерезисного двигателя от скольжения, полученная в резуль-

тате моделирования. Кривая I изображает гистерезисный момент,

величина которого от скольжения не зависит. Кривая 2 соответствует

зависящему от скольжения асинхронному моменту. Поскольку асин-

хронный момент определяется потерями ротора от вихревых гоков,

то при малой величине последних зависимость асинхронного момен-

та ог скольжения практически линейна.

М, Нм

о, Об

0,04

0,02

-0,02

-0,04

-0,06

-0,08

-0,1

-1,5 -0,5 0 0,5 «

Рис. 12.22. Зависимость электромагнитного момента

гистерезисного двигателя от скольжения

(.1

- гистерезисный момент; 2 - асинхронный момент)

Для расчёта характеристик гистерезисного двигателя необходи-

ма информация об удельных потерях ферромагнитного материала

ротора. Такая информация может быть получена экспериментальным

путем при разделении потерь на потери от вихревых токов и потери

от гистерезиса [48].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В первой части работе рассмотрены наиболее часто применяе-

мые методы решения краевых задач, описывающих стационарные

и нестационарные электромагнитные процессы электрических ма-

шин. Следует отметить, что математическое описание реальных

электрических машин имеет весьма сложный характер, и уравнения

магнитного поля могут существенно отличаться от рассмотренных

в данной работе. Так, например, зависимость магнитной индукции

от напряжённости магнитного поля вследствие гистерезиса имеет

неоднозначный характер. Это, естественно, также должно быть учте-

но системой дифференциальных уравнений математической модели.

Сочетание этих особенностей материала магнитопровода накла-

дывает отпечаток на характер протекания электромагнитных про-

цессов, и для получения адекватности необходим более точный

учёт этих факторов.

Математическое описание электромагнитных процессов элек-

трических машин может быть полностью реализовано с использова-

нием уравнений в частных производных. Однако в этом случае зада-

ча усложняется настолько, что не может быть реализована даже при

существенном развитии вычислительной техники. Поэтому наиболее

распространённым подходом математического моделирования элек-

трических машин является сочетание полевых методов с методами,

использующими теорию электрических цепей.

Математическое моделирование электромагнитных процессов

электрических машин требует значительных временных затрат как

на подготовку решения, так и времени решения систем уравнений.

Поэтому естественно использовать экономичные методы решения

многомерных краевых задач, представленные в пакетах математиче-

ских программ. Следует также учитывать, что разумное сочетание

прямых и итерационных методов в ряде случаев позволяет в значи-

тельной степени упростить решение краевых задач.

Практика математического моделирования электрических машин

показывает важность творческого подхода и к методам математиче-

ского описания процессов электрических машин, и к выбору методов

решения соответствующих краевых задач.

Вторая часть работы посвящена использованию описанных ра-

нее методов для расчёта магнитных полей и характеристик неявно-

полюсных электрических машин. Естественно, что автор не смог

провести исследование всего многообразия электрических машин

этого класса, а ограничился моделированием наиболее широко при-

меняемых на практике машин. Вне пределов работы оказались такие

неявнополюсные машины, как электрические двигатели с полым не-

магнитным ротором, с полым ферромагнитным ротором, шаговые

двигатели, бесконтактные двигатели постоянного тока, электриче-

ские машины систем автоматики, информационные электрические

машины и т.д. Тем не менее характеристики этих машин, так же как

их особенности, характер распределения их магнитных полей могут

быть смоделированы описанными в работе методами.

Большая часть описанных в работе математических моделей яв-

ляются одномерными. Эти модели отличаются предельной простотой

реализации, малым временем решения, близостью получаемых ре-

шений к аналитическим и ещё целым рядом существенных для ин-

женерной практики достоинств. Однако рассматриваемый подход не

исключает использование двумерных и трёхмерных моделей, основ-

ным отличием которых является способ решения уравнений в част-

ных производных, описывающих магнитное поле. Применение дву-

мерных и трёхмерных моделей позволяет отказаться от ряда допу-

щений, упрощающих математическое описание электромагнитных

процессов. При этом отпадает необходимость использования в моде-

лях некоторых параметров, значения которых рассчитываются ранее

или определяются экспериментальным путём. При этом, однако,

не следует впадать в крайность, считая, что повышение размерности

координат однозначно приводит к повышению точности работы мо-

дели, точность решения задачи во многом определяется точностью

задаваемых параметров, геометрических размеров и характеристик

материалов электрической машины.

Мало внимания в настоящей работе уделено вопросам матема-

тического моделирования нестационарных электромагнитных про-

цессов электрических машин. Исследование переходных процессов

представляет, как известно, наиболее сложные и трудоёмкие задачи,

решение которых требует значительных затрат времени. Поэтому

в дальнейшем решению нестационарных задач будет отведено боль-

шее внимание.

В третьей части работы автор предполагает описать методы ма-

тематического моделирования явнополюсных машин постоянного

и переменного тока. Математическое описание электромагнитных

процессов таких машин отличается большей сложностью по сравне-

нию с неявнополюсными, вследствие более сложного характера рас-

пределения магнитного поля. Но и в этом случае подход к разработке

и созданию математических моделей отдельных электрических ма-

шин сохранит прежний характер: решение уравнения электромаг-

нитного поля в заданной области его существования с использовани-

ем экономичных математических способов и системы уравнений

Кирхгофа для обмоток машины. Как показал предыдущий опыт, ис-

пользование такого подхода позволяет создавать математические

модели, обеспечивающие сочетание высокой точности с малыми

временными затратами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Петров Г.Н. Электрические машины: в 3 ч. / Г.Н. Петров. --

М.: Энергия, 1974. -Ч. 1- 240 с.

2. Петров Г.Н. Электрические машины: в 3 ч. / Г.Н. Петров. -

М.; JL: Госэнергоиздат, 1963. - Ч. 2 - 416 с.

3. Петров Г.Н. Электрические машины: в 3 ч. / Г.Н. Петров. -

М.: Энергия, 1968. -Ч. 3 - 224 с.

4. Вольдек А.И. Электрические машины / А.И. Вольдек.- Л.:

Энергия, 1974. - 840 с.

5. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины: в 2 т. /

А.В. Иванов-Смоленский. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. - Т. 1. - 652 с.

6. Иванов-Смоленский А.В. Электрические машины: в 2 т. /

А.В. Иванов-Смоленский. - М.: Изд-во МЭИ, 2004. - Т. 2. - 532 с.

7. Копылов И.П. Электрические машины / И.П. Копылов. - М.:

Энергия, 1986. - 360 с.

8. Копылов И.П. Математическое моделирование асинхронных

машин / И.П. Копылов, Ф.А. Мамедов, В.Я. Беспалов. - М.: Энергия,

1969. - 96 с.

9. Копылов И.П. Электромеханические преобразователи энер-

гии / И.П. Копылов. - М.: Энергия, 1973. - 400 с.

10. Копылов И.П. Применение вычислительных машин в инже-

нерно-экономических расчётах. (Электрические машины) / И.П. Копы-

лов. - М.: Высшая школа, 1980. - 256 с.

11. Копылов И.П. Математическое моделирование электриче-

ских машин / И.П. Копылов. - М.: Высшая школа, 1987. - 248 с.

12. Зельдович Я.Б. Элементы прикладной математики / Я.Б. Зель-

дович, А.Д. Мышкис. - М.: Наука, 1967. - 648 с.

13. Сиберт У.М. Цепи, сигналы, системы: в 2 ч.: [пер. с англ.] /

У.М. Сиберт. - М.: Мир, 1988. - Ч. 2. - 336 с.

14. Анго А. Математика для электро- и радиоинженеров / А. Анго;

пер. с фр. под общ. ред. К.С. Шифрина. -

М.:

Наука, 1964. - 772 с.

15. Владимиров B.C. Уравнения математической физики: учеб.

для вузов / B.C. Владимиров, В.В. Жаринов. - М.: Физ.-мат. лит.,

2000.-400 с.

16. Тамм И.Е. Основы теории электричества / И.Е. Тамм. - М.:

Наука, 1976-616 с.

17. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике /

О.В. Тозони. - М.: Энергия, 1975. - 206 с.

18. Проектирование специализированных информационно-вычис-

лительных систем: учеб. пособие по спец. ЭВМ и АСУ / Ю.М. Смирнов

[и др.]; под ред. Ю.М. Смирнова. - М.: Высшая школа, 1984. - 359 с.

19. Толстой Г.П. Ряды Фурье / Г.П. Толстой. - 3-е изд. - М.:

Наука, 1980. - 384 с.

20. Тихонов А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Ти-

хонов, А.А. Самарский. - 4-е изд. - М.: Наука, 1972. - 735 с.

21. Пчелин Б.К. Векторный анализ для инженеров-электриков

и радистов / Б.К. Пчелин. - М.: Энергия, 1968. - 256 с.

22. Брынский Е.А. Электромагнитные поля в электрических

машинах / Е.А. Брынский, Я.Б. Данилевич, В.И. Яковлев. - JL: Энер-

гия, 1979.-176 с.

23. Бахвалов Н.С. Численные методы / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков,

Г.М. Кобельков. —М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. - 632 с.

24. Самарский А.А. Теория разностных схем / А.А. Самарский. -

М.: Наука, 1977. - 656 с.

25. Калиткин Н.Н. Численные методы / Н.Н. Калиткин. - М.:

Наука, 1978. - 512 с.

26. Сарапулов Ф.Н. Математические модели линейных индукцион-

ных машин на основе схем замещения / Ф.Н. Сарапулов, С.Ф. Сарапу-

лов, П. Шымчак. - Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. техн. ун-та (УПИ),

2001.-236 с.

27. Самарский А.А. Методы решения сеточных уравнений /

А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

28. Воробьёва Г.Н. Практикум по численным методам: учеб. по-

собие для техникумов / Г.Н. Воробьёва, А.Н. Данилова. - М.: Высшая

школа, 1979. - 184 с.