Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

8.7. НЕСТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ КОРОТКОЗАМКНУТОГО

АСИНХРОННОГО ДВИГАТЕЛЯ

Нестационарные электромагнитные поля асинхронного корот-

козамкнутого двигателя описываются уравнением в частных произ-

водных параболического типа (8.12):

1 д

А дА дА

Помимо указанного уравнения должны быть заданы условия:

краевые, периодического типа и начальные, определяющие значения

векторного потенциала в момент коммутации.

Для решения краевой задачи должна быть известна правая часть

дифференциального уравнения - плотность стороннего тока, равно-

мерно распределённого по высоте зазора J „.

В отличие от стационарного режима эта величина определяется

мгновенными значениями фазных токов статора, и при известной

схеме обмотки статора может быть рассчитана с использованием вы-

ражения (8.46):

б'

где г(ф

) - мгновенное значение фазного тока, принадлежащего рас-

сматриваемому интервалу разбиения пространственной координаты.

Поскольку величины фазных токов зависят от питающих на-

пряжений и параметров асинхронной машины, для определения

мгновенных значений фазных токов используется система уравне-

ний Кирхгофа, которая для нестационарного режима записывается

в виде:

= ^± + L

^- +

(8.81)

dt dt

ИТ j ш

ИВ-—:— + LB—T

IBRB>

dt dt

(8.82)

(8.83)

где д.

P С - мгновенные значения потокосцеплений; LA>LB>LC -

индуктивности рассеяния; RA>RB>RC - активные сопротивления ста-

торных обмоток двигателя.

Так же как и для стационарных режимов, при соединении обмо-

ток статора в «звезду» необходимо фазные напряжения выразить че-

рез линейные:

Потокосцепления фаз, как и при стационарном режиме, могут

быть выражены через значения векторного потенциала:

где - активная длина витка обмотки; р ~ число полюсов; q - число

пазов на полюс и фазу; W

- число витков в катушке обмотки;

А„ и 4- значения векторного потенциала в точках, соответст-

вующих координатам сторон витка.

Система уравнений (8.12), (8.45), (8.81)—(8.85) является замк-

нутой, определённой и позволяет рассчитать мгновенные значения

фазных токов и векторного потенциала в зазоре асинхронной ма-

шины при известных величинах питающих напряжений. Значения

составляющих магнитной индукции рассчитываются по найденным

значениям векторного потенциала с использованием приведённых

ранее выражений.

При расчёте нестационарного процесса должны быть заданы на-

чальные условия: начальные значения векторного потенциала для

уравнения электромагнитного поля, начальные значения фазных то-

UAB — UA

UB'I И

ВС —

—

UC ">

lA + is + ic -0.

(8.84)

(8.85)

ков в уравнениях Кирхгофа и токов рабочего тела. Если, например,

исследуется пуск асинхронного двигателя, то эти величины должны

иметь нулевые значения. В этом случае временные производные по-

токосцеплений, пропорциональные значениям производных вектор-

ного потенциала, отличны от нуля и могут быть определены исходя

из начальных значений напряжения сети. Расчёт временных произ-

водных векторного потенциала связан с решением стационарной за-

дачи, что приводит к усложнению решения системы уравнений, опи-

сывающей переходный процесс.

Для упрощения решения рационально от Т-образной схемы за-

мещения асинхронной машины перейти к схеме замещения асинхрон-

ной машины с полым немагнитным ротором, вынеся индуктивное со-

противление ротора в статорную цепь (см. подразд. 8.1). Указанный

переход для нестационарного режима асинхронной машины может

быть осуществлён следующим образом.

Электромагнитные процессы Т-образной схемы замещения асин-

хронной машины описываются известной системой уравнений:

для цепей статора

с1ц (di

di'

«-ад

для цепей ротора

+R'

L \ — +

[dt dt

(8.87)

Запишем приведённый ток ротора в следующем виде:

*2=-, (8.88)

ст

где о - параметр, требующий определения.

Подставляя это выражение в уравнение роторной цепи и преоб-

разуя полученное выражение, представим его в виде

2 т

dt a dt а dt

и linn

щнНИтГНИЩ *>

Для определения параметра ст потребуем, чтобы выполнялось

соотношение

, 1 du L

di,

ц-

—2- —

откуда

ст dt a dt

о=-

(8.90)

(8.91)

а уравнение роторной цепи принимает следующий вид:

ст \dt dt

Подставим выражение (8.88) в уравнение статорной цепи:

dii

Li—

Rui

+ L,

dii

1 di

\ dt a dt

(8.92)

(8.93)

Преобразуя полученное выражение с учётом (8.91), запишем его в

окончательном виде:

•

\dli ,

+Rlll +

а ) dt a

dU di"

dt dt

(8.94)

Уравнениям (8.92) и (8.94) соответствует схема замещения асин-

хронной машины с индуктивным сопротивлением ротора, вынесенным

в статорную цепь (рис. 8.26).

L'z/a

Lmf<3

Ri/a

Рис. 8.26. Схема замещения асинхронной машины

с полым немагнитным ротором

Аналогичную схему замещения имеет асинхронная машина

с полым немагнитным ротором, у которой индуктивное сопротивле-

ние ротора очень мало и им можно пренебречь.

Схема асинхронной машины с полым немагнитным ротором

удобна для моделирования нестационарных процессов. При исследо-

вании пускового режима начальные значения плотности токов стато-

ра и ротора равны нулю. Плотность тока ротора будет равна нулю

лишь в том случае, если равна нулю временная производная вектор-

ного потенциала ЭA/dt. Последнее условие позволяет непосредст-

венно определять из уравнений Кирхгофа (8.81)—(8.83) производные

фазных токов по известным начальным значениям напряжений и за-

данным параметрам асинхронной машины.

Если нестационарный режим рассчитывается при начальных ус-

ловиях, отличных от нулевых, то при t

= О

должны быть заданы зна-

чения векторного потенциала и фазных токов. В этом случае, исходя

из начальных значений векторного потенциала, рассчитываются на-

чальные значения потокосцеплений фаз, а из уравнений Кирхгофа -

временные производные фазных токов. Таким образом, расчет не-

стационарного процесса асинхронных короткозамкнутых двигателей

производится в следующей последовательности:

1. С помощью начальных условий рассчитываются временные

, di. di„ di

производные фазных токов: —-,

——, ——.

dt dt dt

2. Рассчитываются значения фазных токов на первом временном

интервале At:

•

• _

•

. . _ . di

dt dt dt

3. С учётом схемы статорной обмотки (пространственное рас-

пределение фазных токов) и мгновенных значений токов рассчиты-

вается плотность сторонних токов (8.47) в уравнении (8.12), которое

решается при периодических граничных условиях методом цикличе-

ской прогонки.

I «I * I itii i »ri 11 г» imtt.

4. По найденным значениям векторного потенциала, с учётом

пространственного расположения проводников обмотки статора, оп-

ределяются по формуле (8.85) потокосцепления фаз.

5. С помощью уравнений Кирхгофа (8.81)-(8.83) и соотношений

(8.85) рассчитываются значения временных производных фазных

токов на втором временном интервале.

В дальнейшем расчёт повторяется до тех пор, пока не будет дос-

тигнуто конечное время переходного процесса.

Для расчёта электромеханического переходного процесса при-

ведённая выше система уравнений должна быть дополнена уравне-

нием механического движения, записываемого в виде

M-M

.. (8.95)

где J - суммарный момент инерции двигателя и рабочего механизма;

Ми М

тг

- момент двигателя и момент нагрузки.

Момент двигателя

M = \f

RodV. (8.96)

= Jp

= ё

Jpz хё

-\J

. (8.97)

или

2л

М = /

5' ^JPBRRO

dq>.

(8.98)

Интегрирование в этом выражении выполняется численными

методами, а значение радиальной компоненты магнитной индук-

ции рассчитывается через значения векторного потенциала. На

каждом временном интервале интегрированием выражения (8.95)

определяется частота вращения, и решение уравнения электромаг-

нитного поля (8.12) производится при переменной частоте враще-

ния ротора.

Программа расчёта электромагнитного переходного процесса

при пуске короткозамкнутого асинхронного двигателя:

n=240; om0=100.*pi; pr=90.e6; nn=l; mu0=4.*pi*l.e-7; г0=22.675е-3;

hx=2.*pi/n; del=0.3025e-3; dli=0.0365; w=10.; ql=260.6; sig2=1.036; t=0.;

dt=0.0002; tk=0.40;

ra=32.5; rb=ra; rc=ra; La=0.096; Lb=La; Lc=La; Lr=0.073; um=310.; om=0.;

sl=muO*pr*om*rO*rO*hx/2.; s2=mu0*pr*r0*r0*hx*hx/dt; s3=ql*r0*r0*hx*hx;

s4=mu0*r0*hx*w/del; s5=w*dli; s6=2.*hx*r0*sig2; s7=del*dli*r0*hx;

dpota=0.; dpotb=0.; dpotc=0.;

y0(l:a)=0.;

ia0=0.; ib0=0.; ic0=0.;

ia=0.; ib=0.; ic=0.; pota0=0.; potb0=0.; potc0=0.;

:n)=

,+sl; b(

:n)=

.-si; c(l :n)=2.+s2+s3;

while t<tk

uab=um*sin(omO*t); ubc=um*sin(om0*t-2.*pi/3.);

dl l=La+Lb+2.*Lr/sig2; dl2=Lb+Lr/sig2; d21=Lb+Lr/sig2;

d22=Lb+Lc+2. *Lr/ sig2;

tl=uab*dt-dpota+dpotb-ia*(ra+rb)*dt-ic*rb*dt;

t2=-ubc *dt-dpotc+dpotb-ia*rb * dt-ic * (rb+rc) *dt;

delt=d

*d22-d 12*d21; deltl=tl*d22-t2*dl2; delt2=t2*dll-tl*d21;

dia=deltl/delt; dic=delt2/delt; ia=iaO+dia; ic=icG+dic; ib=-ia-ic; ff(l:n)=0.;

fa=s4*ia; fb=s4*ib; fc=s4*ic; f2(l)=s2*y0(l); f2(n)=s2*y0(n);

for j= 1:40

fl(j)=fa; fl(j+40)=-fc; fl(j+80)=fb; fl(j+120)=-fa; flG+160)=fc; fl(j+200)=-fb;

end

f2(2:n-1 )=s2 *y0(2:n-1); ff(

:n)=f

(1: n)+f2(

:n);

alf(2)=b(l)/c(l); bet(2)=ff(l)/c(l); gam(2)=a(l)/c(l);

for j=2:n

r=c(j)-alf(j)*a(j); alfG+l)=b(j)/r; betG+lMa(j)*betG)+ff(j))/r;

gam(j+l)=a(j)*gam(j)/r;

end

p(n- l)=bet(n); q(n- l)=alf(n)+gam(n);

for j=n-2:-l:l

p(j)=alf(j+l)*p(j+l)+bet(j+l); q(j)=alf(j+l)*q(j+l)+gam(j+l);

end

rl=bet(n+l)+alf(n+l)*p(l); r2=l.-alf(n+l)*q(l)-gam(n+l); y(n)=rl/r2;

y(l:n-l)=p(l:n-l)+y(n)*q(l:n-l); pota=0.; potb=0.; potc=0.;

for j=l:40

pota=pota+s5*(y(j)-y(j+120))/sig2; potb=potb+s5*(y(j+80)-y(j+200))/sig2;

potc=potc+s5*(y(j+160)-y(j+40))/sig2;

end

dpota=pota-potaO; dpotb=potb-potbO; dpotc=potc-potcO;

br(l)=(y(2)-y(n))/s6; br(n)=(y(l)-y(n-l))/s6;

|||||ШМ>)М1

№№

for j=2:n-l

br(j)=(yG+l)-y(j-D)/s6;

end

fm=0.;

forj=l:n

rl=(y(j)-yO(j))/dt; r2=om*r0*br(j); tr(j)=-pr*(rl+r2); fem0)=s7*tr(j)*br(j);

fm=fm+fem(j);

end

em=fm*rO; nl(nn)=t; n2(nn)=ia; n3(nn)=ib; n4(nn)=ic; n5(nn)=em;

yO(l:n)=y(l:n);

potaO=pota; potbO=potb; potcO=potc; iaO=ia; ibO=ib; icO=ic; disp(t); disp(em);

t=t+dt; nn=nn+l;

end

plot(nl,n5)

На рис. 8.27 и 8.28 показаны соответственно зависимости фаз-

ных токов и электромагнитного момента двигателя от времени на

начальном участке переходного процесса при пуске двигателя из не-

подвижного состояния.

/, А

I г i

_3 I I 1 I I I I 1 I

О 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 0,1

t, С

Рис. 8.27. Зависимость фазных токов асинхронного двигателя

от времени электромагнитного переходного процесса

ТЛ — •••••••^«шшштшшя

t, с

Рис. 8.28. Зависимость электромагнитного момента

асинхронного двигателя от времени электромагнитного

переходного процесса

Программа расчёта электромеханического переходного процес-

са отличается тем, что в неё добавлено уравнение движения, позво-

ляющее определить скорость движения ротора на каждом временном

интервале и уточнены, вследствие этого, коэффициенты дифферен-

циального уравнения.

Характер протекания переходного процесса при пуске асин-

хронного двигателя из неподвижного состояния представлен на

рис. 8.29, а процесс пуска и торможения противовключением - на

рис. 8.30.

Используя описанную модель динамических режимов, можно

производить исследование систем электропривода с использованием

асинхронных электродвигателей.

Рис. 8.29. Зависимость электромагнитного момента и частоты

вращения от времени при пуске асинхронного двигателя

из неподвижного состояния

М, Нм,

Рис. 8.30. Зависимость электромагнитного момента и частоты

вращения при пуске и противовключении асинхронного двигателя