Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

9. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

АСИНХРОННЫХ МАШИН С ФАЗНЫМ РОТОРОМ

9.1. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ АСИНХРОННОГО

ДВИГАТЕЛЯ С ФАЗНЫМ РОТОРОМ

Двигатели с фазным ротором имеют на роторе трёхфазную об-

мотку, соединённую по схеме «звезда». Катушки катушечных групп

обмоток каждой фазы ротора соединены последовательно. Поэтому

ЭДС обмоток определяются суммой ЭДС всех проводников, принад-

лежащих параллельной ветви, входящих в рассматриваемую фазу.

Поскольку проводники обмотки распределены в пространстве, вели-

чина плотности тока в любой точке исследуемой области является

функцией векторных потенциалов в ряде других точек исследуемой

области. В асинхронной машине с короткозамкнутым ротором плот-

ность тока ротора в любой точке исследуемой области определяется

величиной векторного потенциала лишь в этой точке. В этом заклю-

чается принципиальное отличие машин с фазным ротором от корот-

козамкнутых.

В основу расчёта электромагнитных процессов АДФ положена

полевая модель асинхронной машины с учётом следующих упро-

щающих допущений:

1. Задача решается в плоскопараллельном приближении. Плот-

ности тока, напряжённость электрического поля и векторный потен-

циал имеют по одной аксиальной составляющей. Магнитная индук-

ция имеет радиальную и тангенциальную составляющие.

2. Машина лишена пазов, а их влияние учтено коэффициентом

Картера.

3. Токи обмоток статора и ротора вынесены в зазор и равномер-

но распределены по его высоте.

4. Ротор двигателя симметричен, обмотки фаз ротора имеют

одинаковые параметры.

5. Не учитывается насыщение элементов магнитной цепи. След-

ствием этого допущения является линейность решаемой задачи, для

которой справедлив принцип суперпозиции.

При указанных условиях уравнение магнитного поля АДФ запи-

сывается в виде

1_д_

RdR

р'ЭЯ

(9Л)

Плотность тока ротора, так же как и статора, для каждого интерва-

ла разбиения пространственной координаты выражается через суммар-

ную величину тока, принадлежащую данному интервалу:

I.W.

AtpAR

Величины фазных токов статора и ротора зависят от ЭДС, наво-

димых в обмотках магнитным полем, и связаны с ними уравнениями

Кирхгофа:

= -E

+ LA^r + i

RA\ (9.3)

-E

; (9.4)

-Ec

Lc~

icRc; (9.5)

= -E

^ + i

; (9.6)

0 = -E

+ L

^ + i

- (9.7)

Q =

-E, + L

. (9.8)

гнМИМ

N Л

При соединении фазных обмоток статора и ротора по схеме

«звезда» выполняются соотношения

ЭДС фазных обмоток при известной схеме обмоток ротора рас-

считывается как сумма ЭДС катушечных групп, принадлежащих рас-

сматриваемой фазе:

ёф = 2Жг. (

9л

°)

ЭДС катушечной группы определяется суммой ЭДС катушек,

принадлежащих катушечной группе:

£кх = 1>к. C9.ll)

ЭДС катушки равна сумме ЭДС витков этой катушки:

£к = |>

- (9.12)

В свою очередь, ЭДС витка определяется по значениям напря-

жённости электрического поля точек, координаты которых совпада-

ют с координатами расположения проводников витка:

= jEdl, (9.13)

где Е - напряжённость электрического поля; L - контур интегриро-

вания, определяемый геометрией витка.

При условии решения плоскопараллельной задачи ЭДС лобовых

частей витка не учитываются. Поэтому ЭДС витка определяется раз-

ницей ЭДС его активных сторон:

Ев = (Ей ~ £к)/п

(

-14)

где Ек и Е

- напряжённость электрического поля точек, координа-

ты которых совпадают с координатами сторон витка; /

пр

- длина

проводника в пределах активной части магнитопровода.

мши *щщшш

При вращении ротора его обмотка перемещается относительно

обмоток статора и магнитного поля двигателя. ЭДС обмотки ротора

в этом случае зависит от её пространственного положения. Такая

ситуация приводит к усложнению расчётов токов и ЭДС двигателя.

Поэтому при решении системы дифференциальных уравнений, опи-

сывающих электромагнитные процессы асинхронных машин, вра-

щающийся ротор заменяют неподвижным относительно статора [8].

Для сохранения адекватности получаемой при этом машины воз-

можны два варианта такого преобразования. По первому варианту

в цепь ротора включают дополнительное сопротивление такой вели-

чины, чтобы ток неподвижного ротора был бы равен току вращаю-

щегося. Этот способ преобразования широко используется при анализе

явлений асинхронной машины с использованием электрических цепей -

схем замещения. Второй вариант заключается в введении в цепь ротора

дополнительной ЭДС- ЭДС вращения. Её величина рассчитывается

из условия сохранения прежней величины тока ротора. Переход от ре-

альной асинхронной машины к машине с неподвижным ротором

осуществляется путём использования новой системы координат при

введении новых переменных.

Если для построения математической модели асинхронной ма-

шины применяются полевые методы, то преобразования системы

уравнений не требуется. Введение в цепь ротора ЭДС вращения сле-

дует из уравнения напряжённости электрического поля движущегося

проводника:

аА_ ЭА

dt Эф

£пр = "—-ю—• (9.15)

Первый член этого выражения пропорционален трансформатор-

ной ЭДС, а второй, зависящий от частоты вращения, - ЭДС враще-

ния. Система координат ротора при этом оказывается неподвижной

относительно статора, а оси обмоток ротора и статора занимают оди-

наковое пространственное положение. Уравнения математической

модели асинхронной машины записываются в неподвижной системе

координат. Они включают в себя уравнение магнитного поля

Hill «НИИ

R{ \I'DR)R

\I' Эф

1 1 дА

у •

—-7VT

M-of(U,A)

(9.16)

и систему уравнений Кирхгофа (9.3)-(9.8).

Для упрощения решения задачи двумерное уравнение (9.16)

приводится к одномерному так же, как для двигателя с короткозамк-

нутым ротором [см. выражения (8.6), (8.7)]:

Это уравнение с учётом граничных условий периодического типа

решается методом циклической прогонки.

Как указывалось выше, плотность тока ротора на каждом про-

странственном интервале определяется величиной векторного по-

тенциала в нескольких точках исследуемой области. Поэтому матри-

ца системы алгебраических уравнений, аппроксимирующей диффе-

ренциальное, имеет значительное заполнение, и её решение требует

больших затрат машинного времени.

Машинное время может быть значительно уменьшено, а реше-

ние упрощено, если для этого использовать метод суперпозиции.

Согласно этому принципу, ЭДС обмоток статора и ротора мож-

но рассматривать как сумму отдельных составляющих, каждая из

которых обусловлена протеканием тока в одной обмотке двигателя:

где EAI - ЭДС фазы А при протекании тока по обмотке этой фазы

и при нулевых значениях токов всех других фаз статора и ротора.

Аналогично ЁАГ - ЭДС фазы А при протекании тока по обмотке

фазы В статора и т.д.

Точно так же могут быть записаны ЭДС других фаз статора

и ротора:

(9.17)

ЁА ~ Ё

\ + ЁА2 + ЁАЗ

ЁА4 + ЁА5 + Ё

В»

(9.18)

Ёа ~ Ёв\

+ Ёв2 +

Ёвз

Ёв4 +

Ёвз

Ёвб

(9.19)

Ёс =

Ёсл

+ Ёсг +

Ёсъ

+ Ёс* + Ёс$ + Ёсв

(9-20)

Ёа = Ё

аХ

+ Ё

а2

ЁаЪ

+ £„4 +

Ёа5

+ £„6

(9-21)

= Ёы + Ёьг +

Ёьг

+ Ям + Ёы + Ём ; (9-22)

Ёс =

Ёсх

+ Ёсг

Ёс4 + Ёс5 +

Ёсв

•

(9-23)

Для линейной задачи величины векторного потенциала и фазной

ЭДС пропорциональны плотности тока. Поэтому составляющие фазных

ЭДС могут быть выражены через величины соответствующих токов:

+ + + + (9.24)

—

+ I

+ L

; (9.25)

c =

+ I

Z„ + 7„Z

+ /

, + L

Z^ ; (9.26)

IЛ ^41

+ h

^42 ^C ^43 ^a ^44

+ ^45 ' (9.27)

(9.28)

= 1

^+i

z^ + /

Z« + /

Z^ + i

Zv + i

z„ . (9.29)

Подставляя полученные выражения в уравнения Кирхгофа ста-

торных и роторных цепей и преобразуя их, будем иметь:

= I

—Z

j - ~ /

Zj3 ~ 4^4 ~ "" ' (9.30)

jr)^ _ —/

, + i

— Z

)

—

; (9.31)

г>с ~ is^in

'c (z

— Z

j ~ /

—

; (9.32)

+ 'A+/ A + 4 (Z44 - ++'A; (9.33)

и т

= i^+i^+i^+i^+i, (z„ -z>)- 'А; (9.34)

0 = + + + + (9.35)

При соединении обмоток двигателя в «звезду» фазные напряже-

ния необходимо выразить через линейные, используя соотношения

между ними (8.56) и уравнения токов (9.9). Из уравнений токов сле-

дует, что один ток статора и ротора может быть выражен через два

других. Подставляя эти токи в уравнения (9.24)-(9.29), получают

систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными, которая

решается известными методами.

Таким образом, задачу решают в следующей последовательно-

сти:

1. Задают ток фазы

= 1 А при нулевых токах других фаз.

2. Решают уравнение (9.17) при заданных значениях токов и по-

лучают величины векторного потенциала во всех точках исследуе-

мой области.

3. Рассчитывают величины фазных ЭДС всех фаз двигателя и ко-

эффициенты Z

, Z

,, Z

,Z„,Z

как отношения соответствующих

ЭДС к току фазы А.

4. Поочерёдно задавая токи всех фаз равными 1 А при нулевых

токах других фаз, решая уравнение магнитного поля, рассчитывая

величины фазных ЭДС, определяют коэффициенты системы Z

(9.24)-(9.29).

5. Решают систему уравнений (9.30)-(9.34) и определяют фаз-

ные токи статора и ротора.

6. Решают уравнение магнитного поля (9.17) при найденных

величинах фазных токов. Полученные значения векторного потен-

циала дают возможность определения магнитной индукции в зазо-

ре двигателя, значений электромагнитных усилий, действующих

на проводники ротора, вращающего момента и других его пара-

метров.

9.2. АСИНХРОННАЯ МАШИНА С ЗАТОРМОЖЕННЫМ РОТОРОМ

В раде случаев асинхронная машина с фазным ротором может

быть использована в качестве специальных устройств. Для этого ротор

машины затормаживается при помощи червячной передачи, позволяю-

щей осуществлять его поворот на произвольный угол. Обмотка ротора

при этом может быть включена по различным схемам. К таким устрой-

ствам следует отнести фазорегулятор и индукционный регулятор.

9.2.1. Фазорегулятор

Фазорегулятор- это устройство, позволяющее изменять фазу

выходного напряжения при неизменной его величине. Обмотка ста-

тора асинхронной машины включается в сеть, а с обмотки ротора

снимается выходное напряжение (рис. 9.1).

При повороте ротора на произвольный угол изменяется про-

странственное положение осей его обмотки относительно осей об-

мотки статора. В результате ЭДС обмотки ротора оказывается

сдвинутой по фазе относительно напряжения сети. Фазовый сдвиг

выходного напряжения при нагрузке отличается на небольшую ве-

личину от угла поворота ротора вследствие падения напряжения в

обмотках статора и ротора. В отличие от трансформатора фазорегу-

лятор позволяет получать при повороте ротора произвольную груп-

пу соединения обмоток.

Программа математической модели, реализующей режим работы

фазорегулятора над нагрузкой:

n=144; del=0.90e-3; r0=92.25e-3; qq=254.0; hx=2.*pi/n; ws=4.5; wr=2.; pp=2.;

ls=0.18; rs=0.362; xs=0.6486; rr=0.686; xr=0.805; mu0=4.*pi*l.e-7; nf=9;

om0=pi*100.; me=G.+ l.i; uab=380.; ucb=380.*(0.5+0.866i); fi0=0; nn=l;

dl=me*omO*ls*ws; d2=me*om0*ls*wr; ds=muO*ws*rO*hx/del;

dr=muO*wr*rQ*hx/del;

zsa=rs+me*xs; zsb=zsa; zsc=zsa; zra=rr+me*xr; zrb=zra; zrc=zra; mm=l;

if mm==l

rn=l.e6; xn=l.e6; zna=rn+me*xn; znb=zna; znc=zna;

end

if mm==2

rn=10.; xn=10.; zna=rn+me*xn; znb=zna; znc=zna;

end

while nf<45

m=l;

ias=L; ibs=0.; ics=0.; iar=0.; ibr=0.; icr=0.;

while m<8

fl(l:n)=0.; f2(l:n)=0.; f3(l:n)=0.; f(l:n)=0.0; fl(l:12)=ias; fl(13:24)=-ics;

fl(25:36)=ibs;

for j= 1:36

fl(j+36)=-fl(j); fl(j+72)=fl(j); flG+l08)=-fl(i);

end

f2(l:12)=iar; f2(13:24)=-icr, f2(25:36)=ibr;

f3(l:4)=iar; f3(5:16)=-icr, f3(17:28)=ibr, 0(29:36)=-iar;

for j=1:36

f2(j+36)=-f2(j); f2(j+72)=f2(j); f2(j+108)=-f2(j); f3G+36)=-f3(j); f3(j+72)=f3(j):

f3(j+108)=-f3(j);

end

for j=l:n

jl=nf+j; if jl>njl=jl-n; end f2(jl)=f2(j); £3(jl)=f3(j);

end

a(l:n)=l.; b(l:n)=l.; c(l:n)=2.+qq*rO

2*hx

:n)=ds*fl

:n)+dr*(f2(

:n)+f3(

:n));

a(n+l)=a(l); b(n+l)=b(l); c(n+l)=c(l); f(n+l)=f(l); alf(2)=0.; bet(2)=0.;

gam(2)=l.;

for j=2:n+l

rl=c(])-alf(])*a(j); alfG+l)=b(j)/rl; r2=f(j)+a(j)*bet(j); bet(j+l)=r2/rl;

gam(j+l)=gam(j)*a(j)/rl;

end

p(n)=bet(n+1); q(n)=alf(n+1 )+gam(n+1);

for j=n-l:-l:2

p(j)=alf(j+l)*p(j+l)+bet(i+l);qa)=alf(j+l)*qCj+l)+gamO+l);

end

r3=bet(n+2)+a!f(n+2)*p(2); r4=l.-alf(n+2)*q(2)-gam(n+2); y(l)=r3/r4;

y(2:n)=p(2:n)+y(l)*q(2:n); eas=0.; ebs=0.; ecs=0.;

for j=l:12

eas=eas-dl*(y(j)-y(j+36)+y(j+72)-y(j+108));

end

for j=25:36

ebs=ebs-dl*(y(j)-y(j+36)+y(j+72)-y(j+108));

end

for j= 13:24

ecs=ecs+dl*(y(j)-y(j+36)+y(j+72)-y(j+108));

end

e(l)=-d2*y(l); e(n)=-d2*y(n); e(2:n-l)=-d2*y(2:n-l);

for j=l:n

jl=j+nf; if jl>n jl=jl-n; end el(jl)=e(j);

end

ear=0.; ebr=0.; ecr=0.;

for j= 1:12

ear=ear+el(j)-el(j+36)+el(]+72)-el(j+108);

end

for j=25:36

ebr=ebr+el(j)-el(j+36)+el(j+72)-el(j+108);

end

for j= 13:24

ecr=ecr-e

(j)+e 1 (j+36)-e 1 (j+72)+e 1 (j+108);

end

for j=1:4

ear=ear+e 1 (j)-e 10+36)+e

(j+72)-el (j+108);

end

for j=29:36

ear=ear-el (j)+e

(j+36)-e

(j+72)+e 1 (j+108);

end

for j=17:28