Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

8.8. ДВУМЕРНАЯ МОДЕЛЬ РАБОЧЕГО РЕЖИМА

КОРОТКОЗАМКНУТОГО АСИНХРОННОГО двигателя

Одномерная модель позволяет рассчитывать электромагнитные

процессы асинхронных короткозамкнутых машин наиболее просты-

ми методами. При этом, однако, приходится вносить существенные

упрощения, с тем чтобы упростить математическое описание элек-

тромагнитных процессов. Двумерные модели позволяют отказаться

от ряда упрощений, что позволяет получать более точное решение

задач по расчёту характеристик и параметров асинхронных машин,

в частности, более строго учитывать характер распределения магнитно-

го поля в пазах статора, ротора и в зазоре машины, которое определяет

пазовое и дифференциальное рассеяние. Считается, что в машине суще-

ствует единое магнитное поле, величина и характер распределения ко-

торого зависят от величины и пространственного распределения источ-

ников магнитного поля. Кроме того, решение двумерной задачи позво-

ляет выявить реальный характер распределения магнитного поля

в магнитопроводе статора, ротора и зубцах асинхронной машины.

Магнитное поле асинхронной машины определяется в результате

решения краевой задачи, описываемой двумерным уравнением в частных

производных и нулевыми краевыми условиями в радиальном направле-

нии и периодическими условиями по тангенциальной координате.

Система уравнений Максвелла для единственной составляющей

векторного потенциала при плоскопараллельном рассмотрении задачи

может быть приведена к следующему уравнению:

1 Э (

1 ЭА) 1 Э ( 1 Э^ , v ,

onm

где ц'- относительная магнитная проницаемость материала магни-

топровода.

Плотность тока ротора, так же как и для одномерной задачи, за-

писывается в виде

{ДА ЭА^

/„ = -Y -=- + <о— ,

однако в отличие от неё электропроводность у является функцией двух

координат.

Подставляя выражение для плотности тока ротора в уравнение

(8.99), получим

RdR

( . зЛ

1 дА

1 Э

+ •

1 дА) дА дА

-PoY®^; РоУ^Г = -Мст- (8-100)

р' dR J R

Эср^ p' Эф

Эф dt

Для решения этого уравнения с периодическими краевыми ус-

ловиями необходимо определить источники магнитного поля. Если

задача решается конечно-разностными методами, определим правую

часть уравнения для каждого двумерного интервала разбиения:

Ja =

-L&J-

(8.Ю1)

ARR

A<p

где AR и Аф- интервалы разбиения пространственных координат;

hj, W,j и Rjj - ток, число проводников и радиус, соответствующие

двумерному интервалу разбиения пространственных координат.

Плотность тока статора отлична от нуля лишь на участках располо-

жения проводников обмотки статора.

Для определения плотности тока статора необходимо знать про-

странственное распределение токов статора, определяемое схемой об-

мотки и их мгновенные значения, которые зависят от питающего на-

пряжения, противоЭДС и сопротивления обмоток. Соотношения между

этими величинами описываются уравнениями Кирхгофа (8.81)-(8.83).

Потокосцепления фаз в уравнениях Кирхгофа определяются сум-

марными величинами как основных потоков, так и потоков пазового

рассеяния.

В тех случаях, когда обмотки статора соединены по схеме

«звезда», величины фазных напряжений, входящих в эту систему, не

определены. Здесь, как и в одномерной задаче, фазные напряжения

необходимо выразить через линейные. Используя уравнения Кирх-

гофа и соотношения (8.84), получим следующую систему:

A+

-^ + ^S.-, (8.102)

dt dt

(8.103)

Потокосцепления фаз определяются суммированием потоков

всех витков, принадлежащих рассматриваемой фазе (8.85). Однако,

в отличие от одномерной задачи, суммирование потоков необходимо

производить по двум координатам: по R и по ф в пределах площади

тех пазов статора, где расположены проводники этой фазы:

где

W<p

- количество проводников обмотки статора, расположен-

ных по высоте и ширине паза.

В свою очередь магнитный поток витка, как и в одномерной задаче

рассчитывается как разность векторных потенциалов точек, соответст-

вующих пространственным координатам сторон витка. Исходя из этого,

фазные токи асинхронной машины могут быть определены при реше-

нии системы уравнений (8.102)-(8.104).

Величины векторных потенциалов, необходимые для определе-

ния потоков фаз определяются при решении уравнения магнитного

поля (8.100). Полученная при этом система уравнений оказывается

определённой и позволяет рассчитать величины фазных токов, пото-

косцеплений фаз, векторного потенциала во всех точках исследуемой

области при заданной системе линейных напряжений, известной

геометрии электрической машины, схеме и параметрах обмотки ста-

тора. Определяя плотность токов статора по (8.101), подставляя по-

лученные при этом выражения в уравнение магнитного поля (8.100),

аппроксимируя временные и пространственные производные конеч-

но-разностными выражениями, получим систему алгебраических

уравнений, которая решается известными методами.

Проанализируем характер полученной системы алгебраических

уравнений на отдельных участках рассматриваемой области.

В воздушном зазоре машины и за пределами магнитопровода

токи отсутствуют, а среда является непроводящей. Уравнение маг-

нитного поля на этих участках записывается в виде

(8.104)

1ШШИВ»>««

LIL

RdR

дА

J_d_

Эф

дА

Эф

= 0.

(8.105)

Каждая строка матрицы системы на этих участках содержит не

более пяти ненулевых коэффициентов.

Для участков магнитопровода, если считать его непроводящим,

магнитное поле описывается уравнением с переменными коэффици-

ентами

1JL

RdR

]_дА

р 'dR

i_d_

Эф

=0. (8.106)

При аппроксимации дифференциальных операторов конечно-

разностными выражениями также получаются алгебраические урав-

нения, содержащие не более пяти ненулевых коэффициентов.

Уравнение магнитного поля участков, соответствующие про-

водникам ротора, имеют следующий вид:

1 э 1 Э

А +

RdR dR) R

ЭфI Эф

дА

-р

ую

дА

Эф

дА

ЦоУ

э7

(8.107)

Аппроксимируя временные и пространственные производные ко-

нечно-разностными выражениями, также приходим к системе алгеб-

раических уравнений, каждое из которых при (ЭД- 1)

•

(М - 1) неиз-

вестных содержит лишь пять коэффициентов, отличных от нуля.

Наиболее сложную структуру имеют уравнения, соответствую-

щие пазам статора с расположенными на них проводниками с током:

1JL

RdR

дА

Эй

_1__Э_ГЭА

Эф Эф

(8.108)

Поскольку фазная обмотка состоит из отдельных последова-

тельно соединённых катушек, то величина ЭДС, наводимой в фазной

обмотке, будет определяться суммой ЭДС отдельных катушек, рас-

положенных в различных пазах статора. Следовательно, величина

ЭДС обмотки и фазного тока определяется суммой значений вектор-

ного потенциала на пространственных интервалах нескольких пазов

статора. Поэтому число ненулевых коэффициентов при неизвестных

в алгебраических уравнениях, получаемых при аппроксимации диф-

ференциальных операторов, будет определяться схемой обмотки

и степенью дискретизации пространственных координат.

Аппроксимируя дифференциальные операторы уравнения (8.100)

конечно-разностными выражениями, получим систему алгебраических

уравнений с

(JVi —

•

- 1) неизвестными. Коэффициенты этой сис-

темы определяются величинами магнитной проницаемости и электро-

проводности отдельных участков. Магнитная проницаемость jiy равна

единице в воздухе и относительной проницаемости ферромагнитного

материала в магнитопроводе статора и ротора. Электропроводность у

1>;

равна нулю в непроводящих средах и электропроводности материала

проводников ротора. Число проводников

равно нулю всюду за ис-

ключением пазов статора, заполненных проводниками с током. Правая

часть системы алгебраических уравнений определяется величинами ли-

нейного напряжения и параметрами обмотки статора.

Полученная система алгебраических уравнений имеет высокий

порядок, зависящий от степени дискретизации пространственных ко-

ординат, является разреженной с малым числом ненулевых коэффици-

ентов и в общем случае не симметричной. Для решения подобных

систем рационально использовать методы, исключающие действия

с нулевыми коэффициентами и позволяющие сократить при этом вре-

мя решения краевой задачи.

Решение стационарных двумерных задач при синусоидальных на-

пряжениях сети производится, обычно, с использованием комплексных

величин и приведённой методики. Поскольку при этом исключается

многократное повторение решения на временных слоях, общее время

решения стационарных задач сокращается существенным образом.

После определения в исследуемой области значений векторного

потенциала по известным выражениям рассчитываются магнитные

индукции в магни гопроводах статора и ротора, в воздушном зазоре,

плотность тока в проводниках ротора и величины фазных токов.

Имея эти данные, можно рассчитать величину электромагнитного

момента, потери в обмотках статора и ротора, коэффициенты мощ-

ности и полезного действия и другие необходимые характеристики

и параметры асинхронного двигателя.

Если считать, что плотность сторонних токов и векторный по-

тенциал магнитного поля образуют бегущую волну, то уравнение

магнитного поля существенно упрощается и описывается уравнени-

ем эллиптического типа:

1 э (

ЭА) 1 э (1 ai) . •

RoR\ \idR) R Эф^ц д(р)

где ц'- относительная магнитная проницаемость среды.

При сложной конфигурации исследуемой области для решения

краевой задачи рационально использовать метод конечных элемен-

тов, позволяющий описывать границы сложной структуры с высокой

точностью (см. часть I, гл. 6). Решение полевой задачи, описываемое

указанным уравнением, с нулевыми краевыми условиями первого

рода методом конечных элементов сводится к минимизации энерге-

тического функционала

, (8.110)

где S - исследуемая область на плоскости х, у.

В настоящее время разработаны эффективные программы для

решения таких уравнений методом конечных элементов: пакет при-

кладных программ FEMM (Finite Element Method Magnetics) [43], па-

кет прикладных программ, интегрированный в систему MATLAB

(Femlab), пакет расширения последних версий MATLAB Partial Dif-

ferentia Equations Toolbox, предназначенный для решения уравнений

в частных производных [29], и ряд других программ.

Все эти программы имеют сходные редакторы модели, позво-

ляющие описывать геометрию исследуемой области, задавать пара-

метры элементов модели, плотности пространственного распределе-

ния источников поля (рис. 8.31). Разбиение исследуемой области на

совокупность конечных элементов производится автоматически или

заданием густоты сетки. Густота сетки выбирается из условия получе-

ния необходимой точности решения: наиболее сильной в зонах с боль-

шими неоднородностями магнитного поля и более слабой в зонах с ма-

лыми градиентами поля. На внешних и внутренних границах исследуе-

№

2Ц

ЭА

дх

Y (дА

.ЭУ.

мой области задаются граничные условия, соответствующие типу ре-

шаемой задачи. Решение уравнения может производиться в линейном

и нелинейном вариантах при определённой аппроксимации зависимо-

сти коэффициентов уравнения от искомой величины.

fjh

fcfe

Otfvns

Hwh Ы» PWt МАЬ^Чи Wf-dw 1<ф

маШайтт^Шмммай

и 'cm

aim > {

Рис. 8.31. Редактор модели Femlab

Рассмотрим, для примера, последовательность решения задачи

Дирихле для уравнения Пуассона в квадратной области с использо-

ванием программы Femlab.

1. Используя редактор файла, задаём геометрию исследуемой

области и производим её триангуляцию с необходимой степенью

густоты сетки (рис. 8.32, а).

2. Задаём значения коэффициентов уравнения, граничные усло-

вия и источники поля.

3. Производим решение краевой задачи и вывод на печать ре-

зультатов решения (рис. 8.32, б).

Результаты решения могут выдаваться в различных формах: в виде

трёхмерных и двумерных рисунков, контурных графиков, полей гради-

ентов выходной величины.

ррциррщ

jy-gtitij

шдуумамцшуц^^ ilillhilHIilHtMtttniliiiiiillii'tti'lli^^^

'Н'.ишящмиинирярмциифг

В работе [44] исследованы магнитные поля и рабочие характе-

ристики короткозамкнутого асинхронного двигателя 4A132S4Y3 при

повреждении обмоток статора и магнитопровода, а также без указан-

ных повреждений. Для моделирования магнитного поля двигателя

использовался пакет программ FEMM, а токи и рабочие характери-

стики рассчитываются по изложенной выше методике. При решении

плоскопараллельная задачи область существования магнитного поля

разбивалась на 29208 элементов и содержала 14962 узла. Для расчёта

рабочих характеристик использовался нелинейный вариант решения

задачи, позволяющий учитывать насыщение магнитопровода.

На рис. 8.33, а показан характер распределения магнитного по-

ля двигателя при протекании тока по одной фазе двигателя, а на

рис. 8.33, б - характер распределения плотности тока в проводни-

ках статора и ротора при тех же условиях, что и при решении ли-

нейной задачи.

Насыщение магнитопровода двигателя вызывает изменение ве-

личины индуктивных сопротивлений фаз двигателя. Если система

питающих напряжений симметрична и неизменна по величине, то

изменяются фазные токи двигателя, что необходимо учитывать при

расчёте рабочих характеристик.

Для учёта этого явления в работе использовался метод Ньютона,

обладающий быстрой квадратичной сходимостью. В качестве перво-

го приближения принято решение линейной задачи, итерационный

процесс организован с использованием половинного приращения

приближений (частный случай метода Вегстейна) [31].

Рис. 8.33. Распределение магнитного поля асинхронного

двигателя 4A132S4Y3

Проанализируем преимущества исследования асинхронных ма-

шин с использованием двумерной модели перед одномерными.

Двумерная модель:

- позволяет при существенной дискретизации пространствен-

ных координат с достаточной точностью учитывать влияние пазово-

го и дифференциального рассеяния на характеристики двигателя;

- учитывает неоднородность распределения магнитного поля

в магнитопроводах статора и ротора;

- даёт возможность определить плотности тока в пазах статора

и проводниках ротора с учётом эффекта вытеснения.

Недостатком двумерных моделей является значительное время

решения задач, многократно превышающее время решения одномер-

ных задач.

В одномерной модели пазовое и дифференциальное рассеяние

учитывается приближённо за счёт использования ранее рассчитан-

ных коэффициентов пазового и дифференциального рассеяния.

Лобовое рассеяние учитывается приближённо за счёт введения пред-

варительно рассчитанных коэффициентов лобового рассеяния, как

в одномерных, так и двумерных моделях.

Распределение магнитного роля в ярме статора и ротора на

рис. 8.33 получено при решении линейной задачи при постоянной

величине магнитной проницаемости материала ярма. В реальных ус-

ловиях происходит насыщение ферромагнитного материала. Поэто-

му на участках магнитопровода с повышенным значением магнит-

ной индукции величина магнитной проницаемости уменьшается,

что влечёт за собой выравнивание величины магнитной индукции.

Поэтому реальный характер распределения магнитной индукции

на участках магнитопровода оказывается ближе к равномерному,

что и принимается в одномерной модели.

Высота пазов ротора для рассматриваемого двигателя составля-

ет 24,7 см. Поэтому на частоте 50 Гц эффект вытеснения практически

не ощущается и плотность тока в проводниках ротора рассматривае-

мого двигателя практически одинакова по всему сечению проводни-

ка. Использование одномерной модели, не учитывающей вытеснение

токов в проводниках ротора, в этом случае оказывается оправданным

и не приводит к значительным погрешностям.

Расчёт рабочих характеристик показал, что расхождение между

результатами моделирования и паспортными данными не превышает

4-15 %. Значительную величину нижнего предела погрешности мож-

но объяснить весьма малой точностью способа аппроксимации кри-

вой намагничивания электротехнической стали, принятого в модели.

Эта зависимость в пакете Partial Differentia Equations Toolbox реали-

зована в следующем виде:

Л- . + „ (8.111)

+ 0,65

У (А)

где р ий- максимальное и начальное значения магнитнои про-

"max ~min

ницаемости данного сорта электротехнической стали.

Следует ожидать, что с течением времени двумерные математи-

ческие модели магнитного поля электрических машин будут совер-

шенствоваться, и точность расчёта их рабочих характеристик будет

повышаться.