Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Выполняя интегрирование по поверхности треугольников, ок-

ружающих узлы № 4-12, принимая во внимание заданные граничные

условия, в окончательном виде получим систему алгебраических

уравнений, записываемую в матричном виде:

5 -1

0 -2

0 0

100

-0,5 9 -0,5 0

-4

200

-1 5 0

-2 0

0 0

из

100

-2 0 0 5

-1 0 -2

0 0

0 -4 0

-0,5 9 -0,5 0

-4

= 0

0 -2

0 -1 5 0

0 -2

Мб

0 0 0

-2

0 0 5 -1 0

200

0 0 0 0 -4 0 -0,5

-0,5

400

0 0

-2

0 -1 5

200

Полученная система алгебраических уравнений эквивалентна

системе (6.106), если учесть, что значения искомой функции в узлах

№ 1, 2, 3, 13, 14, 15 (см. рис. 6.4) известны (краевые условия). Следо-

вательно, система уравнений может быть упрощена: число неизвест-

ных и уравнений может быть уменьшено до 9, а заданные краевые

условия (Дирихле) учтены в правой части полученных уравнений.

Решение алгебраической системы уравнений (6.133):

= 62,5 ; м

= 62,5; и

= 62,5 ; и

= 75; и

= 75 ;

=75 ; м

=87,5; щ =87,5 ; м

=87,5,

с учётом заданных условий Дирихле на нижней и верхней границе

области соответствует решению, приведенному в работе [35].

Программа решения системы алгебраических уравнений:

п=9;

a=zeros(n);

for i=l:n

a(i,i)=5;

end

а(2,2)=9; а(5,5)=9; а(8,8)=9; а(1,2)=-1; а(1,4)=-2; а(2,1)=-0.5;

а(2,3)=-0.5; а(2,5)=-4; а(3,2)=-1; а(3,6)=-2; а(4Д)=-2;

а(4,5)=-1; а(4,7)=-2; а(5,2)=-4; а(5,4)=-0.5; а(5,6)=-0.5;

а(5,8)=-4; а(6,3)=-2; а(6,5)=-1.; а(6,9)=-2; а(7,4)=-2;

а(7,8)=-1; а(8,5)=-4; а(8,7)=-0.5; а(8,9)=-0.5; а(9,6)=-2; а(9,8)=-1;

disp(a);

b=[100 200 100 0 0 0 200 400 200];

y=b.'; x=lsqr(a,y); disp(x);

lsqr converged

iteration 7 to

solution with relative residual 1.5e-013

62.5000

75.0000

87.5000

Каждое из полученных уравнений соответствует конечно-раз-

ностной аппроксимации дифференциальных операторов уравнения

(6.105). Например, уравнение узла№ 5 системы (6.132)

-4и

- 0,5И

+ 9щ - 0,5и

- 4и

= 0. (6.134)

Уравнение (6.105) для этого узла в конечно-разностном виде за-

писывается как

0,5(м

-и

)-0,5(и

-и

)

-2«

+И

0 л

hi h

Здесь принято во внимание, что на боковых сторонах исследуемой

области (см. рис. 6.3) заданы условия Неймана. Поэтому дифференци-

альный оператор по координате х задан как среднее значение узлов

№ 4 и 5 - на одной стороне, № 5 и 6 - на другой стороне области.

Подставляя в это уравнение величины интервалов разбиения про-

странственных координат h

= l и h

= 0,5, и выполняя преобразова-

ния, получим уравнение (6.134).

Часть II

НЕЯВНОПОЛЮСНЫЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ МАШИНЫ

7. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

АСИНХРОННЫХ МАШИН В РЕЖИМЕ

ИДЕАЛЬНОГО ХОЛОСТОГО ХОДА

7.1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Для анализа электромагнитных процессов электрических машин

могут быть использованы одно-, дву- и трёхмерные модели, каждая

из которых обладает своими достоинствами и недостатками.

Одномерные модели позволяют рассчитывать стационарные

и нестационарные магнитные поля в воздушном зазоре электрической

машины с минимумом математических операций и дают широкие воз-

можности для анализа различных схемных решений обмоток элек-

трических машин, режимов их работы, расчёта параметров и рабочих

характеристик. Одномерные модели позволяют с достаточной точно-

стью производить расчёты переходных процессов и анализировать

полученные результаты. На основе одномерных моделей построена

классическая теория электрических машин, широко используемая

как в прошлые годы, так и в настоящее время. Важным достоинством

одномерных моделей является близость полученных результатов вы-

водам классической теории электрических машин и, вследствие это-

го, простота анализа полученных результатов.

Недостатком одномерных моделей является необходимость вве-

дения определённых упрощающих допущений, которые снижают

точность работы модели. Кроме того, они не дают возможности учёта

пространственного распределения магнитного поля машины, в резуль-

тате чего приходится вводить в математические модели дополни-

тельную информацию, получаемую другими методами. Так, напри-

мер, при использовании одномерных моделей не представляется воз-

можным определить магнитные поля пазового, лобового и дифферен-

циальных рассеяний, в результате чего эти величины должны быть вве-

дены в уравнения Кирхгофа для обмоток статора и ротора. Тем не менее

одномерные модели очень удобны для исследования электрических

машин, что и обусловило их широкое применение.

Двумерные модели также получили достаточно широкое рас-

пространение, так как, в отличие от одномерных, позволяют учесть

значительно больше факторов, влияющих на характер магнитного

поля электрической машины. Эти модели обеспечивают более высо-

кую точность расчётов, позволяют получить картину магнитного по-

ля, близкую к реальной, а также упростить математическое описание

электромагнитных процессов. Вместе с тем они требуют значитель-

ных временных затрат на свою реализацию, но позволяют учитывать

пазовое и дифференциальное рассеяние электрических машин, влия-

ние магнитных сопротивлений магнитопроводов, исследовать харак-

тер распределения магнитного поля в воздушном зазоре электриче-

ских машин для различных схем обмоток статоров и роторов. При

использовании этих моделей можно отказаться от большинства уп-

рощающих допущений, свойственных одномерным моделям, т.е.

учесть большинство факторов, влияющих на магнитные поля и рабо-

чие характеристики электрических машин.

Трёхмерные модели позволяют наиболее точно описать про-

странственное распределение магнитных полей электрических ма-

шин и характер протекания их электромагнитных процессов. Они

дают возможность анализа электромагнитных процессов электриче-

ских машин с учётом всех видов рассеяния. Более того, термин «рас-

сеяние» в этом случае теряет смысл, поскольку потоки рассеяния

представляют собой потоки магнитного поля в определённой части

рассматриваемого пространства. Подразделение магнитного поля на

основное и поле рассеяния в данном случае не упрощает анализа

и его можно игнорировать. Однако эти модели требуют для их реа-

лизации значительных временных затрат, многократно превышаю-

щих аналогичный показатель одно- и двумерных моделей. Слож-

ность реализации этих моделей обусловлена не только увеличением

числа компонент магнитного поля, но и невозможностью их разделе-

ния в дифференциальных уравнениях математической модели [33].

Это приводит к тому, что вместо решения трёх дифференциальных

уравнений для каждой компоненты, приходится решать систему трёх

уравнений с тремя компонентами магнитного поля, что связано со

значительными трудностями. В частных случаях, вводя определён-

ные допущения, удаётся разделить компоненты в уравнениях мате-

матической модели, сведя систему к трём уравнениям для каждой

компоненты, и упростить их решения, однако при этом точность по-

лучаемых результатов существенно снижается.

При построении математических моделей электрических машин

в большинстве случаев желательно принять во внимание их геомет-

рическую и электрическую симметрию. Это обстоятельство позволя-

ет снизить размерность массивов исследуемых величин, а в ряде слу-

чаев и размерность системы уравнений. Для реализации многомер-

ных математических моделей важное значение имеют методы

решения дифференциальных уравнений. При их выборе следует об-

ратить внимание на возможность упрощения решения вследствие

симметрии электрических машин.

Однако значительная часть рассматриваемых в работе электри-

ческих машин в той или иной мере обладает электромагнитной

асимметрией, которая характеризуется асимметричностью распреде-

ления магнитного поля в воздушном зазоре машины на протяжении

полюсного деления.

Причинами электромагнитной асимметрии могут являться: кон-

структивные особенности машин, асимметрия питающих напряже-

ний, специфика эксплуатационных режимов, позволяющих получить

необходимые характеристики электропривода.

Электрическая асимметрия определяется асимметрией парамет-

ров статорных и роторных цепей электрической машины и может

возникать вследствие:

- различия параметров обмоток машины (число проводников, их

сечение, электрические свойства проводниковых материалов и т.п.);

- включения в обмотки статора и ротора дополнительных эле-

ментов (резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности, полу-

проводниковых приборов) с различными параметрами;

-различия величин пространственных углов между осями

обмоток;

- различия величин полюсных делений;

- неоднородности структуры материала магнитопроводов стато-

ра и ротора и т.д.

Причинами магнитной асимметрии электрических машин

являются:

- неравномерность воздушного зазора между статором и ротором;

- различие сечений участков магнитопроводов машин;

- неоднородность структуры ферромагнитных материалов;

- различие магнитных свойств участков магнитопровода и т.д.

Различная величина воздушного зазора на участках полюсного де-

ления электрической машины может явиться следствием как конструк-

тивных особенностей, так и неточности изготовления магнитопровода и

самой машины (эллиптичность и эксцентриситет ротора).

Пространственная асимметрия ярма статора, так же как и анизо-

тропия магнитных свойств, чаще всего используется как средство соз-

дания пускового момента однофазных электрических машин, а неодно-

родность структуры материала является характерной особенностью

машин с разомкнутым магнитопроводом (линейных и дугостаторных).

Эксплуатационная асимметрия электрических машин связана

с режимами их работы, асимметрией питающих напряжений при

аварийных режимах энергетических систем, аварийных режимах

самих машин и питании их обмоток от преобразователей частоты

различных типов.

Многообразие форм и причин асимметрии электрических машин

делает это понятие неоднозначным. Действительно, при питании сим-

метричной по конструкции электрической машины системой несим-

метричных напряжений возникает несимметричный режим её работы.

С другой стороны, симметричный режим работы заведомо несиммет-

ричной машины можно получить, задавая систему питающих напря-

жений с определённым соотношением её параметров [4].

Помимо асимметрии электрических машин на её характеристи-

ки заметный отпечаток наносит гармонический состав магнитного

поля. Известно, что при существующих конструкциях обмоток элек-

тричееких машин характер распределения магнитного поля в воз-

душном зазоре отличен от гармонического. Магнитное поле в этом

случае можно рассматривать как совокупность бесконечно большого

числа пространственных гармоник [9]. Наличие спектра пространст-

венных гармоник магнитного поля приводит к тем же результатам,

что и асимметрия электрических машин. Поэтому при исследовании

электрических машин эти факторы можно рассматривать с единых

позиций, используя для их оценки одни и те же критерии.

Каким же критерием можно воспользоваться для оценки степе-

ни асимметрии электрической машины? Таким критерием является

форма огибающей магнитного поля в воздушном зазоре электриче-

ской машины [38]. Если режим работы машины и её конструкция

являются симметричными, то огибающая магнитной индукции в за-

зоре машины будет изображаться прямой, параллельной оси абсцисс.

Действительно, магнитное поле в зазоре электрической машины

для всех пространственных гармоник можно представить в виде сум-

мы двух компонент:

М sin

Ш +

N cos

cot.

(7.1)

Выполняя дифференцирование этого выражения по t, приравни-

вая полученное выражение нулю и исключая из него sin Ш и cos юг,

получим уравнение огибающей

. (7.2)

Если магнитное поле представляет бегущую волну, то оно может

быть описано следующим выражением:

sm(a)t - ах)

М sin

юг

cos юг, (7.3)

где М = В

cos ах, a N

-В

sin ах.

В этом случае уравнение огибающей запишется в виде

= const, её изображение представлено на рис. 7.1 (кривая 1).

На рис. 7.1 приведена также огибающая магнитного поля для токовой

нагрузки статора, представляющей комбинацию первой и третьей про-

странственных гармоник различной амплитуды (кривая 2).

|Щ11!ШИНИ I

Рис. 7.1. Огибающая магнитной индукции поля в зазоре

электрической машины

виде бегущей волны

(1 - первая гармоника; 2 - первая и третья гармоники)

10,

А/м

В ,Тл

0.5

43.5

-1.5.

100 150

200 250

300

350 N

Рис. 7.2. Огибающие токовой нагрузки статора (кривая I)

и магнитной индукции (кривая 2) электрической машины

ФШ**'-'

efltea

Реальная токовая нагрузка электрических машин представляет

собой сумму токов обмотки, сосредоточенных в пазах. Огибающая

токовой нагрузки в этом случае отличается от синусоиды и представ-

ляется в виде одиночных импульсов, распределённых на длине рас-

точки статора. Магнитная индукция в воздушном зазоре также отлич-

на от синусоиды и изображается в виде трапеции. Огибающие токовой

нагрузки и магнитной индукции изображены на рис. 7.2.

7.2. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АСИНХРОННОЙ МАШИНЫ

в ОДНОМЕРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

При исследовании электромагнитных процессов электрических

машин приходится вводить ряд упрощающих допущений, так как точно

описать эти процессы практически невозможно. Для решения подобных

задач стремятся значительно упростить математическое описание про-

цессов. Вместе с тем следует отразить их наиболее существенные сто-

роны, чтобы была обеспечена необходимая точность. Часто для иссле-

дования электромагнитных процессов используют упрощенные модели,

которые, по мере получения определённых результатов, постепенно

усложняют. В рассматриваемом случае нами принята подобная методи-

ка и для получения приближённых результатов на начальных этапах

будет использована одномерная модель.

Режим идеального холостого хода характеризуется тем, что обмот-

ка ротора разомкнута или не обтекается током. Магнитное поле маши-

ны в этом случае создаётся исключительно токами статора. Математи-

ческое описание магнитного поля производится в цилиндрической сис-

теме координат (Я,<р, Z).

Для упрощения математического описания принят ряд допуще-

ний, большинство из которых будет уточнено или снято при после-

дующем рассмотрении. К ним относятся следующие:

1. Не учитывается изменение магнитного поля вдоль аксиальной

оси, т.е. решается плоскопараллельная задача.

2. Магнитная проницаемость материала сердечника не зависит

от пространственной координаты ср.

3. Не учитывается насыщение материала магнитопровода, т.е. его

магнитная проницаемость считается постоянной величиной.

4. Сердечники магнитопроводов не имеют пазов, а их влияние

учитывается эквивалентным увеличением воздушного зазора.

5. Токи обмотки статора вследствие отсутствия пазов вынесены

в зазор машины и равномерно распределены по его высоте.

Для плоскопараллельного приближения векторный потенциал

магнитного поля, плотность тока и напряжённость магнитного поля

имеют по единственной составляющей

A=~e

\ J

\ E

. (7.4)

В этом случае магнитная индукция и напряжённость магнитного

поля имеют по две составляющие, направленные по радиальной и

тангенциальной координатным осям:

B=e

B^ Н=ё

+ё

(р

; (7.5)

Используя первое уравнение Максвелла

rot Я = 7, (7.6)

выражая напряжённость магнитного поля через магнитную индукцию

Н=~, (7.7)

вводя векторный потенциал,

В = rot А, (7.8)

выполняя математические преобразования и проектируя полученное

выражение на координатную ось г, получим уравнение магнитного

ноля

1 Э

f 1 1

R dR

в исследуемой области

•

1 э

1 ЭА

dz) R

Э<р

1 ЭА |

= (7-9)