Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Методы конечных элементов получили широкое распространение

вначале для решения полевых задач строительной механики, а в по-

следние годы и для решения задач электродинамики [35, 36].

Достоинством метода при решении многомерных краевых задач

является возможность более точного учёта граничных условий, особен-

но в том случае, если граница имеет вид сложной пространственной

кривой, а также возможность уменьшения порядка системы алгебраиче-

ских уравнений, получаемой при аппроксимации уравнений краевой

задачи. Недостатком метода является большой объём и сложность реа-

лизации подготовительных операций.

В основе метода, применительно к решению двумерных крае-

вых задач, лежит следующее положение.

Известно, что равновесная система в любой момент времени на-

ходится в таком состоянии, которое соответствует минимуму энер-

гии. Если энергетическое состояние системы описать энергетиче-

ским функционалом, то решение краевой задачи может быть сведено

к поиску минимума этого функционала.

Положим, что магнитное поле в исследуемой области описыва-

ется уравнением Максвелла rot Н = J

Тогда энергия магнитного поля в указанной области будет состо-

ять из двух компонент:

а) энергии самого магнитного поля, определяемой величиной

напряжённости магнитного поля,

б) энергии взаимодействия магнитного поля со сторонними

токами

где А - векторный потенциал магнитного поля.

В этом случае энергетический функционал, характеризующий

суммарную энергию магнитного поля,

(6.49)

(6.50)

Решение краевой задачи методами конечных элементов произ-

водится в следующей последовательности:

1. Исследуемая область разбивается на конечное число подобла-

стей, называемых конечными элементами. Форма конечного элемен-

та может быть выбрана произвольной, однако на практике наиболее

часто используются элементы треугольной формы. Операция раз-

биения исследуемой области на конечные элементы носит название

триангуляции.

2. Искомая функция на каждом элементе и, следовательно, во всей

области аппроксимируется пробной функцией специального вида с не-

определёнными коэффициентами, значения которых необходимо опре-

делить в ходе решения задачи.

3. Принятая аппроксимация подставляется в выражение энерге-

тического функционала.

4. Производится минимизация энергетического функционала

путём дифференцирования выражения функционала по неизвестным

коэффициентам пробной функции и приравнивания полученного вы-

ражения нулю. В результате для каждого конечного элемента полу-

чается система алгебраических уравнений относительно неизвестных

коэффициентов аппроксимации.

5. Путем решения системы алгебраических уравнений для всех

элементов исследуемой области рассчитываются коэффициенты ап-

проксимирующей функции и значения искомой функции для всех

конечных элементов исследуемой области.

Рассмотрим эти операции более подробно.

Положим, что векторный потенциал конечного элемента являет-

ся линейной функцией пространственных координат и описан сле-

дующей зависимостью:

А = а, + а

у, (6.52)

коэффициенты которой являются функциями координат вершин (уз-

лов) конечного элемента. Поскольку эта зависимость справедлива

для всех точек, принадлежащих данному элементу, она может быть

записана и для узлов этого элемента 1,т,п :

+ a2Xt +

a3y

;

Am =

<XL

+ А2ХТ +

(ХъУт

= а1 + а2Х„ + <ХзУ

(6.53)

(6.54)

(6.55)

Полученная система позволяет выразить неизвестные коэффи-

циенты через значения векторного потенциала в узлах. Для этого не-

обходимо решить полученную систему относительно коэффициентов

oti> ot2>

аз

Ai . _ Аг

ai = —av- —

А Д

где определители записываются в виде

xi y

СХЗ

Аз

(6.56)

= -х

)

y,-xiy

)

{xiy

-x

y) = 2. (6.57)

1 х

у„

х„ У„

В этом выражении - площадь треугольника, которая всегда

отлична от нуля. В силу этого решение системы всегда имеет место.

Ai xi у,

Al Am Хт У

Art Хп У

(лшУ

- ХпУ„) + Ат{х„У1 -xiy

)

An{xiy

- ХтУ,)', (6.58)

Al у,

Am у

А„ У„

= Ai(y

- У

)

{у

У,) +

А„(у, - у

) ; (6.59)

Дз

1 xi Ai

1 Хт Am

1 Х

- Al{x

XM)

+ Am(xi~

X«)

+ An{x

Xl) •

(6.60)

Обозначим коэффициенты при векторных потенциалах в выра-

жениях (6.58)- (6.60):

-х

\ а

~ x

~xiy

;

а„ =

xiy

~ х

у,

, (6.61)

-y,\ ь

~у,;

Ьп =

У1~У

\ (6.62)

Cl=Xn~Xm>

Cm = Xl

Х„ Сп

Хт~ Xl •

(6.63)

Подставив эти выражения в соответствующие определители, решим

систему (6.56):

ai = -—-([Aiai

+ Amctm + А

]); (Хг

= ~^~(Aibi

b„);

2 S.

«3

Т—(AlCt

AmC m

AnCn) '

(6.64)

Тогда выражение векторного потенциала (6.52) в функции про-

странственных координат записывается в виде

+ Апйп + (А\Ъ] +

+ А

)х

тр

{AlCl + АтСт

Сп)у\

(6.65)

Рассмотрим далее энергетический функционал, соответствую-

щий уравнению магнитного поля - уравнению Пуассона в прямо-

угольной области

А д

ох ду

(6.66)

при нулевых граничных условиях.

Магнитная индукция в исследуемой области может быть выра-

жена через векторный потенциал в виде

B = rot А,

где

* ду

дх

Подставляя полученные выражения в (6.51), будем иметь

(6.67)

№

>тр

2ц

Г,Л

г,л

дА

\дх j

дА

У J

+ AJ„

dxdy.

(6.68)

Для нахождения минимума функционала необходимо приравнять

нулю его производные по значениям векторного потенциала в узлах

конечного элемента.

Рассмотрим отдельные составляющие этого выражения. Из выра-

жения (6.67) следует:

дА 1

дх 25

дА 1

АтЬт + АпЪп)\

ду 2 S,

•(Aici

+ AmCtn + AnCn) •

(6.69)

(6.70)

Тогда

dAi

дА

дх

= 2

дА

дх

д fdA) 1

д AAdxJ 45;

(A,bi

+ Anb

)br>

(6.71)

— 0

fdA

I дх

[дх,

>дА

l дх J

4S:

/1 mUm

bn)b ; (6.72)

'( ЭА^|

'ЭА^

dAn

\дх)

д А

V^jcJ

(дл)

ЭА^|

dAi

— Z,

ЭАД

ЭУ)

7ЭА

ГдА"

( ЭА^|

дАт

— L

дА„

L^YJ

-(AlCl + AmC +

cn)ci\ (6.74)

45,

-(A1C1 + AmC

Anc„)c

\ (6.75)

dAn

дAY

ду)

'ЭА^д

У/

дА„

-~r(AiCi + АтС

+ Апсп)с

- (6.76)

ЭА

ду ) 4 S.

тр

Поскольку записанные производные не зависят от пространст-

венных координат, то они могут быть вынесены за знак интеграла.

В результате получим:

_LJL

2ц Э Ai

•ф

ЭА

Эх

* 'аО

dxdy

(6.77)

"' [{Albl + Ambm + Anbn)bi+(AlCl + AmCrn +

A„c

)c/];

— ff

2nd A,

»4>

aA'

f-T

r.ixdy

(6.78)

-[{Aib,

Ambm

+ Anbn)bm

+ (

AlCl + AmCm +

AnCn) Cm},

1 г

(Albl

+ Ambm

Anbn)bn

+(AlCl + AmCm + A

Cn)c

J-

(6.79)

Если принять, что в каждом элементе плотность стороннего то-

ка является постоянной величиной, то

д / г т дА д ,

дА

ЭА

ЭЛ эд„

Д / Т

\ 1 ДА

ЭА '

(6.80)

Тогда

\\j„Adxdy

J]Adxtfy

-^- \\(a,

b,x

y)dxdy \ (6.81)

Sup

Sip

115

5тр

JJ/

A<My =

JJAdxdy =

JJ(a

+BMX +

y)dxdy

;

(6.82)

Jlp Отр

|5тр

JJ J^Adxdy = /

ст

JJ Adxdy =

-i- JJ (a

y)dxdy. (6.83)

ЭЛл 25 „

кЗтр Отр

Отр

В записанных выражениях функции под знаком интеграла за-

висят от пространственных координат. Поэтому вычисление инте-

грала необходимо производить по площади треугольника. Положим

для простоты вычислений, что рассматривается прямоугольный тре-

угольник, изображённый на рис. 6.2.

Рассмотрим вычисление интеграла

в выражении (6.83). В данном случае

координата х изменяется в пределах

<х<х

. По координате у рассматри-

ваемый треугольник ограничен прямой

у = у, снизу и прямой у

у,

к(х - X,)

сверху. Поэтому

Рис. 6.2.

определению

интеграла (6.83)

Возьмём интеграл

(а„ + b„x +

y)dxdy

S -tp

Хт У,+к(Х-Х,)

= jdx | (a

+b„x

c„y)dy.

*i У,

Тогда

(a„+b„x+c„)dy.

У,

an =

-x

y, +x

y, -x,y, =

1 (Ут

- у I)

У1 (xt -x

)

0+y

(~h

) = -y,h

;

b„

~У1~

У„,

-0; c

~xi -

k=~—=

Хп X/ Hx

y,+k{x:-x

) yfrk{x-x,)

J (a„+b„x

c„)dy= J h

{y-y,)dy-

y, y,

(У-У1)

у^Цх-х,)

у,

к\х-х, f

(6.84)

(6.85)

(6.86)

(6.87)

(6.88)

«k \x-xi\

;-xi)

2, 3

k h

(6.89)

Подставляя в полученный результат к согласно (6.87) и учиты-

вая, что площадь прямоугольного треугольника

тр

_ hxhy 5

в окончательном виде будем иметь

ЭА.

J„ Adxdy =

1 h

hl _ SrpJ ст

6 hi

(6.90)

»тр

Остальные интегралы (6.81) и (6.82) вычисляются аналогично

и имеют те же значения.

Таким образом, минимум функционала (6.68) может быть запи-

сан в виде следующей системы уравнений:

1 2 1 2

bi +ci

btbm + ClCm blbn + ClCn

О У

blbm + ClCm

#2 1 2

+ Cm

bntbn CmCn

u тр J ст

blbn

ClC

bmbn CmCn

i 2 1 2

. (6.91)

Указанная система уравнений записывается для всех элементов

исследуемой области, а её решение с учётом известных значений

векторного потенциала на границе области позволяет рассчитать ис-

комые значения векторного потенциала во всех узлах исследуемой

области.

Указанная система алгебраических уравнений характеризует по-

элементное объединение, процедура которого сводится к вычисле-

нию матриц для каждого элемента.

Помимо поэлементного объединения возможно объединение по

узлам, когда уравнение записывается для каждого узла исследуемой

области. Система алгебраических уравнений в этом случае может

быть получена исходя из следующих соображений.

Каждое из уравнений системы (6.91) получено путём миними-

зации энергетического функционала (6.68). При этом для получения

минимума производилось дифференцирование функционала по зна-

чениям векторного потенциала в узлах треугольника, и полученные

производные приравнивались к нулю. В исследуемой области каж-

дый узел может принадлежать одновременно нескольким элемен-

там. Система алгебраических уравнений, записанная для каждого

элемента этой группы, будет содержать, естественно, производные

по значению векторного потенциала рассматриваемого узла. В этом

случае можно, просуммировав уравнения рассматриваемого узла

для всех элементов, включающих в себя данный узел, получим для

него уравнение, которое содержит значения векторного потенциала

в соседних узлах.

Для примера рассмотрим простейшую краевую задачу для урав-

нения Пуассона в прямоугольной области с нулевыми граничными

условиями. Разобьём рассматриваемую область на прямоугольные

ячейки со сторонами величиной h

и вершинами, совпадающими

с узлами сетки. Каждую ячейку области разобьём диагональю на два

прямоугольных треугольника с катета-

ми, равными h

•

В результате об-

ласть оказывается разбитой на конеч-

ное число прямоугольных треугольни-

ков - конечных элементов.

Рассмотрим узел №

этой области,

являющейся вершиной элементарных

треугольников, обозначенных цифрами

1-2-3-4-5-6 (рис. 6.3).

Векторный потенциал для вершин

каждого из прямоугольных треуголь-

ников описывается системой уравне-

ний (6.91). Для узла № 1 имеем

/ 5

/ /

/ 4

4 /

6 /

2 /

/ 1

Бу

Ъ /

Рис. 6.3.

выводу уравнения

векторного потенциала

в узле № 1