Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

•Mk-^itimiiMiiinniiiii

•

- «имИМММНШМ»

дынтегральное выражение. В этом случае оказывается справедливым

и второе выражение граничных условий (7.24).

В рассмотренном ранее упрощенном варианте наличие пазов на

магнитопроводе статора и ротора учитывается введением коэффици-

ента Картера, т.е. увеличением воздушного зазора. Действительно,

наличие пазов приводит к уменьшению магнитной индукции в зазоре,

что эквивалентно увеличению зазора. Однако в реальной машине че-

редование пазов и зубцов вызывает изменение магнитной проводимо-

сти зазора машины, что приводит к искажению магнитного поля. Кри-

вая магнитной индукции в этом случае будет содержать спектр выс-

ших пространственных гармоник, называемых зубцовыми.

Для учёта влияния зубцово-пазовой структуры на характер маг-

нитного поля в зазоре асинхронной машины при решении задачи

в одномерной постановке необходимо задавать магнитную проводи-

мость воздушного зазора в функции параметров структуры. Поскольку

магнитная проводимость пропорциональна магнитной проницаемости

среды, можно принять величину воздушного зазора постоянной, а рас-

чётную проницаемость среды - переменной, исходя из условия инва-

риантности магнитной проводимости воздушного зазора.

Используя решение задачи о распределении магнитного поля

вблизи ферромагнитной среды, полученное методом конформных

отображений, расчётную проницаемость среды в зазоре асинхрон-

ной машины можно представить в виде [38]

где величина коэффициента и определяется шириной открытия

паза Ь

и величиной воздушного зазора 8:

а коэффициент а зависит от размеров паза, геометрии машины и свя-

зан с пространственной координатой соотношением

(7.46)

(7.47)

ф=

nRn

l)(u

-a)

(a-l)(u

arc tg

Ьп

(7.48)

Проанализируем приведённые выражения. Исходя из физиче-

ского смысла, резонно предположить, что минимум магнитной про-

ницаемости соответствует середине паза. Действительно, приравни-

вая производную Эр/да из (7.46) нулю и решая полученное при этом

уравнение, будем иметь условие минимума проницаемости

и.

(7.49)

При этом координата ф из (7.48) обращается в нуль, а расчётная

проницаемость среды

с \

Ч^о

2 и

+ 1

(7.50)

Если положить а = 1, то р = р

. Теоретически это условие со-

гласно (7.48) выполняется в точке бесконечно удалённой от середины

паза. Однако ввиду быстрого изменения логарифмической функции

уже на расстоянии, равном 0,15 от края зубца, величина расчётной

проницаемости р отличается от р

не более чем на 0,5 %. Можно по-

казать также, что на границе зубца величина р/р

= 0,833.

Магнитное поле двигателя с учётом зависимости магнитной

проницаемости от пространственной координаты описывается урав-

нением

1 Э Г 1 дА

/?^Эф(

р(ф) Эфу

-<7(фМ = -р

(7.51)

с периодическими краевыми условиями. В данном случае магнитное

поле описывается уравнением с переменными коэффициентами, ко-

торое также решается методом циклической прогонки.

7.4. УЧЁТ НАСЫЩЕНИЯ ЗУБЦОВ МАГНИТОПРОВОДА

До сих пор исследовалось магнитное поле в зазоре и ярме асин-

хронной машины. В реальной электрической машине магнитный по-

ток проходит и по зубцам статора и ротора, вызывая в этих элементах

падение магнитного потенциала. Насыщение зубцов статора и ротора

можно приближённо учесть в условиях одномерной модели, если счи-

тать, что магнитный поток зубцового деления проходит лишь по зуб-

цу. Наличие магнитного падения напряжения на зубце вызывает

уменьшение напряжённости магнитного поля в зазоре машины при

постоянной величине МДС. Если напряжённость магнитного поля

в зубце, как и в воздушном зазоре, имеет лишь одну радиальную со-

ставляющую, то справедливо следующее уравнение:

8Я

, (7.52)

- эквивалентная напряжённость магнитного поля в воздушном

зазоре.

Из этого выражения следует, что

=Я

б+

^А. (7.53)

Выразим напряжённость магнитного поля через соответствую-

щие значения магнитной индукции из условия прохождения магнит-

ного потока зубцового деления через зубец:

z (1.54)

Из этого выражения следует, что эквивалентная магнитная

проницаемость среды, заполняющей немагнитный зазор, записыва-

ется в виде

= —' (7.55)

I | tzhz Kz

ЬМ

typi-j

где Kz

1 н

коэффициент насыщения зубцов статора;

- относительная магнитная проницаемость зубцов.

Если считать, что насыщение зубцов отсутствует, т.е. p'

—>

то K

= 1. При насыщении зубцов относительная магнитная прони-

цаемость уменьшается и коэффициент насыщения зубцов возрастает.

Таким образом, для учёта насыщения зубцов необходимо в уравнение

магнитного поля (7.51) ввести уточнённое значение магнитной проницае-

мости среды, заполняющей воздушный зазор, в соответствии с (7.55).

Проанализируем влияние насыщения зубцов на магнитное поле

асинхронной машины, для чего запишем коэффициент q в виде

2йр

(7.56)

При насыщении зубцов статора, как показано выше, возрастает

величина коэффициента К

, что вызывает уменьшение величины ко-

эффициента q. Это, в свою очередь, приводит к увеличению векторно-

го потенциала (7.33). Поскольку векторный потенциал по длине по-

люсного деления распределяется по гармоническому закону, то насы-

щение зубцов происходит в основном в середине полюсного деления.

В этом случае уменьшение коэффициента q приводит к искажению

кривой распределения векторного потенциала, которая приобретает

обострённую в центре полюсного деления форму. Радиальная состав-

ляющая магнитной индукции, имеющая место в воздушном зазоре,

определяется выражением (7.15). Дифференцирование обострённой

формы кривой векторного потенциала по пространственной координа-

те ф вызывает уплощение формы кривой магнитной индукции в зазоре

асинхронной машины.

При насыщении ярма машины происходит уменьшение магнит-

ной проницаемости материала ярма. В этом случае, согласно (7.56),

величина коэффициента q возрастает, что вызывает уменьшение век-

торного потенциала. Кривая векторного потенциала при этом стано-

вится уплощенной, а форма кривой магнитной индукции в зазоре стано-

вится обострённой. Эти выводы полностью согласуются с известными

положениями работы [2]. Таким образом, насыщение элементов маг-

нитной системы двигателя приводит к уменьшению величины магнит-

ного поля и изменению формы кривой распределения магнитного поля

в ярме магнитопровода и воздушном зазоре двигателя.

При прохождении магнитного потока по магнитопроводу асин-

хронной машины в нем возникают магнитные потери, обусловленные

протеканием вихревых токов и перемагничиванием стали. В режиме

холостого хода ток, потребляемый двигателем из сети, содержит две со-

ставляющие: реактивную - намагничивающий ток - и активную, опреде-

ляемую потерями в стали. Магнитные потери учитываются введением

в Т-образную схему замещения асинхронной машины активного сопро-

тивления определённой величины. Аналогично можно учитывать эти по-

тери при моделировании электрических машин переменного тока. При

нагрузках двигателя, близких к номинальным, потерями в магнитопрово-

де ротора можно пренебречь ввиду низкой частоты протекающего в нём

тока. Однако при значительных скольжениях частота тока ротора возрас-

тает, соответственно возрастают потери и пренебрежение потерями рото-

ра может привести к существенной погрешности.

Магнитные потери асинхронных машин рассчитываются с ис-

пользованием известного выражения

где р

уа

- удельные потери при индукции 1 Тл и частоте 50 Гц; / - час-

тота перемагничивания стали; В - магнитная индукция; G

- масса ста-

ли. Коэффициент р в этом выражении зависит от содержания кремния

в стали и способа её изготовления. Согласно [39], величина коэффици-

ента составляет: р = 1,5 для стали марки 2013, Р = 1,4- для стали 2312,

р =

1,3

- для стали 2411.

7.5. УЧЁТ ПОТЕРЬ В СТАЛИ

Однако моделирование магнитных потерь по выражению (7.57)

представляет определённые трудности. Для целей моделирования

гораздо удобнее использовать другой подход, связанный с разделе-

нием потерь. Известно, что потери в магнитопроводе электрических

машин можно представить в виде суммы потерь от вихревых токов и

от гистерезиса [41]:

Р Ст -

е—+ о

Во.

В Gct , (7.58)

где е - удельные потери от гистерезиса при базовых индукции и часто-

те; а - потери от вихревых токов при тех же условиях. В качестве

базовых чаще всего принимают индукцию, равную 1 Тл, и частоту

50 Гц. Величины коэффициентов е и а зависят от содержания в ста-

ли кремния [41]: для сталей с низким содержанием кремния - е = 4,1

и о = 5,1; для сталей со средним содержанием кремния - е = 3,5 и а = 4,4;

для высоколегированных сортов стали - £ = 2,1 и а = 1,8. Более точ-

но величины этих коэффициентов могут быть определены экспери-

ментально по методике, изложенной в работе [41].

При моделировании потерь необходимо принимать во внимание

следующее. Магнитная индукция на отдельных участках магнито-

провода имеет не только различные значения, но и различный харак-

тер. Так, в ярме статора магнитная индукция имеет две составляю-

щие: тангенциальную #

и радиальную B

(см. рис. 7.3). Величина

тангенциальной составляющей распределена по высоте ярма с не-

большим затуханием, и её при расчётах можно считать постоянной.

Радиальная составляющая по мере удаления от воздушного зазора

убывает до нуля по закону, близкому к линейному. Обе эти состав-

ляющие изменяются и по координате ср по гармоническому закону.

Ввиду сложности учёта этих обстоятельств, при практических расчё-

тах принимают во внимание лишь тангенциальную составляющую

индукции, учитывая радиальную введением коэффициента увеличе-

ния потерь.

В зубцах статора имеет место лишь радиальная составляющая

магнитной индукции В

, поэтому намагничивание носит пульсаци-

онный характер. Однако в данном случае необходимо учитывать на-

личие высших пространственных гармоник, а также влияние наклёпа

при механической обработке магнитопровода. Дополнительные по-

тери, обусловленные этими факторами, принято учитывать введени-

ем коэффициента увеличения потерь, величина которого больше, чем

в магнитопроводе ярма [5].

Для определения величины сопротивления, эквивалентного по-

терям в стали от вихревых токов, используем равенство удельных

потерь в магнитопроводе и в эквивалентном сопротивлении, вклю-

чаемом в намагничивающий контур асинхронной машины. Для мо-

делирования потерь распределим это сопротивление равномерно по

высоте немагнитного зазора двигателя.

Удельные потери от вихревых токов в эквивалентном сопротив-

лении записываются в виде

Рул

= -~~- (7-59)

Выражая напряжённость электрического поля через векторный

потенциал, получим для стационарного режима при неподвижном

магнитопроводе статора

= ~МоА*- (7.60)

Суммарные потери от вихревых токов в эквивалентном сопро-

тивлении с учётом (7.59) и (7.60)

(7.61)

где

- объём немагнитного зазора.

Потери в магнитопроводе ярма статора от вихревых токов, со-

гласно (7.58), можно записать в виде

ЯстУяо (7.62) К д,сг

у \BoJ

А"д.я

коэффициент увеличения потерь в ярме; #ст и у

яс

- объ-

ёмный вес и объём стали магнитопровода. Как указывалось выше» в

качестве расчётной индукции принимают её тангенциальную состав-

ляющую, которая приближённо может быть выражена через вектор-

ный потенциал:

- В

ф —

ЭДм

эя

Йя.с

(7.63)

Тогда потери в ярме статора от вихревых токов

Р в.я — К д.я

СТ

/ ^

/о.

5о.

И»

(7.64)

•с У

Приравнивая выражения (7.61) и (7.64), определим электропро-

водность эквивалентного резистора

У в.я

K^g

Ст

у»,

2д

/о

^В

(7.65)

Электропроводность резистора, эквивалентного магнитным поте-

рям в зубцах статора, определяется аналогично. Здесь необходимо

учесть, что магнитная индукция по координате (р представляет собой

бегущую волну и имеет в зубцах одну радиальную составляющую

1 Эд

Ro Эф

Aii

а.66)

Учтём, кроме того, что по зубцу статора проходит весь поток

зубцового деления. Тогда модуль индукции в зубце статора опреде-

ляется выражением

~А

(7.67)

где tz~ зубцовое деление; bz- ширина зубца в среднем сечении.

Выполняя преобразования, подобно выполненным ранее для

ярма, в окончательном виде получим

Щт- М

f.,i,r

1 1

iHRr

'-нтциищиш^

ifltfflwH

"(л'

Кяг°8с

а-

(7.68)

Суммарная электропроводность резисторов, эквивалентная по-

терям статора от вихревых токов,

Ст

2тi\f

Я.С . 2,,

5—

Кдга Vz

(7.69)

Магнитные потери в ярме статора от гистерезиса можно запи-

сать в виде

Рг.я

—

К Д.Я

/о V

Ст' я.с-

(7.70)

Магнитные потери от гистерезиса в зубцах статора

Prz

K&£

/о

'/О

о;

gCrVz

•

(7.71)

Заменяя магнитные индукции в этих выражениях векторными

потенциалами, получим после преобразования:

г.я —

Кця&

/о

'Р

о;

г , л

V ^я.с

(7.72)

Prz =

/о

{

, \

о;

(аЛм)

/ . л

gcrVz

•

(7.73)

Суммарные потери в ярме и зубцах статора от гистерезиса

г & Ст

/ 0^0

КдяУя.с , „ 2

т7

j Vz

Г. л

(7.74)

Потери в ярме и зубцах статора при моделировании асинхрон-

ного двигателя также будем учитывать, включая резистор в намагни-

чивающий контур схемы его замещения. Будем считать также, что

указанный резистор равномерно распределён по высоте немагнитно-

го зазора, но в отличие от предыдущего случая величина сопротив-

ления пропорциональна частоте перемагничивания. В этом случае

потери эквивалентного резистора записываются в виде

= 2n

AlV

(7.75)

Приравнивая потери эквивалентного резистора (7.75) и суммар-

ные потери от гистерезиса (7.74), определим электропроводность,

эквивалентную потерям от гистерезиса:

Ст

2 *Xf

К д.яУ я

'+ К szVz

2 ^Z

z у

(7.76)

Размерность эквивалентной электропроводности Т

для учёта по-

терь от гистерезиса соответствует обратной размерности индуктивно-

сти, приходящейся на единицу длины: (Ом с м) '=(Гн-м) '. При

решении полевой задачи необходимо учитывать, что потери от гистере-

зиса пропорциональны первой степени частоты. Поэтому в уравнение

магнитного поля необходимо указанную электропроводность подстав-

лять в виде у

// , как и в (7.75).

В режиме идеального холостого хода считается, что ротор дви-

гателя вращается синхронно с частотой вращения с основной гармо-

никой магнитного поля при скольжении, равном нулю. Влиянием

магнитных полей высших пространственных гармоник пренебрега-

ют. Поэтому ЭДС, наводимые в проводниках и контурах ротора,

также равны нулю, и магнитные потери в магнитопроводе ротора

отсутствуют.

Магнитные потери ротора в рабочем режиме при скольжениях,

отличных от нуля, могут быть учтены с использованием тех же выра-