Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

тема уравнений (8.12), (8.46)-(8.49), (8.50)-(8.52), (8.55) является

замкнутой и позволяет рассчитать величины фазных токов и вектор-

ного потенциала в исследуемой области при известных напряжениях

сети и параметрах двигателя.

Величины фазных напряжений в выражениях (8.47)-(8.49) из-

вестны, если обмотки статора соединены по схеме «треугольник»

или «звезда» с нейтральным проводом. На практике статорные об-

мотки соединяются чаще всего по схеме «звезда». В этом случае при

асимметрии обмоток машины система фазных напряжений становит-

ся несимметричной, а величины фазных напряжений - неизвестны-

ми. Поэтому для решения задачи необходимо фазные напряжения

выразить через линейные, используя известные соотношения. Для

установившегося режима

Uab

Ua-Ub>

UBC =

Ub-Uc> Uca

Uc-Ua• (8-56)

Для определения фазных напряжений из представленных здесь

соотношений можно использовать лишь два, так как третье соотно-

шение является их следствием. Поэтому в качестве третьего соотно-

шения необходимо записать уравнение токов, соответствующее при-

нятой схеме соединения обмоток.

При соединении обмоток по схеме «звезда» без нейтрального

провода в качестве такого уравнения принимается уравнение токов

+ i

= 0. (8.57)

Выражая фазный ток /

через два других тока:

H=-H-IC. (8-58)

подставляя выражения фазных напряжений (8.47)-(8.49) в соотноше-

ния (8.56) и выполняя промежуточные преобразования, получим сле-

дующую систему:

(^+z

)iA+^

ic = UA

-joio

YA+MoVe; (8-59)

^BIA

(^в

)/с

~и вс ~ JaoVc + JCOo^

•

(8.60)

""«iiiiiiiiliil

Таким образом, решение системы уравнений (8.59) и (8.60) совме-

стно с уравнением магнитного поля (8.12) и уравнениями (8.50)-(8-52),

(8.55) позволяет определить значения векторного потенциала в иссле-

дуемой области и значения фазных токов по известным величинам ли-

нейных напряжений.

Для решения уравнения магнитного поля (8.12) должны быть из-

вестны фазные токи машины, которые определяются через значения

потокосцеплений (8.50)-(8.55), т.е. решения рассматриваемого урав-

нения. Использование в этом случае итерационного метода весьма за-

труднительно, поскольку требует значительного числа итераций.

Более рациональным методом решения системы уравнений является

метод суперпозиции, который применим, однако, для линейных сис-

тем. Будем при этом считать, что потокосцепления каждой фазы яв-

ляются следствием протекания токов во всех обмотках статора, т.е.

представлять их в виде суммы трёх потокосцеплений, определяемых

током каждой фазы в отдельности:

/ » т

Ffl =

' +

p/+T/; (8.61)

В этих выражениях составляющие потокосцеплений, обозна-

ченные одним штрихом, обусловлены протеканием тока лишь в од-

ной фазе обмотки статора - фазе А; обозначенные двумя штриха-

ми - лишь в фазе В статора. Точно так же составляющие с тремя

штрихами - лишь в фазе С. Поскольку при решении линейных за-

дач величины потокосцеплений пропорциональны соответствую-

щим токам, составляющие потокосцеплений могут быть выражены

через соответствующие токи:

¥а

ША

ШВ

¥с

ШВ

+ ЬЗ11С>

где коэффициенты определяются отношениями составляющих пото-

косцеплений к соответствующим токам:

LN - : » HI\

—

~ ЬЪ\— : J L12 : 5 L22

a Ia IB

L32=

±/

; Ll3=

±/

; L23=

iZ.

; L33=

±£. (8.63)

Подставляя потокосцепления фаз по (8.62) в уравнения (8.59)

и (8.60), заменяя один из фазных токов двумя другими и группируя по-

добные, получим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Dui

+ Dnic = UAB' (8-64)

D2ii

D22ic

-UBc> (8.65)

где коэффициенты выражаются через коэффициенты системы (8.62)

и параметры фазных обмоток:

jcooLu ~ JmLu -

j(OoLn +

jtooLii

;

(8.66)

j(QoLn +

jldoLn

jdktLn - ./(OoLa; (8.67)

D21 = - I(O

I + 7CO0L22 + 7W0L31 - JOBLV; (8.68)

D22 —

- JCO0L22 +

j(OoLa

~ JO)OL

2 + jiOoLn

•

(8.69)

Таким образом, рабочий процесс асинхронного двигателя в ста-

ционарном режиме при заданной системе питающих линейных напря-

жений описывается следующими уравнениями: (8.12), (8.46М8.52),

(8.54), (8.55), (8.57), (8.64М8.69).

Решение этой системы позволяет рассчитать значения векторного

потенциала асинхронного двигателя в стационарном режиме. Значения

радиальной составляющей магнитной индукции в зазоре двигателя

и плотности тока вторичной среды рассчитываются по соотношениям

(7.5) и (8.11). Электромагнитный момент асинхронного двигателя опре-

деляется с помощью найденных величин

м = \f

R4V , (В.70)

где удельное электромагнитное усилие, действующее на вторичную

среду, записывается в виде

XB^E

X E

= -Ё^ J

, (8.71)

где Jp - аксиальная составляющая плотности тока вторичной среды;

- радиальная составляющая магнитной индукции. Выходная и по-

требляемая активные мощности, коэффициент полезного действия

и cosq> рассчитываются с использованием известных выражений.

Пример 8.1. Расчёт характеристик короткозамкнутого

асинхронного двигателя. Произвести расчёт магнитного поля и ра-

бочих характеристик трёхфазного асинхронного двигателя со сле-

дующими параметрами:

- число полюсов 2р = 2;

- число пазов статора Zs = 24;

- число пазов ротора Z

= 20;

- диаметр расточки статора D

95 мм;

- наружный диаметр статора

D„=

168 мм;

- длина магнитопровода статора

100 мм;

- воздушный зазор б = 0,45 мм;

- высота зубца статора

hzs

= 14,1 мм;

- высота зубца ротора Ла?= 16,5 мм;

- магнитная проницаемость ярма статора p

= 500р

;

- магнитная проницаемость ярма ротора р

= 350р

;

- сечение стержня ротора

Sr =

86,49 мм

;

- ширина шлица статора b

,s = 3,5 мм;

- ширина шлица ротора

шК

=1,0 мм;

-число витков фазной обмотки

= 152;

Wb=

152; Wc= 152;

- линейное напряжение сети

U„

= 380 В;

- сопротивления обмоток статора R

= Rc= 1,478 Ом;

- приведённое сопротивление ротора R'

= 0,97 Ом;

- индуктивные сопротивления обмоток

статораХ

=Х

= 1,5 Ом;

- приведённое индуктивное сопротивление обмотки ротора в но-

минальном режиме Х'г = 2,667 Ом;

- диаметр вала

= 28 мм;

- обмотка статора:

а) однослойная концентрическая;

б) двухслойная укороченная.

Решение примера выполняем в следующей последовательности.

Зубцовый шаг статора

%D 3,14-95 -

—

= ' =12,43-10 м

Zs 24

Коэффициент воздушного зазора статора

+105

12,43 + 10-0,45

= 2б

-m

+105 12,43 -

3,5

+ 10-0,45 '

Зубцовый шаг ротора

я^

ЗД

94Л

= 81()

.з

Z« 20

Коэффициент воздушного зазора ротора

+105

14,78 + 10-0,45

=1051?

-m

+105 14,78-1,0 + 10-0,45 '

Коэффициент воздушного зазора

= K

= 1,26

•

1,0547 = 1,329.

Приведённый воздушный зазор

8' =

= 1,329

•

0,45

• 10"

= 0,598

•

10"

м.

Число пазов на полюс и фазу статора q-4,

Обмоточный коэффициент обмотки статора

liHiiMiHiliHMWI

. f К

sin -

Kui

— К pi

\2m

sin

—

q sm

f \

\2mq j

4sin -

12-3-4

= 0,958,

Высота ярма статора

Dn-D-lhns 168-95-2-1

=•

35,3-КГ

м.

2 2

Высота ярма ротора

D-lb-lhnH-d. 95-2-1-2-16,5-28

_ =

• 16 -10~

м.

Тогда коэффициент, учитывающий магнитное сопротивление ярма

статора и ротора,

, fts + S'

+ b'

1 |

33,5 + 0,578

2Ro

2RQ

2-48,5

hsb'ts h

5'р

33,5-0,578-500-10

+ 0,578

2-48,5

: 395,7 м"

16-0,578-350-10

Активное сопротивлении ротора

/?2 R'i

WiKol)

= 0,97

20'

IWiAToJ

0,5-1

152-0,958

7,62-10 Ом

Сопротивление стержня ротора с учётом короткозамыкающих

колец выразим из каталога данных двигателя:

ст

5 с

Отсюда следует, что

«нШйяЭНявиЖЯМя •

-А.

Уст S ст

Дет

Распределим обмотку' ротора в воздушном зазоре:

= 7cD8'

Из этого выражения можно определить эквивалентную электро-

проводность материала ротора:

_ 20-0,1

KD&' 7,62 -КГ

-95

-0,45 1,329

«147 -10

См/м.

Индуктивные сопротивления обмоток статора и ротора приве-

дены в справочнике [42] без учёта насыщения усиков пазов. При на-

сыщении усиков паза индуктивные сопротивления статора и ротора

уменьшаются в зависимости от токов статора и ротора. Для расчёта

индуктивных сопротивлений с учётом насыщения в справочнике не

хватает необходимой информации. Поэтому насыщение магнитопро-

вода паза учтём приблизительно, принимая во внимание следующее.

Величина индуктивного сопротивления короткого замыкания

в относительных единицах составляет

0,055 + 0,099 = 0,154.

Та же величина при насыщении

.„

= 0,11. Следовательно, при

изменении тока статора от номинального значения до пускового ин-

дуктивное сопротивление уменьшается в 0,154/011 = 1,4 раза, т.е.

насыщенное значение индуктивного сопротивления составляет

= 0,714 Х

. Кратность пускового тока для данного двигателя со-

ставляет IJI„

7,5. Будем считать, что при изменении тока двигателя

от номинального до пускового индуктивные сопротивления изменя-

ются пропорционально току. Тогда коэффициент уменьшения индук-

тивных сопротивлений запишется в виде

-1

= 1-0,044

V I ном

При I = /

ном

коэффициент К

= 1, при / = /„ К„ = 0,714.

Таким образом, индуктивные сопротивления рассеяния обмоток

двигателя рассчитываются с учётом насыщения

= Х

=Х

=1,5К

; Х'

2,667К

Уравнение магнитного поля

+ +

А'

а2

) +

<7] А

= -р

ст

решается с граничными условиями периодического типа.

Для решения краевой задачи разобьём исследуемую область [0;2тс]

Ha/V= 360 интервалов величиной

2л 2-3,14

лГ

зб(Г

рал

Аппроксимируем дифференциальные операторы уравнения ко-

нечно-разностными выражениями, в результате чего будем иметь

i+l

-2A

лДч.-А-!

371 V-olM

1 +

Ка2>

—

Rlh; 2hq>

[7юоРоУ

+ К с

г)

- q\At = ~р

СТ

Выполняя преобразования, получим систему трёхчленных алгеб-

раических уравнений:

(ё).-|

a-,At-1

-CiAi

+ biAi+i

= ~Fi

J г

= 1, 2, ..., N-1; AO~AN\

дЛ

Коэффициенты уравнений этой системы:

а,

= 1 +

<»Яо\+

Ь, = 1

-Р

^о\(1 + *

о2

)/2;

+ bi + УшоЦоУ/

аг )Rohl

qRlh\;

Р Roh<p

Система трёхчленных алгебраических уравнений с учётом гра-

ничных условий решается методом циклической прогонки.

Решение дифференциального уравнения позволяет рассчитать

значения векторного потенциала во всех точках исследуемой области.

Исходя из полученных значений векторного потенциала и схе-

мы обмотки статора, рассчитываются величины потокосцеплений

фаз и ЭДС фазных обмоток:

где Тф- потокосцепление фазы; \у

- число витков в катушке;

А„

- значения векторного потенциала в точках расположения

проводников данной катушки; q - число катушек в обмотке рассма-

триваемой фазы.

Для решения дифференциального уравнения необходимо задать

фазные токи, которые определяются из уравнений Кирхгофа, запи-

сываемых для статорных обмоток двигателя (8.47)-(8.49).

Поскольку обмотка статора соединена по схеме «звезда» без

нейтрального провода, то при асимметрии фаз фазные напряжения не

определены. В данном случае система уравнений Кирхгофа должна

быть дополнена соотношениями, позволяющими выразить фазные

напряжения через линейные (8.56), (8.57). Совместное решение сис-

темы трёхчленных алгебраических уравнений, уравнений Кирхгофа

и соотношений (8.56), (8.57) позволяет рассчитать значения вектор-

ного потенциала, потокосцеплений фаз и фазных токов при заданной

системе линейных напряжений.

Рассчитав значения векторного потенциала, можно определить

величины магнитной индукции в зазоре двигателя, плотности тока

вторичной среды, электромагнитного усилия, действующего на него

со стороны магнитного поля, электромагнитный момент и другие

параметры двигателя.

Программа расчёта рабочих характеристик асинхронного корот-

козамкнутого двигателя:

п=360; me=0.+1.0i; s=0.; ds=0.01; sk=1.05; om=100.*pi; pr=147.7e6; nn=l;

hx=2.*pi/n; dli=0.1;

mu0=4.*pi*l.e-7; r0=47.5e-3; del=0.598e-3; tokn=7.89; uab=537.4; uca=

-268.7+465.4i;

za=1.46+1.5i; zb=za; zc=za; ql=395,7.; x2s=2.667; xm=94.5; s3=ql*r0*r0*hx*hx;

mm=l;

while s<sk

v=om*(l.-s); sig2=(xm+x2s)/xm;

sl=pr*v*mu0Wrt*hx*sig2/2.;s2=pr*om*mu0*r0*r0*hx*hx*sig2; cs=me*s2;

a(l:n)=l.+sl; b(l:n)=l.-sl; c(l:n)=a{l:n)+b(l:n)+cs+s3; ia=l.; ib=0.; ic=0.; m=l;

while m<5

f(l:n)=0.;

if mm==l

w=2.5333333; dd=mu0*r0*w*hx/del; d2=dli*w; fa=dd*ia; fb=dd*ib; fc=dd*ic;

for j=l:60

f(j)=fa; f(j+60)=-fc; f(j+120)=fb;

end

for j=l:180

f(j+180)=-f(j);

end end

if mm==2

w=l.26666665; dd=mu0*r0*w*hx/del; d2=dli*w; fa=dd*ia; fb=dd*ib; fc=dd*ic;

fl(l:60)=fa; fl(61:120)=-fc; fl(121:180)=fb; fl(181:240)=-fa; fl(241:300)=fc;

f1(301:360)=-fb;

f2(l:30)=fa; f2(31:90)=-fc; £2(91:150)=fb; f2(151:210)=-fa; f2(211:270)=fc;

f2(271:330)=-fb;

12(33

l:360)=fa;

for

j=l:n

f(j)=

l(j)+f2(j);

end end

alf(2)=b(l)/c(l); bet(2)=f(l)/c(l); gam(2)=a(l)/c(l);

for

j=2:n

p=c(j)-alf(j)*a(j); alf(j+l}=b(jyr;

be«j+l)=(a(j)*bet(j)+f(j))/r; gam(j+l)=a(j)*gam(j)/r;

end

p(n-l)=bet(n); q(n-l)=alf(n)+gam(n);