Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Для начала расчёта используются начальные значения иссле-

дуемой величины, а на каждом последующем временном интервале

в качестве начальных используются значения исследуемой величи-

ны, полученные на предыдущем временном слое.

Каждое одномерное уравнение решается экономичным спосо-

бом, с постоянным числом математических операций, затрачиваемых

на одну точку. Поэтому число математических операций, затрачи-

ваемых при решении одного уравнения методом прогонки, пропор-

ционально Ni

•

Поскольку при решении первого уравнения (4.27)

требуется реализовать N2N3 прогонок по осям j и к, то общее чис-

ло операций, необходимых для решения первого уравнения (4.27)

оказывается пропорциональным произведению NININI

•

Точно та-

кое же количество операций требуется для решения уравнений (4.28)

и (4.29). При использовании неявных схем величина временного ин-

тервала т может быть выбрана произвольно. В этом случае для дос-

тижения конечного времени расчёта Т потребуется выполнить Г/т

временных шагов. Следовательно, число математических операций,

затрачиваемых для решения краевой задачи, окажется пропорцио-

нальным произведению —N1N2N з- Число точек в исследуемой об-

ласти равно произведению N1N2N3

•

Поэтому число операций, при-

ходящееся на одну точку, оказывается постоянным, т.е. локально-

одномерный метод оказывается экономичным.

Рассмотрим вопрос о погрешности локально-одномерного метода.

Запишем уравнения (4.24), (4.25), (4.26) в следующем виде:

(4-32)

(4.31)

(4.30)

а исходное уравнение

pM-LU-f- (4-33)

Тогда погрешности решения на каждом этапе отличны от нуля:

-P

-^~

O(t

)-, (4.34)

3d/

-Po

}

0(t

); (4.35)

3 dt

ез = Рз ~

Ро

L,U

0(t

)

•

(4.36)

3d/

Суммарная погрешность аппроксимации

EZ =

+ S2 +

E3 =

-2~

2(L

+ 2(f

)

(4.37)

+0(/ + /,

) = -2 ^-LM-/

+ 0(t

)

0(t

)

имеет первый порядок точности по времени и второй - по простран-

ственным координатам. Временной порядок точности может быть

повышен, если при решении одномерных уравнений использовать

симметричные схемы.

Локально-одномерный метод является универсальным. Он при-

меним для решения уравнений с переменными и разрывными коэф-

фициентами, а также нелинейных задач с достаточно гладкими гра-

ницами исследуемой области.

Метод суммарной аппроксимации относится к группе методов

решения сложных математических задач, называемых методами

расщепления. Локально-одномерные методы предполагают расщеп-

ление по пространственным координатам. Однако такое расщепле-

ние не является единственным. При исследовании сложных физиче-

ских процессов часто используется расщепление по физическим

процессам, когда сложный процесс рассматривается в виде комбина-

ции более простых процессов. В этом случае решение задачи сводит-

ся к последовательному решению более простых, а полученные ре-

шения предыдущей задачи используются в качестве начальных для

решения последующих.

В качестве примера таких сложных процессов можно привести

процесс сушки бумажной изоляции высоковольтных кабелей. Суш-

ка изоляции производится в условиях глубокого вакуума в обогре-

ваемых сосудах за счёт нагревания жилы кабеля сначала от источ-

ника постоянного тока, затем от генератора высокой частоты. При

нагревании жилы происходит процесс теплопередачи от её поверх-

ности в глубь толщи бумажной изоляции. Одновременно происхо-

дит испарение содержащейся в бумаге влаги и изменение её коли-

чества в радиальном направлении изоляции. Кроме того, различ-

ное содержание влаги обусловливает возникновение градиента

концентрации влаги, а при испарении жидкости возникают гради-

енты давления водяных паров. На второй стадии сушки при вклю-

чении высокочастотного генератора в толще изоляции возникают

диэлектрические потери, что приводит к возникновению локаль-

ных нагревов. Все эти причины обусловливают движение жидко-

сти в массиве изоляции, и этот процесс принято называть тепло-

массопереносом. Непосредственное решение системы уравнений,

описывающих процесс тепломассопереноса, ввиду его сложности

не представляется возможным. Поэтому его рассматривают как

последовательности отдельно существующих во времени процес-

сов и начальные условия каждого из них принимаются в виде ре-

шения предыдущего этапа.

Разработанные методы расщепления используют для исследова-

ния тепловых процессов, расчёта и проектирования ядерных реакто-

ров, исследования процессов химического производства, атмосфер-

ных явлений и т.д. [32, 33].

5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ

ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА

Многомерные уравнения эллиптического типа описывают ста-

ционарные процессы и могут рассматриваться как частные случаи па-

раболических уравнений при стремлении времени решения последних

к бесконечности. Поэтому на практике для решения эллиптических

уравнений полностью применимы методы, разработанные для реше-

ния уравнений параболического типа. Однако такие методы требуют

значительных затрат машинного времени. Для решения краевых задач,

описываемых эллиптическими уравнениями, чаще используются ме-

тоды, специально разработанные для решения таких задач.

Все методы решения эллиптических уравнений можно разделить

на аналитические и численные. Аналитические методы позволяют по-

лучить математически строгое решение. Однако круг решения задач

с использованием этих методов весьма ограничен, и в настоящее вре-

мя основными методами решения краевых задач с эллиптическими

уравнениями являются численные методы. Эти методы также предпо-

лагают замену аналитических функций числовыми полями, над кото-

рыми производятся математические операции. В результате аппрок-

симации бесконечно малых величин операторов конечными приходят

к системе алгебраических уравнений, которые решаются известными

методами. Все методы решения систем алгебраических уравнений,

аппроксимирующих эллиптические уравнения, можно разделить на

две большие группы: прямые и итерационные.

Прямые методы позволяют решать системы алгебраических урав-

нений с использованием конечного числа математических операций.

При этом погрешность решения системы определяется погрешностью

округления ЭВМ и может быть уменьшена специальными методами.

Итерационные методы можно рассматривать как специальным

образом организованный переходный процесс. Используя начальное

приближение и систему алгебраических уравнений, процесс решения

системы строят таким образом, чтобы на каждой последующей ите-

рации погрешность решения уменьшалась. Полученное решение все-

гда является приближённым, а время решения определяется заданной

точностью.

5.1. МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ

Метод разделения переменных известен давно и применялся для

решения уравнений Лапласа и Пуассона. Однако широкое распро-

странение метод получил в последнее время в связи с разработкой

быстрого преобразования Фурье (БДПФ) [23, 27, 32, 33].

Идея быстрого преобразования Фурье заключается в следую-

щем. Пусть на интервале [0,L] имеет место разложение функции

f(x) в дискретный ряд Фурье:

fa}

f(0)

f(L)

Если применять непосредственное вычисление f(x) с исполь-

зованием приведённой формулы, то число математических операций,

необходимых для расчёта, окажется пропорциональным N

•

Дейст-

. kni

вительно, вначале необходимо вычислить значения sm , вычис-

ли

. km

лить произведения (p^sm—-, а затем просуммировать полученные

произведения. Быстрое преобразование Фурье использует симметрич-

ность синусоидальных функций: sin 0 = sin 180°; sin

15°

= sin 165°;

sin 30° = sin 150°; sin 45°= sin 135° и т.д. Вместо того, чтобы непо-

средственно выполнять умножение в выражении (5.1), рационально

вначале вынести в нём общие множители, в результате чего число

членов суммы сократится приблизительно в 2 раза. В получившемся

ряду снова отыскиваются одинаковые множители, выносят их, со-

кращая в дальнейшем число членов разложения. И лишь сократив до

минимума число членов разложения, производят вычисление остав-

шихся произведений.

Наибольший выигрыш в уменьшении числа математических

операций будет в том случае, если число членов разложения является

степенью числа е

2,71828... Однако ЭВМ оперируют с числами,

представленными в двоичной системе счисления. Для реализации

БДПФ число членов разложения принимают кратным степени 2".

В общем случае решение дифференциальных уравнений методом

разделения переменных с использованием БДПФ требует затрат

N\og

N математических операций, где N- число интервалов раз-

биения пространственной координаты. Эффективность метода воз-

растает с увеличением числа N. Так, при N

32 число операций

пропорционально 1024, если коэффициенты разложения непосредст-

венно вычислять по выражению (5.1), и 32-log232 = 160 при исполь-

зовании БДПФ. Число математических операций уменьшается

в 1024/160 = 6,4 раза. Если число N увеличить до 128, то соответст-

вующие значения составляют 128

= 16384 и 28-log

128 = 896, и чис-

ло операций уменьшается в 16384/896 = 18,28 раза. Учитывая слабую

зависимость логарифмической функции от аргумента, можно утвер-

ждать, что БДПФ по скорости реализации лишь незначительно усту-

пает наиболее быстрому методу прогонки [27].

Метод разделения переменных предполагает разложение иско-

мой функции и правой части дифференциального уравнения по соб-

ственным функциям дискретного оператора Лапласа, удовлетво-

ряющим уравнению

Х.{/ =

0 (5.2)

дх

при нулевых граничных условиях U

=Q; U

Значения X, удовлетворяющие этому уравнению, называются

собственными значениями.

Исследуемую область разбивают на N интервалов величиной h

Решение краевой задачи ищем в виде U = sin

оде,

коэффициент которо-

го а определяется из граничных условий.

Запишем значения функций для точек

и г-1 с координа-

тами x

+ h

и x

—

соответственно

= sinа(х

)\ С/

Ь1

sinа(х-h

(5.3)

Заменяя производную в уравнении (5.2) конечно-разностным

оператором, будем иметь

- 2U

h; =2 sin our

г, ,

cosah

-1 -

(5.4)

Поскольку находится нетривиальное решение sin ах

0, то

cosa/t -1 + ^ = 0, (5.5)

откуда собственное значение

А -(nh

(5.6)

4 . / ah

л-—sin

йГ'Ч 2

Определим а, используя граничные условия. При х = 0 гранич-

ное условие выполняется всегда. Второе граничное условие при

х L выполняется в том случае, если аЬ =

кж,

где к = 1,2,... - целое

число. Отсюда определяется

a = —. (5.7)

Если x

и L

, то собственные функции

. кпх Ы

= sin = sin—, (5.8)

L N

а собственные значения

. 4 .

aft 4 .

Ыг

4 .

foe

Таким образом, собственные функции дискретного оператора

Лапласа описываются выражениями

. kni

=sm—,

* N

а собственные значения -

fot

А* =7Т sin —

h; 2 N

Все собственные значения положительны и лежат в диапазоне

о<\<4.

"х

Собственные функции ортогональны на интервале [0,L], а их

норма

о о W

L . 2кш \

sin I

2кп L

= (5.10)

В этом случае собственные функции с учётом нормировки запи-

сываются в виде

sin—, i

l,2,-,N. (5.11)

В работах [18, 23, 25, 27, 32, 33] показано, что финитную функ-

цию можно представить в виде разложения по собственным функци-

ям дискретного оператора Лапласа:

)

где коэффициенты разложения

= (5-13)

i=i

Рассмотрим метод разделения переменных при решении дву-

мерного уравнения Пуассона при нулевых граничных условиях пер-

вого рода:

или

f{x,y), (5.15)

где Д, и д

- одномерные операторы Лапласа.

Будем рассматривать искомую функцию U (х, у) и правую часть

уравнения f(x, у) как функции сеточного аргумента U(г, j) и /(г, у).

Поскольку обе функции обращаются на границах исследуемой облас-

ти в нуль, их можно разложить по собственным функциям дискрет-

ного оператора Лапласа, например цДу) :

n г

•

и a, j) = £ и *0>*0'), о < j < n

, о < / < N1; (5.16)

W2-1

/0'J)= 2>*(«>»0), 0< j

> 0 <

TVI ;

(5.17)

4=1

0-)= EsinM. (5.18)

\Li N2

Подставляя выражения для U(i,j) и f(i,j) в уравнение (5.15),

получим

A£/(i, j) =

A,f/(j, 7)

U(i,

= A,

£ t/*(OmO')

+ A

£ f/

(/)n,(7) (5.19)

*=1 k=\

или

k=1

Поскольку jx

(j) не зависит от координаты x

i, эту собствен-

ную функцию можно вынести за знак производной по i. Аналогич-

но, Uk(i) не зависит от координаты у = j . Поэтому эту функцию

также можно вынести за знак производной по j. Тогда будем иметь

Ц*(j)AJJ&) +

(i)AzV

Z <P*(

>*0')

k=l

*=1 J

Собственные функции дискретного оператора Лапласа д

как

показано выше, находятся при решении уравнения

ДаЦ*О') + А,#

О') = 0. (5.22)

Отсюда следует

Д2Ц*(7) = -Х*Ц*0"). (5.23)

Подставляя полученное выражение в (5.21), будем иметь

JV-1

£[>*0')Ai[/*(0 " X

(J)\i

U) - Ф

(*)И

(У)]= 0. (5.24)

*=1

В силу ортогональности собственных функций дискретного оператора

Лапласа указанное равенство выполняется для каждого члена

разложения. Тогда

Л,и

(0 - №(0 ~ ф

1 <

i <

ЛГ,

-1, (5.25)

при краевых условиях {/

(0) = (J

(Ni) = 0

•

В этом выражении собственные значения оператора д

Х^т-^sin

^-, fe =1,2,...,N

. (5.26)

(Л,) 2

(5.21)