Беляев Е.Ф., Шулаков Н.В., Дискретно-полевые модели электрических машин, учебное пособие

Подождите немного. Документ загружается.

Программа решения краевой задачи по явной схеме для различ-

ных величин временного интервала:

nl=l; n2=ll; h=l./(n2-nl); dt=0.001; nk=260; n=l; x(l:nk)=0.; y(l:nk)=0.;

a0(l:n2)=0.; a(l:n2)=0.; f(l:n2)=0.; f(4)=100; f(8)=-100;

while n<nk

for i=2:n2-l

a(i)=aO(i)+dt*(aO(i+1 )-2. *aO(i)+aO(i-1 )+f(i) *h

2)/h

end

disp(n); disp(a(4)); a0(l:n2)=a(l:n2); n=n+l; x(n)=n; y(n)=a(4);

end

disp(a);

plot(x,y)

Результаты решения краевой задачи приведены в табл. 3.8.

Таблица 3.8

Установившееся решение краевой задачи

Номер

Значения искомой

Номер Значения искомой

узла i функции Ui узла i

функции Ui

0 7

-0,6

0,4 8

-1,2

0,8

-0,8

1,2

-0,4

0,6 11 0

6 0

На рис. 3.3 показан характер протекания переходного процесса при

различных значениях т. Кривые изображают изменение исследуемой

величины во времени на одном пространственном интервале (/ = 4 ).

Анализ результатов решения (см. табл. 3.8) показывает, что

с увеличением величины временного интервала точность решения

снижается, а при нарушении условия устойчивости т>т

процесс

становится расходящимся.

50 100 150 200 250 300 N 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50iV

-200

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50/V

Рис. 3.3. Характер

протекания переходного

процесса

решения

краевой

задачи (3.85) в точке i

а - т = 0,001, h = 0,1;

б-т = 0,005,

= 0,1;

в-х

0,006, h = 0,1

3.4. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ

При исследовании электромагнитных процессов электрических

машин с учётом свойств электротехнических сталей приходится ре-

шать нелинейные краевые задачи, коэффициенты дифференциаль-

ных уравнений которых являются функциями искомых величин:

ди _ 3

31 дх

K(U,x,t)

dV_

дх

+ f(x,t),

(3.87)

(

0<x<L; 0 <t<T

\ t/(x,0) = t/

(jc);

£/(0,f) = H,(O; U(L,t) = \x,

(i).

Такие задачи также решаются конечно-разностными методами,

при этом используются безусловно устойчивые неявные схемы [24,

25, 27]. Для аппроксимации дифференциальных операторов воз-

можны два варианта.

Линейный вариант, когда коэффициенты уравнения рассчиты-

ваются по ранее найденным значениям искомых функций

К,

(U'):

и'

-и' 1

oAu')

UM Ui

-K^U') '

+ /T- (3.88)

Нелинейный вариант, когда для определения коэффициентов

уравнений используются искомые значения функций К^и'*

) '

-U'_ 1

т h

rt+l (+1

+ /;

. (3.89)

Линейный вариант реализуется значительно проще, так как зна-

чения функций на предыдущем временном слое известны. Нелиней-

ный вариант сложнее в реализации. Значения функций, через кото-

рые определяются коэффициенты уравнения, неизвестны. Поэтому

приходится использовать итерационный процесс. При этом значения

коэффициентов задаются приблизительно, с ориентацией на преды-

дущий опыт в начале счёта или с помощью данных с предыдущего

временного интервала. Решается уравнение с принятыми коэффици-

ентами, и по найденным значениям функций уточняются величины

коэффициентов. Таким образом производится несколько итераций,

пока не будет достигнута необходимая точность.

Если зависимость K{U) имеет монотонный характер, то итера-

ционный процесс сходится быстро, за несколько итераций. Если же

эта зависимость имеет экстремум, то процесс сходится очень плохо

или даже зацикливается. В этом случае для решения системы алгеб-

раических уравнений часто используется метод Ньютона и его мо-

дификации, а для уточнения значений коэффициентов уравнения

применяется алгоритм Вегстейна [30, 31].

I'!'' V-l

' V M*

4. РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ УРАВНЕНИЙ

ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

4.1. РЕШЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЯВНЫХ

И НЕЯВНЫХ СХЕМ

До сих пор рассматривались дифференциальные уравнения с од-

ной пространственной координатой. Многие задачи электродинамики

являются многомерными, т.е. исследуемая область является функцией

нескольких пространственных координат.

Решение подобных задач традиционными методами связано со

значительными временными затратами, так как число неизвестных,

а следовательно, число уравнений, определяется произведением

числа разбиений исследуемой функции по каждой пространствен-

ной координате. Основным требованием к методам решения мно-

гомерных краевых задач является их экономичность. Под эконо-

мичными методами понимаются методы решения краевых задач,

при которых число математических операций, затрачиваемых на

нахождение одного неизвестного, не зависит от числа неизвестных

[24, 27, 33]. Существует ряд способов решения многомерных урав-

нений параболического типа.

Для решения многомерных нестационарных краевых задач мо-

гут быть использованы те же численные методы, что и для решения

одномерных задач. Рассмотрим для примера решение нестационар-

ной краевой двумерной задачи

М.Ь&.+ЬП+Ш (4.1)

at дх ду

в прямоугольной области:

О<х<а; О<У<Ь;

U(0,y,t)

{

(y,t)-, U(a,y,t)

(y,t)-, U(x,0,t)

(x,t);

U(x,b,t)

(x,0 ; U(x, y,0) = j/

(jc, y). (4.2)

Как и при решении одномерных задач дифференциальные

и временные операторы аппроксимируют конечно-разностными вы-

ражениями и приводят дифференциальное уравнение к системе ал-

гебраических. При этом возможны два варианта аппроксимации.

4.1.1. Явная схема

Запишем уравнения для явной схемы:

UVhUb

t&Ku-W'u+VUjb ,

f +

(43)

Явная схема позволяет рассчитать значения искомой функции

на новом временном слое и и , используя найденные ранее значения

на предыдущем временном слое U\,j

•

Задачу решаем следующим

образом. Используя заданные начальные U°j и краевые условия,

рассчитываем значения искомой функции во всех точках исследуе-

мой области на первом временном слое u]j

•

Полученные значения

принимаем в качестве начальных для нахождения значений функции

на втором временном ujj слое и т.д. до достижения конечного зна-

чения времени.

Подсчитаем количество математических операций, необходи-

мых для решения краевой задачи. Если принять для упрощения

=к

=к, N, = N

= N, h

= h

= h , то число операций для опреде-

ления значений функций на каждом временном слое окажется про-

порциональным N

•

Явная схема устойчива при выполнении усло-

вия [24]

Тогда для достижения конечного времени счёта Т потребуется

затратить T/t

математических операций. Общее количество

операций, затрачиваемых для решения краевой задачи, оказывается

пропорциональным N

. Реализация явных схем отличается предель-

ной простотой и легко программируется.

Пример 4.1. Решение двумерной смешанной краевой задачи

с использованием явной схемы. В квадрате [0:1,0:1] решим сме-

шанную краевую задачу

Э U d

U д

при нулевых начальных и граничных условиях

U(x,у,0)

0; U(0,y,t)

Щ1,y,t)

U(x,0,t)

U(x,l,t)

Для решения задачи используем явную схему.

Пространственные координаты х и у разбиваем на N = 16 ин-

тервалов величиной h = l/N = 0,0625 . Исходя из условия устойчиво-

сти решения

0-l(t^)

00097656,

выбираем величину временного интервала т = 0,0009. Дифферен-

циальные операторы аппроксимируем конечно-разностными вы-

ражениями и получаем систему алгебраических уравнений, запи-

сываемых в виде

Uи -U'J _

Uj - W'u

KI , Ulj« ~ 2Uj + , w

T h

2 fiJ

или

jt+l rrt оTit . r/'+l

—i?—

—J?—

Плотность источников задана в виде

/[l:W + l, 1:

+1] = 0 ; /[8:10, 8:10 = 100].

Используя начальные, граничные условия и известные значения

плотности источников, рассчитываем значения искомой функции на

каждом временном слое, пока не будет достигнуто конечное время

расчёта.

Программа решения двумерной краевой задачи с использовани-

ем явной схемы:

nl=17; n2=17; hx=l./(nl-l); hy=l./(n2-l); dt=0.0009; kl=dt/hx

2;.; t=0.;

a(l: nl,l: n2)=0.; a0(l: nl,l: n2)=0.; f(l: nl,l: n2)=0.; f(8: 10,8: 10)=100n=l;

nk=600;

while ncnk

fori=2: nl-1

for j=2: n2-l

rl=a0(i+lj)-2.*a0(ij)+a0(i-lj); r2=a0(ij+l)-2.*a0(i,j)+a0(i,j-l);

a(i ,j)=a0(i j)+k 1 * (r 1 +r2+f(i j)*hx

2);

end

disp(n); disp(a(9,9)); x(n)=n; y(n)=a(9,9); a0(l: nl,l: n2)=a(l: nl,l: n2); n=n +1;

end

plot(x,y); disp(a)

Результаты решения краевой задачи U(x,y) (установившийся

режим):

1..

0 0

0 0 0

0 0

0,0149

0,0298 0,0446

0,0589 0,0720 0,0828

0,0901 0,0927

0,0298 0,0597 0,0896

0,1189 0,1462

0,1692 0,1849 0,1905

0,0446 0,0896 0,1353

0,1810 0,2248 0,2629 0,2898 0,2996

0,0589

0,1189 0,1810 0,2450

0,3090 0,3678 0,4119 0,4283

0,0720

0,1462

0,2248 0,3090 0,3983 0,4876 0,5616 0,5897

0,0828

0,1692 0,2629 0,3678

0,4876 0,6225

0,7574

0,8071

0,0901 0,1849 0,2898

0,4119

0,5616 0,7574 1,0384 1,1241

0,0927 0,1905 0,2996

0,4283 0,5897 0,8071

1,1241

1,2217

0,0901

0,1849 0,2898

0,4119 0,5616 0,7574 1,0384 1,1241

0,0828

0,1692 0,2629

0,3678 0,4876 0,6225

0,7574

0,8071

0,0720 0,1462 0,2248 0,3090

0,3983 0,4876 0,5616 0,5897

0,0589

0,1189

0,1810 0,2450 0,3090 0,3678 0,4119 0,4283

0,0446 0,0896 0,1353

0,1810 0,2248 0,2629 0,2898

0,2996

0,0298

0,0597 0,0896 0,1189

0,1462 0,1692

0,1849 0,1905

0,0149

0,0298 0,0446 0,0589

0,0720

0,0828

0,0901

0,0927

0 0 0 0 0

0 0

i= 10...

0 0 0

0,0901

0,0828 0,0720

0,0589 0,0446

0,0298 0,0149

0,1849

0,1692 0,1462 0,1189 0,0896

0,0597

0,0298

0,2898

0,2629 0,2248 0,1810 0,1353

0,0896

0,0446

0,4119

0,3678 0,3090 0,2450 0,1810

0,1189

0,0589

0,5616

0,4876 0,3983

0,3090 0,2248

0,1462 0,0720

0,7574 0,6225 0,4876 0,3678 0,2629

0,1692

0,0828

1,0384

0,7574

0,5616 0,4119 0,2898

0,1849 0,0901

1,1241 0,8071 0,5897 0,4283

0,2996

0,1905

0,0927

1,0384 0,7574

0,5616

0,4119 0,2898

0,1849

0,0901

0,7574 0,6225 0,4876 0,3678 0,2629

0,1692

0,0828

0,5616 0,4876 0,3983 0,3090 0,2248

0,1462

0,0720

0,4119 0,3678 0,3090 0,2450 0,1810

0,1189

0,0589

0,2898 0,2629 0,2248 0,1810 0,1353

0,0896

0,0446

0,1849

0,1692 0,1462 0,1189 0,0896

0,0597

0,0298

0,0901 0,0828 0,0720 0,0589 0,0446

0,0298 0,0149

0 0 0

О 100 200 300 400 500 600 N 0 100 200 300 400 500 600 N

а б

Рис. 4.1. Результат решения двумерной краевой задачи:

а - при выполнении условия устойчивости (т = 0,0009);

б - при нарушении условия устойчивости (т = 0,001)

На рис. 4.1 представлено решение смешанной краевой задачи,

выполненной по явной схеме для устойчивого варианта, когда вре-

менной интервал соответствует условию устойчивости, и неустойчи-

вого варианта, когда условие устойчивости не выполнено.

4.1.2. Неявная схема

Для неявной схемы дифференциальное уравнение записывается

следующим образом:

u'Chu'u _ „ <J-Жи , „ ее-Жи , f'u

f'u

—-—-Кг ^

g *

= 1,2,...,N,-1; j = 1,2,..., N2-1

•

(4-5)

Полученную систему можно преобразовать к виду

AijU'itlj

Bi.jU'Aj

CufJtU

1 +

DijU'u-1 - FijU'Cl

= Ф,,

(4.6)

для тех же значений i, j. В этом случае на каждом временном слое

необходимо решать систему N1N2 алгебраических уравнений. По-

ложим для упрощения

= N2 - N. Тогда число неизвестных будет

равным N

•

Матрица системы является разреженной, причём отлич-

ные от нуля элементы расположены лишь на пяти диагоналях. Для

решения такой системы с учётом слабого заполнения ленточной мат-

рицы потребуется ~ дг

операций. Для неявных схем временной шаг

можно выбирать произвольно. Поэтому для достижения конечного

времени счёта потребуется выполнить Г/т шагов по времени. В этом

случае время решения краевой задачи будет пропорционально

—

•

Пример 4.2. Решение смешанной краевой задачи с использо-

ванием неявной схемы. В квадрате [0:1, 0:1] решим смешанную

краевую задачу

ди d

udV^

при нулевых начальных и граничных условиях:

Щх,у,0)

0; U(0,y,t)

U( 1,y,t)

U(x,0,t)

U(x,l,t)

Для решения задачи используем неявную схему.

Программа решения двумерной краевой задачи с использовани-

ем неявной схемы:

nl=17; n2=17; dn=16; hx=l./(nl-l); hy=l./(n2-l); dt=0.001; nk=500; y(l:nk)=0;

z(l:nk)=0; kl=dt/(hx*hx); k2=l.+4.*kl; a(l:225,l:225)=0.; f(l:225)=0.;

x0(l:225)=0; il=17; i2=29;

f(97:99)=-100.*dt; f(112:114)=-100.*dt; f(127:129)=-100.*dt; t=0.; n=0; t0=0.;

while il<212

for i=il:i2

a(i,i-15)=kl; a(i,i-l)=kl; a(i,i)=-k2; a(i,i+l)=kl; a(i,i+15)=kl;

end

il=il+15; i2—i2+15;

end

fori=16:15:196

a(i,i-15)=kl; a(i,i)=-k2; a(i,i+l)=kl; a(i,i+15)=kl;

end