Белов А.В., Коровин Ю.В. Устойчивость электрических систем

Подождите немного. Документ загружается.

( )

III

E U

′

δ =

′

(2.1.4)

Вид характеристики представлен на рисунке 2.1.3 (кривая 2).

После внезапного отключения цепи происходит динамический

переход с характеристики мощности

( )

′

на характеристику

( )

III

′

. Из-за инерции ротора угол

не может измениться мгновен-

но, поэтому рабочая точка перемещается из точки

в точку

На валу, соединяющем турбину и генератор, возникает избыточ-

ный момент, определяемый разностью мощности турбины

, кото-

рая не изменилась после отключения цепи, и новой уменьшенной

мощности генератора

( )

III

′

, соответствующей точке

. Эта раз-

ность будет уменьшаться по мере приближения рабочей точки к точ-

ке

( ) ( )

III

P P P

′

∆ δ = − δ

(2.1.5)

Под влиянием этой разности ротор машины начинает ускоряться,

двигаясь в сторону больших углов

. Это движение накладывается на

вращение ротора с синхронной скоростью, и результирующая ско-

рость вращения ротора будет

ω=ω +∆ω

, где

– синхронная ско-

рость вращения;

∆ω

– относительная скорость. В результате ускоре-

ния рабочая точка начинает движение по характеристике

( )

III

′

Мощность генератора начинает возрастать, а избыточный (ускоряю-

щий) момент – убывать. Относительная скорость

∆ω

возрастает до

точки

. В точке

избыточный момент становится равным нулю, а

скорость

∆ω

– максимальной. Движение ротора со скоростью

не

прекращается в точке

, ротор по инерции проходит эту точку и про-

должает движение. При этом избыточный момент меняет знак на

противоположный и начинает тормозить ротор. Относительная ско-

рость вращения начинает уменьшаться и в точке

становится рав-

ной нулю. Угол

в этой точке достигает своего максимального зна-

чения. Но и в точке

относительное движение ротора не прекраща-

ется, так как на валу агрегата действует тормозной избыточный мо-

мент, поэтому ротор начинает движение в сторону точки

, относи-

тельная скорость при этом становится отрицательной. Точку

ротор

проходит по инерции, около точки

угол становится минимальным,

и начинается новый цикл относительного движения. Постепенно ко-

лебания ротора вокруг точки

затухают, что объясняется потерями

энергии при относительном движении ротора.

Рассматривая относительное движение ротора и работу, совер-

шаемую в этом движении, можно предположить, что при перемеще-

нии ротора на бесконечно малый угол

избыточный момент вы-

полняет элементарную работу

dM d

⋅ δ

. При отсутствии потерь вся ра-

бота идет на изменение кинетической энергии ротора в его относи-

тельном движении.

В тот период движения, когда избыточный момент ускоряет вра-

щение ротора, кинетическая энергия, запасенная ротором в период

его ускорения, будет определяться по формуле

уск

abc

F Pd f

′

= ∆ δ =

∫

(2.1.6)

где

abc

– площадь

abc

на рисунке 2.1.3.

Изменение кинетической энергии в период торможения вычисля-

ется как

max

торм

cde

F Pd f

′

= ∆ δ =

∫

(2.1.7)

где

cde

– площадь

cde

на рисунке 2.1.3.

Площади

abc

cde

, пропорциональные кинетической энергии

ускорения и торможения, называются площадями ускорения и тор-

можения.

В период торможения кинетическая энергия ротора переходит в

потенциальную энергию, которая возрастает с уменьшением скорости

∆ω

. В точке

кинетическая энергия равна нулю, и для определения

максимального угла отклонения ротора

max

достаточно выполнить

условие

уск торм

F F

− =

(2.1.8)

Отсюда следует условие динамической устойчивости: пло-

щадь торможения должна быть равна площади ускорения.

Максимально возможная площадь торможения определяется уг-

лом

кр

. Если максимальный угол превысит значение

кр

, то на валу

турбина-генератор возникнет ускоряющий избыточный момент и ге-

нератор выпадет из синхронизма. На рисунке 2.1.3 площадь

–

максимально возможная площадь торможения. Определив её, можно

оценить запас динамической устойчивости:

торм.max уск

уск

100%

cdm abc

abc

F F

−

= = ⋅

(2.1.7)

Сказанное поясним на примере.

Пример 2.1.1 Определение динамической устойчивости методом

площадей.

В качестве исходных данных примем схему замещения, изобра-

женную на рисунке 2.1.2, которая отличается от схемы замещения,

изображенной на рисунке 1.8.3 только наличием трансформатора

Если мы сохраним все исходные данные (см. п. 1.3), то, исполь-

зуя результаты расчета по примеру 1.8.1, нам останется только рас-

считать сопротивление трансформатора

и напряжение на выходе

системы в относительных единицах.

Сопротивление трансформатора

Т2

ном

12 1000

0,352.

100% 100 340

x j

⋅

= ⋅ = =

⋅

Базисное напряжение на выходе трансформатора

примем

б2

115

кВ

. Тогда напряжение на выходе системы в относительных

единицах будет

НН

б2

115

1,0.

115

= = =

Произведем расчет ЭДС

′

подобно тому, как это выполнено в

примерах 1.4.1 и 1.8.1:

0,3 0,202

0,3 0,202;

1,0

I j

−

= = = −

Л1

T1 T2

8,817;

d d

x x x x j

= + + + =

ɺ ɺ ɺ ɺ

43,565

0 0

2,781 2,645 3,838 ;

q d

E U I x j e

= + ⋅ = + = ⋅

ɺ ɺ ɺ

где

43,565 ;

= °

Л1

T1 T2

2,271;

d d

x x x x j

′ ′

= + + + =

ɺ ɺ ɺ ɺ

25,035

0 0

1,459 0,681 1,61 ;

E U I x j e

′ ′

= + ⋅ = + = ⋅

ɺ ɺ ɺ

где

0,437

рад

25,035 ;

′

= = °

(

)

(

)

0 0

cos 1,61 cos 43,565 25,035 1,527.

E E

′ ′ ′

= ⋅ − = ⋅ °− ° =

δ δ

Определим угловую характеристику по выражению (2.1.2)

1,527 1,0

( ) sin sin 0,672sin

2,271

E U

′

⋅

= = =

′

δ δ δ δ

В результате отключения одной цепи общее сопротивление сис-

темы изменилось и по выражению (2.1.3) составило

3 T1 Л1 T2

2,638.

d d

x x x x x j

′ ′

= + + + =

ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ

Угловую характеристику в послеаварийном режиме рассчитаем

по выражению (2.1.4)

1,527 1,0

( ) sin sin 0,579sin

2,638

III

E U

′

⋅

= = =

δ δ δ δ

Обе характеристики изображены на рисунке 2.1.3.

Кривая

( )

III

′

пересекает горизонтальную прямую

в двух точ-

ках,

′

кр

, которые мы найдем, приравняв

( )

III

P P

′

(знак равен-

ства логический) и решив уравнение относительно

. Произведем

это в программе Mathcad:

Рисунок 2.1.5 – Нахождение углов

′

кр

программе Mathcad

Переведем полученные результаты в угловые градусы

180

0,5447 31,21 ;

′

= ⋅ = °

кр

180

2,597 148,8 .

= ⋅ = °

Определим разность мощностей между мощностью турбины и

мощностью, отдаваемой генератором в послеаварийном режиме по

выражению (2.1.5):

( ) ( ) 0,3 0,579sin

III

P P P

′

∆ = − = −

δ δ δ

Площадь ускорения определим с использованием программы

Mathcad по выражению (2.1.6) как интеграл от разности мощностей в

пределах изменения угла

от

′

до

′

Рисунок 2.1.6 – Нахождение площади ускорения

программе Mathcad

0.579sin δ( )⋅ 0.3

solve

float 4,

0.5447

2.597













→

δ'0

δ'03

δ∆P δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.002949

→:=

Исходя из условия равенства площадей ускорения и торможения,

найдем угол

max

, приравняв интеграл разности мощностей в пределах

от

′

до

max

площади ускорения

уск

0,002949

по выражению

(2.1.7). Решение производим в программе Mathcad методом подбора.

За начальное значение можно принять угол, рассчитанный из усло-

вия, что разность углов

′

равна разности углов

′

max

. То-

гда первое значение

max

будет равно в радианах

max 03 03 0

( ) 0,5447 (0,5447 0,437) 0,652.

′ ′ ′

= + − = + − =

δ δ δ δ

Изменяя произвольно значения предела

max

в интеграле

пло-

щади торможения, приблизимся к правильному решению (рисунок

2.1.7).

Рисунок 2.1.7 – Нахождение угла

max

программе Mathcad

Из рисунка 2.1.7 следует, что наиболее точно

(

)

торм

0,002946

приблизилось к правильному решению значение

max

0,6554

рад или

max

37,55 .

= °

Как видно из рисунка 2.1.7, площадь торможения в отличие от

площади ускорения, имеет знак «минус». Когда мы говорим о равен-

стве площадей ускорения и торможения, мы имеем в виду их абсо-

лютные значения.

Максимально возможную площадь торможения определим как

интеграл от разности мощностей

( )

∆

в пределах от

′

до

кр

(рису-

нок 2.1.8):

δ'03

0.652

δ∆P δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.00277

−→:=

δ'03

0.6554

δ∆P δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.002946

−→:=

δ'03

0.656

δ∆P δ( )

⌠



⌡

d float 4, 0.002978−→:=

Рисунок 2.1.8 – Определение максимально возможной площади

торможения

торм.max

Из рисунка 2.1.8 следует, что

торм.max

0,3742

cdm

F F

= =

Определим запас динамической устойчивости по выражению

(2.1.9)

0,3742 0,002949

100% 12589%.

0,002949

−

= ⋅ =

Столь большой запас динамической устойчивости в нашем слу-

чае объясняется тем, что переход от нормального режима к послеава-

рийному произошел мгновенно, без затрат времени на переключения,

а также тем, что характеристики нормального и послеаварийного ре-

жимов мало отличаются друг от друга.

2.2 Динамической устойчивость системы при КЗ на линии

Самым распространенным видом возмущений, приводящим к не-

обходимости анализа динамической устойчивости, является КЗ в на-

чале одной из цепей линии электропередачи (рисунок 2.2.1).

0 0

Рисунок 2.2.1 – Расчетная схема системы при КЗ в начале одной из цепей

Схема замещения системы в аварийном режиме (т.е. во время КЗ

на линии) представлена на рисунке 2.2.2.

Ftmax

δ'03

δkr

δ∆P δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.3742

−→:=

′

Т1

0,44

Л1

0,734

Г1

( )

∆

1,112

′

Л2

0,734

0 0

P Q

Т2

0,352

1,0

U =

Рисунок 2.2.2 – Схема замещения системы при КЗ в начале одной из цепей ли-

нии электропередачи

В точке К включено шунтирующее сопротивление

( )

∆

. Это со-

противление рассчитывается так же, как и дополнительное сопротив-

ление при несимметричных КЗ (см. [10], таблица 1.3.1). При трехфаз-

ном КЗ

(3)

∆

, при двухфазном –

(2)

x x

∆ Σ

, при однофазном –

(1)

2 0

x x x

∆ Σ Σ

= +

, а при двухфазном КЗ на землю

(1,1)

2 0

x x

Σ Σ

∆

Σ Σ

⋅

где

–

суммарное сопротивление обратной последовательности, а

–

суммарное сопротивление нулевой последовательности схемы заме-

щения.

Наличие дополнительного сопротивления

( )

∆

изменяет взаим-

ную проводимость системы и, следовательно, влияет на характери-

стику передаваемой мощности в аварийном режиме. Поскольку схема

содержит только индуктивные сопротивления, коэффициенты

выражениях активной мощности равны нулю и, следовательно, нет

необходимости рассчитывать собственные проводимости системы.

Для расчета необходима только взаимная проводимость. Выражение

активной мощности в этом случае примет вид

( ) sin

E U

′

δ δ

. (2.2.1)

Расчет характеристик нормального режима

( )

′

и послеаварий-

ного

( )

III

′

представлен в примере 2.1.1 и отражен на рисунке 2.1.1.

Дополним рисунок характеристикой аварийного режима и все три ха-

рактеристики изобразим на рисунке 2.2.3.

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.1−

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.708

P1e' δ( )

P3e' δ( )

P2e' δ( )

1800

180

⋅

( )

III

max

′

кр

Рисунок 2.2.3 – Динамический переход при несимметричном КЗ

При наступлении КЗ режим переходит из точки

нормальной

характеристики в точку

аварийной характеристики и дальше под

воздействием избыточного момента продолжает двигаться вдоль этой

характеристики до тех пор, пока защита линии не отключит повреж-

денную цепь (точка

). В момент отключения режим снова делает

переход, но уже на послеаварийную характеристику (точка

) и по

инерции ротор генератора продолжает наращивать угол

, постепен-

но затормаживаясь, поскольку уже отдаваемая мощность генерато-

ра

( )

′

превышает мощность турбины

. В точке

, где достигает-

ся равенство площадей ускорения и торможения, ротор прекращает

дальнейшее наращивание угла

и вдоль послеаварийной характери-

стики

( )

′

рабочая точка смещается к точке

, около которой еще

некоторое время продолжаются колебания ротора.

Ускорение происходит под действием разности мощности турби-

ны и мощности генератора в аварийном режиме

1( ) ( )

P P P

′

∆ = −

δ δ

. (2.2.2)

Торможение происходит под действием разности мощности тур-

бины и мощности генератора в послеаварийном режиме

2( ) ( )

III

P P P

′

∆ = −

δ δ

(2.2.3)

Основную трудность представляет расчет характеристики мощ-

ности в аварийном режиме и, прежде всего, расчет дополнительного

сопротивления

( )

∆

(рисунок 2.2.2), для которого необходимо опреде-

лить суммарные сопротивления обратной и нулевой последователь-

ностей.

Сказанное поясним на примере.

Пример 2.2.1 Расчет динамической устойчивости простейшей

системы при двухфазном замыкании на землю.

В системе, изображенной на рисунке 2.2.1 произошло двухфазное

замыкание на землю в начале одной из цепей. При достижении угла

= °

автоматическая защита отключила поврежденную цепь. Оп-

ределить коэффициент динамической устойчивости.

Для определения суммарного сопротивления обратной последо-

вательности необходимо, имея по условию

2Г(ном)

0,234

x j

, рассчитать

сопротивление обратной последовательности генератора в относи-

тельных единицах:

2Г 2Г(ном)

Г(ном)

1000

0,234 0,936,

2 125

x x j

n S

∗

= ⋅ = =

⋅ ⋅

ɺ ɺ

где

Г(ном)

– номинальное значение сопротивления обратной последо-

вательности генератора,

– количество генераторов.

Составим схему обратной последовательности системы (рисунок

2.2.4). Она отличается от схемы прямой последовательности тем, что

не содержит источников питания, а сопротивления вращающихся

машин представлены своими сопротивлениями обратной последова-

тельности. К точке КЗ приложено напряжение обратной последова-

тельности. Сопротивление рассчитывается относительно точки КЗ.

Т1

0,44

Л1

0,734

2Г

0,936

Л2

0,734

Т2

0,352

Рисунок 2.2.4 – Схема замещения обратной последовательности

Левая и правая относительно точки КЗ части схемы соединены

между собой параллельно и, следовательно, суммарное сопротивле-

ние обратной последовательности равно

( )

Л1

2Г Т1 Т2

Л1

2Г Т1 Т2

0,472.

x х х

x j

x х х

 

+ ⋅ +

 

 

= =

 

+ + +

 

 

ɺ ɺ ɺ

Составим схему нулевой последовательности системы (рисунок

2.2.5). Она отличается от схемы прямой последовательности тем, что

не содержит источников питания, а сопротивление цепей ЛЭП пред-

ставлено своими сопротивлениями нулевой последовательности. Ге-

нератор не входит в схему, т.к. отделен от нее обмоткой трансформа-

тора

, соединенной в треугольник. К точке КЗ приложено напряже-

ние нулевой последовательности. Учитывая, что линия электропере-

дачи защищена хорошо проводящими тросами, определяем (см [10],

таблица 1.4.1), что

0Л1 Л1

3,0 3 0,734 2,202.

x x j j

= = ⋅ =

ɺ ɺ