Белов А.В., Коровин Ю.В. Устойчивость электрических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Т1

0,44

0Л1

2,202

0Л2

2,202

Т2

0,352

Рисунок 2.2.5 – Схема замещения нулевой последовательности

Сопротивление нулевой последовательности, рассчитанное отно-

сительно точки КЗ, равно

0Л1

Т1 Т2

0Л1

Т1 Т2

0,338.

х х

x j

х х

 

⋅ +

 

 

= =

 

+ +

 

 

ɺ ɺ

Дополнительное сопротивление при двухфазном КЗ на землю

равно

(1,1)

2 0

0,472 0,338

0,197.

0,472 0,338

x x

j j

x j

x x j j

Σ Σ

∆

Σ Σ

⋅

= = =

+ +

ɺ ɺ

Схема замещения (рисунок 2.2.2) может быть представлена как

Т-образный четырехполюсник с сопротивлениями

1 T1

1,552;

Z x x j

′

= + =

Л1

2 T2

0,719;

Z x j= + =

(1,1)

0,197.

Z x j

∆

= =

Взаимное сопротивление системы найдем из выражения таблицы

2 приложения 2

1 2

12 1 2

7,938.

Z Z

Z Z Z j

⋅

= + + =

ɺ ɺ

ɺ ɺ ɺ

По формуле (2.2.1) найдем угловую характеристику системы в

аварийном режиме

( ) sin 0,1923sin .

E U

′

= =

δ δ δ

Что касается характеристик нормального и послеаварийного ре-

жимов, то они нам известны из предыдущего примера:

( ) 0,672sin ;

′

δ δ

0,437

рад 25,035 ;

′

= = °

( ) 0,579sin ;

III

′

δ δ

0,5447 31,21 ;

′

= = °

кр

2,597 148,8 .

= = °

Определим разность мощностей между мощностью турбины и

мощностью, отдаваемой генератором в аварийном режиме по выра-

жению (2.2.2):

1( ) ( ) 0,3 0,192sin

P P P

′

∆ = − = −

δ δ δ

Площадь ускорения определим с использованием программы

Mathcad по как интеграл от разности мощностей

1( )

∆

в пределах

изменения угла

от

′

до

откл

80 1,396

рад

= °=

Рисунок 2.2.6 – Нахождение площади ускорения

программе Mathcad

Определим разность мощностей между мощностью турбины и

мощностью, отдаваемой генератором в послеаварийном режиме по

выражению (2.2.3):

2( ) ( ) 0,3 0,579sin

III

P P P

′

∆ = − = −

δ δ δ

Исходя из условия равенства площадей ускорения и торможения,

найдем угол

max

, приравняв интеграл разности мощностей

2( )

∆

пределах от

откл

до

max

площади ускорения

уск

0,1471

. Решение

произведем в программе Mathcad методом подбора.

Изменяя произвольно значения предела

max

в интеграле

пло-

щади торможения, приблизимся к правильному решению (рисунок

2.2.7).

Рисунок 2.2.7 – Нахождение угла

max

программе Mathcad

δ'0

δotkl

δ∆P1 δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.1471

→:=

δotkl

1.9426

δ∆P2 δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.1471

−→:=

Из рисунка 2.2.7 следует, что наиболее точно

(

)

торм

0,1471

F =

при-

близилось к правильному решению значение

max

1,9426

рад или

max

111,3 .

= °

Максимально возможную площадь торможения определим как

интеграл от разности мощностей

2( )

∆

в пределах от

откл

до

кр

(рисунок 2.1.8):

Рисунок 2.1.8 – Определение максимально возможной площади

торможения

торм.max

Из рисунка 2.1.8 следует, что

торм.max

0,2356

defm

F F

= =

Определим запас динамической устойчивости по выражению

(2.1.9)

0,2356 0,1471

100% 60%.

0,1471

−

= ⋅ =

2.3 Предельный угол отключения короткого замыкания

Из рисунка 2.2.3 можно найти предельное значение угла отклю-

чения КЗ, при котором устойчивая работа системы сохраняется. Оно

определяется равенством площади ускорения

уск

abcd

F f

и макси-

мально возможной площади торможения

торм.max

defm

F f

. Прировняв

к нулю сумму этих площадей, получим аналитическое выражение для

предельного угла отключения КЗ:

( ) ( )

откл.пр

кр

0 откл.пр

0 max2 0 max3

sin sin 0

abcd defm

f f P P d P P d

= = − + − =

∫ ∫

δ δ

δ δ δ δ

Раскрывая определенные интегралы, запишем

(

)

(

)

( ) ( )

0 откл.пр 0 max2 откл.пр 0

0 кр откл.пр max3 кр откл.пр

cos cos

cos cos 0,

P P

′ ′

− + − +

+ − + − =

δ δ δ δ

откуда

Ftmax

otkl

δkr

δ∆P2 δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.2356

−→:=

(

)

кр 0 max3 кр max2 0

откл.пр

max3 max2

cos cos

cos

P P P

P P

′ ′

− + −

−

δ δ δ δ

(2.3.1)

В выражении (2.3.1) все углы выражены в радианах.

Проверим на примере

Пример 2.3.1 Определение предельного угла отключения

Из примеров 2.1.1 и 2.2.1 имеем следующие данные:

max

0,672;

P =

0,437

рад 25,035 ;

′

= = °

max

0,192;

max

0,579;

III

кр

2,597 148,8 .

= = °

По выражению (2.3.1) определим предельный угол отключения

(

)

откл.пр

0,3 2,597 0,437 0,579cos(2,597) 0,192cos(0,4

37)

cos

0,579 0,192

0,055.

− + −

= =

−

=−

откл.пр

arccos( 0,055) 1,626

рад 93,153 .

= − = = °

Проверим полученный результат, подсчитав площади ускорения

в интервале от

′

до

откл.пр

и торможения в интервале от

откл.пр

до

кр

Площади определим с использованием программы Mathcad, как это

было выполнено на рисунках 2.2.6 и 2.2.7.

Рисунок 2.3.1 – Сравнение площадей ускорения

и торможения

программе

Mathcad

В результате расчета выяснилось:

δ'0

δotpr

δ∆P1 δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.1721

→:=

δotpr

δkr

δ∆P2 δ( )

⌠



⌡

d float 4,

0.172

−→:=

откл.пр

уск

1 0,172;

abcd

F P d f

′

= ∆ δ = =

∫

кр

откл.пр

уск

2 0,172,

defm

F P d f

= ∆ δ = =

∫

что доказывает правильность расчета.

2.4 Динамическая устойчивость при трехфазном КЗ на линии

Представим, что в точке

системы (рисунок 2.2.1) произошло

не двухфазное на землю, а трехфазное КЗ. Очевидно, что величина

дополнительного сопротивления в схеме замещения (рисунок 2.2.2) в

этом случае будет равна нулю

(

)

(3)

0 .

∆

Нет необходимости в расче-

те сопротивлений обратной и нулевой последовательностей, т.к. ясно,

что взаимное сопротивление системы

при

(3)

Z x

∆

= =

будет рав-

но бесконечности. В этом случае выражение (2.2.1) характеристики

мощности при аварийном режиме примет вид

( ) sin 0

E U

′

= =

δ δ

(2.4.1)

Практически это означает, что трехфазное КЗ полностью пере-

крывает путь энергии от генератора к приемной системе.

Все три характеристики представлены на рисунке 2.4.1.

( )

III

откл.пр

′

кр

′

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

0.1−

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.672

P δ( )

P3 δ( )

P2 δ( )

1800

180

⋅

Рисунок 2.4.1 – Динамический переход при трехфазном КЗ в начале одной из

цепей ЛЭП

При наступлении КЗ рабочий режим переходит из точки

в точ-

ку

на оси абсцисс, при этом начинается интенсивный разгон рото-

ра. При достижении предельного угла отключения

откл.пр

площадь

ускорения будет равна площади четырехугольника

abcd

. При от-

ключении поврежденной цепи рабочий режим переходит от точки

к точке

и начинается процесс торможения.

Выражение (2.3.1) для расчета предельного угла отключения уп-

ростится и примет вид

(

)

кр 0 max3 кр

откл.пр

max3

cos

P P

′

− +

δ δ δ

(2.4.2)

Однако для практических целей знания угла

откл.пр

недостаточно.

При выборе выключателей и расчете релейной защиты необходимо

знать не угол, а период времени, в течение которого ротор успеет

достигнуть этого угла, т.е. предельно допустимое время отключения

КЗ. При трехфазном КЗ этот период можно определить аналитически.

Дифференциальное уравнение движения ротора (1.6.25) упро-

стится и примет вид

0 0

T P

⋅ =ω

(2.4.3)

где

– в радианах,

– в секундах,

– в относи-

тельных единицах,

2 314

ω = π⋅ =

В отличие от выражения (1.6.25), уравнение (2.4.3) линейно и

имеет решение.

Так угол

в зависимости от времени находится по выражению

0 0

( ) ,

P t

ω ⋅

′

δ = +δ

⋅

(2.4.4)

а время в зависимости от угла

(

)

0 0

( ) .

′

δ−δ

δ =

(2.4.5)

Предельное время отключения определится из выражения (2.4.5):

(

)

откл.пр 0

откл.пр

0 0

′

δ −δ

(2.4.6)

Следует подчеркнуть, что вышеприведенные выкладки относятся

к КЗ в начале одной из цепей ЛЭП. Если трехфазное КЗ происходит

не в начале линии, то величина взаимного сопротивления

уже не

будет равна бесконечности и схема станет подобной схеме для не-

симметричного КЗ. Следовательно, и динамический переход в этом

случае аналогичен переходу при несимметричном КЗ.

Рассмотрим численный пример.

Пример 2.4.1 Расчет динамического перехода при трехфазном КЗ

в начале одной из цепей ЛЭП.

В точке

системы (рисунок 2.2.1) произошло трехфазное КЗ.

Следует определить предельный угол отключения и предельное вре-

мя отключения, а также построить график зависимости угла поворота

ротора генератора от времени в период от начала КЗ до времени от-

ключения.

Определим предельный угол отключения по выражению (2.4.2)

(

)

откл.пр

0,3 2,597 0,437 0,579cos(2,597)

cos 0,265,

0,579

− +

= =

откл.пр

arccos(0,265) 1,303

рад 74,63 .

= = = °

В примере 1.6.1 был произведен расчет постоянной инерции ге-

нератора

ном

8,01c.

Приведем её к базисным условиям по выраже-

нию (1.6.23)

ном

2 125

8,01 2,002c.

1000

j j

T T

⋅

= = ⋅ =

Определим предельное время отключения при трехфазном КЗ по

выражению (2.4.6)

( )

откл.пр

2 2,002 1,303 0,437

0,193c.

0,3 314

⋅ −

= =

⋅

Зависимость угла поворота ротора генератора от времени рассчи-

таем по формуле (2.4.4)

0,3 314

( ) 0,437 23,55 0,437.

2,002 2

t t

⋅ ⋅

δ = + = ⋅ +

⋅

Зависимость имеет вид квадратной параболы и представлена на

рисунке 2.4.2. Из графика видно, что предельное время отключения

откл.пр

0,193c

соответствует предельному углу отключения

откл.пр

74,63 .

δ = °

После достижения угла

откл.пр

74,63 ,

δ = °

должен начаться период

торможения, однако этот процесс уже не является линейным и для

его анализа требуется применение метода последовательных интер-

валов.

откл.пр

0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2 0.22 0.24 0.26 0.28 0.3

100

120

140

160

146.471

25.033

δ t( )

180

⋅

0.30 t

откл.пр

Рисунок 2.4.2 – График зависимости угла поворота ротора от времени

2.5 Метод последовательных интервалов

Уравнение движения ротора генератора (1.6. 4), запишем в виде:

0 max

sin

T P P P

⋅ = − ⋅ δ = ∆

. (2.5.1)

Уравнение нелинейно и не может быть решено в общем виде.

Существуют, однако, методы численного интегрирования, одним из

которых является метод последовательных интервалов.

В соответствии с методом весь процесс качания ротора генерато-

ра разбивается на ряд интервалов времени

∆

и для каждого из них

последовательно вычисляется приращение угла

∆

В момент КЗ отдаваемая генератором мощность падает и на его

валу возникает некоторый избыток мощности

)0(

∆

Для малого ин-

тервала

∆

можно допустить, что избыток мощности в течение этого

интервала остается неизменным.

Интегрируя выражение (2.5.1), получаем в конце первого интер-

вала

(1) (0) 1

V a t c

= ∆ = ∆ +

(2.5.2)

(1) (0) 2

a c

∆

δ = +

(2.5.2)

Относительная скорость ротора в момент КЗ равна нулю (т.е.

), и поэтому относительная скорость ротора в конце первого ин-

тервала равна

(1) (0)

V a t

∆ = ∆

. При

∆

угол

будет равен

, т.е.

2 0

=δ

. Ускорение

(0)

может быть вычислено из (2.5.1):

(0)

∆

(2.5.3)

и тогда угол в конце первого интервала будет равен

(0)

(1) 0

∆

δ =δ + ⋅

(2.5.4)

где

представлены в радианах.

Если

выразить в градусах, а

– в секундах, то следует приме-

нить формулы пересчета

(

град

) (

рад

) (

рад

)

360 180

⋅

δ = ⋅δ = ⋅δ

ω π

(2.5.5)

(

рад

)

(c)

t =

(2.5.6)

Используя (2.5.5) и (2.5.6) и учитывая, что

(

рад

)

(c)

T =

(2.5.7)

получим выражение (2.5.4) в виде

(0) (0)

(1) 0 0

360

2 2

f P P

⋅ ⋅∆ ∆

∆

δ =δ + ⋅ =δ +

(2.5.8)

где

– коэффициент, равный

360

f t

⋅ ⋅∆

(2.5.9)

Ускорение, создаваемое во втором интервале, пропорционально

избытку мощности в конце первого интервала

(1)

∆

При вычислении

приращения угла в течение второго интервала необходимо учесть то,

что кроме действующего в этом интервале ускорения

(1)

ротор уже

имеет в начале интервала скорость

)1(

Следовательно, приращение

угла во втором интервале выразится

(1)

(2) (1) (1) (1)

2 2

V t a V t K

∆

∆δ = ⋅∆ + = ⋅∆ +

(2.5.10)

где

(1) 0 max 1

sin( ).

Р P P

∆ = − δ

Значение скорости

)1(

неточное, так как ускорение

(0)

не явля-

ется постоянным в течение первого интервала времени. Более точное

значение скорости можно получить, если предположить, что на пер-

вом интервале действует среднее ускорение:

(0) (1)

(0)

ср

a a

Тогда относительная скорость будет выражена формулой

(0) (1)

(1) (0)

ср

a a

V a t t

= ∆ = ∆

Подставляя значение

)1(

в (2.5.10), получим

2 2

(0) (1)

2 2

(2) (1) (0) (1) (1) (1)

2 2 2

a a

t t

t a a a t a t

∆ ∆

∆δ = ⋅∆ + = + ∆ = ∆δ + ∆

или

(2) (1) (1)

K P

∆δ = ∆δ + ⋅∆

Таким образом, первый интервал рассчитывается по форму-

ле

(0)

(1) 0

∆

δ =δ +

а все последующие по формуле

( ) ( 1) ( 1)

n n n

K P

− −

∆δ = ∆δ + ⋅∆

(2.5.11)

Такой расчет продолжается до точки, в которой вновь осуществ-

ляется переход с одной характеристики на другую (например, после

отключения поврежденной цепи). Так, если в начале некоторого ин-

тервала

происходит отключение поврежденного участка цепи, или,

в общем случае, любой переход с одной характеристики на другую,

то избыток мощности при этом изменяется от

( 1)

−

′

∆

(разность между

мощностью турбины и текущей мощностью одной характеристики)