Белов А.В., Коровин Ю.В. Устойчивость электрических систем
Подождите немного. Документ загружается.
71
до
( 1)
m
P
−
′′
∆
(разность между мощностью турбины и текущей мощно-
стью другой характеристики). Приращение угла на первом интер-
вале после переключения определится как
( 1) ( 1)
( ) ( 1)
.
2
m m
m m
P P
K
− −
−
′ ′′
∆ +∆
∆δ = ∆δ +
(2.5.12)
Расчет производится до тех пор, пока угол
δ
не начнет умень-
шаться, что будет свидетельствовать об устойчивости системы. Если
же угол
δ
начнет непрерывно возрастать, нужно будет сделать вывод
о том, что система неустойчива.
Пример 2.5.1 Расчет переходного процесса методом последова-
тельных интервалов.
Возьмем данные о системе из примера 2.2.1. Имеем характери-
стику нормального режима
( ) 0,672 sin ,
q
I
E
P
′
′ ′
δ = ⋅ δ
аварийного
( ) 0,192 sin
q
II
E
P
′
′ ′
δ = ⋅ δ
и послеаварийного
( ) 0,579 sin ,
q
III
E
P
′
′ ′
δ = ⋅ δ
мощ-
ность турбины равна
0
0,3,
P
=
угол, при котором происходит двух-
фазное на землю КЗ равен
0
25,035 ,
′
δ = °
угол, при котором происхо-
дит отключение поврежденной цепи равен
откл
80,0 .
δ = °
Требуется
определить время отключения и построить график зависимости угла
поворота ротора от времени.
Примем величину интервала времени
0,05c.
t
∆ =
Рассчитаем ко-
эффициент
K
по выражению (2.5.9)
2 2
360 360 50 0,05
22,5.
2,002
j
f t
K
T
⋅ ⋅∆ ⋅ ⋅
= = =
1-й интервал
Мощность, выдаваемая генератором в аварийном режиме при уг-
ле начала КЗ
0
25,035 ,
′
δ = °
равна
0
( ) 0,192 sin(25,035 ) 0,081.
q
II
E
P
′
′
δ = ⋅ ° =
В дальнейшем индексы
q
E
′
опустим.
Избыток мощности в начале первого интервала
(0) 0
(25,035 ) 0,3 0,081 0,219.
II
P P P∆ = − ° = − =
72
Приращение угла
1
′
δ
в течение первого интервала
(0)
1
2,46 .
2
P
K
∆
′
∆δ = ⋅ = °
Угол
1
′
δ
в конце первого инервала
1 0 1
29,988 .
′
δ = δ +∆δ = °
2-й интервал
Избыток мощности в начале второго интервала
(1) 0
(28,988 ) 0,207.
II
P P P∆ = − ° =
Приращение угла
2
′
δ
в течение первого интервала
2 1 (1)
7,113 .
K P
′ ′
∆δ = ∆δ + ∆ = °
Угол
1
′
δ
в конце первого интервала
2 1 2
36,1 .
′ ′ ′
δ = δ +∆δ = °
3-й интервал
(2) 0
(36,1 ) 0,187;
II
P P P∆ = − ° =
3 2 (2)
11,313 ;
K P
′ ′
∆δ = ∆δ + ∆ = °
3 2 3
47,414 .
′ ′ ′
δ =δ +∆δ = °
4-й интервал
(3) 0
(47,414 ) 0,158;
II
P P P∆ = − ° =
4 3 (3)
14,878 ;
K P
′ ′
∆δ = ∆δ + ∆ = °
4 3 4
62,291 .
′ ′ ′
δ = δ +∆δ = °
5-й интервал
(4) 0
(62,291 ) 0,13;
II
P P P∆ = − ° =
5 4 (4)
17,803 ;
K P
′ ′
∆δ = ∆δ + ∆ = °
5 4 5
80,088 .
′ ′ ′
δ =δ +∆δ = °
6-й интервал
Итак, в конце пятого интервала угол поворота ротора достиг 80
градусов. Именно при этом значении угла происходит отключение
поврежденной части цепи. И мы теперь знаем, что это происходит
через 0,25 с после начала КЗ.
Но нам необходимо продолжить расчет. В момент переключения
с аварийной характеристики на послеаварийную на ротор оказывает
влияние одновременно: разность мощностей между турбиной и ава-
рийной характеристикой, т.е.
73
(5) 0
(80,088 ) 0,111;
II
P P P
′
∆ = − ° =
и разность мощностей между турбиной и послеаварийной характери-
стикой, т.е.
(5) 0
(80,088 ) 0,27.
III
P P P
′′
∆ = − ° =−
Приращение угла
6
∆δ
рассчитаем по формуле (2.5.12)
(5) (5)
6 5
0,111 0,27
17,803 22,5 16.
2 2
P P
K
′ ′′
∆ +∆
−
′ ′
∆δ = ∆δ + = + =
Угол
6
′
δ
будет равен
6 5 6
96,088 .
′ ′ ′
δ =δ +∆δ = °
7-й интервал
(6) 0
(96,088 ) 0,276;
III
P P P∆ = − ° = −
7 6 (6)
9,796 ;
K P
′ ′
∆δ = ∆δ + ∆ = °
7 6 6
105,884 .
′ ′ ′
δ = δ +∆δ = °
Дальнейший расчет производится аналогично. После 8-го интер-
вала угол
′
δ
постепенно начинает уменьшаться, что свидетельствует
об устойчивости системы.
Результаты расчета поместим в таблицу 2.5.1
74
Таблица 2.5.1 Расчет переходного процесса системы
№№
интервалов
(n)
t
,
с
( 1)
n
P
−
∆
,
отн.ед.
( )
n
′
∆δ
,
град.
( )
n
′
δ
,
град.
0 0 0,219 25,035
1 0,05 0,207 2,46 28,98
2 0,1 0,187 7,113 36,1
3 0,15 0,158 11,313 47,41
4 0,2 0,13 14,878 62,29
5 0,25
(5)
0,111
P
′
∆ =
(5)
0,27
P
′′
∆ = −
17,797 80,09
6 0,3 – 0,276 16,0 96,09
7 0,35 – 0,257 9,796 105,88
8 0,4 – 0,244 4,015 109,9
9 0,45 – 0,249 – 1,484 108,41
10 0,5 – 1,595 106,82
График процесса построим в программе Mathcad. Для этого соз-
дадим две матрицы (рисунок 2.5.1), каждая из которых состоит из од-
ного столбца и 11 строчек. В первой матрице записываем время
t
(как аргумент), а во второй матрице – соответствующий угол поворо-
та
( )
t
′
δ
(как функцию).
Рисунок 2.5.1 – Создание матриц для построения графика в программе Mathcad
По данным матриц строится график (рисунок 2.5.2)
t
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
:=
δ t( )
25.035
28.98
36.1
47.41
62.29
80.09
96.01
105.8
109.9
108.4
106.8
:=
75
Рисунок 2.5.2 – График переходного процесса при двухфазном на землю КЗ в
начале одной из цепей ЛЭП
Расчет методом последовательных интервалов показал, что наи-
большее отклонение ротора составило
max
109,9 .
= °
δ
Этот же показа-
тель был нами рассчитан в п. 2.2 из условия равенства площадей ус-
корения и торможения и составлял
max
111,3
= °
δ
(см. рисунок 2.2.7).
Таким образом, погрешность расчета максимального отклонения ро-
тора, полученная различными методами, составляет 1,25%, что до-
пустимо.
2.6 Оценка динамической устойчивости сложных систем
Обычно СЭС предприятия получают питание от нескольких не-
зависимых источников. В этом случае систему внешнего электро-
снабжения можно рассматривать как сложную систему. Наиболее
распространенной является СЭС с двусторонним питанием.
Рассмотрим электрическую систему, содержащую две станции
(или два генератора), элементы связи с ними и нагрузку (рисунок
2.6.1).
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
20
40
60
80
100
120
δ t( )
t
76
1
Г
1
Т
H H
Р
Q
+
1
Л
0
U
2
Л
К
2
Т
2
Г
3
Т
Рисунок 2.6.1 – Расчетная схема сложной системы
От рассмотренной в предыдущих пунктах схемы, данная отлича-
ется тем, что введены дополнительно генератор и трансформатор. Ге-
нераторы совместно работают на общую нагрузку.
Работа генераторов станций описывается уравнениями
2
1
1 01 1max 1 1
2
2
2
2 02 2max 2 2
2
sin
sin
j
j
d
T P P P
dt
d
T P P P
dt
δ
⋅ = − ⋅ δ = ∆
δ
⋅ = − ⋅ δ = ∆
(2.6.1)
где
1
j
T
и
2
j
T
– постоянные инерции генераторов
1
Г
и
2
Г
,
01
P
и
02
P
–
мощность, отдаваемая в приемную систему генераторами
1
Г
и
2
Г
.
Нагрузку представим в виде неизменного комплексного сопро-
тивления. При этом связь между двумя источниками электрической
энергии создается пассивными элементами и её можно выразить че-
рез собственные и взаимные проводимости ветвей с учетом сопро-
тивления нагрузки. Тогда угловые характеристики мощности генера-
торов станций будут иметь вид
(
)
( )
1 1 1 11 11 1 2 12 12 12
2 2 2 22 22 1 2 12 12 12
( ) sin sin
( ) sin sin
P E E y E E y
P E E y E E y
′ ′ ′ ′
δ = α + δ −α
′ ′ ′ ′
δ = α − δ −α
(2.6.2)
Схема замещения для нормального режима работы показана на
рисунке 2.6.2. Оба генератора оснащены АРВ ПД.
77
Г1
E
′
Т1
0,44
х
j
Л1
0,734
х
j
Г1
1,112
d
х
j
′
Л2
0,734
х
j
Т2
0,352
х
j
0
1
U
=
Г2
0,17
d
х
j
′
Т3
0,067
х
j
H
0,459 0,309
Z
+ j
Г2
E
′
Рисунок 2.6.2 – Схема замещения сложной системы в нормальном режиме
Схема замещения для аварийного режима работы показана на ри-
сунке 2.6.2.
Г1
E
′
Т1
0,44
х
j
Л1
0,734
х
j
Г1
1,112
d
х
j
′
Л2
0,734
х
j
Т2
0,352
х
j
0
1
U
=
Г2
0,17
d
х
j
′
Т3
0,067
х
j
H
0,459 0,309
Z
+ j
Г2
E
′
(3)
0
x
∆
Г1
E
′
Т1
0,44
х
j
2
0,113 0,251
z
+ j
Г
1
1,112
d
х
j
′
1
0
z
Т
2
0,352
х
j
0
1
U
=
Г2
0,17
d
х
j
′
Т
3
0,067
х
j
Г2
E
′
3
0
z
a
b
Рисунок 2.6.3 – Сема замещения сложной системы в аварийном режиме:
a
– до преобразования,
b
– после преобразования
Сема замещения сложной системы в послеаварийном режиме
представлена на рисунке 2.6.4.
78
Г1
E
′
Т1
0,44
х
j
Л1
0,734
х
j
Г1
1,112
d
х
j
′
Т2
0,352
х
j
0
1
U
=
Г2
0,17
d
х
j
′
Т3
0,067
х
j
H
0,459 0,309
Z
+ j
Г2
E
′
Рисунок 2.6.4 – Схема замещения сложной системы в послеаварийном режиме
Угловые характеристики мощности, с учетом направления её пе-
редачи от станций в сеть для нормального режима, представлены на
рисунке 2.6.5. Они построены для общей переменной – взаимного уг-
ла
12
δ
перемещения роторов генераторов станций.
12
δ
δ
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0.2−
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.33
0.124−
Pg1 δ12( )
Pg2 δ12( )
P01
P02
1800
δ12
180
π
⋅
01
P
02
P
1 12
( )
P
δ
2 12
( )
P
δ
12
( )
P
δ
Рисунок 2.6.5 – Угловые характеристики генераторов
1
Г
и
2
Г
.
Выполнить оценку динамической устойчивости по значениям из-
бытков мощности и приращениям углов для каждого генератора не-
возможно, т.к. при этом неизвестен знак скорости относительного пе-
ремещения роторов генераторов (знак скорости изменения взаимного
угла
12
δ
).
Учесть этот знак можно по второй производной этой пере-
менной – относительному ускорению роторов генераторов станций.
С этой целью приведем уравнения (2.6.1) к виду
79
2
1 1
2
1
2
2 2
2
2
j
j
d P
dt T
d P
dt T
δ ∆
=
δ ∆
=
(2.6.3)
Разность между уравнениями (3.6.3) позволяет получить уравне-
ние относительного перемещения роторов генераторов
2
12 1 2
12
2
1 2
j j
d P P
a
dt T T
δ ∆ ∆
= = −
(2.6.4)
где
12
a
– относительное ускорение роторов генераторов.
На рисунке 2.6.6 представлена зависимость относительного уско-
рения
12
a
от взаимного угла перемещения роторов
12
δ
.
12
δ
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
3− 10
3
×
2− 10
3
×
1− 10
3
×
1 10
3
×
2 10
3
×
3 10
3
×
4 10
3
×
3.619 10
3
×
2.959− 10
3
×
a'12 δ12( )
1800
δ12
180
π
⋅
12
a
12 12
( )
a
δ
Рисунок 2.6.6 – Зависимость относительного ускорения роторов генерато-
ров от взаимного угла перемещения роторов
Ускорение
12
a
знакопеременное. Между относительным ускоре-
нием
12
a
и скоростью перемещения роторов
12
V
существует связь
12
12
dV
a
dt
=
,
(2.6.5)
из которой следует, что при положительных значениях ускорения от-
носительная скорость перемещения роторов возрастает, а при отри-
цательных – уменьшается.
80
С учетом того, что
12
12
,
d
V
dt
δ
=
можно записать
12 12
12 12 12
12
dV d
a V dV
d dt
δ
= ⋅ =
δ
Интегрирование последнего выражения дает
12 12
2
12 12 12 12 12
12(0) 12(0) 0
0,5
V
V
a d V dV V
δ
δ =
δ = = ⋅
∫ ∫
(2.6.6)
Левая часть равенства (2.6.6) определяет площадь, которая огра-
ничивается кривой
12 12
( )
a
δ
.
Эта площадь пропорциональна скорости
относительного перемещения роторов генераторов. Соответственно
знаку относительного ускорения можно выразить площади ускорения
(увеличение скорости относительного перемещения роторов) и тор-
можения (её уменьшение) и использовать метод площадей на основе
равенства (2.6.6) для оценки устойчивости системы.
Равенству
12
12 12
12(0)
0
a d
δ
δ
δ =
∫
соответствует скорость
12
0,
V
=
что вы-
полняется при
уск торм
.
F F
=
Наибольшая площадь торможения
12( )
торм.max 12 12
12( )
n
m
F a d
δ
δ
= δ
∫
(2.6.7)
может быть использована для оценки запаса динамической устойчи-
вости системы
торм.max уск
уск
100%.
F F
K
F
−
= ⋅
(2.6.8)
Пример 2.6.1 Расчет динамической устойчивости сложной сис-
темы при трехфазном КЗ в начале одной из цепей ЛЭП.
Система (рисунок 2.6.1), представляет собой уже рассмотренную
в п.2.2 систему, которая в данном случае работает совместно с гене-
ратором
2
Г
и трансформатором
3
Т
, обеспечивая двустороннее
пита-
ние нагрузки
H H H
S P Q
= +
.
Нагрузка:
H
1500
МВт
P
=
;
H
cos 0,83.
ϕ =
Сопротивление нагрузки в схеме замещения нулевой последова-
тельности, приведенное к базисным условиям
0H
0,2.
z j
=
ɺ