Белов А.В., Коровин Ю.В. Устойчивость электрических систем
Подождите немного. Документ загружается.
121
Проверка:
( )
( )
2
2
1 1
1
1 1 1,
Z
A D B C Z
Z Z
⋅ − ⋅ = ⋅ + − ⋅ =
ɺ
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ
что подтверждает правильность расчетов.
Сопротивление как четырехполюсник
Даже одиночное сопротивление можно представить в качестве П-
образного четырехполюсника, у которого два сопротивления
(
1
Z
ɺ
и
3
Z
ɺ
) равны бесконечности (рисунок П2.6).
1
Z
= ∞
ɺ
2
Z
ɺ
3
Z
= ∞
ɺ
1
U
ɺ
2
U
ɺ
Рисунок П2.6 – Сопротивление как четырехполюсник
Используя формулы для расчета коэффициентов П-образного че-
тырехполюсника, получим следующие выражения (при условиях
1
Z
=∞
ɺ
и
3
Z
=∞
ɺ
):
1;
A
=
ɺ
2
;
B Z
=
ɺ ɺ
0;
C
=
ɺ
1.
D
=
ɺ
(П2.17)
Проверка:
(
)
(
)
(
)
(
)
2
1 1 0 1,
A D B C Z
⋅ − ⋅ = ⋅ − ⋅ =
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
что подтверждает правильность расчетов.
Последовательное соединение четырехполюсников
Любую цепь из последовательно составленных пассивных эле-
ментов можно разложить на ряд последовательно соединенных эле-
ментарных четырехполюсников (Т-образных, П-образных и т.д.).
Любые два четырехполюсника можно заменить одним, обобщенным
четырехполюсником (рисунок П2.7).
122
Рисунок П2.7 – Замена двух четырехполюсников одним
Определение проводимостей по коэффициентам
четырехполюсника
Коэффициенты четырехполюсника необходимы для того, чтобы
рассчитать собственные и взаимные проводимости цепей источника и
приемной системы.
Из выражений (П2.3) и (П2.4) находим:
21 12
1
;
Y Y
B
= =
ɺ ɺ
ɺ
22
;
A
Y
B
=
ɺ
ɺ
ɺ
11
.
D
Y
B
=
ɺ
ɺ
ɺ
(П2.18)
Соответственно собственные и взаимные сопротивления равны
21 12
;
Z Z B
= =
ɺ ɺ ɺ
22
;
B
Z
A
=
ɺ
ɺ
ɺ
11
.
B
Z
D
=
ɺ
ɺ
ɺ
(П2.19)
123
Таблица П2.1 – Коэффициенты четырехполюсников
Т-образный П-образный Г-образный Сопротив-
ление
Параметры
А
1
3
1
Z
A
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
2
3
1
Z
A
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
1
A
=
ɺ
1
A
=
ɺ
В
1 2
1 2
3
Z Z
B Z Z
Z
⋅
= + +
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
ɺ
2
B Z
=
ɺ ɺ
2
B Z
=
ɺ ɺ
B Z
=
ɺ ɺ
С
3
1
C
Z
=
ɺ
ɺ
1 2 3
1 3
Z Z Z
C
Z Z
+ +
=
ɺ ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ
1
1
C
Z
=
ɺ
ɺ
0
C
=
ɺ
D
2
3
1
Z
D
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
2
1
1
Z
D
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
2
1
1
Z
D
Z
= +
ɺ
ɺ
ɺ
1=D
Если один из четырехполюсников имеет коэффициенты
1 1 1 1
, , ,
A B C D
ɺ ɺ
ɺ ɺ
, а другой –
2 2 2 2
, , ,
A B C D
ɺ ɺ
ɺ ɺ
, то коэффициенты обобщенно-
го четырехполюсника можно рассчитать по выражениям:
0 1 2 1 2
A A A B C
= ⋅ + ⋅
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ
0 1 2 1 2
B A B B D
= ⋅ + ⋅
ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
(П2.19)
0 1 2 1 2
C C A D C
= ⋅ + ⋅
ɺ ɺ ɺ ɺ
ɺ
0 1 2 1 2
D D D C B
= ⋅ + ⋅
ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ
124
Таблица П2.2 – Собственные и взаимные сопротивления
и проводимости четырехполюсников
Т-образный П-образный Г-образный Сопротив-
ление
Параметры
11
Z
ɺ
2 3
1
2 3
Z Z
Z
Z Z
+
+
ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ
1 2
1 2
Z Z
Z Z
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
1 2
1 2
Z Z
Z Z
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
Z
ɺ
12
21
,
Z
Z
ɺ
ɺ
1 2
1 2
3
Z Z
Z Z
Z
+ +
ɺ ɺ
ɺ ɺ
ɺ
2
Z
ɺ
2
Z
ɺ
Z
ɺ
22
Z
ɺ
1 3
2
1 3
Z Z
Z
Z Z
+
+
ɺ ɺ
ɺ
ɺ ɺ
2 3
2 3
Z Z
Z Z
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
2
Z
ɺ
Z
ɺ
11
Y
ɺ
2 3
1 2 1 3 2 3
Z Z
Z Z Z Z Z Z
+
+ +
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
1 2
1 2
Z Z
Z Z
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
1 2
1 2
Z Z
Z Z
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
1
Z
ɺ
12
21
,
Y
Y
ɺ
ɺ
3
1 2 1 3 2 3
Z
Z Z Z Z Z Z
+ +
ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
2
1
Z
ɺ
2
1
Z
ɺ
1
Z
ɺ
22
Y
ɺ
1 3
1 2 1 3 2 3
Z Z
Z Z Z Z Z Z
+
+ +
ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ
2 3
2 3
Z Z
Z Z
+
ɺ ɺ
ɺ ɺ
2
1
Z
ɺ
1
Z
ɺ
Для проверки правильности расчетов коэффициентов используют
выражение
1.
A D B C
⋅ − ⋅ =
ɺ ɺ
ɺ ɺ
(П2.5)
125
Приложение 3 Комплексные числа и операции с ними
При расчете коротких замыканий необходимо сопоставлять раз-
личные токи, напряжения, складывать или вычитать их, определять
углы между ними и т.д. При этом токи и напряжения часто представ-
ляют в виде векторов, каждый из которых задают комплексным чис-
лом
а jb
= +
Z
(П3.1)
где a и b – действительные (вещественные) числа;
j
– мнимая едини-
ца; jb – мнимое число.
Мнимой единицей называют число
j
, квадрат которого равен ми-
нус 1, то есть
2
1,
j
= −
откуда следует
1.
j
= −
Этому условию не мо-
жет удовлетворять ни одно действительное число.
Число
a
называют также вещественной частью комплексного
числа
z
,
jb
– его мнимой частью.
Любое комплексное число
а jb
= +
Z
можно изобразить графи-
чески на числовой комплексной плоскости. Если в прямоугольной
системе координат по горизонтальной оси + (оси абсцисс) отложить
a
, по вертикальной оси
+j
(оси ординат) отложить
b
, то комплексно-
му числу
Z
будет соответствовать точка с координатами (
a; b
) (ри-
сунок П 3.1).
ϕ
a jb
= +
Z
2 2
r z z a b
= = = +
ɺ
r
z
z
=
=
ɺ
arg( ) arctg
b
z
a
ϕ= =
ɺ
Z
Рисунок П 3.1 – Векторное изображение комплексного числа
Для большей наглядности комплексное число обычно изобража-
ют не в виде точки, а в виде вектора
Z
, соединяющего начало коор-
126
динат с точкой (
a; b
). Этот вектор и ставят в соответствие комплекс-
ному числу, т. е.
а jb
= +
Z
. Заметим, что в электротехнике для ком-
плексного числа вместо
Z
используют символическое обозначение
z
ɺ
, которым мы и будем пользоваться (см. рисунок П 3.1).
Длина вектора, изображающего комплексное число, называется
модулем этого числа (или вектора). Модуль вектора
z
а jb
= +
ɺ
обо-
значают
z
ɺ
или
z
, а также буквой
r
, причём
2 2
r z z a b
= = = +
ɺ
. (П3.2)
Угол
φ
, который характеризует расположение вектора
z
ɺ
отно-
сительно положительного направления оси абсцисс, называется аргу-
ментом комплексного числа (или вектора) и обозначается через
arg
z
ɺ
,
причём
arg arctg
b
z
a
ϕ= =
ɺ
. (П3.3)
Существует три формы представления комплексных чисел:
– алгебраическая
z
а jb
= +
ɺ
;
– тригонометрическая
(cos sin )
z z j
= ⋅ ϕ+ ⋅ ϕ
ɺ ɺ
;
– экспоненциальная (или показательная)
e
j
z z
ϕ
= ⋅
ɺ ɺ
.
Алгебраическая форма позволяет легко выполнять операцию
сложения (и вычитания) согласно правилу:
чтобы найти сумму (разность) двух комплексных чи-
сел (или двух векторов), нужно сложить (вычесть) по
отдельности их вещественные и мнимые части.
Пример П3.1
Имеется два вектора
А а jb
= +
ɺ
и
B c jd
= +
ɺ
, где
10;
a
=
15;
b
=
20
c
=
и
25
d
= −
. Найдём их сумму:
( ) ( ) ( ) ( )
(10 20) (15 25) 30 10.
А B а jb c jd a c j b d
j j
+ = + + + = + + + =
+ + − = −
ɺ
ɺ
Тот же результат мы получим, выполнив геометрическое сумми-
рование векторов
и
А B
ɺ
ɺ
(рисунок П3.2). Поэтому сумма двух или не-
скольких комплексных чисел (векторов токов, напряжений и т. д.) на-
зывается их геометрической суммой.
127
A
ɺ
B
ɺ
A B
+
ɺ
ɺ
A
ϕ
B
ϕ
10
a
=
20
c
=
15
b
=
10
−
d
=−25
30
A
r
A
=
ɺ
B
r
B
=
ɺ
Рисунок П 3.2 – Нахождение суммы двух векторов
Чтобы произвести умножение двух комплексных чисел, за-
данных в алгебраической форме, необходимо использовать правило
умножения многочленов с учётом основного свойства мнимого числа
(т. е.
2
1
j
= −
):
( )
( ) ( ) ( )
10 20 10 ( 25) 15 20 ( 1) 15 ( 25) 575 50.
А B а jb c jd a c a jd jb c jb jd
j j j
⋅ = + ⋅ + = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ =
⋅ + ⋅ − + ⋅ + − ⋅ ⋅ − = +
ɺ
ɺ
Удобнее выполнять умножение и деление комплексных чисел,
когда они представлены в экспоненциальной или тригонометриче-
ской форме:
при умножении (делении) двух комплексных чисел, их
модули перемножаются (делятся друг на друга), а аргу-
менты складываются (вычитаются).
Пример П3. 2
Для условий Примера П3.1 найдем модули и аргументы векто-
ров
A
ɺ
и
B
ɺ
:
128
2 2 2 2
10 15 18,0;
A
A r a b= = + = + =
ɺ
arctg1,5 56,31 ;
A
ϕ = = °
2 2 2 2
20 ( 25) 32,0;
B
B r c d= = + = + − =
ɺ
arctg( 1,25) 51,34 ,
B
ϕ = − = − °
представим векторы в тригонометрической форме:
(cos sin ) 18,0 (cos56,31 sin56,31 );
A A A
A r j j
= ϕ + ⋅ ϕ = ⋅ °+ ⋅ °
ɺ
[
]
(cos sin ) 32,0 cos( 51,34 ) sin( 51,34 ) ,
B B B
B r j
= ϕ + ϕ = ⋅ − ° + ⋅ − °
ɺ
в экспоненциальной форме:
56,31
e 18,0 e ;
А
j
j
A
А r
ϕ
⋅ °
= ⋅ = ⋅
ɺ
( 51,34 )
e 32,0 e
B
j
j
B
B r
ϕ
⋅ − °
= ⋅ = ⋅
ɺ
,
затем найдём произведение векторов
A
ɺ
и
B
ɺ
, используя эти формы:
[
]
[ ]
cos( ) sin( )
18,0 32,0 cos(56,31 51,34 ) sin(56,31 51,34 )
576,0 (cos4,97 sin4,97 ) 574 49,9;
A B A B
A B A B j
j
j j
⋅ = ⋅ ⋅ ϕ + ϕ + ⋅ ϕ + ϕ =
= ⋅ ⋅ °− ° + ⋅ °− ° =
= ⋅ °+ ⋅ ° = + ⋅
ɺ ɺ
ɺ ɺ
( )
(56,31 51,34 ) 4,97
e e
18,0 32,0 e 576,0 e 574 49,9,
А B A B
j j j
j j
А B А B e А B
j
ϕ ϕ ϕ +ϕ
⋅ °− ° ⋅ °
⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ = ⋅ = +
ɺ ɺ ɺ
ɺ ɺ ɺ
что практически совпадает с результатом из примера П3.1. Незначи-
тельное расхождение вызвано погрешностью округления промежу-
точных результатов.
Пример П 3.3
Используя те же данные, произведем деление векторов
А
ɺ
и
В
ɺ
,
заданных в показательной форме:
( )
(56,31 51,34 ) (107,65 )
18,0
e e 0,563 e
32,0
0,563 (cos107,65 sin107,65 ) 0,171 0,536.
A B
j j j
A
A
B
B
j j
ϕ −ϕ °+ ° °
= ⋅ = ⋅ = ⋅ =
= ⋅ °+ ⋅ ° = − + ⋅
ɺ
ɺ
ɺ
ɺ
Выражение основных характеристик электрических цепей ком-
плексными числами
Если вектор тока в цепи при индуктивной нагрузке отстает от
вектора напряжения на угол
ϕ
, а направление вектора напряжения
совпадает с осью действительных величин, то комплекс тока можно
записать в виде
cos sin e
j
I I jI I
− ϕ
= ϕ− ϕ=
ɺ
(П3.4)
129
Действительная и мнимая части комплекса тока равны проекциям
вектора тока на оси комплексной плоскости (ось действительных и
ось мнимых чисел).
Активная и реактивная составляющие вектора тока в данном уча-
стке цепи равны его проекциям на взаимно перпендикулярные оси,
одна из которых направлена вдоль вектора напряжения этого же уча-
стка цепи. Необходимо отметить, что действительная и мнимая
части комплекса тока равны соответственно активной и реак-
тивной составляющим вектора тока только в том случае, если
вектор напряжения направлен вдоль оси действительных чисел,
т.е. комплекс напряжения выражен действительным числом.
Активное сопротивление в комплексной форме выражается дей-
ствительным положительным числом:
0
e
j
r r r
°
= =
ɺ
(П3.5)
Реактивные сопротивления в комплексной форме выражаются
мнимыми числами, причем индуктивное сопротивление положитель-
но, а емкостное сопротивление отрицательно:
90
e ;
L L L
j
x x jx
°
= =
ɺ
(П3.6)
90
e .
C C C
j
x x jx
− °
= =−
ɺ
(П3.7)
Проводимость ветви электрической цепи в комплексной форме
выражается комплексным числом, действительная часть которого
равна активной проводимости, а мнимая часть реактивной проводи-
мости этой ветви, причем индуктивная проводимость отрицательна, а
емкостная – положительна.
90
e ;
L L L
j
y y jy
− °
= = −
ɺ
(П3.8)
90
e .
C C C
j
y y jy
°
= =
ɺ
(П3.9)
При направлении вектора напряжения параллельно оси действи-
тельных чисел
,
U U
=
ɺ
вектор тока в цепи, содержащей индуктив-
ность, будет равен
e ,
j
I I
− ϕ
=
ɺ
где
ϕ
– угол сдвига фаз между током и напряжением.
Произведение комплекса напряжения и сопряженного ком-
плекса тока в цепи, содержащей индуктивность, дадут комплекс
полной мощности (сопряженным называется комплекс, отличаю-
щийся от основного лишь знаком перед мнимой частью):
130
ˆ
e ( cos sin ) .
j
S UI UI U I I P jQ
+ ϕ
= = = ϕ+ ϕ = +
ɺ
ɺ
(П3.10)
Произведение комплекса напряжения и сопряженного ком-
плекса тока в цепи, содержащей емкость, дадут комплекс полной
мощности:
ˆ
e ( cos sin ) .
j
S UI UI U I I P jQ
− ϕ
= = = ϕ− ϕ = −
ɺ
ɺ
(П3.11)
Реактивная мощность в цепи с емкостью имеет отрицательный
знак в отличие от реактивной мощности в цепи с индуктивностью,
которая положительна. Модуль полной мощности в обоих случаях
одинаков:
2 2
.
S UI P Q
= = +
(П3.12)
При произвольном направлении вектора напряжения
e
j
U U
δ
= ⋅
ɺ
вектор тока в ветви с индуктивной нагрузкой равен
e ,
I I
δ−ϕ
= ⋅
ɺ
где
ϕ
– фазовый сдвиг между векторами тока и напряжения.
Тогда полный комплекс мощности
( ) ( )
ˆ
e e e e .
j j j j
S UI U I UI UI
δ −δ+ϕ δ−δ+ϕ ϕ
= = ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅
ɺ
ɺ
(П3.13)
Сравнив выражение (П4.13) с выражением (П4.10) убедимся в
том, что результат расчета одинаков и не зависит от начального на-
правления вектора напряжения. Отсюда следует вывод о том, что вы-
ражение комплекса полной мощности не несет информации о на-
правлении вектора напряжения, а лишь о фазовом сдвиге между
током и напряжением.
Комплекс тока в цепи можно определить как отношение со-
пряженного комплекса полной мощности к сопряженному ком-
плексу напряжения на данном участке цепи:
ˆ
.
ˆ
S
I
U
=
ɺ
(П3.14)
Например, если комплекс мощности равен
e ,
j
S UI
ϕ
= ⋅
ɺ
а ком-
плекс напряжения равен
e ,
j
U U
δ
= ⋅
ɺ
то комплекс тока будет равен
( )
ˆ
e
e .
ˆ
e
j
j
j
S UI
I I
U
U
− ϕ
δ−ϕ
− δ
⋅
= = = ⋅
⋅
ɺ
Можно сделать вывод о том, что при вычислении комплекса то-
ка как отношения сопряженных комплексов полной мощности и