Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
82
Гл.
З.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
продолжительность
предстоящей
жизни.
Таблица
смертности,
представленная
в
разд.
3.3,
полностью
определяет
распределение
вероятностей
с.в.
К.
ДЛЯ
опреде
ления
распределения
С.в.
Т
мы
должны
постулировать
некоторую
аналитическую
форму
или
основываться
на
таблице
смертности,
приняв
некоторое
предположение
о
структуре
распределения
между
целыми
точками.
Мы
рассмотрим
три
широко
используемых
в
актуарной
науке
предположения.
Они
будут
сформулированы
в
терминах
функции
дожития
и
в
такой
форме,
которая
позволяет
показать
природу
интерполяции
на
интервале
(х,
х
+
1),
вытекающую
из
каждого
из
этих
предположений.
В
каждом
утверждении
х
является
целым
и
О
:::;
t
:::;
1.
Сформулируем
предположения:
•
Линейная
интерполяция:
s(x
+t) =
(1
- t)s(x) +t
s(x
+ 1).
Это
приводит
К
равно,м,ерному
расnределенuю
или,
точнее,
к
равномерному
распределению
моментов
смерти
внутри
каждого
годичного
возрастного
интервала.
При
этом
предположении
tPx
является
линейной
функцией.
•
Показательная
интерполяция,
или
линейная
интерполяция
для
ln
s(x+t):
ln
s(x
+ t) =
(1
- t) ln s(x) + t ln
s(x
+ 1).
Это
согласуется
с
предположением
о
постоянной
интенсивности
смертности
внутри
каждого
годичного
воз
растного
интервала.
При
этом
предположении
tPx
является
показательной
функцией.
•
Гармоническая
интерполяция:
1/s(x+t)
=
(l-t)/s(x)+t/s(x+l).
Это
то,
что
называется
предположением
о
гиnерболu'Ч,ности
(исторически,
предполо
жением
Вал'Ьду'Ч,'Ч,u
1
))
,
поскольку
в
этом
случае
tPx
является
гиперболической
кривой.
Опираясь
на
эти
основные
определения,
для
остальных
стандартных
вероят
ностных
функций
можно
вывести
формулы
в
терминах
вероятностей,
указанных
в
таблице
смертности.
Такие
результаты
представлены
в
табл.
3.6.1.
Заметим,
что
мы
с
тем
же
успехом
могли
бы
сформулировать
эквивалентные
определения
в
терминах
функции
плотности,
функции
распределения
или
интенсивности
смертности.
Вывод
выражений,
входящих
в
табл.
3.6.1,
является
просто
упражнением,
за
ключающимся
в
подстановке
сформулированных
выше
предположений
о
s(x
+t)
в
соответствующие
формулы
разд.
3.2
и
3.3.
Мы
продемонстрируем
этот
процесс
для
равномерного
распределения
смертей;
предположение
о
равномерности
распределе
ния
будет часто
использоваться
на
всем
протяжении
настоящей
книги.
Для
определения
первого
выражения
в
столбце,
относящемся
к
равномерному
распределению,
начнем
с
соотношения
s(x) -
s(x
+t)
tQx = s(x) ,
О
:::;
t
:::;
1,
а
затем
подставим
соответствующее
выражение
для
s(x
+t)
и
получим
s(x) -
[(1
- t)s(x) +
ts(x
+
1)]
t[s(x) -
s(x
+
1)]
tqx = s(x) = s(x) =
tq'J;'
Для
второго
выражения
воспользуемся
формулой
(3.2.13)
и
s'(x +t)
J.L(x
+
t)
= - ( ) ;
s
х+
t
l)это
предположение
названо по
имени
Дж.
Бальдуччи,
итальянского
актуария,
который
ука
зал
роль
этого
предположения
в
традиционном
актуарном
методе
построения
таблиц
смертности.
3.6.
Предположения
для
дробных
возрастов
83
yqx+t
=
далее,
подставляя
соответствующее
выражение
для
s(x +t),
получаем
s(x) - s(x +
1)
fL(X
+
t)
-
~--------:
-
(1
- t)s(x) +
ts(x
+
1)
Деление
числителя
и
знаменателя
в
правой
части
на
s(x)
приводит
К
формуле
р(х
+ t) =
qx
.
1 -
tqx
Третье
выражение
является
частным
случаем
четвертого
при
у
= 1 - t.
Рассматривая
четвертое
выражение,
начнем
с
равенства
s(x + t) - s(x + t +
у)
yqx+t
= s(x + t) ,
а
затем,
подставив
соответствующее
выражение
для
s(x +t)
и
s(x +t +
у),
получим
[(1
- t)s(x) +
ts(x
+
1)]
-
[(1
- t - y)s(x) + (t + y)s(x +
1)]
(1
- t)s(x) +
ts(x
+
1)
y[s(x) - s(x + l)]/s(x)
yqx
{s(x) - t[s(x) - s(x +
l)]}/s(x)
1 -
tqx
Пятое
выражение
является
дополнением
первого,
и
последнее
выражение
в
столбце,
относящемся
к
равномерному
распределению,
является
произведением
вто
рого
и
пятого
выражений.
Таблица
3.6.1.
Вероятностные
функции
для
дробных
возрастов
l
)
Предположения
Функция
Равномерное
Постоянная
Гиперболичность
распределение
интенсивность
tqx tqx
1 -
p~
tqx
1 -
(1
-
t)qx
J.t(x
+
t)
qx
-lnpx
qx
1 - tqx
1-
(l-t)qx
l-tqx+t
(1
- t)qx
1
l-t
(1
-
t)qx
1 - tqx
-рх
yqx+t
yqx
1-
P~
yqx
1-
tqx
1 -
(1
-
У
-
t)qx
tpx
1 - tqx
p~
рх
1 -
(1
-
t)qx
tPx
J.t(x
+t)
qж
-p~
lпрж
qxPx
[1
-
{1
- t)qxJ2
Если,
как
и
ранее,
х
является
целым
числом,
то
анализ
можно
провести,
введя
случайную
величину
8 = S
(х),
такую,
что
Т=К
+8,
(3.6.1)
где
Т
является
продолжительностью
предстоящей
жизни,
К
-
пошаговой
продол
жительностью
предстоящей
жизни,
а
8 -
случайной
величиной,
представляющей
прожитую
дробную
часть
года,
в
котором
наступила
смерть.
Поскольку
К
является
неотрицательной
целочисленной
случайной
величиной,
а
S -
случайной
величиной
l)Заметим,
что
в
этой
таблице
х
целое,
О
< t <
1,
О
~
У
~
1,
у
+t
~
1.
В
первой,
третьей,
четвертой
и
пятой
строках
соотношения
справедливы
также
для
t =
О
и
t = 1.
84
Гл.
3.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
непрерывного
типа,
вся
масса
которой
сосредоточена
на
интервале
(0,1),
мы
можем
исследовать
их
совместное
распределение,
записав
P[(K=k)
n
(B~B)]
=
P(k
<T~
k +
В)
=
kPx
sqx+k.
Теперь,
воспользовавшись
выражением
для
sQx+k
в
предположении
равномер
ности
распределения,
как
показано
в
табл.
3.6.1,
получим
Р[(К
=
k)
n
(В
~
в)]
=
kPx
s
Qx+k
=
klQx
s =
Р(К
=
k)
Р(В
~
в).
(3.6.2)
Таким
образом,
совместное
распределение
с.в.
К
и
В
может
быть
разложено
на
произведение
маргинальных
распределений
с.в.
К
и
В.
Поэтому
в
предположении
равномерности
распределения
моментов
смерти
с.в.
К
и
В
оказываются
независи
мыми.
Поскольку
распределение
Р(В
~
В)
= S
является
равномерным
на
(0,1),
с.в.
В
имеет
именно
такое
равномерное
распределение.
Пример
3.6.1.
Будут
ли
С.в.
К
И
В
независимыми
в
предположении
постоянной
интенсивности
смертности?
Решение.
Воспользовавшись
информацией
из
табл.
3.6.1,
относящейся
к
пред
положению
о
постоянной
интенсивности
смертности,
мы
получаем
P[(K=k)
n
(B~B)]
= kPxsQx+k =
kPx[1-
(Px+k)S].
Для
обсуждения
этого
результата
будем
различать
два
случая:
•
Если
в
выражение
для
Px+k
входит
k,
то
мы
не
можем
представить
совместное
распределение
С.в.
К
и
В
в
виде
произведения
маргинальных
распределений.
Отсюда
мы
делаем
вывод,
что
С.в.
К
И
В
не
являются
независимыми.
•
В
частнОМ
случае,
когда
Px+k =
Рх
-
константа,
Р[(К
=k) n
(В
~
в)]
= pk(1 -
рВ)
=
(1
-
px)p~(l
-
p~)
=
Р(К
=k)
Р(8
~
s).
х х
1 -
Рх
Для
этого
частного
случая
мы
получаем,
что
с.в.
К
И
8
оказываются
неза
висимыми
в
предположении
постоянной
интенсивности
смертности.
~
Пример
3.6.2.
Покажем,
что
в
предположении
равномерности
распределения
смертей
(а)
~x
=
е
х
+
1/2,
(Ь)
D[T] = D[K] +
1/12.
о
Решение.
(а)
е
х
=
Е[Т]
=
Е[К
+8] =
Е[К]
+
Е[В]
=
еж
+
1/2.
(Ь)
D[T] =
D[K
+В].
Из
независимости
с.в.
К
и
В
в
предположении
равномер
ности
распределения
смертей
получаем
D[T] =
D[K]
+ D[B].
Далее,
поскольку
С.В.
В
равномерно
распределена
на
(0,1),
D[T] = D[K] +
1/12.
~
3.7.
Некоторые
аналитические
законы
смертности
Имеется
три
основных
аргумента
в
пользу
принятия
аналитического
выраже
ния
для
функции
смертности
или
для
функции
дожития.
Первый
-
философский.
Многие
явления,
изучавшиеся
в
физике,
можно
эффективно
объяснить
с
помощью
простых
формул.
Поэтому,
основываясь
на
биологических
соображениях,
некоторые
авторы
предположили,
что
дожитие
в
человеческом
сообществе
управляется
такими
же
простыми
законами.
Второй
аргумент
-
практическиЙ.
Функция
с
нескольки
ми
параметрами
легче
воспринимается,
чем
таблица
смертности
с,
возможно,
100
параметрами
или
вероятностями
смерти.
Кроме
того,
некоторые
из
аналитических
З.
7.
Некоторые
аналитические
законы
смертности
85
выражений
обладают
простым
и
свойствами,
которые
удобны
при
выводе
вероят
ностных
утверждений,
касающихся
более
чем
одного
лица.
Третий
аргумент
для
простых
аналитических
функций дожития
-
легкость
оценивания параметров
этой
функции
на
основе
данных
о
смертности.
В
последние
годы
энтузиазм
в
отношении
простых
аналитических
функций
до
жития
существенно
уменьшился.
Многие
полагают,
что
вера
в
универсальные
зако
ны
смертности
наивна.
При
все
увеличивающемся
быстродействии
и
объеме
памяти
компьютеров
преимущества
некоторых
аналитических
выражений
при
проведении
вычислений,
касающихся
более
чем
одного
лица,
уже
не
играют
значительной
роли.
Однако
в
результате
некоторых
недавних
исследований
оживились
биологические
аргументы
в
поддержку
аналитических
законов
смертности.
В
табл.
3.7.1
приводятся
несколько
семейств
простых
аналитических
функций
смертности
и
дожития,
соответствующих
различным
известным
законам.
Для
удоб
ства
ссылок
указаны
названия
законов,
лежащих
в
их
основе,
и
даты
публикации.
Таблица
3.7.1.
Функции
смертности
и
дожития
для
различных
распределений
Исходное
распределение
Де
Муавр
(1729)
Гомперц
(1825)
Мейкем
(1860)
Вейбулл
(1939)
J.L(x)
(w
-
x)-l
ВеХ
А+Ве
Ж
kx
n
в(х)
l-x/w
exp[-т(е
Ж
- 1)]
ехр[-Ах
-
т(е
Х
- 1)]
ехр(
_uх
п
+
1
)
Ограничения
O~x<cи
В
>
О,
е
> 1,
х
~
О
В
>
О,
А
~
-В,
с
> 1,
х
~
О
k >
О,
n >
О,
х
~
О
Отметим
следующие
факты:
•
Специальные
символы
определяются
формулами
т =
В
/ ln
с,
и
=
kf(n
+1).
•
Закон
Гомперца
является
частным
случаем
закона
Мейкема
при
А
=
о.
•
Если
с
=1
в
законах
Гомперца
и
Мейкема,
то
мы
приходим
К
показательному
(постоянная
интенсивность
смертности)
распределению.
•
При
рассмотрении
закона
Мейкема
считалось,
что
константа
А
отвечает
не
счастному
случаю,
а
выражение
Вс
Х
-
старению.
Выражения
в
столбце
s(x)
табл.
3.7.1
были
получены
подстановкой
в
(3.2.16).
Например,
для
закона
Мейкема
s(x) =
ехр
[ -
[(А
+
Ве')
dS]
=
ехр
[ -
Ах
-
В
~n~
1] =
ехр[-Ах
-
т(с"
-
1)],
где
т
=
В
/ ln
с.
В
примерах
и
в
упражнениях
этой
книги
разработка
таблицы
смертности
под
чинялась
двум
целям.
Одна
цель
состояла
в
том,
чтобы
выбирать
коэффициент
смертности
из
середины
диапазона
его
изменения
дЛя
всей
группы.
Разброс
здесь
возникает
в
силу
таких
факторов,
как
место
жительства,
пол,
статус
страхователя,
статус
аннуитета,
семейное
положение,
занятость.
Вторая
цель
-
определить
пара
метры
закона
Мейкема
так,
чтобы
он
подходил
дЛя
большинства
возрастов,
с
тем,
чтобы
показать,
как
можно
проводить
вычисления,
относящиеся
к
многим
лицам.
Иллюстративная
таблица
смертности
из
приложения
2А
основана
на
законе
Мейкема
для
возрастов
13
лет и
выше,
(3.7.1)
86
Гл.
3.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
Все
вычисления
основных
функций
qx, lx
и
d
x
по
формуле
(3.7.1)
мы
производи
ли
непосредственно
по
ней,
а не
вычисляя
lx
и
d
x
,
исходя
из
усеченных
qx.
Было
обнаружено,
что
выбор
последнего
способа
в
приложениях
дает
близкие
результа
ты.
Следует
помнить,
что
Иллюстративная
таблица
смертности,
как
следует
из
ее
названия,
предназначена
только
для
иллюстрации.
3.8.
Селекционные
и
заключительные
таблицы!)
В
разд.
3.2
мы
обсуждали,
как
можно
двумя
способами
интерпретировать
вели
чину
tPx,
вероятность
того,
что
лицо
(х)
доживет
до
возраста
х
+
t.
Первая
интер
претация
состояла
в
том,
ЧТО
эту
вероятность
можно
вычислить
на
основе
функции
дожития
для
новорожденных
при
единственном
предположении,
что
новорожден
ный
доживет
до
возраста
х.
Эта
интерпретация
стала
основой
для
обозначений
и
для
выведения
формул.
Вторая
интерпретация
состояла
в
том,
что
дополнительная
информация
о
лице
возраста
х
может
сделать
исходную
функцию
дожития
непри
годной
для
вычисления
вероятностных
утверждений
о
продолжительности
пред
стоящей
жизни
лица
(х).
Например,
некоторое
лицо
может
пройти
обследование
и
быть
принятым
на
страхование
в
возрасте
х.
Наличие
этой
информации
позволи
ло
бы
считать,
что
распределение
продолжительности
предстоящей
жизни
лица
(х)
отличается
от
того,
которое
мы
считали
бы
подходящим
для
лица
возраста
х,
если
бы
не
располагали
этой
информацией.
Второй
пример:
некоторое
лицо
может
стать
инвалидом
в
возрасте
х.
Эта
информация
позволяет
нам
предполагать,
что
распре
деление
продолжительности
предстоящей
жизни
лица
(х)
отлично
от
соответству
ющего
распределения
для
лица,
не
ставшего
инвалидом
в
возрасте
х.
В
этих
двух
примерах
следует
отдать
предпочтение
специальной
интенсивности
смертности,
учи
тывающей
конкретную
информацию,
которая
становится
известной
в
возрасте
х.
Без
этой
конкретной
информации
об
(х)
интенсивность
смертности
по
прошествии
времени
t
будет
функцией
только
достигнутого
возраста
х
+ t,
ЧТО
в
предыдущем
разделе
обозначалось
через
f-l(x + t).
Если
известна
дополнительная
информация
в
момент
х,
то
интенсивность
смертности
в
момент
х
+t
является
функцией
этой
информации
в
момент
х и
величины
t.
Мы
будем
обозначать
ее
через
рх
(t),
где
отдельно
указывается
возраст
х,
в
котором
была
доступна
дополнительная
инфор
мация,
и
величина
t.
Сама
дополнительная
информация
в
явной
форме
в
это
обозна
чение
не
входит,
но ясна
из
контекста.
Другими
словами,
полная модель
для
таких
лиц
является
набором
функций
дожития,
по
одной
для
каждого
возраста,
в
кото
ром
имеется
информация
о
принятии
на
страхование,
об
инвалидности
и
т.
п.
Это
множество
функций дожития
можно
воспринимать
как
функцию
двух
переменных.
Одна
переменная
-
возраст
в
момент
селех:'Цu'U
(например,
в
момент
выдачи
стра
хового
договора
или
наступления
инвалидности)
[х]
и
вторая
переменная
-
время,
прошедшее
с
момента
выдачи
договора
или
с
момента
селекции
t.
Тогда
каждая
из
обычных функций
таблицы
смертности,
отвечающая
такой
функции
от
двух
пере
менных,
является
двумерным
массивом
по
[х]
и
t.
Мы
используем
здесь
квадратные
скобки,
чтобы
отметить
переменную,
относящуюся
к
возрасту,
в
котором
проводи
лась
селекция.
Когда
наличие
селекции
явствует
из
интенсивности
смертности,
мы
будем
опускать
квадратные
скобки,
чтобы
не
усложнять
обозначения.
1)
Иногда
селекционные
таблицы
называют
избирательными,
а
заключительные
~
окончатель
ными.
~
Пр'U.м.
ред.
3.8.
Селекционные
и
заключительные
таблицы
87
Схематическая
диаграмма
на
рис.
З.8.1
иллюстрирует
эти
соображения.
Напри
мер,
предположим,
что
имеется
некоторая
специальная
информация
о
группе
лиц
возраста
ЗА
лет.
Может
быть,
они
были
приняты
на
страхование,
а
может
быть,
ста
ли
инвалидами.
Для
этих
лиц
можно
построить
специальную
таблицу
смертности.
Условная
вероятность
смерти
в
каждый
год
с
момента
селекции
будет
обозначаться
через
q[ЗО]+i,
i =
0,1,2,
...
,
и
будет
входить
в
первую
строку
на
рис.
З.8.1.
Индекс
отражает
двумерную
природу
этой
функции,
где
в
квадратные
скобки
заключен
возраст
тридцать
лет,
[За],
т.
е.
функция
дожития
в
первой
строке
опирается
на
спе
цифическую
информацию,
имеющуюся
в
возрасте
ЗА
лет.
Вторая
строка
на
рис.
3.8.1
будет
содержать
вероятности
смерти
для
лиц,
относительно
которых
специфическая
информация
стала
известной
к
возрасту
З1.
В
актуарной
науке
такая
двумерная
та
блица
смертности
называется
селекц'Uонной
mабл'U'Цей
смертности.
17
17-й
16
15
15-й 16-й
q[30]+14
-------
q[31J+
15
-------
q[32]+14
-------
q[33]+14
-------
Q[34J+
14
-------
14
2
Номер
года
с
момента
селекции
2-й
1
l-й
q(ЗО]
q[ЗО]+1
-------
..
~-------.
---
q[ЗIJ
q[Зl]+l
-------
..
~-------
..
---
q[З2]
q[З2]
+1
--------
..
1--------.
---
q[зз]
q[ЗЗ]+1
-------
..
-------.
1----
q'34J
Q[34]+1
-------..,.
-------
..
1----
[33]
[ЗО]
[34]
[х]
[32]
[З
1]
Возраст
в
момент
селекции
Время
в
годах
с
момента
селекции
О
- - - - - - -
-...
путь
для
совокупности
дожития,
прошедшей
селекцию
в
возрасте
[х]
линия,
связывающая
ячейки для
лиц,
достигших
одинакового
возраста,
по
прошествии
15
лет
с
момента
селекции
м м м
другой
путь
для
совокупности
дожития
по
прошествии
15
лет
с
момента
селекции;
эти
вероятности
составляют
заключительную
таблицу
смертности
Замечания.
1.
В
биостатистике индекс
[х]
селекционной
таблицы
не
обязан
быть
возрастом.
На
пример,
в
исследованиях
онкологических
заболеваний
[х]
может
быть
классифика
ционным
индексом,
который
зависит
от
размера
и
местоположения
опухоли,
и
время
после
селекции
будет
отсчитываться
от
момента
постановки
диагноза.
2.
Заключительную
смертность,
после
15-летнего
периода
селекции,
для
возраста
[х]
+15
следует
оценивать,
используя
наблюдения
из
всех
ячеек,
вида
[х
-
j]
+15 +
j,
j =
0,1,2'
....
Поэтому
q[x}+15
=
Qx+15
оценивается
взвешенным
средним
оценок
смертности
по
различным
группам
селекции.
Если
эффект
селекции
достаточно
ве
лик,
то
на
получаемую
оценку
будут
влиять
данные
из
различных
ячеек.
Рис.
3.8.1.
Селекционная,
заключительная
и
агрегативная
смертность,
15-летний
период
селекции
88
Гл.
3.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
Влияние
селекции
на
распределение
продолжительности
предстоящей
жизни
Т
может
уменьшаться
по
мере
удаления
от
момента
селекции.
Вне
некоторого
времен
ного
интервала
величины
q
для
лиц
одинакового
возраста
будут
по
существу
равны
вне
зависимости
от
возраста
в
момент
селекции.
Точнее,
если
имеется
наименьшее
целое
число
т,
такое,
что
Iq[x]+r-q[x-j]+r+jl
меньше,
чем
некоторая
маленькая
поло
жительная
постоянная,
для
всех
возрастов
селекции
[х]
и
для
всех
j >
О,
то
было
бы
экономично
построить
множество
селех:цuо'Н'Н'Ых
u
зах:.лю'Чuтел'Ь'Н'Ых
таблиц,
срезая
двумерный
массив
после
колонки
r + 1.
Для
временных
интервалов,
превосходя
щих
Т,
мы
можем
использовать
соотношение
q[x-j]+15+j
rv
Q[X]+15,
j >
О.
Первые
r
лет
после
момента
селекции
составляют
период
селех:цuи.
Получающийся
массив
содержит
некоторое
множество
таблиц
смертности,
по
одной
на
каждый
возраст
селекции,
причем для
одного
возраста
селекции
элементы
таблицы
смертности
расположены
по
горизонтали
в
течение
периода
селекции,
а
затем
по
вертикали
в
заключительный
период.
Это
показано
на
рис.
3.8.1
стрелками.
В
исследованиях
смертности,
проводившихея
Обществом
актуариев
для
лиц,
ко
торые
были
застрахованы
по
стандартному
договору
индивидуального
страхования
жизни,
использовался
15-летний
период
селекции
(см.
рис.
3.8.1),
т.
е.
считается,
что
q[x-j]+15+j
""
q[x]+15, j >
О.
За
пределами
периода
селекции
вероятности
смерти
снабжаются
одним
индек
сом,
достигнутым
возрастом,
т.
е.
вместо
q[x-j]+r+j
пишется
Qx+r'
Например,
при
r =
15
и вместо
Q[ЗО]+15
,
и
вместо
Q[25]+20
пишется
Q45.
Таблица
смертности,
в
которой
функции
даются
только
для
достигнутых
воз
растов,
называется
агрегаmив'Ной
таблицей.
Такой,
например,
является
табл.
3.3.1.
Последний
столбец
в
селекционной
и
заключительной
таблице
является
специаль
ной
агрегативной
таблицей,
которая
обычно
называется
зах:лю'Чumел'Ь'Ной
mаблu'Цей,
что
отражает
использование
селекции.
Таблица
3.8.1
содержит
вероятности
смерти
и
соответствующие
значения
функ
ций
l[X]+k
из
издания
«Permanent
Assurances, Females, 1979-82, Tables»,
опублико
ванного
Институтом
и
факультетом
актуариев
Великобритании.
Ее
называют
табли
цей
AF80.
У
этой
таблицы
двухлетний
период
селекции,
и
ее
проще
использовать
для
иллюстраций,
чем
таблицы
с
15-летним
периодом,
такие,
как
«Основные
таблицы»,
опубликованные
Обществом
актуариев
США.
Таблица
3.8.1.
Выдержка
из
селекционной
и
заключительной
таблицы
AF80
(1) (2)
(3)
(4)
(5) (6) (7)
(х)
1000q[x]
1000q[x]+l
1000qx+2
[[х]
[[Х]+!
[х+2
х+2
30 0,222
0,330 0,422
9906,7380
9904,5387 9901,2702
32
31
0,234
0,352 0,459
9902,8941
9900,5769 9897,0919
33
32
0,250 0,377
0,500 9898,7547
9896,2800 9892,5491 34
33
0,269 0,407
0,545 9894,2903
9891,6287 9887,6028
35
34 0,291
0,441
0,596
9889,4519 9886,5741 9882,2141
36
В
табл.
3.8.1
мы
имеем
три
вероятности
смертности
для
возраста
32,
а
именно
q[З2]
=0,000250 <
q[Зl]+l
=0,000352 <
qЗ2
= 0,000422.
3.9.
Замечания
и
литература
89
Упорядочение
этих вероятностей
понятно,
поскольку
смертность
для
лиц,
только
что
принятых
на
страхование
на
случай
смерти,
должна
быть
ниже.
Можно
счи
тать,
что
столбец
(3)
предоставляет
информацию
о
заключительных
вероятностях
смертности.
Если
заданы
одногодичные
коэффициенты
смертности
в
селекционной
и
заклю
чительной
таблице,
то
построение
соответствующей
селекционной
и
заключитель
ной
таблицы
смертности
(функций
дожития)
начинается
с
заключительной
части.
Далее
могут
использоваться
такие
формулы,
как
(3.4.1),
которые
дадут
множество
величин
[х+т
=
[[х]+т,
где
r
является
длиной
периода
селекции.
Мы
завершим
рас
смотрение
селекционных
частей,
воспользовавшись
соотношениями
_
[[x]+r-k
[[x]+r-k-1
- , k =
0,1,2,
...
,r -
1,
P[x]+r~k-l
двигаясь
от
r - 1
к
О.
Пример
3.8.1.
Воспользовавшись
табл.
3.8.1,
вычислим:
(а)
2Р[зо],
(Ь)
5Р[ЗО],
(с)
1I
Q[31], (d)
зq(31]+1'
Решение.
Формулы,
полученные
ранее
в
этой
главе,
можно
приспособить
к
селекционным
и
заключительным
таблицам,
получив
[[30]+2 9901,2702
(а)
2P[30J = [[30] = 9906,7380 = 0,99945,
(
Ь)
_
[35
_ 9887,6028 _
5Р[ЗО]
-
l[ЗО]
- 9906,7380 - 0,99807,
(
с)
- [[31]+1 -
lзз
_ 9900,5769 - 9897,0919 -
О
00035
l1Q[31J
- [[3
1
1 - 9902,8941
-,
,
(
d) -
1[31]+1
-
[35
9900,5769 - 9887,6028 - 000131
зq[31]+1
- [[31]+1 9900,5769
-,
.
3.9.
Замечания
и
литература
В
табл.
3.9.1
сведены
новые
понятия,
введенные
в
этой
главе,
соответствую
щие
термины,
обозначения
и
описания.
Таблицы
смертности
являются
краеуголь
ным
камнем
актуарной
науки.
Поэтому
они
интенсивно
обсуждаются
в
ряде
англо
язычных
учебников,
посвященных
страхованию
жизни.
См.,
например,
[King 1887],
[Spurgeon 1922], [Jordan 1952], [Hooker, Longley-Cook 1953], [Neill 1977].
Эти
книги
используются
для
обучения
актуариев.
Помимо
этого,
таблицами
смертности
поль
зуются
биостатистики.
Изложение
соответствующих
вопросов
см.
в
[Chiang
1968]
и
[Elandt-Johnson, Johnson 1980].
Интерпретация
с
при
влечением
детерминистиче
ского
коэффициента
смертности
обсуждалось
в
книге
[Allen 1907].
Лондон
[London
1988]
суммировал
ряд
методов
оценивания
таблиц
смертности,
исходя
из
имеющихся
данных.
Исторически
важные
аналитические
формы
функций
дожития
упомянуты
в
табл.
3.6.1.
Бриллинджер
[ВгШiпgег
1961]
обосновывал
некоторые
аналитические
формы
с
точки
зрения
статистического
анализа
продолжительности
жизни.
Тенен
бей
н
и
Вандерхоф
[Tenenbein, Vanderhoof 1980]
возвращаются
к
аналитическим
за
конам
смертности
и
предлагают
формулы
для
селекционной
смертности.
Работе
Бальдуччи
[Balducci 1921]
предшествовал
ряд
замечательных
статей
Виттштейна
90
Гл.
3.
Распределения
продолжительности
жизни
и
таблицы
смертности
[Wittstein 1873].
Статьи
Виттштейна
были
сначала
опубликованы
по-немецки
и
пе
реведены на
английский
язык
Т.
Б.
Шпраге.
Обзоры
некоторых
методов
исчис
ления
вероятностей
для
дробных
возрастов
привели
Мерё
[Mereu 1961]
и
Баттен
в
книге
об
оценках
смертности
[Batten
1978]
(см.
также
исторический
обзор
Сила
[Seal 1977]).
Обсуждения
длины
периода
селекции
для
различных
типов
селекцион
ных
процедур,
применяемых
в
страховании,
имеют
долгую
историю;
см.,
например,
[Williamson 1942], [Thompson 1934]
и
[Jenkins 1943].
Базовые
таблицы
Общества
ак
туариев
США
1975-80
гг.
используют
15-летний
период
селекции
и
опубликованы
в:
Transactions
of
the
American Society
of
Actuaries 1982
Reports
of
Mortality
and
Morbidity Experience, 55-82.
Международная
система
актуарных
обозначений
опуб
ликована
в:
Transactions
of
the
American Society
of
Actuaries, Vol. 48 (1947), 166-176.
Таблица
3.9.1.
Понятия,
введенные
в
гл.
3
Обозначение
(х)
[х}
Х
Т(х)
К(х)
В(х)
s(x)
Jl(X)
tqx
tpx
tluЛХ
о
е
х
е
х
Название
или
описание
понятия
Обозначение
лица
возраста
х
Возраст
или
другой
статус
в
момент
селекции
Возраст
в
момент
смерти,
случайная
величина
Продолжительность
предстоящей
жизни
лица
(х),
равная
Х
-
х
Пошаговая
продолжительность
предстоящей
жизни
лица
(х),
равная
целой
части
от
Т
(х
)
Продолжительность
предстоящей
жизни
лица
(х)
в
течение
года
смер
ти,
равная
Т(х)
-
К(х)
Функция
дожития,
равная
вероятности
того,
что
новорожденный
до
живет,
по
крайней
мере,
до
возраста
х
Интенсивность
смертности
в
возрасте
х
для
агрегативной
таблицы
смертности
Интенсивность
смертности
по
достижении
возраста
х
+t
при
условии
селекции
в
возрасте
х
Вероятность
того,
что
лицо
(х)
умрет
в
течение
t
лет
Вероятность
того,
что
лицо
(х)
проживет,
по
крайней
мере,
t
лет
Вероятность
того,
что
лицо
(х)
умрет
между
возрастами
t
и
t +
и
Полная
ожидаемая
продолжительность
жизни
лица
(х),
равная
Е[Т(х)]
Пошаговая
ожидаемая
продолжительность
жизни
лица
(х),
равная
Е[К(х)]
Число
доживших
до
возраста
х в
когорте,
случайная
величина
Число
умерших
между
возрастами
х
и
х
+n
в
когорте
Ожидаемое
число
доживших
до
возраста
х,
равное
E[L:(x)]
Ожидаемое
число
смертей
между
возрастами
х
и
х
+
n,
равное Е(nVж]
Ожидаемое
количество
лет,
прожитых
между
возрастами
х и
х
+ n
лицами,
дожившими
до
возраста
х,
из
исходной
группы
{о
лиц
Ожидаемое
количество
лет,
прожитых
после
возраста
х
лицами,
до
жившими
до
возраста
х,
ИЗ
исходной
группы
{о
лиц
Повозрастной
коэффициент
смертности
на
интервале
(х,
Х
+1)
Омега,
предельный
возраст
в
таблице
смертности
Для
иллюстрации
в
табл
3.2.1
мы
планировали
использовать
«Таблицу
смертно
сти:
США,
1989-1991»,
но
этого
сделать
не
удалось,
поскольку
таблицы,
основанные
на переписи
населения
США
1990
г.,
не
были
завершены
к
тому
моменту,
когда
пе
рерабатывалась
эта
глава.
Упражнения
91
Упражнения
к
разделу
3.2
3.1.
Воспользовавшись
соображениями,
суммированными
в
табл.
3.2.1,
восполните
про
белы
в
следУющей
таблице:
в(х)
Fx{x)
1
1---
х:>-О
1
+х'
r
/х(х)
р(х)
tg
х,
О
~
х
~
1г
/2
3.2.
Докажите,
что
каждая
из
приведенных
ниже
функций
может
выступать
в
качестве
интенсивности
смертности:
(а)
ВеХ,
В
>
О,
с
> 1
(Гомперц),
(Ь)
kx
n
,
n >
О,
k >
О
(Вейбулл),
(с)
а(Ь
+
х)-l,
а
>
О,
Ь>
О
(Парето).
3.3.
Докажите,
что
приведенная
ниже
функция
может
быть
функцией
дожития,
и
укажите
соответствующие
р
(х
), f
х
(х)
и
Fx
(х
):
()
-Х3/12
S
Х
=
е
,
х
~
О.
3.4.
Покажите,
почему
ни
одна
из
функций,
приведенных
в
правой
части
следующих
равенств,
не
может
соответствовать
обозначению,
использованному
в
левой
части:
(а)
р(х)
=
(1
+
х)-З,
х
~
О,
(Ь)
в(х)
= 1 -
22х/12
+
llх
2
/8
-
7х
З
/24,
О
~
х
~
3,
(с)
/х{х)
=
х
n
-
1
е-
Х
/
2
,
Х
~
О,
n
~
1.
3.5.
При
s(x)
= 1 -
х/100,
О
~
х
~
100,
найдите
(а)
р(х),
(Ь)
Рх(х),
(с)
/х(х),
(d)
Р(10<Х<40).
3.6.
Используя
функцию
дожития
из
примера
3.5,
определите
функцию
дожития,
ин
тенсивность
смертности
и
плотность
распределения
продолжительности
предстоящей
жиз
ни
для
лица
(40).
3.7.
При
s(x)
=
[1
-
(Х/l00)]1/2,
О
~
Х
~
100,
найдите
(а)
17Р19,
(Ь)
15qЗ6,
(с)
151
1
зqЗб,
(d)
JL(36),
(е)
Е[Т(36)].
3.8.
Докажите,
что
klqo =
-6.s(k)
и
что
E~o
klQo
= 1.
3.9.
Найдите
212Q20,
если
р(х)
=0,001
для
20
~
х
~
25.
К
разделам
3.3, 3.4
3.10.
В
предположении,
что
продолжительности
предстоящей
жизни
10
лиц
в
сово
купности
дожития
независимы
и
определены
согласно
табл.
3.3.1,
найдите
для
с.в
.
.с(65)
функцию
вероятностей,
среднее
и
дисперсию.
3.11.
Если
s(x)
= 1 -
х/12,
О
~
х
~
12,
[о
= 9
и
продолжительности
предстоящей
жизни
независимы,
то,
как
известно,
случайный
вектор
(зVо,зVз,
ЗVб,
ЗV9)
имеет
мульти
номиальное
распределение.
Подсчитайте
(а)
среднее
значение
каждой
случайной
величины,
(Ь)
дисперсию
каждой
случайной
величины,
(с)
коэффициент
корреляции
между
каждой
парой
случайных
величин.
3.12.
На
основе
табл.
3.3.1
(а)
сравните
величины
5QO
и
5Q5,
(Ь)
вычислите
вероятность
того,
что
лицо
(25)
умрет
между
возрастами
80
и
85,
3.13.
Пусть
lx+t
строго
убывает
на
интервале
О
~
t
~
1.
Покажите,
что
(а)
если
функция
[х+1
выпукла
вверх,
то
Q;x
>
JL(x)
,