Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
52
Гл.
2.
Модели
индивидуальных
рисков
Fs
ДЛЯ
ЭТИХ
ПЯТИ
случаев
описываются
следующей
формулой:
О,
{8
8 -
У!
_
82
Jo
2 3 dy -
12'
(S-2 1
1.8
8 -
У
1 8 - 1
Fs{s) = J
o
1
"3
dy +
8-2
S
"3
dy = 3 '
{8-2!
1.3
s-y!
__
(5-8)2
Jo
1 3 dy +
8-2
2 3 dy - 1
12'
1,
8 <
О,
прямая
А,
О
~
s <
2,
прямая
В,
2
~
8 < 3,
прямая
С,
3
~
s <
5,
прямая
D,
s
~
5,
прямая
Е.
у
А
х
D Е
Рис.
2.3.2.
Свертка
двух
равномерных
распределений
у
Пример
2.3.3.
Рассмотрим
три
независимые
С.В.
Х
1
,
Х
2
,
Х
з
.
Для
i
=;
1,2,3
С.в.
X
i
имеет
показательное
распределение
и
E[X
i
]
=;
l/i.
Найдем
функцию
плотности
с.в.
S
=;
Х
1
+
Х
2
+
Х
з
,
применяя
операцию
свертки.
Решение.
Имеем
х
>
О.
Воспользовавшись
формулой
(2.3.7)
трижды,
мы
получим
f(2){x) =
1
Х
л
(х
-
у)Ыу)
dy =
1
Х
е-(Х-У)2е-
2у
dy
=
2е-
Х
1
Х
е-У
dy =
2е-
Х
-
2е-
2х
,
х
>
о,
fs{x)
=
f(З){х)
=
1
Х
f(2){x -
у)fз{У)
dy =
1
Х
(2е-(Х-
У
)
-
2е-
2
(Х-У»)3е-
3У
dy
=
6е-
Х
1
Х
e-
2Y
dy -
6е-
2Х
1
Х
e-Ydy
=
(3е-
Х
-
3е-
3Х
)
-
(6е-
2Х
-
6е-
3Х
)
=;
3е-
Х
-
6е-
2х
+
3е-
3Х
,
х
>
О.
'f
Другой
метод
определения
распределения
суммы
независимых
случайных
ве
личин
основан
на
единственности
nроuзвод,ящей
фУ'Н'К:'ЦUU
моме'Нтов,
которая
для
2.3.
Суммы
независимых
случайных
величин
53
С.В.
Х
определяется
соотношением
Mx(t)
=
E[e
tX
].
Если
это
математическое
ожи
дание
конечно
для
всех
t
из
некоторого
открытого
интервала,
содержащего
нача
ло
координат,
то
М
Х
(t)
является
единственной
производящей
функцией
моментов
распределения
С.в.
Х
в
том
смысле,
что
не
существует
другой
функции,
отлич
ной
от
Mx(t),
которая
была
бы
производящей
функцией
моментов
распределения
С.В.
Х.
Эту
единственность
можно
использовать
следующим
образом:
для
суммы
S =
Х
1
+
Х
2
+
...
+
Х
n
(2.3.8)
Если
Х
1
,
Х
2
,
...
,Х
n
независимы,
то
математическое
ожидание
произведения
в
фор
муле
(2.3.8)
равно
E[e
tX1
]E[e
tX2
]
...
E[e
tXn
],
так
что
Ms(t)
=
МХ
1
(t)M
X2
(t)
...
МХ
N
(t).
(2.3.9)
Нахождение
явного
выражения
для
того
единственного
распределения,
которое
со
ответствует
производящей
функции
моментов
(2.3.9),
завершило
бы
нахождение
распределения
С.в.
S.
Если
указать
его
в
явном
виде
не
удается,
то
можно
про
водить
его
поиск
численными
методами
(см.
разд.
2.6).
Пример
2.3.4.
Рассмотрим
случайные
величины
из
примера
2.3.3.
Определим
функцию
плотности
С.в.
S =
Х
1
+
Х
2
+
Х
з
,
пользуясь
производящей
функцией
моментов
с.в.
В.
Решение.
Согласно
равенству
(2.3.9),
123
Ms(t) = 1 - t 2 - t 3 -
t'
что
можно
записать
в
виде
А
2В
зс
Ms(t)=-+-+-
1-t
2-t
3-t
с
помощью
метода
разложения
на
простейшие
дроби.
Решением
является
А
= 3,
В
=
-3,
С
= 1.
Но
/З/(f3-t)
является
производящей
функцией
моментов
показательного
распределения
с
параметром
/3,
так
что
функция
плотности
С.в.
S
имеет
вид
Пример
2.3.5.
При
исследовании
случайных
процессов
было
введено
обратное
гауссовс'К:ое
расnределенuе.
В
этом
контексте
оно
используется
в
качестве
распре
деления
С.в.
В,
величины
страховых
выплат.
Это
распределение
будет
играть
ана
логичную
роль
и
в
теории
риска
в
гл.
12-14.
Функция
плотности
и
производящая
функция
моментов
обратного
гауссовского
распределения
задаются
формулами
fx(x)
=
а
х-З/2
ехр
[_
(/3х
-
а)2]
,
~
2fЗх
Mx(t)
=
ехр
[а
(1-
J1
~)].
х>
О,
Найдем
распределение
с.в.
S =
Хl
+Х
2
+··
'+Х
n
,
где
с.в.
Х
1
,Х
2
,
•.•
,х
n
независимы
и
имеют
одинаковые
обратные
гауссовские
распределения.
54
Гл.
2.
Модели
индивидуальных
рисков
Решение.
Воспользовавшись
формулой
(2.3.9),
получим
следующее
выражение
для
производящей
функции
моментов
с.в.
S:
Ms(t) =[Mx(t)]n =
ехр
[па
(1-
J1
~)].
Производящей
функции
моментов
Ms(t)
соответствует
единственное
распределе
ние,
и
можно
убедиться,
что
S
имеет
обратное
гауссовское
распределение
с
пара
метрами
па
и
fЗ.
...
2.4.
Приближения
для
распределения
суммы
Це'Нтра.ll:ь'Ная
предельная
теорема
дает
метод
нахождения
численных
значений
для
распределения
суммы
независимых
случайных
величин.
Обычно
эта
теорема
формулируется
для
суммы
независимых
и
одинаково
распределенных
случайных
величин
Х
1
,
Х
2
,
..•
,
где
E[X
i
]
=
р
и
D[X
i
] =
а
2
•
Для
любого
n
распределение
с.в.
yn(Х
n
-
/-L)/a,
где
Х
N
=
(Х
1
+
Х
2
+ ... +
Хn)/n,
имеет
математическое
ожида
ние
О
и
дисперсию
1.
Как
известно,
последовательность
таких
распределений
(при
n =
1,
2,
...
)
стремится
к
стандартному
нормальному
распределению.
Когда
n
вели
ко,
эта
теорема
применяется,
чтобы
приблизить
распределение
с.в.
Х
N
нормальным
распределением
со
средним
р
и
дисперсией
а
2
/n.
Аналогично,
распределение
суммы
n
случайных
величин
приближается
нормальным
распределением
со
средним
пр
и
дисперсией
nа
2
.
Эффективность
такой
аппроксимации
зависит
не
только
от
числа
слагаемых,
но
и
от
близости
распределения
слагаемых
к
нормальному.
Во
многих
элементарных
курсах
статистики
указывается,
что
n
должно
быть
не
меньше
ЗО
дЛЯ
того,
чтобы
аппроксимация
была
разумной.
Однако
одна
из
программ
для
гене
рации
нормально
распределенных
случайных
величин,
используемых
в
имитацион
ном
моделировании,
реализует
нормальную
случайную
величину
в
виде
среднего
12
независимых
равномерно
распределенных
на
интервале
(О,
1)
случайных
величин.
Во
многих
моделях
индивидуальных
рисков
случайные
величины,
входящие
в
суммы,
не
являются
одинаково
распределенными.
Это
будет
проиллюстрировано
примерами
в
следующем
разделе.
Центральная
предельная
теорема
распространя
ется
и
на
последовательности
неодинаково
распределенных
случайных
величин.
Для
иллюстрации
некоторых
приложений
модели
индивидуальных
рисков
мы
воспользуемся
нормальной
аппроксимацией
распределения
суммы
независимых
слу
чайных
величин,
чтобы
получить
численные
решения.
Если
S =
Х
1
+
Х
2
+
...
+
Х
n
,
то
n
Е(Х]
= L E[XkJ
k:::::l
и,
далее,
если
с.в.
Х
1
,
Х
2
,
.•.
,х
n
независимы,
то
n
D[X]
= L
D[X
k
].
k:::::l
Для
рассматриваемого
приложения
нам
нужно
лишь
•
найти
средние
и
дисперсии
случайных
величин,
моделирующих
индивидуаль
ные
потери,
•
просуммировать
их
для
того,
чтобы
получить
среднее
и
дисперсию
потерь
страховой
компании
в
целом,
2.5.
Приложения
к
страхованию
•
воспользоваться
нормальным
приближением.
Ниже
мы
проиллюстрируем
эту
последовательность
действий.
55
2.5.
Приложения
к
страхованию
В
этом
разделе
на
четырех
примерах
иллюстрируются
результаты
разд.
2.2
и
использование
нормального
приближения.
Пример
2.5.1.
Компания,
занимающаяся
страхованием
жизни,
предлагает
до
говор
страхования
на случай
смерти
на
срок
один
год
с
выплатами
размера
1
и
2
единиц
лицам,
вероятности
смерти
которых
составляют
0,02
или
0,01.
Приводимая
ниже
таблица
показывает
число
лиц
nk
в
каждом
из
четырех
классов,
образованных
в
соответствии
с
выплатой
b
k
и
вероятностью
наступления
страхового
случая
qk:
k
qk
bk
nk
1
0,02
1
500
2 0,02
2 500
3
0,10 1 300
4
0,10
2
500
Страховая
компания
хочет
собрать
с
этой
группы
из
1800
лиц
сумму,
равную
95-й
процентили
распределения
общей
величины
страховых
выплат
по
этой
группе.
Кроме
того,
она
хочет,
чтобы
доля
каждого
лица
в
этой
сумме
была
пропорцио
нальна
ожидаемому
размеру
страховой
выплаты
для
данного
лица.
Доля
лица
с
номером
j,
средняя
выплата
которому
равна
E[X
j
] ,
должна
составить
(1
+f))E[X
j
].
Из
требования
95-й
процентили
следует,
что
В
>
О.
Величина
превышения,
8E[X
j
] ,
является
рисх:овой
надбавх:оu,
а
f)
называется
относител'Ьной
pucr.:oeou
1tадбавх:о'Й.
Подсчитаем
В.
Решение.
Величина
f)
определяется
соотношением
Р(В
~
(l+B)E[S]) = 0,95,
где
S
::::::
Х
1 +
Х
2 +...+
Х
1800.
Это
утверждение
о
вероятности
эквивалентно
следующему:
Р
(8
-E[S]
~
8E[S])
=
095.
JD[S]
"JD[S]
,
В
соответствии
с
тем,
что
говорил
ось о
центральной
предельной
теореме
в
разд.
2.4,
мы
аппроксимируем
распределение
с.в.
(S-E[S])/JD[S]
стандартным
нормальным
распределением
и
воспользуемся
его
95-й
процентилью,
откуда
получаем
BE[S]
= 1 645.
JD[S]
,
Нам
остается
лишь
подсчитать
математическое
ожидание
и
дисперсию
С.в.
S
и
найти
8
из
этого
уравнения.
Для
четырех
классов,
на
которые
разбиты
страхователи,
мы
получаем
приве
денные
ниже
результаты:
k
qk
bk
Среднее
bkqk
Дисперсия
b~qk
(1
- qk)
nk
1 0,02 1 0,02 0,0196
500
2 0,02
2
0,04 0,0784 500
3
0,10 1
0,10 0,0900
300
4
0,10
2
0,20 0,3600 500
56
Таким
образом,
Гл.
2.
Модели
индивидуальных
рисков
1800
4
E[S]
=
LE[X
j
]
= L
nkJ-Lk
= 160,
j=l j=l
1800
4
D[S] = L
D[X
j
]
= L
nkb%Qk
(1
-
Qk)
= 256.
j=l
з=1
Поэтому
относительная
рисковая
надбавка
равна
JD[S]
16
f)
= 1,645
E[SJ
= 1,645 160 =
0)645.
"
Пример
2.5.2.
Клиенты
компании,
занимающейся
страхованием
автомобилей,
распределены
по
двум
классам:
Класс
k
1
2
Число
в
классе
nk
500
2000
Вероятность
наступления
страхового
случая
qk
0,10
0,05
Распределение
страховых
выплат
Bk,
параметры
усеченного
показательно
го
распределения
л
L
1 2,5
2 5,0
Усеченное
показательное
распределение
определяется
посредством
функции
рас
пределения
{
О,
F(x) = 1 -
е->'х
1,
х
<
О,
О
~
х
< L,
х
~
L.
Это
распределение
смешанного
типа
с
функцией
плотности
f(x)
=
Ае->'Х,
О
<
х
<
L,
и
«сгустком»
вероятностной
массы
e->.L
в
точке
L.
График
этой
функции
распре
деления
показан
на
рис.
2.5.1.
F(x)
1,0
1-
е-и
о
L
х
Рис.
2.5.1.
Усеченное
показательное
распределение
Как
и
ранее,
вероятность
того,
что
общая
величина страховых
выплат
превос
ходит
сумму,
собранную
со
страхователей,
должна
быть
равной
0,05.
Мы
предпо
ложим,
что
относительная
рисковая надбавка
f)
должна
быть
одинаковой
в
каждом
из
двух
рассматриваемых
классов.
Вычислим
В.
Решение.
Этот пример
очень
похож
на
предыдущий.
Разница
состоит
лишь
в
том,
что
величины
страховых
выплат
являются
теперь
случайными
величинами.
2.5.
Приложения
к
страхованию
57
Сначала
мы
получим
выражения
для
моментов
усеченного
показательного
распреде
ления.
Это
будет
подготовительный
шаг
для
применения
формул
(2.2.25)
и
(2.2.26):
l
L
1 - e->.L
f.l
=
Е[В
I1=
1]
= x>..e->,xdx +
Le->'L
= ,
о
>..
{L
2
2L
Е[
В2
1
1=
1]
=
Jo
х
2
>..e->,xdx +L
2
e->.L =
>..2
(1
- e->.L) -
т
e->'L,
1
2>..L
->.L -2>.L
а
2
=
Е[в
2
!1=
1]
-
(E[BjI=
1])2
==
-
е
>..2
-
е
Воспользовавшись
значениями
параметров,
данными
в
условии,
и
применяя
форму
лы
(2.2.25)
и
(2.2.26),
мы
получаем
следующие
результаты:
k
1
2
0,10
0,05
/-tk
0,9179
0,5000
0,5828
0,2498
Среднее
qk/-tk
0,09179
0,02500
Дисперсия
/-t%qk
(1
- qk) +
u~qk
0,13411
0,02436
500
2000
Итак,
5,
общая
сумма
страховых
выплат,
имеет
моменты
Е[В]
=500(0,09179) + 2000(0,02500) = 95,89,
D[S] = 500(0,13411) +2000(0,02436) = 115,78.
Условие
для
определения
В
остается
тем
же,
что
и
в
примере
2.5.1,
а
именно,
Р(В
~
(1+В)Е[В])
= 0,95.
Воспользовавшись
снова
аппроксимацией
нормальным
распределением,
получаем
ВЕ[В]
= 1 645
и
В
=
1,645)115,78
=
О
1846.
)D[S]
,
95,89'
Пример
2.5.3.
В
портфель
страховой
компании
входит
16000
договоров
стра
хования
на
случай
смерти
на
срок
один
год
согласно
следующей
таблице:
Величина
выплат
bk
10000
20000
30000
50000
100 000
Число
страхователей
nk
8000
3500
2500
1500
500
Вероятность
наступления
страхового
случая
q
для
каждого
из
16 000
клиентов
(эти
события
предполагается
взаимно
независимыми)
равна
0,02.
Компания
хочет
установить
уровен:ь
собстве'Нного
удер[)ICанuя.
Для
каждого
страхователя
уровень
собственного
удержания
является
величиной,
выплаты
ниже
которой
эта
компа
ния
('К:о.мnанuя-цедент)
осуществляет
самостоятельно,
а
выплаты,
превосходящие
эту
величину,
покрываются
по договору
nерестрахова'Нuя
другой
компанией
(nе
рестраховщu'К:о.м).
Например,
если
уровень
собственного
удержания
равен
20000,
то
компания
оставляет
за
собой
покрытие
суммы
до
20 000
для
каждого
страхо
вателя
и
покупает
перестрахование
для
покрытия
разницы
между
страховой
вы
платой
и
суммой
20000
для
каждого
из
4500
страхователей,
страховые
выплаты
58
Гл.
2.
Модели
индивидуальных
рисков
для
которых
превосходят
сумму
20
000.
в
качестве
критерия
для
принятия
реше
ния
компания
выбирает
минимизацию
вероятности
того,
что
страховые
выплаты,
оставленные
на
собственном
удержании,
плюс
та
сумма,
которая
платится
за
пере
страхование,
превзойдет
сумму
8250000.
Перестрахование
стоит
0,025
на
единицу
покрытия
(т.
е.
125%
от
ожидаемой
величины
страховых
выплат
за
единицу,
0,02).
Мы
считаем,
что
рассматриваемый
портфель
замкнут:
новые
страховые
догово
ры,
заключенные
в
течение
текущего
года,
не
будут
учитываться
в
описанном
про
цессе
принятия
решения.
Требуется
рассчитать
уровень
собственного
удержания,
ко
торый
минимизирует
вероятность
того,
что
оставленные
на
собственном
удержании
страховые
выплаты
плюс
стоимость перестрахования
превысят
сумму
в
8250000.
Частичное
решение.
Проведем
сначала
все
вычисления,
выбрав
за
единицу
выплат
10000.
В
качестве
иллюстрации
предположим,
что
С.в.
S
является
величиной
выплат,
оставленных
на
собственном
удержании,
в
случае,
когда
уровень
собствен
ного
удержания
равен
2
(т.е.
20000
в
исходных
единицах).
Наш
портфель
после
учета
величин,
оставленных
на
собственном
удержании,
имеет
следующий
вид:
Величина
на
собственном
удержании
bk
1
2
Число
страхователей
nk
8000
8000
Тогда
2
E(S]
=
LnkbkQk
= 8000(1)(0,02) +8000(2)(0,02) = 480,
k=l
2
D(S] = L
nkb~qk(l
- qk) = 8000(1)(0,02)(0,98) +8000(4)(0,02)(0,98) = 784.
k=l
К
этим
страховым
выплатам,
оставленным
на собственном
удержании,
5,
прибав
ляется
сумма
перестраховочных
премиЙ.
Итого,
общая
величина
покрытия
по
такой
схеме
составляет
8000(1) + 3500(2) + 2500(3) + 1500(5) + 500(10) = 35000.
Сумма,
оставленная
на
собственном
удержании,
равна
8000(1) + 8000(2) = 24000.
Таким
образом,
общая
перестрахованная
величина
составляет
35
000 -
24
000 =
11000
и
стоимость
перестрахования
составляет
11000(0,025) = 275.
Значит,
при
уровне
собственного
удержания,
равном
2,
оставленные
на
собственном
удержании
страховые
выплаты
плюс
стоимость
перестрахования
составляют
5 +275.
Критерий
для
принятия
решения
основан
на
вероятности
того,
что
эта
общая
сумма
превзой
дет
825,
Р(5
+ 275>825):::::
Р(5)550)
=
р(5
-
Е(В]
> 550 - E(S]) =
p(S
-
E(S]
>
25).
JD[S]
JD[S]
JD[S]
,
Используя
нормальное
распределение,
мы
получаем,
что
эта
величина
приблизи
тельно
равна
0,0062.
Решение
завершено
в
упр.
2.13
и
2.14.
,.
В
разд.
1.5
мы
обсуждали
страхование
эксцедента
убыточности,
одного
из
видов
перестрахования.
Средние
значения
страховых
выплат
при
страховании
эксцедента
2.5.
Приложения
к
страхованию
59
(2.5.1)
(2.5.2)
убыточности
можно
аппроксимировать,
пользуясь
нормальным
распределением
в
качестве
распределения
общих
страхОВЫХ
выплат.
Пусть
общие
страховые
выплаты
Х
имеют
нормальное
распределение
со
сред
ним
Jl
и
дисперсией
(У2,
И
пусть
d
обозначает
безусловную
франшизу
в
договоре
страхования
эксцедента
убыточности.
Тогда,
согласно
формуле
(1.5.2А),
средняя
величина
страховых
выплат
равна
E[I
d
(х)]
=
~
1'Х>
(х
-
d)
ехр
[-
(~~/)2]
dx.
Делая
замену
переменных
z =
(Х
-
р)
/
(J
и
определяя
(3
из
соотношения
d =
fJ
+
jЗи,
мы
получаем
следующее
общее
выражение
для
среднего
значения
величины
страховых
выплат
по
договору
страхования
эксцедента
убыточности
в
предположе~
нии,
что
распределение
нормально:
{
ехр(
-(32/2)
}
E[Id(x)] =
(J
(27Г)
1/2
-
(3[1
-
Ф((3)]
.
Здесь через
Ф
(х)
обозначена
функция
распределения
случайной
величины
со
стан
дартным
нормальным
распределением.
Пример
2.5.4.
Рассмотрим
страховой
портфель,
как
в
примере
2.5.3.
Найдем
математическое
ожидание
величины
страховых
выплат
при
договоре
страхования
эксцедента
убыточности,
если
(а)
индивидуальное
перестрахование
отсутствует
и
безусловная
франшиза
уста
новлена
равной
7500 000;
(Ь)
установлено
собственное
удержание
в
размере
20000
по
индивидуальным
страховым
договорам
и
величина
безусловной
франшизы
по
портфелю
составляет
5300000.
Решение.
(а)
При
отсутствии
индивидуального
перестрахования
и
при
переходе
к
10000
в
качестве
денежной
единицы
E[S]
=0,02[8000(1) +3500(2) +2500(3) +1500(5) +500(10)] = 700,
D[S] =(0,02)(0,98)[8000(1) + 3500(4) + 2500(9) + 1500(25) +500(100)] = 2587,2;
таким
образом,
(J(S)
=50,86.
Далее,
поскольку
j3
=
(d
-
р)/и
= (750 -
700)/50,86
=0,983,
применение
формулы
(2.5.2)
дает
р
=50,86[0,24608 - (0,983)(0,16280)] = 4,377,
что
составляет
сумму
43 770
в
исходных
единицах.
(Ь)
В
примере
2.5.3
мы
получили
среднее
и
дисперсию
суммарной
величины
страховых
выплат
при
индивидуальном
уровне
собственного
удержания
20000,
рав
ные
480
и
784
соответственно,
если
рассматривать
10000
в
качестве
единицы.
Таким
образом,
(J(S)
=28.
Так
как
(3
=
(d
-
р)/и
= (530 -
480)/28
= 1,786,
60
Гл.
2.
Модели
индивидуальных
рисков
применение
формулы
(2.5.2)
дает
р
=28[0,08100 - (1,786)(0,03707)] =0,414,
что
составляет
сумму
4140
в
исходных
единицах.
2.6.
Замечания
и
литература
Основы
материала,
изложенного
в
разд.
2.2, 2.3
и
2.4,
можно
найти
в
целом
ря
де
учебников
по
теории
вероятностей
и
статистике!).
В
работе
[Moode
et
al. 1974]
доказаны
результаты,
представленные
формулами
(2.2.10)
и
(2.2.11).
В
этой
работе
содержится
подробное
обсуждение
свойств
производящей
функции
моментов.
Чи
татель,
который
хочет
ознакомиться
с
современными
математическими
методами
нахождения
функции
распределения,
отвечающей
заданной
производящей
функции
моментов,
может
обратиться
к
книге
[Bellman
et
al. 1966].
Имеются
также
методы
получения
функций
вероятностей
дискретного
распределения
из
его
nроuзвод,я,щеu
фу'Н,'к:цuu;
см.
[Kornya 1983].
Де
Гроот
[De
Groot 1986]
обсуждает
ряд
условий,
при
которых
справедлива
центральная
предельная
теорема.
В
книге
[Kendall,
Stuart
1977}
излагается
матери
ал,
относящийся
к
асu.мnmотu'Ч.ес'к:U.м
раЗ.ILОЭfCен,uя.м
в
ряд
Кра.мера,
которые
можно
рассматривать
как
модификацию
нормальной
аппроксимации,
улучшающую
чис
ленную
аппроксимацию.
Бауэрс
[Bowers 1967]
также
описывает
использование
ряда
Крамера
и
приводит
приложения
к
задаче
аппроксимации
распределения
настоящих
стоимостей
портфеля
аннуитетов.
Упражнения
к
разделу
2.2
2.1.
Воспользуйтесь
формулами
(2.2.3)
и
(2.2.4)
ДЛЯ
расчета
математического
ожи
дания
и
дисперсии
С.в.
Х,
описывающей
страховые
выплаты,
если
q = 0,05
и
величина
страховых
выплат
постоянна
и
равна
10.
2.2.
Найдите
среднее
и
дисперсию
С.в.
Х,
описывающей
страховые
выплаты,
если
q = 0,05
и
если
с.в.
В,
описывающая
размеры
страховых
выплат,
равномерно
распределена
в
интервале
между
О
и
20.
2.3.
Пусть
С.в.
Х
обозначает
число
орлов,
выпавших
при
пятикратном
бросании
пра
вильной
монеты.
Пусть,
далее,
Х
раз
бросается
правильная
игральная
кость.
Пусть
У
обозначает
сумму
очков,
выпавших
при
этих
бросаниях
кости.
Определите
среднее
и
дис
персию
случайной
величины
У.
[Указание.
Примените
равенства
(2.2.10)
и
(2.2.11).]
2.4.
Пусть
С.В.
Х
обозначает
число
очков,
выпавшее при
однократном
бросании
пра
вильной
игральной
кости.
Пусть
с.в.
У
-
число
орлов,
выпавших
при
бросании
Х
пра
вильных
монет.
Подсчитайте
Е[У]
и
D[Y].
2.5.
Пусть
с.в.
Х
обозначает
число
очков,
выпавшее
при
однократном
бросании
пра
вильной
игральной
кости.
Пусть
С.в.
У
-
сумма
очков,
выпавших
при
бросании
Х
пра
вильных
игральных
костей.
Подсчитайте
Е[У]
и
D[Y].
2.6.
Вероятность
пожара
на
некотором
объекте
в
заданный
период
времени
равна
0,02.
Если
пожар
произошел,
то
ущерб,
нанесенный
объекту,
распределен
равномерно
на
интервале
от
О
до
а,
полной
стоимости
объекта.
Вычислите
среднее
и
дисперсию
ущерба,
нанесенного
пожаром
рассматриваемому
объекту
в
данный
период
времени.
l)PYCCKOMY
читателю
можно
порекомендовать
пользоваться
книгами
[Feller
66]
и
[Feller
68},
которые
переведены
на
русский
язык.
-
Прu.м..
ред.
Упражнения
61
х
<
О,
О
~
х
< 1,
х
~
1.
к
разделу
2.3
2.1.
Независимые
случайные
величины
Xk,
k =
1,2,3,4,
имеют
дискретные
функции
вероятностей,
заданные
следующей
таблицей:
х
P(Xl=X)
Р(Х
2
=х)
Р(Хз=х)
Р(Х4=Х)
О
0,6 0,7
0,6
0,9
1
0,0 0,2 0,0 0,0
2
0,3
0,1
0,0
0,0
3 0,0 0,0 0,4
0,0
4
0,1
0,0 0,0
0,1
Воспользовавшись
операцией
свертки
на
неотрицательных
целых
значениях
аргумента
х,
найдите
значения
Fs(x)
для
х
=
0,1,2,
...
,13,
где
S =
Xl
+
Х2
+
Хз
+
Х4.
2.8.
Пусть
Xi,
i =
1,2,3,
являются
независимыми
и
ОдИнаково
распределенными
слу
чайными
величинами
с
общей
функцией
распределения
{
О,
Р(х)
=
х,
1,
Fs(x)
=
Положим
S =
Хl
+
Х2
+
Хз.
(а)
Покажите,
что
Fs(x)
задается
формулой
О,
х
3
/6,
[х
з
-
3(х
- 1)3J/6,
[х
З
-
3(х
-
1)3
+
3(х
-
2)З]/6,
1,
х
<
О,
О
~
х
<
1,
1
~
х
<
2,
2
~
х
< 3,
х
~
3.
(Ь)
Покажите,
что
Е[В]
= 1,5
и
D[S] = 0,25.
(с)
Найдите
следующие
вероятности,
используя
функцию
распределения
п.
(а):
(i)
Р(В ~
0,5), (ii)
Р(В
~
1,0),
(Ш)
Р(В
~
1,5).
2.9.
Найдите
среднее
и
дисперсию
обратного
гауссовского
распределения,
используя
производящую
функцию
моментов,
определенную
в упр.
2.3.5.
К
разделу
2.4
2.10.
Найдите
среднее
и
дИсперсию
с.в.
Х
и
У
из
примера
2.3.2.
Воспользуйтесь
нор
мальным
распределением,
чтобы
аппроксимировать
вероятность
Р(Х+
У>
4).
Сравните
полученное
значение
с
точным
результатом.
2.11.
(а)
Воспользуйтесь
центральной
предельной
теоремой
для
вычисления
Ь,
с
и
d
при
заданном
а
в
соотношении
р
[ t
Х;
;;.
пр
+
aVnI7]
'"
с
+
ЬФ(d),
где
Xi
-
независимые и
одинаково
распределенные
случайные
величины
со
средним
f.L
и
дисперсией
0'2,
а
Ф(z)
-
функция
распределения
стандартной
нормальной
случайной
величины.
(Ь)
Вычислите
вероятности
в
упр.
2.8(с),
используя
нормальную
аппроксимацию
из
п. (а).
2.12.
Случайная
величина
и
имеет
производящую
функцию
моментов
Mu(t)
=
(1
-
2t)-g,
t < 1/2.
(а)
Воспользуйтесь
производящей
функцией
моментов
для
вычисления
среднего
и
дис
персии
с.в.
U.
(Ь)
Воспользуйтесь
нормальной
аппроксимацией
для
вычисления
точек
УО,О5
и
УО,Оl,
таких,
что
Р(U
>
Yt:)
=
е.