Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
32
Гл.
1.
Экономика
страхования
Для
этого
семейства
размер
премии
зависит
от
капитала
лица,
принимающего
ре
шения,
достаточно
реалистичным
во
многих
ситуациях
образом.
Пример
1.3.2.
Функция
полезности
лица,
принимающего
решения,
задается
выражением
u(w) =
VW.
Принимающий
решения
имеет капитал
w =
10
и
мо
жет
понести
случайные
потери
Х,
которые
распределены
равномерно
на
интервале
(0,10).
Какую
максимальную
сумму
он
готов
заплатить
за
полное
страховое
покры
тие
против
указанных
случайных
потерь?
Решение.
Подставляя
указанное
выражение
для
функции
полезности
в
(1.3.1),
мы
получим
_
110
_ G =
Е[-
110
_
Х]
=
(10
у'10
-
Х
d =
-2(10
-
х)3/2
10
=
~
ТО
G
V V J
o
10
х
3(10)
о
2V
!V,
= 5,5556.
Принимающий
решения
не
склонен
к
риску
и
и'
(w) >
О.
Согласно
обсуждению
формулы
(1.3.5),
следует
ожидать,
что
G >
Е[Х],
и
в
нашем
примере
G = 5,5556 >
Е[Х]
=5.
т
Семейство
квадрати'Ч.н:ых
функций
полезности
задается
соотношением
u(w) = w -
aw
2
,
w < (20:)-1,
а>
О.
Элемент
этого
семейства
может
представлять
предпочтение
лица,
не
склонного
к
риску,
поскольку
u"(w)
=
-20.
Хотя
квадратичная
функция
полезности
удобна
тем,
что
зависит
только
от
первых
двух
моментов
распределений
рассматриваемых
исходов,
ряд
последствий
ее
использования
некоторым
лицам
кажется
неразумным.
Пример
1.3.3
иллюстрирует
одно
из
таких
последствий.
Пример
1.3.3.
Функция
полезности
лица,
принимающего
решения,
задается
выражением
u(w) = w - 0,01w
2
, W
< 50.
Принимающий
решения
сохранит
капитал
w
с
вероятностью
р
и
будет
нести
финан
совые
потери
величины
с
с
вероятностью
1 -
р.
Для
значений
w,
с
ир,
указанных
в
приведенной
ниже
таблице,
найдем
максимальную
страховую
премию,
которую
при
нимающий
решения
готов
заплатить
за
полное
страховое
покрытие.
Предположим,
что
с
~
w < 50.
Решение.
Для
нашей
задачи
формула
(1.3.1)
приобретает
вид
u(w -
а)
=
pu(ш)
+
(1
- p)u(w -
с),
(ш
-
а)
-
О,Оl(ш
-
а)2
= p(w - 0,Olw
2
)
+
(1
- p)[(w -
с)
-
О,ООl(ш
-
с)2].
Для
заданных
значений
w,
р
и
с
эта
формула
становится
квадратным
уравнением.
Ниже
приведены
два
его
решения.
Капитал
Потери
Вероятность
Страховая
премия
w
с
р
G
10
10
0,5 5,28
20
10
0,5 5,37
'f
в
примере
1.3.3,
как
и
ожидалось,
G
превосходит
величину
ожидаемых
по
терь,
5.
Однако
максимальная
страховая
премия
за
потери
с
одним
и
тем
же
распре
делением
растет
с
ростом
капитала
лица,
принимающего
решения.
Этот
результат
кажется
неестественным
тем,
кто
считает,
что
более
типичным
поведением
было
бы
1.3.
Страхование
и
полезность
33
уменьшение
суммы,
которую
принимающий
решения
готов
выплачивать
за
стра
хование,
поскольку
при
увеличении
капитала
он
мог
бы
позволить
себе
больший
риск.
К
сожалению,
рост
максимальной
страховой
премии
с
ростом
капитала
явля
ется
характеристической
чертой
квадратичной
функции
полезности.
Поэтому
тем
из
принимающих
решения
лиц,
которые
полагают,
что
их
способность
брать
на
себя
случайные
потери
растет
с
ростом
капитала,
не
следует
выбирать
такие
функции
полезности.
Если
мы
рассмотрим
пример
1.3.3,
используя
показательную
функцию
полезно
сти,
то,
как
мы
:.:шаем,
премия
G
не
будет
зависеть
от
w,
величины
капитала.
Так,
если
u(w) =
_e-О,Оlw,
то
можно
показать,
что
G = 5,12
как
при
w = 10,
так
и
при
w = 20.
Пример
1.3.4.
Вероятность
того,
что
собственности
не
будет
нанесен
ущерб
за
следующий
период
времени,
равняется
0,75.
Функция
плотности
возможных
поло
жительных
потерь
задается
соотношением
f(x)
=
0,25(0,01e-о,ОlЖ),
х
>
О.
Функция
полезности
владельца
собственности
имеет
вид
u(w) =
_e-О,ОО5w.
Вычислим
ожидаемые
потери
и
максимальный
размер
страховой
премии,
которую
владелец
собственности
готов
заплатить
за
полное
страховое
покрытие.
Решение.
Ожидаемые
потери
задаются
формулой
Е[Х]
=0,75(0) +
0,25100
X(O,Ole-
О
,О1Ж)
dx =
25.
При
меняем
формулу
(1.3.1)
для
определения
максимальной
премии,
которую
вла
делец
собственности
готов
заплатить
за
полное
страховое
покрытие.
Эта
премия
будет
согласована
с
предпочтениями
владельца
собственности,
выраженными
такой
функцией
полезности:
u(w
- G) =0,75u(w) +
[Ю
u(w
-
x)f(x)
dx,
_e-
О
,ОО5(w-G)
=
_0,75e-о.ОО5w
-
0,25100
e-
О
,ОО5(w-ж)
(O,Ole-
о
,ОlЖ)
dx,
еО,ОО5а
= 0,75 + (0,25)(2) = 1,25, G = 200 ln 1,25 = 44,63.
Таким
образом,
в
соответствии
с
предпочтениями
владельца
собственности
для
по
купки
страхового
договора,
покрывающего
все
потери
следующего
временн6го
пери
ода,
он
готов
выплатить
сумму,
превышаюш,ую
ожидаемые
потери,
самое
большее,
на
44,63 -
25
= 19,63.
~
В
примере
1.3.5
мы
вводим
понятие
страхования,
при
котором
сумма
покрытия
меньше,
чем
величина
полных
потерь.
Формулу
(1.3.1)
можно
модифицировать
так,
чтобы
она
годилась
для
случая,
когда
потери
делятся
между
лицом,
принимающим
решения,
и
системой
страхования.
Пример
1.3.5.
Владельцу
собственности
из
примера
1.3.4
предлагается
договор
страхования,
по
которому
будет
выплачиваться
1/2
от
любых
потерь,
понесенных
им
в
следующем
временном
периоде.
Ожидаемое
значение
частичных
выплат
в
связи
с
2 -
IR'i'i
34
Гл.
1.
Экономика
страхования
потерями
составляет
E[Xj2]
= 12,50.
Рассчитаем
максимальную
премию,
которую
владелец
собственности
выплатит
за
такой
страховой
договор.
Решение.
Как
показывает
функция
полезности,
премия,
согласованная
с
отно
шением
владельца
собственности
к
риску,
определяется
из
соотношения
O,75u(w
-
G)
+
100
и
(w
- G -
~)
f(x)
dx =
O,75u(w)
+
100
u(w -
x)f(x)
dx.
Левая
часть
этого
равенства
представляет
ожидаемую
полезность
с
частичным
стра
ховым
покрытием.
Правая
представляет
ожидаемую
полезность
при
полном
отсут
ствии
страхования.
Для
показательной
функции
полезности
и
для
функции
плот
ности
потерь
из
пр:Имера
1.3.4
можно
показать,
что
G = 28,62.
При
частичном
стра
ховом
возмещении
владелец
собственности
готов
заплатить
сумму,
превышающую
ожидаемые
частичные
потери,
самое
большее,
на
величину
G -
J.l
=28,62 - 25,50 =
16,12.
~
1.4.
Элементы
страхования
Как
отдельным
лицам,
так
и
организациям
угрожают
финансовые
потери
вслед
ствие
случайных
событий.
В
разд.
1.3
мы
видели,
как
страхование
может
увеличить
ожидаемую
полезность
для
лица,
принимающего
решения,
когда
существует
воз
можность
таких
случайных
потерь.
Уникальность
страховых
систем
состоит
в
том,
что
смягчение
финансовых
потерь,
число,
размер
или
время
наступления
которых
являются
случайными,
-
это
важнейшая
причина
их
существования.
В
этом
разде
ле
мы
рассмотрим
некоторые
из
факторов,
влияющих
на
организацию
и
управление
страховой
системой.
Страховая
система
может
быть
построена
только
после
того,
как
очерчена
груп
па
ситуаций,
в
которых
могут
возникнуть
случайные
потери.
Слово
«случайные~
означает,
в
частности,
что
предполагаемый
страхователь
не
может
контролировать
частоту,
размер
и
время
наступления
потерь.
Если
же
он
может
их
контролировать,
или
если
размер
страховых
выплат
превышает
размер
действительных
финансовых
потерь,
то
существует
побудительная
причина
подвергать
себя
риску.
В
этом
случае
не
соблюдаются
предположения,
при
которых
была
построена
страховая
система.
Реальные
условия,
при
которых
будут
собираться
страховые
премии
и
производить
ся
страховые
выплаты,
окажутся
иными,
чем
те,
которые
были
заложены
при
орга
низации
системы.
Система
не
будет
отвечать
поставленной
перед
ней
цели,
чтобы
ожидаемая
полезность
не
убывала
ни
для
страховщика,
ни
для
страхователя.
Как
только
класс
страхуемых
событий
определен,
можно
получить
информацию
об
ожидаемых
полезностях
и
о
процессе,
порождающем
потери.
Исследование
рынка
в
страховании
можно
рассматривать
как
попытку
выяснить
как
можно
больше
о
функциях
полезности,
т.
е.
о
рисковых
предпочтениях
клиентов.
Процессы,
определяющие
размер
и
время
наступления
потерь,
могут
быть
до
статочно
стабильными
во
времени,
так
что
при
планировании
системы
можно
ис
пользовать
информацию
за
предыдущий
период.
При
организации
новой
системы
часто
не
имеется
статистики,
относящейся
к
ней
непосредственно.
Однако
можно
получить
достаточно
много
дополнительной
информации
относительно
аналогич
ных
рисковых
ситуаций,
чтобы
определить
риски
и
дать
предварительные
оценки
вероятностных
распределений,
необходимых для
установления
премиЙ.
Поскольку
1.5.
Оптимальное
страхование
35
большинство
страховых
систем
работают
в
динамических
условиях,
для
того
что
бы
система
в
дальнейшем
успешно
адаптировалась,
необходимо
иметь план
сбора
и
анализа
текущей
статистической
информации.
Адаптация
в
этом
контексте
мо
жет
означать
изменение
премий,
выплату
дивидендов
или
возврат
премии,
а
также
изменение
будущих
договоров.
В
конкурентной
экономике
рыночные
силы
вынуждают
страховщиков
выраба
тывать
такие
тарифы
для
краткосрочных
страховых
контрактов,
при
которых
от
клонения
значений,
наблюдаемых
на
практике,
от
среднего
значения
ведут
себя
как
независимые
случайные
величины.
Эти
отклонения
не
должны
складываться
в
структуру,
которую
страховщик
или
страхователь
мог
бы
использовать
для
получе
ния
устойчивой
прибыли.
Наличие
таких
устойчивых
отклонений
указывало
бы
на
неэффективность
страхового
рынка.
Все
это
показывает,
что
распределение
рисков по
однородным
группам
является
важной
функцией
рыночной
страховой
системы.
Случайный
характер
отклонений
в
опытных
данных
указывает
на
эффективность,
или
справедливость,
классифика
ции.
На
конкурентном
страховом
рынке
постоянные
взаимодействия
многочислен
ных
покупателей
и
продавцов
приводят
к
экспериментированию
с
системами
клас
сификации,
поскольку
участники
рынка
пытаются
извлечь
преимущество
из
знания
структуры
этих
отклонений.
Так
как
страховые
потери
могут
быть
достаточно
ред
кими
событиями,
бывает
довольно
трудно
выявить
неслучайные
структуры.
Сто
имость
информации,
необходимой
для
уточнения
системы
классификации,
также
ограничивает
возможности
экспериментирования.
В
страховых
системах,
предназначенных
для
обслуживания
групп,
а
не
отдель
ных
лиц,
вопрос
о
том,
случайны
ли
имеющиеся
отклонения
от
страховой
практики
для
каждого
лица,
не
так
актуален.
Вместо
него
на
первое
место
выходит
вопрос,
случайны
ли
отклонения
от
групповой
практики.
Постоянные
расхождения
между
опытными
и
ожидаемыми
результатами
указывали
бы
на
необходимость
пересмотра
системы.
Групповые
страховые
решения
основаны
не
на
сравнениях
индивидуальной
ожи
даемой
полезности;
напротив,
схемы
группового
страхования
основываются
на
кол
лективном
решении
вопроса,
увеличивает
ли
система
совокупный
капитал
всей
груп
пы.
Примером
служит
коллективное
страхование
на
случай
болезни,
предусматри
вающее
выплату
пособий
служащим
некоторой
компании.
1.5.
Оптимальное
страхование
Соображения, описанные
в
разд.
1.2, 1.3
и
1.4,
были
использованы
в
качестве
основы
для
построения
тщательно
продуманной
теории,
которая
призвана
помочь
лицам,
принимающим
решения
в
страховой
сфере,
действовать
в
соответствии
с
их
предпочтениями.
В
этом
разделе
мы
представим
один
из
основных
результатов
этой
теории
и
еще
раз
остановимся
на
описанных
выше
соображениях.
Лицо,
принимающее
решения,
располагает
капиталом
величины
ш,
и
ему
в
сле
дующем
временном
интервале
грозят
потери.
Потери
представляются
случайной
величиной
Х.
Принимающий
решения
может
купить
страховой
договор, согласно
которому
ему
будет
выплачена
сумма
I(x)
при
потерях
х.
Для
того
чтобы
у
него
не
было
побудительной
причины
стремиться
к
потерям,
предположим,
что
все
до
nустимые
страховые
договоры
таковы,
что
О
::::;
I(x)
::::;
х.
Мы
делаем
упрощающее
36
Гл.
1.
Экономика
страхования
предположение,
что
все
допустимые
договоры,
для которых
E[I(X)]
=
/3,
могут
быть
приобретены
за
одну
и ту
же
сумму
Р.
ЛИЦО,
принимающее
решения,
определило
функцию
полезности
'11.(
w),
которая
согласована
с
его
предпочтениями
для
распределений
исходов.
Мы
предположим,
что
принимающий
решения
не
склонен
к
риску,
'11.11('11.)
<
о.
Далее,
мы
предположим,
что
он
уже
определил
сумму,
обозначим
ее
через
Р,
которую
он
согласен
заплатить
за
страхование.
Вопрос
состоит
в
следующем:
какой
из
договоров
страхования,
ПрИ
надлежащих
классу
допустимых
договоров
с
ожидаемыми
страховыми
выплатами
/3
и
премией
Р
следует
приобрести,
чтобы
максимизировать
ожидаемую
полезность
для
лица,
принимающего
решения?
Один
из
подклассов
класса
допустимых
страховых
договоров
определяется
сле
дующим
образом:
Id(X) =
{о,
x-d
,
х
<
d,
х
~
d.
(1.5.1)
Этот
класс
договоров
характеризуется
тем,
что
страховые
выплаты
не
производят
ся,
пока
потери
не
превосходят безусловную
фра'Н,шuзу
d.
По
условиям
договора
для
потерь,
превышающих
безусловную
франшизу,
выплачивается
разница
меж
ду
потерями
и
безусловной
франшизоЙ.
Такой
тип
страхования
иногда
называется
страхованием
э~сцедента
убъtт~а,
или
э~сцедента
убъtто'ч:ности,
в
зависимости
от
приложений.
В
обсуждавшейся
в
этом
разделе
задаче
ожидаемые
страховые
выплаты
обозна
чались
через
/3.
в
формулах
(1.5.2)
ниже
символ
f(x)
обозначает
функцию
плотно
сти,
а
Р(х)
-
функцию
распределения,
соответствующие
случайным
потерям
Х:
или
(J
=
{"
(х
-
d)f(x)
dx,
(J
=
i""
[1
- F(x)] dx.
(1.5.2A)
(1.5.2В)
Формула
(1.5.2В)
получена
из
(1.5.2A)
интегрированием
по
частям.
Когда
величина
13
задана,
формулы
(1.5.2)
дают
явные
уравнения
для
соответствующей
безуслов
ной
франшизы,
обозначаемой
через
d*.
В
упр.
1.17
показано,
что
d*
существует
и
единственна.
Основной
результат
настоящего
раздела
можно
сформулировать
в
виде
теоре
мы:
Теорема
1.5.1.
Если
лицо,
nринuмающее
реше'Н,и,я,
•
u.м.eeт
1Саnитал
w,
•
не
с7сдонно
1с
рис1СУ,
дpyгu.м.и
словамu,
его
ФУН1Сция
nолезностu
'11.(
w)
тa~oвa,
'Что
u"(w)
<
О,
•
nодвергаетс.я
рис1СУ
случайных
потерь
Х,
•
согласно
выплатить
сумму
Р
за
страховое
nО1Срытие,
1.6.
Замечания
и
литература
37
'u
еС./l/l.J,
страховой
Р'Ы'НО7С
предоставляет
все
допустимые
договоры
страхования
сто
имости
Р
и
вида
l(х),
О
~
l(х)
~
х,
где
E[I(X)]
=:
{З,
то
ожидае.м.ая
полез
ность
для
лица,
nрuнu.м.ающего
решен'UЯ,
.м.а7Сси.м.шируется
nрио6ретение.м.
дого
вора
страхованuя
ld*
(х)
=:
{о,
Х
-d*
,
где
d*
является
решение.м.
уравнения
х
< d*,
х
~
d*,
{3
-
[О
(х
-
d)f(x)
dx =
о.
Доказательство
теоремы
содержится
в
приложении
к
этой
главе.
Теорема
1.5.1
является
важным
результатом
и
иллюстрирует
многие
идеи,
раз
витые
в
этой
главе.
Однако
полезно
рассмотреть
ряд
ограничений
ее
применимости.
Во-первых,
отношение
премий
к
ожидаемым
страховым
выплатам
одно
и
то
же
для
всех
имеющихся
договоров.
На
самом
деле
распределения
случайных
величин
I(Х)
могут
быть
весьма
различными,
и
рисковая
надбавка,
включающаяся
в
премию,
обычно
зависит
от
характеристик
распределения
I(Х).
Во-вторых,
в
теореме
1.5.1
предполагается,
что
премия
Р
зафиксирована
бюджетными
ограничениями,
и
дру
гие
значения
для
величины
Р
не
рассматриваются.
В
упр.
1.22
рассматривается
ослабление
бюджетных
ограничений.
В-третьих,
хотя
в
теореме
указан
вид
страхо
вания,
это не
помогает
определить
сумму
Р,
которую
надо
потратить.
В
теореме
величина
Р
фиксирована.
1.6.
Замечания
и
литература
Определения
и
принципы
актуарной
науки
можно
найти
в
«Principles ofActuarial
Science» (Society of Actuaries Committee
оп
Actuarial Principles, 1992).
Роль
риска
в
деловой
практике
изучалась
в
диссертации
Уиллетта
[Willett 1951J,
проложившей
путь
для
дальнейших
исследований.
Борх
опубликовал
серию
статей
[Borch 1974],
применяя
теорию
полезности
к
вопросам
страхования.
Де
Гроот
в
книге
[De
Groot 1970]
дал
полное
изложение
теории
полезности,
начиная
с
базовых
аксиом
согласованности
предпочтений
для
различных
распределений
исходов.
И
Де
Гроот,
и
Борх
обсуждали
важный
с
исторической
точки
зрения
Петербургский
парадокс,
описанный
в
упр.
1.2.
Статья
Фридмана
и
Сэвиджа
[Friedman, Savage 1948]
внесла
существенный
вклад
в
теорию
полезности
и
поведения
человека.
Пратт
[Pratt
1964]
изучал
формулу
(1.3.1)
и
получил
несколько
теорем
о
преми
ях и
функциях
полезности.
Упражнение
1.10,
в
котором
используются
два
грубых
приближения,
связано
с
одним
из
результатов
Пратта.
Теорема
1.5.1
об
оптимальном
страховании
была
доказана
Эрроу
[Arrow
1963]
в
контексте
страхования
на
случай
болезни.
Теорема
в упр.
1.21,
в
которой
целью
страхования
является
минимизация
дисперсии
удержанных
потерь,
была
темой
ра
бот
Борха
[Borch 1960]
и
Хана
[КаЬп
1961].
Использование
дисперсии
потерь
в
каче
стве
меры
стабильности
обсуждалось
Бёрдом,
Пентикайненом
и
Песоненом
[Beard,
Pentikainen, Pesonen 1984].
Упражнение
1.32
основано
на их
обсуждении.
38
Гл.
1.
Экономика
страхования
Приложение
Лемма.
Если
u"(ш)
<
О
дл.я
всех
w
из
[а,
Ь],
то
дл.я
w
и
z
из
[а,
Ь]
u(ш)
-
u(z)
~
(ш
-
z)u'(z).
(1.А.1)
Доказательство.
Лемму
можно
доказать
с
помощью
графика
на
рис.
1.3.1.
Восполь
зовавшись
выпуклостью,
заметим,
что
прямая
,
касательная
к
u(
ш)
в
точке
(z, u(
z)
),
за
дается
уравнением
у
-
u(z)
=
u'(z)(w
- z)
и
лежит
выше
графика
функции
u(ш)
всюду,
кроме
точки
(z,
u(z».
Таким
образом:
u(ш)
-
u(z)
~
'lt'(z)(w - z).
На
рис.
1.3.1
показан
случай
u'(ш)
>
О.
Аналогичные
аргументы
справедливы
и
в
случае
u'(ш)
<
О.
•
в
упр.
1.20
требуется
найти
другое
доказательство
этой
леммы.
Доказательство
теоремы
1.5.1.
Пусть
I(x)
относится
к
договору
страхования,
удо
влетворяющему
условиям
теоремы.
Тогда,
согласно
лемме,
u(ш
-
х
+
I(x)
-
Р)
-
u(ш
-
х
+
Id*
(х)
-
Р)
~
[I(x) -
Id*
(х)]
u'(ш
-
х
+
Id*
(х)
-
Р).
(1.А.2)
Кроме
того,
мы
утверждаем,
что
[I(x) - Id*(x)]
u'(w
-
х
+
Id*
(х)
-
Р)
~
[I(x) - Id*(x)Ju'(w -
d*
-
Р).
(1.А.3)
ДЛЯ
доказательства
неравенства
(l.А.З)
мы
должны
рассмотреть
три
случая:
Случай
1.
Id*
(х)
=
I(x).
В
этом
случае
выполняется
равенство:
в
(1.А.3)
равны
нулю
как
правая,
так
и
левая
части.
Случай
П.
Id*(x) >
I(x).
В
этом
случае
Id*
(х)
>
О
и
из
формулы
(1.5.1)
следует,
что
х
-
Id*
(х)
= d*.
Поэтому
имеет
место
равенство,
причем
как
правая,
так
и
левая
части
в
формуле
(1.А.3)
равны
[I(x) -
Id*
(х)]
u'(w
-
d*
-
Р).
Случай
ПI.
Id*
(х)
<
I(x).
В
этом
случае
l(х)
-
Id*
(х)
>
О.
Из
формулы
(1.5.1)
следует,
что
Id*
(х)
-
х
~
-d*
и
Id*(X) -
х
-
Р
~
-d*
-
Р.
Поэтому
u'(ш
--
х
+I
d
•
(а;)
-
Р)
~
u'(ш
-
d*
-
Р),
поскольку
вторая
производная
функции
u(
х)
отрицательна
и
и'
(х)
является
убывающей
функцией.
Итак,
в
каждом
из
рассматривавшихся
случаев
[I(x) -
Id*
(х)]u'(ш
-
Х
+
Id*
(х)
-
Р)
~
[I(x) -
Id*
(х)]u'(ш
-
Р
- d*),
что
доказывает
неравенство
(1.А.3).
Используя
неравенства
(1.А.2)
и
(I.А.3)
и беря
математические
ожидания,
получаем
Е[u(ш
-
Х
+
I(X)
-
Р)]
-
Е[u(ш
-
Х
+
ld*
(Х)
-
Р)]
~
E[I(X)
-
Id*
(Х)]u'
(ш
-
d*
-
Р)
=
(fЗ
-
fЗ)u'(ш
-
d*
-
Р)
=
О.
Поэтому
E[u(w -
Х
+
I(X)
-
Р)]
~
Е[u(ш
- Х +
Id*
(Х)
-
Р)],
и
ожидаемая
полезность
будет
максимизирована
выбором
Id*
(х),
т.
е.
договором
эксцедента
убыточности.
•
Упражнения
к
разделу
1.2
1.1.
Предположим,
что
текущий
капитал
лица,
принимающего
решения,
равен
10000.
Положим
u(О)
=
-1
и
u(10000) =
О.
(а)
При
возможных
потерях
Х,
случающихся
с
вероятностью
0,5,
и
при
вероятности
0,5
сохранить
текущий
капитал
лицо,
пр:циимающее
решения,
согласно
выплатить
за
полное
страховое
покрытие
сумму,
не
превышающую
G.
Ниже
приведены
значения
величин
Х
и
G
в
трех
случаях.
Упражнения
39
Х
10000
6000
3300
G
6000
3300
1700
Определите
три
значения
функции
полезности
u
лица,
принимающего
решения.
(Ь)
Вычислите
наклон
четырех
прямолинейных
отрезков,
соединяющих
пять
точек,
определенных на
графике
функции
и(
w).
Определите
скорость
изменения наклона
от
сег
мента
к
сегменту
(которая
определяется
конечной
разностью
второго
порядка).
(с)
Представьте
себя
в
роли
принимающего
решения
лица,
располагающего
капиталом
10000.
Помимо
заданных
значений
и(О)
и
11(10000)
найдите
три
дополнительных
значения
вашей
функции
полезности
и.
(d)
На
основе
пяти
значений
вашей
функции
полезности
найдите
углы
наклона
и
ско
рость
их
изменения,
как
в
п.
(Ь)
1.2.
Петербургский
парадокс.
Рассмотрим
игру,
состоящую
в
подбрасывании
моне
ты
до
тех
пор,
пока
не
выпадет
орел.
Вероятность
выпадения
орла
равна
0,5
и
испытания
независимы.
Пусть
случайная
величина
N
является
количеством
испытаний
до
первого
выпадения
орла.
(а)
Покажите,
что
функция
вероятностей
с.
в.
N
задается
выражениями
f(n)
=(1/2)n, n =
1,2,3,
....
(Ь)
Найдите
E[N]
и
D[N].
(с)
Докажите,
что
если
выплачивается
вознаграждение
вида
Х
=2
N
,
то
математиче
ское
ожидание
вознаграждения
бесконечно.
(d)
Найдите
Е[и(Х)]
при
условии,
что
выплачиваемое
вознаграждение
имеет
функцию
полезности
и(
ш)
= ln
ш.
к
разделу
1.3
1.3.
Неравенство
Иенсена.
(а)
Предположим,
что
и"(ш)
<
О,
Е[Х]
=
Р,
и
Е[и(Х)]
конечно.
Докажите,
что
Е[u(Х)]
~
u(р,).
[Указание.
Разложите
и(
ш)
в
ряд
в
окрестности
точки
w =
р,
с
остаточным
членом,
включающим
вторую
производную.
Обратите
внимание
на
то,
что
для
справедливости
неравенства
Иенсена
не
требуется,
чтобы
и'
(
ш)
>
О.]
(Ь)
Если
ulJ(w) >
О,
докажите,
что
Е[и(Х)]
~
u(J.t).
(с)
Рассмотрите
неравенство
Иенсена
для
частного
случая
u(ш)
-
ш
2
.
Чему
равно
выражение
Е[и(Х)]
-
и(Е[Х])?
1.4.
Если
функция
полезности
такова,
что
и'(ш)
>
О
и
ulJ(w) >
О,
воспользуйтесь
формулой
(1.3.1)
для
того,
чтобы
показать,
что
G
~
р,.
Лицо,
принимающее
решения,
предпочтения
которого
таковы,
что
и"
(
ш)
>
О,
является
любителем
РUС7Са.
1.5.
Предъявите
геометрическое
доказательство,
основанное
на
графике,
аналогичном
тому,
который
приведен
на
рис.
1.3.1,
того
факта,
что
если
u'(w) <
О
и
ulJ(w) <
О,
то
имеет
место
(1.3.4).
1.6.
Покажите,
что
функция
полезности
u(w) =
lnw,
w >
О,
является
функцией
по
лезности
не
склонного к
риску
лица,
принимающего
решения,
при
w >
О.
1.7.
Пусть
функция
полезности
задается
соотношением
{
e-(W-IOO)2/
200
w < 100,
и(ш)
= 2 _
e-(W-IOO)2~200,
w
~
100.
(а)
Верно
ли,
что
и'(ш)
~
О?
(Ь)
ДЛЯ
каких
w
верно
неравеНСТIЮ
u"(ш)
<
О?
40
Гл.
1.
Экономика
страхования
w >
О,
k >
О,
1.8.
Докажите
такое
утверждение:
если
предположить,
как
это
сделал
Даниил
Бер
нулли,
комментируя
Петербургский
парадокс,
что
функция
полезности
капитала
удовле
творяет
дифференциальному
уравнению
du(w)
k
dw
ш'
то
u(ш)
=
klnw
+
с.
1.9.
Пусть
лицо,
принимающее
решения,
имеет
функцию
полезности
u(w)
=k ln
ш.
Оно
располагает
капиталом
ш,
w > 1,
и
подвергается
риску
Х,
который
равномерно
распре
делен
на
интервале
(0,1).
Воспользуйтесь
соотношением
(1.3.1)
для
того,
чтобы
доказать,
что
максимальная
страховая
премия,
которую
принимающий
решения
готов
выплатить
за
полное
страховое
покрытие,
равна
W
W
С=ш-
.
е(ш
-
l)w-l
1.1
о.
(
а)
В
(1.3.1)
воспользуйтесь
приближениями
u(ш
-
C)~
u(w
-
/J)
+
(р
-
С)u'(ш
-
J..t),
u(ш
-
х)
::::
u(ш
-
/J)
+
(J.L
-
х)u'(ш
-
/J)
+
~(J.L
-
х)2
u
"(ш
-
J.L)
2
и
выведите
следующее
приближение
для
С:
С::::
J.L
_ !
u"(ш
-
J.L)
а
2
•
2
u'(ш
-
J.L)
(Ь)
Пусть
u(ш)
= k ln
ш.
Воспользуйтесь
приближением
из
п.
(а)
ДЛЯ
доказательства
соотношения
G
~
1
а
2
=
J..t
+
21
ш
-
J.LI
.
1.11.
Функция
полезности
принимающего
решения
лица
имеет
вид
u(ш)
=
_e-
QW
•
Оно
подвергается
риску,
который
имеет
распределение
х
2
с
n
степенями
свободы.
Если
О
< Q <
1/2,
воспользуйтесь
соотношением
(1.3.1),
чтобы
получить
выражение для
максимальной
страховой
премии
С,
которую
лицо,
принимающее
решения,
готово
выплатить,
и
докажите,
что
G > n =
р.
1.12.
Повторите
решение
задачи
из
примера
1.3.4
для
(а)
u(ш)
=
_e-
w
/
400
I
(Ь)
u(ш)
=
_e-
W
/
150
.
1.13.
(а)
Страховщик,
имеющий
капитал
100,
принял
на
себя
риск
Х,
распределенный
согласно
следующему
закону:
Р(Х
=
О)
=
Р(Х
=51) =
1/2.
Какова
максимальная
сумма
С,
которую
он
должен
выплатить
другому
страховщику
для
того,
чтобы
он
принял
100%
соответствующих
потерь?
Предположим,
что
функция
полез
ности
первого
страховщика
имеет
вид
u(
w) = ln
w.
(Ь)
Страховщик,
имеющий
капитал
650
и
такую
же
функцию
полезности,
u(
ш)
= ln
ш,
рассматривает
возможность
принять
на
себя
риск,
указанный
выше.
Какова
минимальная
величина
Н,
которую
этот
страховщик
примет
в
качестве
премии для
покрытия
100%
указанных
выше
потерь?
1.14.
Пусть
полное
страховое
покрытие
из
примера
1.3.4
можно
приобрести
за
сумму
40,
а
50%
от
страхового
покрытия
из
примера
1.3.5
можно
приобрести
за
сумму
25.
Приоб
ретение
какого
страхового
покрытия
максимизирует
ожидаемую
полезность
для
владельца
собственности?
к
разделу
1.4
1.15.
Группе,
состоящей
из
n
лиц,
предоставлен
договор
страхования,
покрывающий
расходы
на
лечение
в
стационаре.
Согласно
этому
договору,
каждый
раз,
когда какой-либо
член
этой
группы
попадает
в
стационар,
выплачивается
В
долларов.
Предполагается,
что
группа
неоднородна
по
отношению
к
ожидаемому
количеству
попаданий
в
стационар
на
Упражнения
41
протяжении
года.
Вся
группа
может
быть
разбита
на
r
подгрупп.
В
подгруппе
с
номером
i
содержится
ni
лиц
и
L:~
ni
=
n.
Для
каждого
из
членов
подгруппы
с
номером
i
число
попаданий
в
стационар
в
течение
года
имеет
пуассоновское
распределение
с
параметром
Лi,
i = 1,
2,
...
,
т.
Числа
попаданий
в
стационар
в
течение
года
для
членов
группы
взаимно
независимы.
(а)
Покажите,
что
ожидаемые
страховые
выплаты
за
один
год
составят
r 1 r
В
L
niЛi
=
Вn5.,
где
J..
= - L
niЛi.
1111
(Ь)
Покажите,
что
<IИСЛО
ГЮllаданий
в
стационар
за
один
год
для
всей
группы
имеет
пуассоновское
распределени:е
с
параметром
115..
К
разделу
1.5
1.16.
Выполните
интегрирование
по
частям,
указанное
для
формул
(1.5.2).
Восполь
зуйтесь
тем
фактом,
что
Е[Х]
существует
тогда
и
только
тогда,
когда
liШх-tоо
x[I-F(x)]
=
О.
1.17.
(а)
Продифференцируйте
правую
часть
формулы
(1.5.2В)
по
d.
(Ь)
Пусть
f3
-
такое
число,
что
О
<
f3
<
Е[Х].
Покажите,
что
(1.5.2)
имеет
единственное
решение
d".
1.18.
Пусть
функция
плотности
случайной
величины
Х,
описывающей
потери,
задана
формулой
где
d = 1
О
ln
2.
х
>
о.
х
< d,
и
х
I(x)
= 2
f(x)
=
0,1е
-о,lх,
(а)
Вычислите
Е[Х]
и
D[X].
(Ь)
Покажите,
что
если
при
приобретении
страхового
покрытия
в
качестве
нетто
премии
будет
заплачено
Р
= 5,
ТО
Id(X) =
{о,
Х
- d,
х
~
d,
Оба
эти
выражения
предстаВJJНЮТ
допустимые
страховые
договоры
с
нетто-премией
Р
=
5.
При
этом
I(x)
называется
n]Jоnорцuонал'Ь'Н:ым
страхованием.
1.19.
Случайная
величина
Х,
описывающая
потери,
имеет
плотность
вида
f(x)
= 1/100,
О
<
х
< 100.
(а)
Вычислите
Е[Х]
и
D[X].
(Ь)
Рассмотрите
договор
пропорционального
страхования,
где
I(x)
=
kx,
О
< k <
1,
х
<
d,
х
~
d.
и
договор
эксцедента
убыточности,
где
Id(X) =
{о,
x-d
,
Определите
k
и
d,
такие,
что
размер нетто-премии
в
каждом
случае
составит
Р
= 12,5.
(с)
Покажите,
что
D[X
-
I(X)]
>
D[X
-
Id(X)],
к
nРUJ/,оженu1О
1.20.
Докажите
лемму,
используя
не
геометрический,
а
аналитический
подход.
[Ука
зание.
Разложите
u(w)
в
ряд
с
остаточным
членом,
содержащим
вторую
производную,
в
окрестности
точки
z
и
вычтите
u(z).]
1.21.
Пусть
выполнены
предположения
теоремы
1.5.1
относительно
f3
и
страхового
договора
I(x),
и
пусть
Е[Х]
=
/1.
Докажите,
что
п[х
"-
I(X)]
=
Е[(Х
-
I(Х)
-
f.L
+
JЭ)2]
является
минимальной,
если
I(x)
=
Id"
(х).
Вам
придется
доказать,
что
при
фиксированной
нетто-премии
страховой
договор
эксцедента
убыточности
будет
минимизировать
диспер
сию
удержанных
страховых
выплат.
[Указание.
Можно
следовать
доказательству
теоремы