Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
Оглавление
651
4.2.3.
Отсроченное
страхование
105
4.2.4.
Страхование
с
изменяющимися
выплатами
107
4.3.
Страховые
выплаты,
производимые
в
конце
года
смерти
111
4.4.
Соотношения
между
страховыми
договорами
с
выплатами
в
момент
смерти
и
в
конце
года
смерти
120
4.5.
Дифференциальные
уравнения
для
страхования
с
выплатами
в
момент
смерти
125
4.6.
Замечания
и
литература
126
Упражнения
126
Глава
5.
Страховые
аннуитеты
131
5.1.
Введение
131
5.2.
Непрерывно
выплаЧ,иваемые
страховые
аннуитеты
132
5.3.
Страховые
аннуитеты
с
дискретными
выплатами
140
5.4.
Страховые
аннуитеты
с
выплатами
т
раз
в
год
145
5.5.
Аннуитеты
пренумерандо
и
аннуитеты
постнумерандо
с
корректирующим
платежом
150
5.б.
Замечания
и
литература
153
Упражнения
153
Глава
6.
Нетто-оремии
160
6.1.
Введение
160
6.2.
Непрерывная
модель
162
6.3.
Дискретная
модель
171
6.4.
Премии,
выплачиваемые
т
раз
в
год
177
6.5.
Премии
с
корректирующим
платежом
179
б.6.
Выплаты
накопительного
типа
182
6.7.
Замечания
и
литература
184
Упражнения
184
Глава
7.
Нетто-резервы
189
7.1.
Введение
189
7.2.
Нетто-резервы
в
непрерывной
модели
191
7.3.
Другие
формулы
для
нетто-резервов
в
непрерывной
модели
197
7.4.
Нетто-резервы
в
дискретной
модели
200
7.5.
Нетто-резервы
в
полунепрерывной модели
205
7.6.
Нетто-резервы
в
случае
нетто-премий,
выплачиваемых
т
раз
в
год
205
7.7.
Нетто-резервы
для
премий
с
корректирующим
платежом
207
7.8.
Замечания
и
литература
208
Упражнения
209
Глава
8.
Анализ
нетто-резервов
212
8.1.
Введение
212
8.2.
Нетто-резервы
ДЛЯ
страховых
договоров
общего
вида
212
8.3.
Рекуррентные
формулы
для
нетто-резервов
в
дискретной
модели
21б
8.4.
Нетто-резервы
в
промежуточные
моменты
времени
220
8.5.
Распределение
риска
по
годам
действия
договора
страхования
223
8.6.
Дифференциальные
уравнения
для
нетто-резервов
в
непрерывной
модели
228
8.7.
Замечания
и
литература
230
Упражнения
230
Глава
9.
Актуарные
функции
для
нескольких
лиц
235
9.1.
Введение
235
9.2.
Совместное
распределение
продолжительностей
предстоящей
жизни
236
9.3.
Статус
дожития
всех
лиц
из
группы
240
9.4.
Статус
дожития
последнего
лица
в
группе
244
9.5.
Вероятности
и
математические
ожидания
247
9.6.
Модели
зависимых
продолжительностей
предстоящей
жизни
249
9.6.1.
Модель
с
возмущением
250
9.6.2.
Связка
252
652
Оглавление
9.7.
Выплаты
по
договорам
страхования
и
по
аннуитетам
254
9.7.1.
Статусы
дожития
254
9.7.2.
Специальные
аннуитеты
для
двух
лиц
258
9.7.3.
Реверсивные
аннуитеты
259
9.8.
Вычисления: специальные
предположения
о
смертности
260
9.8.1.
Законы
Гомперца
и
Мейкема
261
9.8.2.
Равномерное
распределение
262
9.9.
Актуарные
функции,
в
которых
учитывается
очередность
наступления
моментов
смерти
264
9.10.
Вычисления:
актуарные
функции,
в
которых
учитывается
очередность
наступления
моментов
смерти
267
9.11.
Замечания
и
литература
269
Упражнения
270
Глава
10.
Модели
выбытия
по
нескольким
причинам
275
10.1.
Введение
275
10.2.
Две
случайные
величины
276
10.3.
Совокупность
случайного
дожития
282
10.4.
Совокупность
детерминированного
дожития
284
10.5.
Сопутствующие
таблицы
выбытия
по
единственной
причине
286
10.5.1.
Основные
соотношения
287
10.5.2.
Повозрастные
коэффициенты
выбытия
по
нескольким
причинам
287
10.5.3.
Предположение
о
постоянстве
интенсивности
выбытия
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
288
10.5.4.
Предположение
о
равномерности
распределения
моментов
выбытия
в
модели
выбытия
по
нескольким
причинам
289
10.5.5.
Проблема
оценивания
290
10.6.
Построение
таблиц
выбытия
по
нескольким
причинам
292
10.7.
Замечания
и
литература
297
Упражнения
297
Глава
11.
Приложения
теории
выбытия
по
нескольким
причинам
303
11.1.
Введение
303
11.2.
Актуарные
настоящие
стоимости
и
их
численный
расчет
304
11.3.
Нетто-премии
и
нетто-резервы
307
11.4.
Примеры
выкупных
сумм,
которые
можно
не
учитывать
при
определении
премий
и
резервов
З08
11.5.
Расчеты
в
пенсионных
схемах
312
11.5.1.
Демографические
предположения
312
11.5.2.
Прогнозирование
будущих
пенсионных
выплат
и
взносов
313
11.5.3.
Схемы
с
установленными
выплатами
316
11.5.4.
Схемы
с
установленными
взносами
318
11.6.
Выплаты
на
случай
потери
трудоспособности
по
индивидуальным
договорам
страхования
жизНи
320
11.6.1.
Выплаты
на
случай
потери
трудоспособности
320
11.6.2.
Освобождение
от
уплаты
премий
321
11.6.3.
Нетто-премии
и
резервы
322
11.7.
Замечания
и
литература
323
Упражнения
324
Глава
12.
Модели
коллективных
рисков
на
коротком
интервале
времени
328
12.1.
Введение
328
12.2.
Распределение
суммарных
страховых
выплат
329
12.3.
Выбор
основных
распределений
332
12.3.1.
Распределение
дЛЯ
С.В.
N
333
12.3.2.
Распределение
величины
индивидуальных
страховых
выплат
335
12.4.
Свойства
некоторых
сложных
распределений
337
Оглавление
653
12.5.
Аппроксимации
распределения
суммарных
выплат
344
12.6.
Замечания
и
литература
348
Приложение
349
Упражнения
351
Глава
13.
Модели
коллективных
рисков на
длительном
интервале
времени
355
13.1.
Введение
355
13.2.
Модель
с
дискретным
временем
357
13.3.
Модель
с
непрерывным
временем
361
13.4.
Вероятности
разорения
и
распределение
страховых
выплат
364
13.5.
Величина
рискового
резерва,
впервые
оказавшегося
ниже
начального
значения
369
13.6.
Максимальные
суммарные
потери
370
13.7.
Замечания
и
литература
375
Приложение
377
Упражнения
380
Глава
14.
Приложения
теории
риска
384
14.1.
Введение
384
14.2.
Распределение
величины
страховых
выплат
384
14.3.
Аппроксимация
индивидуальной
модели
390
14.4.
Перестрахование
эксцедента
убыточности
393
14.5.
Анализ
перестрахования
с
помощью
теории
разорения
398
14.6.
Замечания
и
литература
405
Приложение
406
Упражнения
407
Глава
15.
Модели
страхования,
включающие
расходы
410
15.1.
Введение
410
15.2.
Модели,
учитывающие
расходы
411
15.2.1.
Премии
и
резервы
411
15.2.2.
Бухгалтерский
учет
414
15.3.
Выкупные
суммы
417
15.3.1.
Премии
и
резервы
417
15.3.2.
Бухгалтерский
учет
418
15.4.
Виды
расходов
422
15.5.
Алгебраические
основы
бухгалтерского
учета:
модель
с
едИнственной
причиной
выбытия
425
15.6.
Доля
активов
429
15.6.1.
Рекуррентные
соотношения
429
15.6.2.
Бухгалтерский
учет
431
15.7.
Расходы,
резервы
и
договор
страхования
жизни
общего
вида
432
15.8.
Замечания
и
литература
435
Упражнения
435
Глава
16.
Некоторые
аспекты
отчетности
и
регулирования
440
16.1.
Введение
440
16.2.
Денежные
стоимости
440
16.3.
Право
изменения
условий
договора
443
16.3.1.
Оплаченное
страхование
443
16.3.2.
Измененный
срок
страхования
444
16.3.3.
Автоматический
заем
на
уплату
премий
446
16.4.
Премии
и
экономические
соображения
447
16.4.1.
Естественные
премии
448
16.4.2.
Целевое
значение
фонда
448
16.4.3.
Целевое
значение
нормы
доходности
449
16.4.4.
Целевые
значения
риска
451
16.5.
Поправки
на
накопленный
опыт
452
654
Оглавление
16.6.
Методы
модифицированного
резерва
454
16.7.
Метод
полного
подготовительного
периода
457
16.8.
Метод
МОдИфицированного
подготовительного
периода
460
16.9.
Изменяющиеся
премии
или
страховые
выплаты
461
16.9.1.
Определение
резервов
462
16.9.2.
Денежные
стоимости
464
16.10.
Замечания
и
литература
466
Упражнения
467
Глава
17.
Особые
виды
страхования
и
аннуитетов
472
17.1.
Введение
472
17.2.
Особые
типы
аннуитетов
472
17.3.
Страхование
на
случай потери
кормильца
.474
17.4.
Договоры
переменного
страхования
475
17.4.1.
Переменные
аннуитеты
476
17.4.2.
Переменное
страхование
жизни
с
переменными
премиями
.477
17.4.3.
Переменное
страхование
жизни
с
фиксированными
премиями
478
17.4.4.
Оплаченное
увеличение
страховой
суммы
478
17.5.
Договоры
страхования
с
гибкими
условиями
479
17.5.1.
Пример
договора
с
гибкими
условиями
480
17.5.2.
Еще
ОдИн
вариант
страхования
482
17.6.
Ускоренные
выплаты
484
17.6.1.
ЕдИновременные
выплаты
485
17.6.2.
Периодические
выплаты
486
17.7.
Замечания
и
литература
487
Упражнения
488
Глава
18.
Развитие
теории
для
нескольких
лиц
490
18.1.
Введение
490
18.2.
Более
общие
статусы
490
18.3.
Сложные
статусы
496
18.4.
Вероятности
и
страховые
выплаты,
зависящие
от
очередности
смертей
498
18.5.
Сложные
актуарные
функции,
зависящие
от
очередности
смертей
500
18.6.
Еще
о
реверсивных
аннуитетах
503
18.7.
Нетто-премии
и
нетто-резервы
505
18.8.
Замечания
и
литература
507
Приложение
508
Упражнения
510
Глава
19.
Математическая
демография
515
19.1.
Введение
515
19.2.
Диаграмма
Лексиса
515
19.3.
Непрерывная
демографическая
модель
516
19.4.
Понятия
стационарного
и
стабильного
населений
521
19.5.
Актуарные
приложения
524
19.6.
Динамика
изменения
населения
527
19.7.
Замечания
и
литература
530
Упражнения
530
Глава
20.
Теория
финансирования
пенсионных
схем
534
20.1.
Введение
534
20.2.
Модель
535
20.3.
Метод
конечного
финансирования
536
20.4.
Основные
актуарные
функции
для
пенеионеров
538
20.4.1.
Актуарная
настоящая
стоимость
будущей
пенсии
{rA}t
538
20.4.2.
Уровень
пенсионных
выплат
Bt
538
20.4.3.
Уравнение
баланса
539
20.5.
Нарастание
актуарных
обязательств
541
Оглавление
655
20.6.
Основные
актуарные
функции
для
работающих
542
20.6.1.
Актуарная
настоящая
стоимость
(aA)t
будущих
пенсионных
выплат
542
20.6.2.
Уровень
нормальных
расходов
P
t
543
20.6.3.
Актуарные
наросшие
обязательства
(aV)t 544
20.6.4.
Актуарная
настоящая
стоимость
будущих
нормальных
расходов
(Pat)
545
20.7.
Методы
индивидуальных
актуарных
расходов
547
20.8.
Методы
групповых
актуарных
расходов
550
20.9.
Основные
актуарные
функции
для
объедИненной
группы
работающих
и
пенсионеров
553
20.10.
Замечания
и
литература
554
Упражнения
555
Глава
21.
Про
центы
как
случайная
величина
559
21.1.
Введение
" 559
21.1.1.
Учет
изменчивости
процентов
559
21.1.2.
Обозначения
и
предварительные
сведения
561
21.2.
Сценарии
561
21.2.1.
Детерминистические
сценарии
562
21.2.2.
Случайные
сценарии:
детерминированные
процентные
ставки
564
21.3.
Независимые
процентные
ставки
566
21.4.
Зависимые
процентные
ставки
571
21.4.1.
Модель
скользящего
среднего
571
21.4.2.
Реализация
574
21.5.
Модели
финансовой
экономики
576
21.5.1.
Информация
о
ценах
и
сроках
погашения
576
21.5.2.
Стохастические
модели
579
21.6.
Управление
процентным
риском
583
21.6.1.
Иммунизация
583
21.6.2.
Общая
стохастическая
модель
585
21.7.
Замечания
и
литература
586
Упражнения
587
Приложение
1.
Таблица
нормального
распределения
591
Приложение
2А.
Иллюстративная
таблица
смертности
592
Приложение
2В.
Иллюстративная
таблица
выбытия
из
совокупности
работающих
..
600
Приложение
3.
Обозначения
601
Приложение
4.
Общие
правила
для
обозначений
актуарных
функций
606
Приложение
5.
Некоторые
математические
формулы,
применяемые
в
актуарной
математике
611
Приложение
6.
Литература
614
Приложение
1.
Ответы
к
упражнениям
624
Предметный
указатель
644
Научное
издание
Бауэре
Н.,
Гербер
Х.,
Д:жоне
Д.,
Неебumm
С.,
Хшсман
Д:ж.
Актуарная
математика
Сдано
в
набор
20.04.2001.
Подписано
8
печать
27.07.2001.
Формат
70х100/16.
Бумага
офсетная
Nt
1.
Печать
офсетная.
Уч.-изд
л.
57,8.
Физ.п.л.
41.
Тираж
1000.
000
сЯнус-К
•.
Лицензия
на
издательскую
деятельность
ЛР
064784
от
02.10.96.
109319,
Москва,
ул.
СТРОЙКО8Ская
Д.
12,
корп.
2
119048,
Москва,
Кооперативная
ул.
3-6-128
(ДЛЯ
писем)
Отпечатано
с
готовых
диапозитивов
в
ППП
«Типография
«Наука.
121099,
Москва,
Шубинский
пер.,
6.
Заказ
NQ
1855
Налоговая
льгота
-
общероссийский
классификатор
продукции
ОК-О05-93.
том
2;
953000 -
книги,
брошюры
ISBN
5-8037-0065-7
785803
700654
С.
fiO,
С"Гр.
2
сни:~у
С.
80.
стр.
17
сверху
С.
81,
стр.
13
СIIИЗУ
С.
81,
С"ГР.
2
сни:~у
С.
101.
фОР:'.iу·:rа
(4.2.7)
С.
10Б.
фОР:'.iу·:rа
(4.2.16)
С.
107,
фор:\тула.
(4.2.20)
С.
109,
Clp.
13
СТIИЗ\"
С.
112.
с:тр.
2
СВ('рХУ
С.
114.
с:тр.
13
СВ('РХ,У
С.
lН
Clp.
19
СТIIСУ
С.
1E:i,
СТр.
4
сверху
С.
113.
Фор:\ту:та
(4.3.9)
С.
117.
СТр.
13
сверху
С.
1
:33,
ФОР\lу.'lа
(5.2.1)
С.
133.
фОр,\'lу.'If\
(0.2.1)
С.
134,
Clp.
5
свсрху
С.
1З4.
С'Г'р.
11
сни:~у
С.
13;).
СТр.
6
сверху
С.
1:16,
СТр.
4
сверху
С.
136,
ст-р.
18
спизу
С.
1
:37,
фОР\IУ.'lа
(5.2.21 )
С.
138.
с:тр.
1
С1Т~пу
С.
14n.
фОР:\fу·:та
(".:1.1)
С.
140.
С'Г'р.
3
сни:~у
С.
143.
фОР:'.i},'·:rа
(.0.3.23)
С.
152.
СТр.
13
сверху
С.
152.
фОР:'.iу.:rа
(.>
.
.>.8)
(,'ll!a'Ki~I'T)
С.
152,
фор:\тула.
(3.3.8)
с.
1,1;).
С'Г'р.
17
сни:~у
С.
155,
Clp.
14
СТIИЗ\"
С.
162,
СТр.
21
сверху
С.
165,
CI'p.
3
свсрху
С.
1Н.
стр.
1
свсрху
С.
174.
С'Г'р.
2
(ъерху
С.
174.
СТр.
fi
сни:~у
С.
178.
СТр.
11
сни:~у
С.
178,
ст-р.
10
снизу
С.
178,
Clp.
9
СIНТ:з.у
С.
НJ4.
фор:\ту,-'та
(7.2.10)
С.
НJfi.
Рис.
7.2.1
С.
201.
СТр.
5
сни:~у
С.
22;).
СТр.
13
сверху
С.
271.
СТр.
1fi
сверху
С
.
.328,
ст-р.
7
снизу
С.
335,
СТр.
17
СТIИЗ\"
С.
333.
стр.
16
СТIИЗУ
()ТRё1ЖТJ;Ы)
С.
33fi.
СТр.
2
сни:~у
С.
337,
фОР\I)-'.'Ш
(12.3.24)
С.
3'10,
ФOl)\IУ.'lа
(12
..
1.10)
С.
346.
с:тр.
9
сверху
С.
347.
фОР:'.iу.:rа
(12.5.12)
С.
348.
СТр.
18
сверху
С
.
.360,
фОР:'.iула.
(1.3.2.19)
С.
365,
фОР\I)-'.'Ш
(13.4.2)
С.
363.
qЮР\IУ.'lа
(13.1.3)
С.
366.
С'Г'р.
12
('ни:~у
С.
371.
СТр.
8
сверху
С.
377,
СТ'Р.
14
сверх\-'
С.
377.
фор:\ту.:та
(В.А.4)
С
.
.377,
ст-р.
16
снизу
С.
377.
С'Г'р.
16
('ни:~у
С.
377.
СТр.
5
сни:~у
С.
378.
СТр.
5
сверху
С.
380.
СТр.
7
С1Тизу
С.
383.
с:тр.
4
СНИ:'Jу
С.
401.
фОР:'.iу.:rа
(14.5.4)
Нilп~чатано
[1'е1lе,
66],
[1'е1l"
6R]
I'РО
l,o,
=
n(:г)
=
О
:г)':
lJ..',:r
<
lJ..'.
F"
г;~
F,,(O)
takor..I)-'
.--'.J.OI'OI\OPY
Zk_1
.!.J.L.
i;ю
'IИ(',;IОМ
'I)(1{(о')-1)-1
'I)(H(o')-I)-1
'1)"
'I)ТУ
Т)':
In
1
'1)1'I,Po,
rJt
=
In
1
'1)1,
I,Ро,
rJt
D["~]
()-'
ж:иво,НО
А
I,','Ю
20'h]
.,
Ро,-"
rJ.'>
-'I)"I,PO
(j'H-ll
kPo
да,н
-11
{1.т
..
(т)
=
а'Т!
(
1
+
.:I
Ш
)
А
(.т)
т
о
Jm)
''i1
вып.~аты
и:меют
Ь
Т
n1
10 000
i~ОI'ОIЮРОВ
!l.ТО;ГIJ~ЛИ.
10
OOO.~1:il
10
()()()
договоров
заК.'Iю'теннт-.тх
с
лицами
KOTOpl,IM
111,III.'laTI,1
осу
1
Т
(се
т 'т
\j
I}I
10'
Т
'С}Т
1 -
~
- - ()
1'(.4.''\1> 1
,;
k
1
,7Тl,
(j,j+1)]
"
I(щ
.Х
1
(12.3.14)
Н
(12.3.14)
Х
[1
q}~Х(l)]"Ч1Нх(t)
< 1
Р*"
+Пl
fJl
А1\1
х
(t) 111
Е[(8
Ф(:г
+
О,Б
-
lб/4)
О
лt
АРl
rayccOFH:KOf'
О
пЛ"
U"
U"
U
1
l-'rошislо\'
-1]}
и(т)
fШ'шul<:l
Дl
1
,
/',:}
СЛ~-'Iует
читать
[1'еl1"
1966],
[1'еl1"
196R]
I,Ро
l,,,-,
=
n(lJ..')
=
о
:г
)':
lJ..',
И
",(:г)
>
О,
:г
<
lJ..'.
F,
I,',~'
F,,(z)
.'llобо\1\'
ИJ
таких
.:..(OIOIIOPOII
ZH_1
.!.J.L.4
i;ю'
,']"
маl'С\lаТИ'IССКИ\1
ОЖI1,'taТII1СМ
'I!H(o')-1)-1
'пСН(о')-1)-1
О
'I?
Т(
In
1
'I!-
IГо,
rJt
(\~D['I?']
)КИВО,
НО
.4
г;~
20'h]
.,Po,_,,'lr'
rJ.'>
-'1.'''
"
Ро
(j,т=I]
kPo
Д(jI'=ll
аТ1
';;-.1/",-1
0(:")
+
l~-,//",-1
(т)
=
а'Т!
(
1
+
i(Ш).4
(.т)
'"
о
s-±i
Н
)
(1.0
ВЫП.'1ата
имеет
Ь
Т
n1
,'LOI'ОIЮр
""'ЮJJ;f'.:ТИ
с
F\ЫПJТ<I'Г'ОЙ
10000.
10000
/
.~1:il
договора
заклюттенного
с
.'IИЦО'f
которому
111,ITI.'laTa
IIС.IИ'IИ
Tlbl
10 000
OC)'III,CCTII.'I~IC'I'C~T
t - %
_ 1'(.4:''\1>1
,;
k1--~,
'т
(j,j+1)]]
"I(щ
Лi,Х
1
(12.3.14)
Н
(12.3.15)
N
Al'{~'
(t)
[Е(8
<1>(["
+
О,Б
- 16]/4)
О.
л
Рl
обра"Гно~
ПJ.УССОF\ское
n
П:й
rJ
i
rJ
i
U
j
l-'rошislо\\'
-1])
['1
фОРМ,У.II<:1
l\1
х
f>.(
ХI
Напечатано
Следует
читать
С.3
1,
СЧJ.15
сверху
efXj
OJj
fXj
OJj
-е
~ffi5
2
С.3
2,
СЧJ.1
О
сверху
-ffi5
2 3
С.54,
СЧJ.8
и
6
снизу
Е[Х]
Е[
S]
D[X]
D[S]
С.55,
СЧJ.8
сверху
qk
= 0.01
Qk=0.10
С.68,
СЧJ.15
снизу
табл.1.3.1 табл.3.2.1
С.101,
СЧJ.2
снизу
(1/80)/(1/
8z)
(1/80)-(1/
8z)
С.IЗ9,
Табл.
5.2.1
Gx:nl = G
nl
+
...
-
Gx:nl
=
aiJl
+
...