Бауэрс Н., Гербер Х., Джанс Д., Несбитт С., Хикман Дж. Актуарная математика
Подождите немного. Документ загружается.
Приложение
3
ОБОЗНАЧЕНИЯ
а
535
A(h)
426
а(х)
80
A
t
554
ах
143
Ах
113
aКl
143
Аж
100
aТi1
135
A~т)
122
аР!
550
-вп
180
Ах
aТl
132
А;:т
112
ах
133
А
х
:
т
116
UWt
552
A
x
:
Тi1
105
аж
140
A
x
:r1
104
-n
а
т
537
jA
x
562
а
к
+
1
1
140
...
А
ж
564
..
(т)
145
-1
ах
A
x
:
Тi1
99
О(т)
152
-1
183
ах
A
x
:
fi1
..
{т}
151
2А
1
104
ах
ж:fi1
2
-1
100
ja
x
562
А
ж
:
ii1
...
а
ж
564
ml
Ax
105
a
x
:Тi1
145
mln
Ax
110
a
x
:Тi1
135
Аху
240
a
x
:Тi1
141
А(т)
263
ху
..
(т)
- 2
268
а
ж
:
Тi1
149
Аху
-1
a
x
:
1i1
137
Аху
267
2-
136
А
ху
:
т
255
ах:т
- 1
257
nl
ax
144
A
xy
:
Тi1
nlux
136
2А
жу
:
Тil
255
- 2
nl
ax
142
~wжу
499
..
(т)
АХ1Ж2ЖЗ
495
nl
ax
149
-1
504
nAS
430
ажу!z
---
..
(т)
264
kAS
452
аху
аи:т
254
(AS)t+n
313
2 -.
255
a
xy
:ii1
uxl
Y
260
Ь(u)
517
аХ1Х2ХЗ
495
bj
213
(аА)(х)
548
bt
98
(aA)t
542
bf(t)
528
(aC)t
550
B
t
538
......
(3)
(aF)t 550
BX~k
306
(aU)t 550
(3
486
B
x
+
t
(aV)(x)
548
B(j)
304
ж+t
(aV)t
544
n
ВР
449
602
Приложение
3
с
365 G
24, 397, 512
430
.....
Ch
G
468
Ck
452
G(b)
424
c(t)
355
G(x:o,
/3)
346
С1
572
С
2
573
h{x)
400, 537
С
з
573
Н{т)
528
Ch
216
Н{х:о,
(З,
хо)
346
C
t
554
u
(hp)~1t{hJ.L)~lt
(и)
485
kCV
430,
441
.,
476
d~)
283
~k+1
452
lk+1
nd
ж
70
i(8,8 +
t)
576
d(Л
283
Ik
567
n
ж
d(T)
283
Id
393
n
ж
tDj
492
Id(x)
36
k+1D
453
jlk
562
(DA);:1i1
117
(IА)ж
117
{DA);;nJ
111
{IА)ж
108
nVж
70
(IА)ж
109
V(j)
282
(I(m)
А)ж
108
n
ж
V(T)
283
(IA);:ffi
119
n
ж
412
J
145, 276
е
j{8,8
+t, S+
и)
577
eh-1
427
tk
ж
199
еж
78
К
66
о
еж
77
К{х)
66
ek
452
К(ху)
244
о
еж:nJ
80
К(ху)
247
ежу
248
ежу
248
lж
70,522
о
248
l[Ж]+k
89
ежу
о
248
l~T)
283
ежу
Е
23
l(x,
и)
517
Е
612
lf(X,U)
527
Е
442
L
163, 370
Ео
442
L1
369
nЕ
ж
104
L
ж
79
(ЕS)Ж+h+t
314
L(h)
526
t
L
192
/
536
t~
433
/(u:t)
433
tLe
412
/S(8)
50
tL}
433
/х(х)
44
.с
(х)
69
FS(8) 49
.с;Т)
283
Рх(х)
44
F
t
554
т(х)
78, 541
F(k)
50
m
ж
79
kF
453
т~)
288
(7")
т
х
т~Ц)
Mx(t)
М(х)
n(u)
N
N(t)
p(j)
р(х)
Pk
P[x]+r
р.n(х)
tpx
(Т)
tpx
,(Л
tpx
tpxy
t'fJFY
UPx"Y+t
k
tPXIX2X3
Р(х)
P(S, t)
P
t
TP
t
р
а
Р
х
jP
x
.Р
х
Р:
т
Р
х
:
щ
ржу
Р;:т
Px:~
-1
Р
х
:
щ
Р·n(х)
hPx
hPx;ffi
(Ра)(х)
(Pa)t
p~т)
Р(т)
х:т
p1(m)
х;щ
Р(.4
х
:
щ
)
P(nlo'x)
~(nJaX)
Р(А
х
)
р(т)
(Ах)
р{т}(А
х
)
288
288
31
541
535
328
361, 522
564
330
229
89
330
65
278
286
240
245
507
495
329, 548
576
543
537
442
171
562
564
417
173
505
173
173
183
336
173
173
548
545
178
178
178
178
173
165
163
178
179
Приложение
3
т
Те
TF
TN
(rA)t
(rF)t
(rV)t
R
R
R(x,
h, t)
в(х)
Вт
в(х,
и)
181
165
165
165
178
178
178
178
165
165
178
178
180
505
505
88
312
312
312
312
452
240
66
65
278
278
286
65
264
265
244
499
502
535
463
462
465
538
554
554
365, 522, 529
357
314
64
182
517
603
604
Приложение
3
sx:1i1
138
w(x)
535
sx:1i1
143
Wi
357,400
8
43,328
W
t
536
8(t)
355
kW
443
8
п
357
kW
ж
444
8
у
314
kW
ж
:
m
444
k8C
441
~Wж
444
(Wa)t
552
т
66, 356
kW(A
z
)
444
т
357
k
ЙТ(А
х
:
т
)
444
Т(х)
64
h - -
444
kW(А
ж
)
Т
ж
79, 522
Т(ху)
240
(х)
64
Т(ху)
244
(Х1Х2
••.
Х
т
)
240
(Х1Х2
...
Х
т
)
244
u(ш)
24
k
U(h)
426
Х1Х2'"
Х
т
491
U(t)
355
[k]
U
t
554
Х1Х2'"
Х
т
491
И
П
357
Xi
43, 328
.....
Х(О)
544
И
П
360
Vt
98
У
140
V
N
567
у(в,в
+
т)
578
vi
361
Y(t,
n)
580
V
t
554
kV
ж
200
Zt
98
k
V
ж
:
m
201
Z
98
k
Vж\m
201
mZ1l
315
k
Vx:J,
201
уППП
459
а
313, 324, 458
k
х
t
V~:7il
506
а(т)
148
~VЖ
201
а
458
ZV
ж
:
nJ
201
аСУ
461
hV(m)
205
(з
324, 458, 537
k
ж:m
hyMod
456
k
х:m
(З(т)
148
k V(nliix)
201
~
459
t V(nlax)
197
(ЗСУ
461
t
V(А
ж
)
192
(З(х,u)
527
t
V(А
ж
:
m
)
197
-
-1
197
t
V(Ax:nt>
Г(а)
334
- - 1
t
V(А
х
:
щ
)
197
д
99
tV(Ax)Mod
457
dt
99
tV(A
xy
)
507
k
V{l}
(Ах)
208
О
55, 543
k
V(А~П)
208
h
-1
205
л(t)
k
V(A
x
:
m
)
550
h-
-
197
л(t,
n)
580
t
V(Ax)
h~
-
197
А
334
t
V(A
x
:
m
)
h { } -
207
A
h
224
k V m
(А
ж
:
щ
)
Приложение
3
605
J1.(x)
67
Р
532
J1.x
(t)
86
2781355
(d)
т
J1.x
312
(i)
312
ф(х)
528
J1.x
(w)
312
ф(х,
и)
528
J1.x
J1.)x(r)
313
.
ф(u)
356
J1.<j)
(t)
279
ф(u)
357
J1.~T)
(t)
278
ф(u,
t)
356
J1.жу
(t)
243
ф(u;w)
378
J1.xy
(t)
246
Ф(u,w)
360
J1.(x
,
u)
518
w
73
1Гh
213
ССС
464
1Гt
525
ЭПСП
463
Приложение
4
ОБЩИЕ
ПРАВИЛА
для
ОБОЗНАЧЕНИЙ
АКТУАРНЫХ
ФУНКЦИЙ
Актуарная
функция
представляется
основным
символом
и
комбинацией
вспомогатель
ных
символов,
таких,
как
буквы,
числа,
двоеточия,
кружки,
крышки,
горизонтальные
и
вертикальные
черточки.
Основной
символ
отражает
общее
определение
функции.
Выбор
и
расположение
вспомогательных
символов
сверху,
а
также
справа
или
слева
в
качестве
верхних
или
нижних
индексов
уточняет
его
значение.
Мы
приведем
обзор
правил
выбора
и
расположения
таких
символов
и
продемонстрируем
одну
или
несколько
форм
их
стан
дартного
применения.
Рассматриваемая
нами
структура
обозначений
основана
на
Международной
системе
актуарных
обозначений
1
)
(МСАО),
которая
была
первоначально
принята
на
Втором
меж
дународном
конгрессе
актуариев
в
1898
г.
и
периодически
подвергалась
изменениям,
ко
торые
осуществлялись
под
руководством
Постоянного
комитета
по
актуарным
обозначе
ниям
2
)
Международной
актуарной
ассоциации
3
).
МСАО
представляет
собой
основопола
гающую
систему
принципов,
которая
не
покрывает
всех
областей
применения
актуарных
расчетов.
В
этой
книге
мы
следовали
указанным
принципам,
иногда
расширяя
их,
чтобы
при
необходимости
создавать
актуарные
обозначения,
согласующиеся
с
принятыми
ранее.
Настоящее
приложение
предназначено
для
того,
чтобы
представить
читателю
обзор
основных
конструкций
символов,
появляющихся
В
этой
книге.
Хотя
наше
изложение
яв
ляется
хорошим
введением
в
МСАО,
его
нельзя
считать
исчерпывающим.
Авторитетными
источниками
для
дальнейших
ссылок
являются:
•
Actuarial
Society
of
America,
International
Actuarial
Notation,
Transactions
о/
the
Actuarial Society
о/
Aтerica,
XLVIII, 1947:166-176,
• Transactions
о/
the Faculty
о/
Actuaries, XIX, 1950:89,
•
Joumal
о/
the Institute
о/
Actuaries, LXXV, 1949:121.
Структура
любого
актуарного
символа
строиться
по
приведенной
ниже
схеме.
Пря
моугольник
1
представляет
собой
основной
символ,
прочие
символы
-
верхние
и
нижние
индексы.
Римские
цифры
в
этих
прямоугольниках
соответствуют
разделам
настоящего
приложения,
где
содержится
их
описание.
[ill[m@]
I 1 I
1111
I
[ill
l)International
Actuarial Notation (IAN). -
Прu,м.
ред.
2)Permanent Committee of Actuarial Notations. -
Прu,м.
ред.
3)International Actuarial Association. -
Прu.м.
ред.
Приложение
4
607
Блок
1
(центр)
Главный
символ
Описание
Тема
v
8
d
Эффективная
процентная
ставка
для
некоторого
периода
време
ни,
обычно
одного
года
или,
с
верхним
индексом
в
позиции
У,
номинальная
процентная
ставка
Настоящая
стоимость
суммы
размера
1
в
конце
периода
начисле
ния
процента,
обычно
это
один
год
Интенсивность
начисления
процента
Эффективная
ставка
дисконта
для
некоторого
периода
времени,
обычно
это
один
год
или,
с
верхним
индексом
в
позиции
У,
номи
нальная
ставка
дисконта
Процент
1
d
р
q
IJ
т
L
т
Ожидаемое
или
фактическое
число
лиц,
доживших
до
данного
возраста
Ожидаемое
или
фактическое
число
умерших
в
данный
период
вре
мени.
Этот
символ
всегда
имеет
нижний
индекс
в
позиции
II
Вероятность
прожить
данный
период
времени
Вероятность
смерти
в
течение
данного
периода
времени
Интенсивность
смертности,
обычно
определяемая,
исходя
из
инте
равала
в
1
год
Повозрастной
коэффициент
смертности
для
данного
периода
вре
мени
Ожидаемое
или
фактическое
число
лет
жизни
в
течение
данного
периода
для
доживших
до
начала
этого
периода
Ожидаемая
или
фактическая
суммарная
продолжительность
предстоящей
жизни
всех
доживших
до
данного
возраста
Таблицы
смертности!
)
А
(IA)
(пА)
Е
Актуарная
настоящая
стоимость
(единовременная
нетто-премия)
страхования
на
случай
смерти
или
на
дожитие
со
страховой
вы
платой
размера
1
Актуарная
настоящая
стоимость
(единовременная
нетто-премия)
страхования
со
страховой
выплатой,
равной
1
в
конце
первого года
и линейно
возрастающей
со
скоростью
1
в
год
Актуарная
настоящая
стоимость
(единовременная
нетто-премия)
срочного
страхования
жизни
с
начальной
страховой
выплатой,
равной
сроку
действия
договора
страхования
и линейно
умень
шающейся
со
скоростью
1
в
год
Актуарная
настоящая
стоимость
страхования
на
дожитие
со
стра
ховой
выплатой
размера
1
Страхование
на
случай
смерти
и на
дожитие
Аннуитеты
s
(Ia)
а
(Da)
Актуарная
настоящая
стоимость
аннуитета
с
выплатами
размера
1
в
один временной
период,
обычно
равный
одному
году
Актуарная
накопленная
стоимость
аннуитета
с
выплатами
разме-
ра
1
в
один
временной
период,
обычно
равный
одному
году
Актуарная
настоящая
стоимость
аннуитета
с
выплатами
размера
1
в
конце
первого
года
и
линейным
увеличением
выплат
со
скоро-
стью
1
в
год
Актуарная
настоящая
стоимость
срочного
аннуитета
с
начальной
выплатой,
равной
сроку
действия
договора
страхования
и
линейно
уменьшающейся
со
скоростью
1
за
период
----""'"----
l)Ниже
даны
определения
функций,
приведенных
в
таблице
смертности
и
обозначаемых
через
l,
d,
L
и Т,
дЛЯ
совокупности
дожития.
Другие
определения
для
стационарного
населения
см. в
гл.
19.
608
Приложение
4
р
v
w
s
z
Постоянная
ежегодная
премия
на
покрытие
лишь
страховых
вы
плат
(нетто-премия)
Резерв
на
покрытие
разницы
между
будущими
страховыми
вы
платами
и
будущими
премиями
(нетто-резерв)
Стоимость
оплаченного
страхования,
приобретенного
за
счет
де
нежной
стоимости,
равной
резерву
Функция
тарифов
заработной
платы,
используемая
дЛЯ
прогнози
рования
заработной
платы
Среднее
дЛя
данного числа
значений
функции
тарифов
заработ
ной
платы,
обычно
на
единичных
интервалах
в
случае
независи
мости
Премии
1
)
Резервы
Пенеионное
обеспечение
Блок
11
(справа
внизу)
Примеры
ах,
alO,
qж,
5Q10,
Аж,
А
10
А
ж
:
iil
,
аТО!
I
xyz
, A
x
:
y
:
z
,
а
25
:ТО!1
P25:IO!
I[ж],
I[Ж]+10'
А
Jз5
]
,
..
,
а[35-n]+n
-
[2]
А-
2
a
zvz
,
жуz
Описания
Отдельная
буква
или
число
является
возрастом
лица
в
начале
всего
периода
времени,
относящегося
к
главному
символу
Срок
до
определенного
момента
обозначается
отдельной
бук
вой
или
числом
под знаком
q:угол.
Вуквенно-числовое
выражение,
заключенное
в
прямые
скоб
ки,
обозначает
возраст,
в
котором
происходит
селекция.
Срок,
обозначающий
период,
прошедший
с
момента
селекции,
мо
жет
быть
прибавлен
к
выражению,
заключенному
в
прямые
скобки,
для
выражения
достигнутого
возраста
Две
или
более
буквенно-числовые
характеристики
означают
статус
дожития,
который
сохраняется
до
наступления
первой
смерти
или
окончания
срока
действия
'
Этот
символ
подчеркивает,
что
речь
идет
о статусе,
связанном
с
дожитием
нескольких
лиц,
если
возможна
двусмысленность
Числа
над
или
под
статусами
дожития
отдельных
лиц
в
буквенно-числовом
наборе
ставятся,
чтобы
показать
порядок,
в
котором
эти
лица
теряют
статус
вследствие
наступления
страховых
случаев.
Страховая
выплата
производится
при
по
тере
статуса,
над
которым
стоит
номер
Горизонтальная
черта
над
буквенно-числовым
набором
опре
деляет
статус,
который
сохраняется
до
тех
пор,
пока
сохра
няется
последний
статус
дожития
отдельного
лица
Отдельная
буква
или
число,
скажем
т,
над
правым
концом
черты,
стоящей
над
буквенно-числовым
набором,
определяет
статус,
который
сохраняется
до
тех
пор,
пока
сохраняется
по
крайней
мере
r
статусов
дожития
отдельных
лиц.
Если
r
за
ключено
в
квадратные
скобки,
то
статус
существует
лищь
в
том
случае,
когда
сохраняются
в
точности r
статусов
дожития
отдельных
лиц
Вертикальная
черта,
разделяющая
буквы
или
числа,
показы
вает,
что
выплаты,
относящиеся
к
основному
символу,
начи
наются
с
потери
статуса
перед
чертой
и
продолжается
до
по
тери
статуса,
стоящего
после
черты,
при
условии,
что
статусы
теряются
в
указанном
порядке
х,
10
r
,
xyz
[т]
х:у:10
Вспомогательные
символы
1 2
x:I01;
xyz
1
xyz
или
x:y:z,
25:ШJ
~
[х],
[35],
(х]
+t,
(35-nj+n
65:60:I01
ylx, 60155,
1
yzlx
l)Главные
символы
для
нетто-премий,
нетто-резервов
и
стоимостей
оплаченного страхования
Р,
V
и
W
комбинируются
с
символами
выплат,
за
исключением
случая,
когда
страховые
выплаты
являются
постоянным
выплатами
размера
1,
производимыми
В
конце
года
смерти.
[Примеры:
Рх,
-
(4)
-
(12) (12)
Р(А
Ж
),10
V
(А
х
:
т
),
р
(3010,35
).}
ПРШIOжение
4
Блок
111
(снизу
слева)
609
Вспомогательные
символы
Описания
Примеры
n,
15
nlm,
nl
Отдельное
число
или
буква
показывает
время,
в
течение
кото
рого
вычисляется
основной
символ.
Для
годовой
премии
Р
эта
позиция
показывает
максимальное
число
лет,
в
течение
кото
рых
выплачиваются
премии,
если этот
срок
меньше,
чем
срок
действия
страхового
договора
или
период
отсрочки
в
случае
отсроченного
аннуитета
Буквенно-числовая
пара,
разделенная
вертикальной
чертой,
показывает
период
отсрочки
(слева
от
черты)
и
период,
следу
ющий
за
отсрочкой
(справа
от
черты).
В
некоторых
случаях,
когда
ОдНа
из
этих
величин
равна
единице
или
бесконечности,
ее
можно
опустить
Блок
IV
(В
центре
сверху)
nРх,
Нj
Е
зо,
20P2S,
20V
4o
:3Ol
Вспомогательные
символы
Описания
Примеры
о
Две
точки
над
символом,
обозначающим
аннуитет,
показыва
ют,
что
выплата
производится
в
начале
периода,
т.
е.
это
ан
нуитет
пренумерандо.
Символ
аннуитета
без
двоеточия
озна
чает
аннуитет
постнумерандо,
т.
е.
выплаты
производятся
в
конце
периода
Для
аннуитета
черта
означает,
что
выплаты
производятся
непрерывно,
а
для
страхового
договора
-
что
премии
выпла
чиваются
непрерывно,
а
страховая
выплата
производится
в
момент
наступления
страхового
случая
Кружок
означает,
что
выплаты
или
продолжительность
жиз
ни
являются
.полными.,
т.
е.
подсчитываются
вплоть
до
мо
мента
смерти
Блок
V
(сверху
справа)
о
о
ах,
аж
Вспомогательные
символы
Описания
Примеры
(т),
(12)
{т},
{12}
r,
t
Буквенно-числовой
набор
в
круглых
скобках
показывает
чис
ло
выплат
аннуитета
течение
периода
начисления
процента,
обычно
года.
Для
настоящих
стоимостей
страховых
выплат
это
число
периодов
в
году,
в
конце
которых
может
выпла
чиваться
страховая
сумма
в
случае
смерти.
Для
символов
в
случае
выбытия
по
нескольким
причинам
символ
в
круглых
скобках
показывает
используемую
причину
выбытия
или
то,
что рассматривается
выбытие
по
всем
причинам
Буквенно-числовой
набор
в
фигурных
скобках
показывает
число
выплат
аннуитета
пренумерандо
с
корректирующим
платежом
в
течение
периода
времени,
обычно
года.
Для
основного
символа
премии
или
резерва
это
обозначение
по
казывает,
что
премии
выплачиваются
на
этой
основе
Буква
показывает
специальный
базис,
используемый
для
ак
туарной
настоящей
стоимости
(12)
А
(т)
Srn'
ж
,
(2)
(Т)
qж
,tРж
610
Вспомогательные
символы
Приложение
4
Блок
VI
(сверху
слева)
Описания
Примеры
h, 2
Буква
или
число,
показывающее
число
лет,
в
течение
которых
~V3О
выплачиваются
премии,
если
оно
меньше,
чем
период
дей-
ствия
договора
страхования
или
период
отсрочки
для
отсро
ченного
аннуитета.
Это
относится
лишь
к
основным
символам
V
и
W,
если
позиция
111
используется
для
времени,
в
течение
которого
вычисляется
функция.
В
этой
книге
дано
новое
применение
этой
позиции,
чтобы
по-
2
Ах,
2a
2o
;IOl
казать,
что
актуарная
настоящая
стоимость
аннуитета
или
выплат
по
договору
страхования
рассчитывается
с
удвоенной
интенсивностью
смертности